Prozesse beim Lösen von Fermi-Fragen (Mathematik, Klasse 7 Werkrealschule)

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Grundlagen
2.1 Fermi-Fragen
2.2 Modelle zur Analyse der Lösungen von Fermi-Fragen
2.2.1 Modell nach Ärlebäck
2.2.2 Fermi-Task-Modell

3. Schulische Voraussetzungen
3.1 Schule
3.1.1 Ziele und Schwerpunkte
3.1.2 Leitgedanken Werkrealschule
3.1.3 Besonderheiten der Schule
3.1.4 Trainingswochen Werkrealschule
3.2 Beschreibung der Klasse WR7

4. Untersuchung
4.1 Rahmenbedingungen
4.2 Ablauf
4.3 Analyse der Einführungsstunde
4.4 Analyse der Untersuchung

5. Prozesse der Auswertungen
5.1 Transkripte
5.2 Einteilung in die Modelle
5.2.1 Einteilung in das Modelling Activity Diagram nach Ärlebäck
5.2.2 Einteilung in das Fermi-Task-Modell

6. Vergleich der Gruppenprozesse
6.1 Gruppe 1
6.2 Gruppe 2
6.3 Gruppe 3
6.4 Gruppe 4
6.5 Gruppe 5

7. Allgemeine Probleme und Schwierigkeiten

8. Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang
Anhang 1: Gruppe 1
Anhang 1.1: Transkript Gruppe 1
Anhang 1.2: Bild Rechnung Gruppe 1
Anhang 1.3: MAD Gruppe 1
Anhang 2: Gruppe 2
Anhang 2.1: Transkript Gruppe 2
Anhang 2.2: Bild Rechnung Gruppe 2
Anhang 2.3: MAD Gruppe 2
Anhang 3: Gruppe 3 XLVII
Anhang 3.1: Transkript Gruppe 3
Anhang 3.2: Bild Rechnung Gruppe 3
Anhang 3.3: MAD Gruppe 3
Anhang 3.4: Feedbackgespräch Gruppe 3
Anhang 4: Gruppe 4
Anhang 4.1: Transkript Gruppe 4
Anhang 4.2: Bild Rechnung Gruppe 4
Anhang 4.3: MAD Gruppe 4
Anhang 5: Gruppe 5
Anhang 5.1: Transkript Gruppe 5
Anhang 5.2: Bild Rechnung Gruppe 5
Anhang 5.3: MAD Gruppe 5
Anhang 6: Unterricht
Anhang 6.1: Unterrichtsentwurf
Anhang 6.2: Handzettel Fermi-Aufgaben
Anhang 6.3: Fermi-Aufgabe Stuhl
Anhang 6.4: Fermi-Aufgabe Wasser
Anhang 6.5: Tafelbild
Anhang 7: Fermi-Aufgabe Wald
Anhang 7.1: Fermi-Aufgabe Wald Rechnung
Anhang 7.2: Fermi-Aufgabe Wald eigene Messungen
Anhang 8: Fermi-Task-Modell (mit Nummern)

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Ausschnitt Transkript Gruppe 1

Tabelle 2: Ausschnitt Transkript Gruppe 1

Tabelle 3: Ausschnitt Transkript Gruppe 1

Tabelle 4: Ausschnitt Transkript Gruppe 2

Tabelle 5: Ausschnitt Transkript Gruppe 5

Tabelle 6: Ausschnitt Transkript Gruppe 2

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: MAD von Ärlebäck

Abbildung 2: Fermi-Task-Modell mit Nummerierung nach Borys, Hartmann, Kawasaki & Okamoto

Abbildung 3: Stuhl Aufgabe Lösung

Abbildung 4: Ausschnitt Bild Rechnung Gruppe 1

Abbildung 5: Ausschnitt MAD Gruppe 1

1. Einleitung

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? Eine solche Frage mittels Mathematik zu lösen, stellt vor verschiedene Herausforderungen. Wie wird bei derartigen Fragen vorgegangen und was muss berücksichtigt werden? Wer solche offenen Aufgaben, sogenannte Fermi-Fragen zum ersten Mal hört, dem fehlt vermutlich jegliche Vorstellung, wie diese überhaupt zu lösen sind. Durch nicht gegebene relevante Angaben fehlt zunächst eine strategische Herangehensweise. Die Frage scheint gar unlösbar, denn ausschlaggebende Werte, wie etwa die Einwohneranzahl in Chicago, werden nicht genannt. Doch solche offenen Aufgaben sind lösbar und der Weg zur Lösung ist meist interessanter als die Lösung selbst.

Seit mehreren Jahren wird daran geforscht, wie Schülerbei solchen offenen Aufgaben vorgehen, um so ihre Denkprozesse nachvollziehen und verstehen zu können. Dazu wurden schon mehrere Modelle entwickelt, die dabei helfen sollen, dieses Denken zu verstehen. Vor allem ist es in Bezug auf den mathematikdidaktischen Kontext betrachtet bedeutsam, verstehen zu können, wie Schüler sich Möglichkeiten zum Lösen solcher Aufgaben schaffen. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit das Vorgehen von einzelnen Schülergruppen beobachtet und dokumentiert. Dadurch soll es ermöglicht werden, Schlüsse aus dem Denken und Handeln der einzelnen Schüler zu ziehen.

Um dies zu tun, muss zuerst der theoretische Hintergrund aufgezeigt werden. Es wird erklärt, was Fermi-Fragen sind und was sie auszeichnet. Anschließend werden zwei unterschiedliche Modelle zur Auffassung der Gedankenprozesse vorgestellt und erklärt. Daraufhin beginnt die Beschreibung der durchgeführten Untersuchung. Dazu wurde mit einer Schule zusammengearbeitet und eine Klasse zum Lösen von Fermi-Fragen untersucht und aufgezeichnet. Die Schüler wurden dabei Gruppen zugeordnet, um so ihre Prozesse beim Bearbeiten einordnen zu können. Die daraus resultierenden Erkenntnisse spiegeln sich in dieser Arbeit wider.

Dabei werden mathematische Modelle, die sich nicht explizit auf Fermi-Fragen berufen außen vorgelassen. Denn nur Modelle, die sich auf diese Fragen beziehen, sind für diese Untersuchung von Relevanz, um darstellen zu können, ob diese Fehler oder Ungereimtheiten aufweisen.

2. Theoretische Grundlagen

In diesem Kapitel wird auf die Theorie hinter der Untersuchung eingegangen. Es wird erklärt, worum es sich bei Fermi-Fragen handelt und welche mathematischen Prozesse damit in Verbindung stehen. Weiter wird auf die Modelle zur Analyse des Lösungsprozesses von Fermi-Fragen eingegangen und diese erläutert.

2.1 Fermi-Fragen

Fermi-Aufgaben oder auch Fermi-Fragen sind nach dem italienischen Kernphysiker Enrico Fermi (1901 - 1954) benannt. Sie zeichnen sich durch Fragestellungen aus, zu denen zunächst keine Daten für einen Lösungsprozess vorliegen (vgl. Büchter, A./ Leuders, T. 2016: S.99). Daher scheinen die Aufgaben zu Beginn unlösbar. Um diese Problematik zu übSchüler 7den, werden fehlende Informationen durch Prozesse, wie Schätzen, Vermuten oder Recherchieren gewonnen. Aus diesem Grund gibt es für Fermi-Fragen keine eindeutige und richtige Lösung, sondern nur ein ungefähres Endergebnis (vgl. Wälti, B. 2005: S.34 - 38).

Fermi-Fragen haben einen hohen Realitätsbezug und sind offen gestellt. Daher eignen sich Aufgaben dieser Art vor allem für die Schule, denn es werden Kompetenzen der Schüler gefördert, wie etwa:

- Heuristische Strategien: Fragen stellen
- Alltagswissen benutzen
- Mit großen Zahlen arbeiten
- Umrechnen von Größen
- Überschlagsrechnen, geschicktes Rechnen
- Unklarheit verkraften, also auch bei vagen Angaben weiterarbeiten
- Ergebnisse kontrollieren
- Kontroll- und Bewertungsstrategien (Leuders, T. 2001: S.104)

Dadurch wird das Vernetzen von mathematischem Grundwissen mit Strategien des Modellierens in unterschiedlichen Anwendungssituationen gestärkt (vgl. Büchter, A./ Leuders, T. 2016: S.166). Um Fermi-Fragen einordnen zu können, bedarf es an Modellen, die im nachfolgenden dargelegt werden.

2.2 Modelle zur Analyse der Lösungen von Fermi-Fragen

In diesem Abschnitt werden zwei Modelle beschrieben, die Grundlage für die Auswertung der Untersuchung sind. Zuerst wird das Modell von Ärlebäck dargestellt. Im zweiten Teil wird auf das Fermi-Task-Modell eingegangen.

2.2.1 Modell nach Ärlebäck

Der schwedische Mathematikdidaktiker Jonas Bergman Ärlebäck beschäftigte sich 2009 mit Fermi-Fragen und mathematischen Modellen zu diesen in der Schule. Im Rahmen davon führte er eine Studie durch, in der er sieben Schüler, die sich in drei Gruppen aufteilten, eine Fermi-Frage stellte und diese bei ihrem Lösungsprozess dokumentierte.

Dazu definiert Ärlebäck realistische Fermi-Fragen und kategorisiert diese ein, in:

- Zugänglichkeit: Schüler sollen sich Fermi-Fragen annähern können. Eine Lösung soll auf unterschiedlichen Bildungsniveaus und unterschiedlicher Komplexität gegeben sein.
- Reale-Welt Bezug: Fermi-Fragen sollen realistisch sein und einen Alltagsbezug besitzen.
- Präzisieren und Strukturieren: Es sollen Beziehungen und relevante Informationen zusammengeführt werden können, um so das Problem in Angriff nehmen zu können.
- Fehlen von Zahlenangaben: Dadurch sollen realistische Schätzungen relevanter Größen, die benötigt werden, erfolgen.
- Innere Impuls: (in Verbindung mit den letzten beiden Punkten) Die Diskussion in der Gruppe soll vorangetrieben werden. (vgl. Ärlebäck, J.B. 2009: S.339f.)

Für die Auswertung erstellte Ärlebäck ein Modelling Activity Diagram (MAD). In diesem MAD werden sechs Unteraktivitäten definiert, zu denen sich die einzelnen Prozesse der Teilnehmenden kategorisieren lassen:

- Reading (R): Das Lesen und erste Verstehen der Aufgabe.
- Making Model (M): Das Vereinfachen, Strukturieren und mathematisieren der Aufgabe.
- Estimating (E): Das Schätzen einer quantitativen Größe.
- Calculating (C): Das Rechnen, umschreibende Gleichstellungen, wie auch Bilder und Diagramme zeichnen.
- Validating (V): Das Interpretieren, verifizieren der Ergebnisse, Berechnungen und des Models.
- Writing (W): Das Aufschreiben der Lösung. (vgl. Ärlebäck, J.B. 2009: S.340f.)

Durch die Einteilung ist es möglich die Teilnehmenden in ein Diagramm einzufügen und die einzelnen Prozesse darzustellen (siehe Abbildung 1). Dabei spiegelt die x-Achse die Zeit und die y-Achse die einzelnen Prozesse wider.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: MAD von Ärlebäck

Quelle: Ärlebäck, J.B. 2009: S.345

2.2.2 Fermi-Task-Modell

Ein Modell, das an Ärlebäck anschließt, ist das Fermi-Task-Modell (FTM). Dieses wurde entwickelt, um ein Modell zu schaffen, das weiter geht als die bisher bestehenden. Bei den bestehenden Modellen werden ausschließlich mathematische Aspekte beim Modellieren berücksichtigt. Das FTM dient dazu ein mentales Modell darzustellen, dass die Wechselbeziehungen zwischen Lösungsstrategien und rechnerischen Prozessen aufzeigt (vgl. Borys, T., et al. 2018: S.728).

Abbildung 2: Fermi-Task-Modell mit Nummerierung nach Borys, Hartmann, Kawasaki & Okamoto

Quelle: Anhang 9

Dieses Modell zeigt weitere Aufteilungen der von Ärlebäck kategorisierten Prozesse. Durch die feinere Unterteilung wird angestrebt einen genaueren Überblick über die Denkprozesse von Schülern zu gewinnen (siehe Abbildung 2). Dadurch soll es ermöglicht werden, kleine Schritte in den Prozessen zu beobachten, im Gegensatz zu Ärlebäck, bei dem nur in ganzen Prozessen unterschieden wird.

Deshalb sollen beide Modelle in der Schule zum Einsatz kommen.

3. Schulische Voraussetzungen

In den folgenden Kapiteln wird der Schulverbund, speziell die Werkrealschule, mit all ihren Besonderheiten vorgestellt. Weiter wird auf die Klasse der Werkrealschule, in der die Untersuchung stattfand, eingegangen und diese genauer beschrieben.

3.1 Schule

Die Schule ist ländlich geprägt. Aktuell befindet sich die Schule im Umbruch zu einer Naturparkschule. 850 Schüler besuchen in 39 Klassen die offene Ganztagsschule, die sich aus Grund-, Werkreal-, Förder-(SBBZ) und Realschule zusammensetzt. Die Werkrealschule befindet sich aktuell im Auslauf. Sie ist mit einer siebten und einer neunten Klasse vertreten. Das Kollegium besteht aus 56 Lehrkräften, die teilweise in mehreren Schularten unterrichten.

3.1.1 Ziele und Schwerpunkte

Die Ziele und Schwerpunkte der Schulgemeinschaft sind eine erweiterte und allgemeine Bildung als Grundlage für den weiteren Lebensweg der Schüler. Es soll ein vertieftes Grundwissen vermittelt werden. Praktische Fähigkeiten und das theoretische Verständnis lebensnaher Probleme sollen gefördert werden. Schlüsselqualifikationen, wie das Verantwortungsbewusstsein, Teamfähigkeit, Medienkompetenz, Sozialkompetenz und etc. sollen vermittelt werden. Ebenso soll die Nutzung pädagogischer Freiräume, Differenzierung und die Individualisierung der Schüler erlernt werden. Schwerpunkte der Schule bilden ebenfalls die Projekte der Schule zu Themen wie alternative Energien, Multimedia, und weitere.

3.1.2 Leitgedanken Werkrealschule

Die Werkrealschule formuliert ihre weiteren Ziele und Wertevorstellungen in ihren Leitgedanken. Die deutsche Sprache wird als bedeutsam für die Kultur und für einen gepflegten Umgang gesehen. Der Bildungsplan liefert die Grundlage für die schulische Bildungs- und Erziehungsarbeit, die vollzogen wird. Die gegenseitige Wertschätzung, Toleranz und das Vertrauen sind ebenfalls Teil der Leitgedanken. Dazu sollen auch Probleme zwischen Schülern, Lehrern und Eltern fair und gerecht gelöst werden. Die Schüler werden individuell so gefördert, dass eine Stärkung des Selbstvertrauens stattfindet. Dadurch werden Selbständigkeit und Eigenverantwortung der Schüler vorangetrieben.

Die Werkrealschule ist offen für Entwicklungen und Erprobungen zeitgemäßer Lernmethoden und Unterrichtsformen, auch an außerschulischen Lernorten. Dazu finden gemeinsame Projekte und Aktionen statt, die den Zusammenhalt stärken. Die Kooperation mit Eltern, außerschulischen Lernpartnern und anderen Schularten ist ebenfalls Bestandteil des Tagesgeschäfts. Es wird mit regionalen Lehrbetrieben zusammengearbeitet, um die Schüler auf die Berufswelt vorzubereiten. Erwartungen an Eltern sind, dass sie ihren eigenen Erziehungsauftrag erfüllen und eine Mitverantwortung für die Schulqualität übernehmen.

3.1.3 Besonderheiten der Schule

Die Schulgemeinschaft der Real- und Werkrealschule ist eine Ganztagsschule mit offenem Angebot. Dazu zählt das „MIB“ (Zusatzangebote im Mittagsprogramm), in denen z.B. Hausaufgabenbetreuungen und Förderangebote für E+, M+, D+ angeboten werden. Die Schulgemeinschaft hat ein Sportprofil und gilt als „Bewegte Schule“. Es finden Schüleraustausche mit den Partnerstädten in England und Frankreich statt. Zu den Besonderheiten zählen auch die „Trainingswochen“, auf die im nächsten Abschnitt genauer eingegangen werden soll.

3.1.4 Trainingswochen Werkrealschule

„Der Erwerb und das Training der sozialen, personalen und methodischen Kompetenzen stehen im Mittelpunkt von über das Schuljahr verteilten Trainingswochen.“ Dabei werden überfachliche Qualifikationen in der „Trainingswoche“ vertieft um diese anschließend im Regelunterricht anwenden zu können.

Im Rahmen der „Trainingswochen“ fördert die Schule insbesondere:

- Die personalen, sozialen und methodischen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler
- Die Lese- und Textverarbeitungsstrategien
- Die Fähigkeit, Arbeitsprozesse zu planen, zu strukturieren und zu überprüfen
- Die Fähigkeit zur Informationsbeschaffung, -verarbeitung und Ergebnispräsentation

Die Umsetzung der „Trainingswochen“ ist erlebnispädagogisch orientiert. Dazu findet die Planung, Durchführung und Auswertung in Teams, auch mit außerschulischen Lernpartnern, in der Schule oder an außerschulischen Lernorten statt. In einer der Trainingswochen ist z.B. eine Aktion der Klasse 7, der Besuch im Schullandheim.

3.2 Beschreibung der Klasse WR7

Die Klasse 7 der Werkrealschule besteht aus 27 Schülern, von denen 9 weiblich und 18 männlich sind. Die Klasse kann im Allgemeinen als interessiert, aktiv und lebhaft beschrieben werden. Der Unterricht ist durch aktive Übungsphasen der Schüler geprägt.

In der Klasse hat kurz vor der Untersuchung ein Klassenlehrerwechsel und damit verbunden ein Fachlehrerwechsel im Fach Mathematik stattgefunden. Der Fokus des Mathematikunterrichts liegt auf quantitativem Üben und Lernen. Dazu werden differenzierte Aufgaben erstellt, um so möglichst allen Schülern gerecht zu werden und diese optimal zu fördern. Es wird darauf geachtet, dass ein Drittel des Unterrichts durch den Lehrer und zwei Drittel durch eigenständige Übungsphasen bestimmt sind, um so eine aktive Lernzeit zu gewährleisten. Durch die differenzierten Aufgaben werden unter anderem neue Sozialformen eingeführt. Die Selbstständigkeit der Schüler wird durch Eigenkontrollen gestärkt. Im Sinne der Erziehung zur Selbstständigkeit werden die ausliegenden Lösungen von den Schülern zur Selbstkontrolle verwendet. Diese werden in der Regel von der Klasse angenommen und sinnvoll verwendet. Die Schüler müssen für jedes neue Thema im Unterricht selbst eine Einschätzung ihres Niveaus abgeben.

Die Tische des Klassenzimmers sind parallel zur Tafel ausgerichtet und in Reihen aufgestellt. Dadurch können die Übungsphasen ungehindert durchgeführt werden. Das Konzept der „Bewegten Schule“ findet ebenso seinen Platz, da Lösungen und Aufgaben im Raum verteilt werden. Die Schüler erarbeiten diese selbstständig, passend ihres Lernniveaus, ohne für große Unruhen zu sorgen. Dazu werden Hilfskärtchen ausgelegt, auf denen die Schüler geeignete Hilfestellungen zum Bearbeiten der Aufgaben finden, diese können die Schüler selbstständig aufsuchen.

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