Ein Experiment der Stochastik: Polyas Urne

Inhaltsverzeichnis

2 Einleitung
2.1 Problemstellung
2.2 George Polya, Mathematikprofessor

3 Hauptteil
3.1 Formel
3.2 Modell für die Ausbreitung einer Infektionskrankheit
3.3 Bearbeitung des Problems mit einer Exeltabelle
3.4 Baumdiagramm
3.5 Turbopascal Programm

4 Anhang
4.1 Quellenverzeichnis
4.2 Handout vom Internetchat mit Mathematikern
4.3 Turbopascal-Programmcode

2 Einleitung

2.1 Problem

Am Anfang legt man eine weisse und eine rote Kugel in eine Urne.

Anschliessend beginnt man mit den Ziehungen.

Wenn man jetzt z.B. eine rote Kugel zieht, legt man sie zurück und lege zusätzlich eine weitere rote Kugel in die Urne hinein.

Jetzt enthält die Urne eine rote Kugel mehr, also in diesem Fall 2 rote und 1 weisse Kugel. Wenn man nun eine weisse Kugel ziehen würde, wiederholt man den gleichen Vorgang wie bei der roten Kugel; die Zahl der weissen Kugeln nimmt also um 1 Kugel zu.

So geht der Vorgang beliebig weiter.

Die Fragen welche sich aufdrängen sind :

- Wie verhält sich das Verhältnis der roten zu den weissen Kugeln ?
- Gibt es eine Formel dazu ?

2.2 George Polya , Mathematikprofessor

Am 13. Dezember 1887 wurde George Polya in Budapest, Ungarn, geboren.

Er entschied sich als junger Erwachsener ein Jus- Studium zu machen.

Leider bemerkte er recht schnell, dass ihn dieses Gebiet langweilte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus diesem Grund beschloss Polya auch noch Literatur, Sprachen und Mathematik zu studieren. Letzteres zum besseren Verständnis der Philosophie.

1912 wurde er in Budapest mit dem Doktortitel für Mathematik ausgezeichnet.

Zwischen 1913 und 1924 weilte er in Göttingen, Zürich und in England.

Die politische Situation in Europa zwang Polya in die USA zu flüchten.

Dort war er zuerst an der Brown University und anschliessend an der Stanford University tätig.

Bevor er allerdings in die USA ging schrieb er ein Buch in deutsch, dessen Titel lautet: (How to solve it) Wie wird es gelöst?.

Es wurde über 1 Million Mal verkauft.

Polya gab darin weise Sprüche von sich:

If you cannot solve a problem, then there is an easier problem you Cannot solve: find it !

George Polya starb am 7. September 1985 in Palo Alto, Kalifornien, USA.

3 Hauptteil

3.1 Formel

Wir haben die Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhalten und anschliessend untersucht. Dabei haben wir folgendes festgestellt:

Es ist eine einfache Formel der Wahrscheinlichkeit. In der ersten Ziehung gilt die

Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] weil rote =1 und die gesamte Kugelanzahl (w+r) = 2. Gehen wir von einer n-ten Ziehung aus beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Rote zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Diese Formel hängt also vom Istzustand der Kugelanzahl ab. Die Frage ist nun, ob diese Formel im Weiteren das Durchschnittsverhältnis ergibt, wenn man von den Anfangswerten ausgeht? Diese Frage versuchten wir mit einem Turbo-Pascal-Programm und einem Baumdiagramm zu ergründen. siehe Kapitel 3.4 und 3.5.

3.2 Modell für die Ausbreitung einer Infektionskrankheit

Das Polya - Urne n- Experiment ist als Modell für die Ausbreitung einer Infektionskrankheit gedacht. Das Ziehen einer Kugel bedeutet: Ansteckung einer Person mit einem Krankheitserreger.

Rote Kugel: Die Krankheit bricht aus.

Weisse Kugel: Die Krankheit bricht trotz Ansteckung nicht aus (Immunität).

Das Hinzufügen roter bzw. weisser Kugeln bedeutet dann, dass jeder Krankheitsfall die Wahrscheinlichkeit für neue Krankheitsfälle erhöht, jeder "Immunitätsfall" diese Wahrscheinlichkeit erniedrigt. Der Inhalt der Urne gibt jeweils die augenblickliche Wahrscheinlichkeit für eine Ansteckung an.

Wie gross ist in dem oben beschriebenen Polya - Experiment die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man

a) bei den ersten beiden Zügen je eine rote Kugel zieht
b) bei den ersten drei Zügen je eine rote Kugel zieht
c) bei den ersten drei Zügen je eine weisse Kugel zieht ?

Resultate ( man verwende ein Baumdiagramm)

a) P({r,r} =2/5 * !/2 = 1/5 = 20%
b) p(({rrr})=2/5*1/2*4/7 = 4/35 = 11.4%
c) P(({www}) = 3/5*4/6*5/7 = 2/7 =28,6%

3.3 Bearbeitung des Problems mit einer Exeitabelle

Wir simulierten das Problem in einer Exeltabelle.

Wir legten die Tabellen folgendermassen ein:

Die Farben bestimmten wir durch den Zufallsgenerator. Somit ist die Farbauswahl den Verhältnissen entsprechend eine rein zufällige Auswahl. In dieser Tabelle konnten wir die Anfangsanzahl beider Farben beliebig einsetzen.

Formeln:

Die Zufallskugel: z.B. Feld D15 = (ABRUNDEN((B14+C14)*G15+1;0))

Zuerst nimmt die Forme die Summe aus den beiden Farben (B14+C14). Anschliessend multipliziert die Formel diese Summe mit einer Zufallszahl( *G15). Weil wir eine ganze Zahl >= 1 haben müssen, addierten wir die Zahl mit 1 und rundeten den Wert ab. Das gibt uns die x-te Kugel .

Farbe: z.B. Feld E15 =WENN(D15>B14;0;1)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jetzt stellen wir uns die Kugel hintereinander vor. Zuerst kommen die Weissen dann die Roten.Mit einer Wenn-Bedingung schauen wir ob sich die Zufallszahl nnoch im roten

Kugelbereich ist d.h. die Zufallszahl grösser als die Anzahl der weissen Kugel. Trifft dies zu, wählt der Computer die Farbe rot (0); im anderen Fall weiss (1).

Weiss und Rot :

z.B. Feld B16 = B15 +E16*$B$7 oder Feld C17 = C16+(wenn(E17=0;1*$B$7;0))

Je nach der ,,Farbzahl" (1 oder 0) addiert der Computer jetzt die entsprechende Zeile mit 1. Verhältnis: Verhältnis der beiden Farben weiss/rot

In der kleine Tabelle oben rechts sind die Daten einzelner Zeilen um den Vorgang zu überblicken.

Um die Wahrscheinlichkeiten darzustellen haben wir dieses Diagramm gemacht. Dabei konnten wir unter anderem die Extremwerte bestimmen: Im „schlimmsten" Fall gilt die Wahrscheinlichkeit für die Farben 1/n+2 im „besten" Fall n+1/n+2 .

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