Mathematikgeschichte im Mathematikunterricht. Didaktische Ansätze

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Der Vorteil durch Integration von Mathematikgeschichte

3. Das genetische Prinzip

4. Die hermeneutische Methode
4.1 Aspekte der Geschichtsdidaktik
4.2DiehermeneutischeMethode

5. Weitere Methoden

6. Risiken und Grenzen

7. Zusammenfassung

8. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Im heutigen Mathematikunterricht spielt die Geschichte der Mathematik eine untergeordnete Rolle, obwohl ein wesentlicher Mehrwert aus dem Integrieren in den Regelunterricht resultieren kann. Schulbücher und Materialien für den Mathematikunterricht enthalten zum Teil auch Elemente der Geschichte der Mathematik in Form von Biographien, Anekdoten, Bildern von „berühmten“ Mathematikern vergangener Zeit, doch das Potential der historischen Ebene wird meist von Lehrerinnen und Lehrern im Unterricht nicht genutzt. Aber warum? Im heutigen Mathematikunterricht liegt der Fokus eher auf das Integrieren neuer Medien, wie die Arbeit mit dem Computer oder dem Taschenrechner. Diese Technologien unterstützen die Schülerinnen und Schüler¹ bei der Berechnung von Aufgaben oder auch der Visualisierung von Graphen, Figuren, Abbildungen, Statistiken etc.. Im Rahmenlehrplan wird sogar auf den Einsatz dieser Medien eingegangen und Empfehlungen ausgesprochen, wie und in welchem Schuljahr diese einzusetzen sind.² Doch genau dieser Einsatz macht es den SuS fast unmöglich, die Lebenswelten vergangener Mathematik zu erfahren und die gleichen Fehler zu machen, die einst die Mathematiker machten, da diese nicht die gleichen Voraussetzungen hatten. Triviale Rechenleistungen, die in der Vergangenheit zum Teil einige Zeit in Anspruch nahmen, können heute durch die Unterstützung der neuen Technologien beschleunigt werden. Die Erfahrungen, die SuS machen, stehen im Kontrast zu der Entwicklung der Mathematik. Die Geschichte der Mathematik und die Integration dieser in den Mathematikunterricht ermöglichen es den SuS die Mathematik nicht als fertiges Wissenskonstrukt zu erleben, sondern viel mehr den Wandel über die Zeit zu erfahren - Mathematik als kulturelle Entwicklung. Ziel sollte sein, Mathematik sowohl zukunftsträchtig als auch historisch orientiert zu unterrichten. Diese Arbeit dient ausschließlich der Betrachtung der historischen Seite der Mathematik: Mathematikgeschichte im Mathematikunterricht.

Die Geschichte der Mathematik und die Versuche sie im letzten Jahrhundert gewinnbringend in den Mathematikunterricht zu integrieren, waren bisher nicht überzeugend genug, als dass man ihr essentielle Gewichtung in den Rahmenlehrplänen/ Curricula der Schulen schenkte.

„But despite all that has been written and said, in practice, little has been done in the schools themselves. This invites a critical look at the whole project of combining the histor of mathematics and mathematics education.“³

Erste Versuche, einen geschichtsorientierten Mathematikunterricht in Deutschland zu ermöglichen, wagte Felix Klein Anfang des 20. Jahrhunderts mit dem Konzept der genetischen Methode, die Otto Toeplitz angepasst auf die Schulmathematik präzisierte. Beispielhaft orientierten sie sich an Hochschulseminaren, die sie historisch-genetisch aufbereiteten und publizierten. Mehrere Jahrzehnte jedoch war dieses Ziel Kleins und Toeplitz nicht mehr verfolgt worden bis schließlich in den Siebziger Jahren eine zunehmende Rückbesinnung auf diese Art eines Mathematikunterrichts stattfand, als Reaktion auf die „New Math“ Bewegung. Zugleich erkennt man einen Trend in der Gesellschaft zu historischen Elementen und einer Zunahme an Geschichtsbewusstsein. Resultierend nehmen seitdem die Anzahl an Publikationen zur Mathematikgeschichte in der Didaktik zu.⁴ Auch die Rückbesinnung auf Arbeiten von Klein und Toeplitz und ihrer Modifizierung durch Hans Niels Jahnke stellen einen Schwerpunkt dieser theoretischen Arbeit dar.

Der erste Teil dieser Arbeit soll das didaktische Potential der Mathematikgeschichte herausarbeiten. Auf welche Art und Weise kann und wird die Geschichte der Mathematik den Mathematikunterricht und somit auch die Erkenntnisse der SuS nachhaltig prägen. Welche Ziele verfolgen die Mathematikdidaktiker damals und heute, wenn sie Mathematikgeschichte in den Unterricht integrieren wollen? Wie ist die Geschichte der Mathematik in der heutigen Zeit zu sehen? Um diese Fragen zu beantworten, werden Beiträge aus jüngerer Zeit analysiert. Dazu zählen unter anderem Gulikers & Blom (2001), die beide eine Reihe von Vorteilen kategorisieren, Jankvist (2009) hingegen die Vorteile der Mathematikgeschichte für den Unterricht in „Werkzeug“ und „Ziel“ strukturiert, ohne dabei die Verbindung beider zu vernachlässigen. Tzanakis & Arcavi (2000) aus der ICMI Studie summieren Argumente unter fünf Kategorien auf, um auf den Nutzen von Mathematikgeschichte im Unterricht hinzuweisen.

Der zweite Teil der Arbeit ist konträr zum ersten, da sich dieser - und die weiteren - weniger mit dem „Warum“ als mit dem „Wie“ beschäftigen wird.

Im zweiten Teil der Arbeit liegt der Fokus auf dem historisch-genetischen Prinzip Kleins und Toeplitz und deren Versuch, dieses in den Schulunterricht zu integrieren bzw. den Schulunterricht zu reformieren. Welche Ideen und Vorstellungen hatten die beiden Mathematiker mit der Umsetzung der Historie der Mathematik. Zugleich sollen auch die Gegenstimmen berücksichtigt werden, die das Prinzip der historischen Genese ablehnten. Dienlich sind die Ausführungen von Klein und Toeplitz, sowie Kronfeller (1999). Zusätzlich werden vereinzelt Meinungen aus dem 20. Jahrhundert angegeben, sodass eine adäquate Vorstellung des historischen Diskurses zur historisch-genetischen Methode dargelegt werden kann.

Der dritte Teil befasst sich mit der historisch-hermeneutischen Methode von Hans Niehls Jahnke, der grundsätzlich nicht abgeneigt ist Mathematikgeschichte in den Unterricht einfließen zu lassen. Er bestehtjedoch auf eine andere Art der Begegnung mit Geschichte im Mathematikunterricht, die in diesem Teil herausgearbeitet wird. Dazu dient auch die Geschichtsdidaktik, die einen erheblichen Einfluss auf die Methode Jahnkes genommen hat. Welche Vorteile bietet die Geschichtsdidaktik bei dem Versuch, Geschichte der Mathematik in den Mathematikunterricht zu integrieren? Welche ertragreichen und problematischen Erfahrungen hat die Geschichtsdidaktik zu bieten, die die Mathematikdidaktik zu berücksichtigen hat? Dieser Teil der Arbeit wird somit ein Kompositum aus Geschichts- und Mathematikdidaktik mit dem Ziel der historisch-hermeneutischen Methode.

Im nachfolgenden Abschnitt werden noch weitere Möglichkeiten wie zum Beispiel die historische Verankerung nach Hischer betrachtet, welche auch das Ziel verfolgt, Geschichte der Mathematik in den Mathematikunterricht einzubringen. Ob diese vereinbar mit dem ersten Abschnitt oder auch mit einer der beiden Methoden ist, wird sich noch heraussteilen.

Im letzten Teil der Arbeit werden einige Hindernisse und Probleme vorgestellt, die der Integration von Geschichte in den Mathematikunterricht entgegenwirken. Hierzu werden hauptsächlich Arbeiten von Freudenthal (1981) und Vollrath (1968), sowie die ICMI Studie von Fauvel & van Maanen, betrachtet.

Ziel dieser Arbeit ist nun der Versuch eine angemessene Antwort auf die Fragestellung zu geben, wie die Geschichte der Mathematik und ihr Potential nachhaltig die Kultur des Mathematikunterrichts prägen kann und welche gewinnbringende Umsetzung dafür notwendig sei unter Berücksichtigung des aktuellen Forschungsstandes der Geschichtsdidaktik. Dazu ist die Ausführung von Glaubitz (2010) als Strukturierungshilfe für diese Arbeit herangezogen worden. Die zentrale Frage geht somit nicht nur dem Wie sondern auch dem Warum auf den Grund.

Meine These lautet:

Mathematikgeschichte kann den Mathematikunterricht nachhaltig verbessern, Schülerinnen und Schüler zu einem reflektierteren Umgang mit der Schulmathematik anleiten und ihnen Mathematik als kulturelle Entwicklung verdeutlichen und nicht als starres Wissenskonstrukt.

2. Der Vorteil durch Integration von Mathematikgeschichte

In diesem Kapitel werden didaktische Überlegungen über den Vorteil und den Nutzen von Mathematikgeschichte im Mathematikunterricht behandelt. Ist es legitim, in der heutigen technologischen und fortschreitenden Gesellschaft nach den Wurzeln der Mathematik zu fragen? Der Mathematikunterricht ist bereits durch die Forschung und Industrie geprägt. Warum sollen SuS zurückschauen? Die breite Vorstellung über Mathematik als Sammlung von Formeln, Axiomen und Beweisen, die meist nicht verstanden werden, spaltet weiterhin Mathematiker und Nichtmathematiker. Die Kluft wird größer, ohne diese auch zu beabsichtigen. Gerade die Vorstellung gilt es zu brechen, dass Mathematik keine fertige Wissenschaft ist, sondern vielmehr sich einem stetigen Wandel unterzieht und sich weiterentwickelt.

„[Mathematics is] not God-given finished product designed for rote learning“⁵

Tzanakis und Arcavi drücken mit dieser Aussage das Verlangen nach einer neuen und richtigen Vorstellung von Mathematik aus, dass sie nicht als striktes Bündel von Wahrheiten sei, man sich nicht auf feste Strukturen beharren solle, denn Mathematik sei ein überzeitliches Fach, welches sich, wie eingangs schon erwähnt, einem stetigen Wandel aussetzt und als menschliche Errungenschaft anzusehen sei.⁶

„Prominent mathematicians like Felix Klein and Otto Toeplitz believed that history of mathematics could contribute to the learner’s understanding by making visible great lines of development and thereby connecting seemingly unconnected objects.“⁷

Bereits 1968 sah Vollrath dies als erhebliche Schwierigkeit im Mathematikunterricht.

sondern an die in der Schule kennengelemte Mathematik. Sie muß wohl so dargestellt worden sein, daß sie kaum als Glied in einer Kette von Entwicklungen gesehen wird.“⁸

In diesem Zusammenhang sah Jankvist bereits eines der großen Ziele bei dem Versuch, Mathematikgeschichte in den schulischen Mathematikunterricht zu integrieren.

„it is, [...], considered a goal to show students that mathematics exists and evolves intime and space [,..]“⁹

„mathematics is evolving not only in its content, but also in its form, notation, terminology, computational methods, modes of expression and representation.“¹⁰

Die Integration von Mathematikgeschichte in den Mathematikunterricht war bereits am Anfang des 20. Jahrhunderts Schwerpunkt einiger Diskurse. So positionierte sich Zeuthen bereits 1902, dass ein gewisser Umgang mit Geschichte helfen könne, ein besseres Verständnis für die Mathematik zu erlangen.¹¹ Zugleich bietet sie die Möglichkeit, Verbindungen zu knüpfen, die die reine axiomatische Mathematik nicht bieten kann. Somit ist die reine Mathematik, aufgebaut auf Axiomen, zu formal und zum Teil auch trivial. SuS werden eher gelangweilt, als dass sie lebendige Mathematik erleben dürfen und können.¹²

Durch die Geschichte der Mathematik können wir einen lebenden historischen Prozess in Bewegung bringen. Das Nacherleben steht dabei nicht im Mittelpunkt, sondern die eigenen Erfahrungen der SuS.

Doch die Geschichte der Mathematik hat so viel mehr Vorteile, die über das letzte Jahrhundert weitestgehend formuliert wurden in verschiedenen Publikationen - vorrangig in den letzten 30 Jahren auf der ganzen Welt.¹³ Dazu ist es dienlich, die Argumente zu strukturieren. Dies geschieht in Anlehnung an die zu diesem Kapitel herangezogene Literatur. Als Vorbild dient die Struktur von Gulikers und Blom, die Argumente für Geschichte der Mathematik in konzeptionelle, (multi-)kulturelle und motivationale Gründe einordnen und zugleich diese in für SuS und LuL relevante Punkte sortieren, zum anderen „history-as-a-tool“ und „history-as-a-goal“ von Jankvist. Hingegen bieten Tzanakis und Arcavi „nur“ eine Auflistung der Vorteile in den Kategorien „historical development, nature of mathematics, didactical backgrounds, affective predisposition, appreciation of mathematics as a cultural endeavour“. Eine Symbiose nach dem Vorbild von Gulikers und Blom werden die Argumente für das Integrieren von Mathematikgeschichte in den Mathematikunterricht angeführt, ohne sie genau in einen der drei Bereiche zu integrieren.

Die Geschichte der Mathematik bietet sowohl für SuS als auch für LuL eine Steigerung des Interesses am Mathematikunterricht, Mathematik lernen und an der Marterie selbst. Vielleicht haben SuS weniger Angst vor der Mathematik, die sonst sehr formal vermittelt wird. Zusätzlich ist sie motivationsfördernd, da Aufgaben und Probleme der Vergangenheit mehr Spaß und Abwechslung zum sonst so starren Unterricht bietet.¹⁴ Dieses Werkzeug hat nicht primär das Ziel, SuS ein besseres Verständnis von Mathematik zu vermitteln, stellt sich aber als netter Nebeneffekt ein. Es wirdjedoch empfohlen, nicht an Entwicklungslinien festzuhalten, sondern vielmehr die Chance nutzen, dass SuS durch kreative Arbeit die Entdeckungen der Vergangenheit wiedererleben können und sollen.¹⁵ Zugleich können mittels der Geschichte die gesellschaftlichen Einflüsse auf die Entwicklung der Mathematik aufgezeigt werden.¹⁶

Die Geschichte der Mathematik gibt auch den SuS Vertrauen in sich selbst und ihre Fähigkeiten, da Fehler gemacht wurden und weiterhin werden und Irren menschlich sei.¹⁷ SuS können die Blockaden, die Mathematiker in der Vergangenheit erfahren haben, neu erleben - aus einem anderen Blickwinkel jedoch.¹⁸ Es erlaubt uns narzisstisch zu sein, da wir als reflektierter gelten als die Vergangenheit.¹⁹ Dies resultiert jedoch aus der Vorstellung, dass sich mit der Zeit die Mathematik natürlich weiterentwickelt hat und wir davon nur profitieren können.

„Both students and teachers benefit, [,..].“²⁰

Tzanakis und Arcavi betonen bei dem Nutzen, dass für SuS ein einfacherer Zugang zur Mathematik gemeint ist und LuL bei der Vorbereitung Gelegenheiten zur Verbesserung des Unterrichts erhalten.

Für LuL entsteht auch bei der Durchführung des Unterrichts eine neue Gruppendynamik, ein lebendes Klassenzimmer. In diesem Unterrichtsklima können SuS nachhaltig erfolgreicher lernen, da sie Inhalte individuell erfahren. Außerdem bietet der Unterricht mit mathematikhistorischen Elementen LuL bei der Erarbeitung die Möglichkeit neue Einsichten zu entwickeln, die sich ebenfalls positiv auf den Erfolg des Unterrichts auswirken.²¹ Schließlich vermitteln LuL ihre eigenen Vorstellungen von Mathematik an ihre SuS weiter. SuS verbessern dadurch weitere Kompetenzen, wie das Lesen und Schreiben, die Quellenrecherche, Dokumentieren, Diskutieren, Analysieren und Kommunizieren, anstatt nur Mathematik zu machen.²²

Die aktuellen Inhalte, welche in der Schulmathematik gelehrt werden, erwecken den Anschein, dass sie überwiegend westlich geprägt seien und somit eine Entwicklung der westlichen Welt sei.²³ Gerade hier kann und soll die Geschichte der Mathematik intervenieren, denn in multiethnischen Klassen fördert sie Toleranz für andere Denkweisen und Respekt zu anderen Kulturen. Jankvist sieht in diesem Argument ein „Goal“ der Mathematikgeschichte, dass SuS Mathematik als stetiger Entwicklungsprozess aus unterschiedlichen Einflüssen resultiert erfahren.²⁴ SuS können sich somit auch mit ihrer Kultur im Unterricht identifizieren und ein Gemeinschaftsgefühl entwickeln, welches sich nachhaltig auf das Klassenklima auswirkt. Radford (2007) stellt die These auf, dass der menschliche Verstand eng mit seinem kulturellen Verstand verbunden sei.²⁵ Mathematik solle man nicht von anderen Fächern isolieren, denn Mathematik übte früh in der Geschichte Einfluss auf andere Wissensgebiete. Geschichte der Mathematik ermöglicht einen fächerübergreifenden Unterricht, der zugleich auch wieder motivierend ist. Auch einzelne Teilgebiete der Mathematik, die auf den ersten Blick nicht vereinbar sind, können verbunden werden.²⁶ Die Einflüsse sind nicht implizierend, sondern äquivalent. Auch andere Wissenschaften haben die Mathematik erheblich beeinflusst. Als Beispiel dient die Physik, denn Thermodynamik ist ohne Vektormathematik nicht vorstellbar. Die Geschichte der Mathematik dient somit als Brücke zu anderen Wissensgebieten und kann die Interessen der SuS erweitern.²⁷

Relevant für SuS ist in diesem Zusammenhang, dass die Geschichte der Mathematik ihre eigenen Gründe liefert, in den Augen der SuS eine Daseinsberechtigung erhält und warum Mathematik in der heutigen Gesellschaft essentiell ist. Mathematik bekommt durch das Erkennen der kulturellen Einflüsse der Vergangenheit ein menschlicheres Bild - Ziel und Konsequenz für den Einsatz von Mathematikgeschichte - und wird für SuS greifbarer. Mit welchen Möglichkeiten, dieses Ziel erreicht werden kann, soll an späterer Stelle nochmal genauer betrachtet werden.²⁸

Konzeptionell muss erwähnt werden, dass durch die Integration und die Bearbeitung von historischen Problemstellungen für LuL neue Einsichten entstehen können, die die Fehlerkultur der SuS betreffen. Gulikers und Blom bezeichnen dieses Phänomen als „Parallelismus“. Die Schwierigkeiten von SuS heute, zu Personen der Vergangenheit, ähneln sich sehr. Probleme der Vergangenheit, die Mathematiker/-innen lange beschäftigten, können heute weiterhin als Aufgaben im Mathematikunterricht gestellt werden.²⁹

„It helps the teacher to better understand errors and misconceptions in certain topics and thus can help to explain what today’s pupils find hard.“³⁰

Es hilft LuL durch die Augen ihrer SuS zu sehen. Gerade hier sehen jedoch Tzanakis & Arcavi ein Problem, dass LuL eine intensivere Vorbereitung der Inhalte erbringen und sich dem bewusst werden müssen, welche Schwierigkeiten und Hindernisse auch im Klassenzimmer entstehen könnten.³¹

Für LuL bietet es unter anderem jedoch die Möglichkeit, ihr didaktisches Repertoire zu erweitern, indem sie eine alternative Möglichkeit erhalten, um die Problemlösekompetenz zu fördern - kreatives Denken und entdeckendes Lernen steht im Mittelpunkt bei der Herangehensweise an historisch orientierten Aufgaben.³² LuL können und dürfen miterleben und werden sensibilisiert für die Andersartigkeit vergangener Mathematik. Denn ihre Aufgabe ist es, die Ur- Motivation hinter einer Entwicklung zu identifizieren und diese Ursprungsfrage den SuS zu stellen, da die Lehre in ihrer modernen Form dies vernachlässigt.³³

„history could at best suggest possible ways to present the subject in a natural way, by keeping to a minimum logical gaps and ad hoc introduction of concepts, methods and proofs.“³⁴

Zugleich sollten SuS einen reflektierenden Umgang mit der Vergangenheit erhalten.

„Step away from „just doing mathematics“ to thinking and speaking about what they are doing, and then step back to doing, but now doing it more deliberately.“³⁵

Ähnlich sieht es auch Radford, der das Schülerverhalten in den Mittelpunkt setzt. Dieses sei notwendig, jedoch nicht hinreichend für einen Wissenszuwachs. Vielmehr sei es wichtig, historische mathematische Zusammenhänge zu reflektieren und zum Teil auch kritisch zu sehen.³⁶ Jankvist merkt an, dass ein anderer Blickwinkel auf die mathematischen Inhalte das Lernen von Mathematik fördere. Auf welcher Ebene dasjedoch geschehe, nennt er nicht.³⁷

Jahnke erwähnte bereits 1998, dass ein anderer Zugang zu Mathematik durch die Behandlung der historischen Aspekte einem vertieften Verständnis diene, sofern man sich auf den Dialog mit der Quelle/Vergangenheit einlasse. Denn nur durch die Konfrontation mit der Andersartigkeit könne man Historisches in Beziehung setzen mit seinen eigenen Vorstellungen.³⁸ Eine Wissenstransformation sei auch begrenzt durch die eigenen erlebten Erfahrungen.³⁹

„Reading old sources gives a better insight in the essence of what mathematics is.“⁴⁰

Interessant ist jedoch, dass Gulikers & Blom der Meinung sind, dass durch die Entwicklung und Verbesserung der Mathematik dazu führe, dass es leichter sei, Mathematik zu lernen.⁴¹ Eigentlich ist es doch so, dass sich die Methoden/Herangehensweisen zur Lösungsfmdung geändert haben. Motivation ist neben der Verbesserung der Mathematik auch die ästhetische Verbesserung, Aufgaben und Probleme eleganter zu lösen. Ob sich aus verkürzten mathematischen Lösungswegen nachhaltig ein besseres Verständnis von Mathematik entwickelt, steht genau im Kontrast zu den hier vorangestellten Meinungen. Denn die Vorstellungen von „mathematics-in-its-making“ steht im Konflikt mit denen, die „mathematics-in its-end-product“ vermitteln. Geschichte sei dabei notwendig, aber nicht hinreichend.⁴² Die Entwicklung der Mathematik resultiert somit auch aus

„aesthetic criteria, intellectual curiosity, challenge and pleasure, recreational purposes etc.“⁴³

Gerade Schulbücher vermitteln den Anschein, dass Mathematik als Endprodukt und -gerüst so existiere und zu lehren sei ohne Erkenntnisse zu beabsichtigen.

Aufgaben werden im gegenwärtigen Mathematikunterricht eher angewendet, um SuS auf die bevorstehenden Prüfungen vorzubereiten. Die Ähnlichkeit zwischen Übungsaufgaben und Klausuraufgaben ist merklich erkennbar, Individualität oder andere Problemsituationen passen nicht in das Schema. Die Aufgabenkultur vermittelt die gleiche Vorstellung, dass die Mathematik auf den zu lehrenden Gebieten keine weiteren Erkenntnisse liefern könne. Eine Nebenrolle nehme nur die Entwicklung der Mathematik bis zur Gegenwart an und damit auch die Motivation, diese zu erfahren.⁴⁴ Die Einordnung von mathematikgeschichtlichen großen Entwicklungen behandelt schließlich die Errungenschaften, die die Mathematik nachhaltig prägten.⁴⁵

„The general cultural background can often suggest why mathematical concepts have developed in particular ways at particular times. Conversely, historical mathematical works can often throw a fresh light on the surrounding culture of the day a fact which general historians usually forget.“⁴⁶

Die Geschichte enthüllt die kulturellen Aspekte der Mathematik und kann erklären, welche Intention hinter einer Entwicklung stand. „Mathematic-in-its- making“ bietet den SuS die Möglichkeit, durch eine angemessene Integration eigene Fragen stellen zu können und möglicherweise sogar zukünftige Trends der Mathematik zu sehen.⁴⁷

Warum können diese Elemente - gerade auch die Vorteile, die die Geschichtsdidaktik liefern kann - nicht auch nützlich für das tiefere Verständnis von SuS zu Mathematik sein und didaktisch aufgearbeitet und methodisch angemessen in den Mathematikunterricht integriert werden?

„history of mathematics as a collection of interesting mathematical problems some of which were suitable to be treated at school.“⁴⁸

Popp (1968) und Cofman (1999) haben beide Sammlungen an historischen Aufgaben für den Mathematikunterricht zusammengestellt. Die Aufgaben und Materialien von Cofman bietet für LuL die Möglichkeit, nach Themengebieten und Alter der SuS Aufgaben zu wählen, die bereits durch die langjährige Erfahrung der Autorin reflektiert aufgearbeitet wurden. Gerade der Unterricht von historischen Elementen der Mathematik kann den SuS verschiedene Aspekte zu einem Gegenstand aufzeigen und gibt notwendige Einsichten.⁴⁹ Dass Mathematik veränderlich ist und somit einen sozialen Charakter aufweist, geht durch die gegenwärtige Aufgabenkultur verloren. Gerade Beweise gelten nur dort, wo sie auch allgemein von der Gesellschaft anerkannt werden und sind damit nicht überzeitlich. Für SuS ist veränderliches Wissen greifbarer. Zugleich erhält die Mathematik einen subjektiveren Charakter, wenn SuS bestimmte Entwicklungen mit Personen in Verbindung setzen können. Dies kann auf unterschiedliche Art und Weise geschehen - dazu später mehr.

„Traditional teaching of mathematics begins at points where the historical process ends and makes it increasingly difficult for pupils to come to grip with the field.“⁵⁰

Auch Rogers formulierte bereits 1978 seine Vorstellung vom Mathematikunterricht und dass Geschichte der Mathematik ein fester Bestandteil des schulischen Mathematikunterrichts sein sollte, da SuS einen einfacheren Zugang zur Mathematik haben können. Genauso sieht es auch Scriba, der hingegen die verschiedenen Ebenen der Mathematik als wesentlich anerkennt:

„Mathematik darf nicht als isolierte Wissenschaft und reines Erkenntnisgebilde verstanden werden, sondern sie muss - insbesondere im Unterricht - in ihren wissenschaftlichen, kulturellen und sozialen Zusammenhängen und Verflechtungen gesehen und vorgestellt werden.“⁵¹

Hier lokalisiert Scriba den Vorteil darin, verschiedene Blickwinkel zu einem Gesamtbild zusammen zu fügen und aus dieser intellektuellen Leistung einen Nährwert für die SuS generieren zu können. Interessant ist der Ansatz, dass die Entwicklung der Mathematik bei den aktuellen Curricula der Schulen kaum Berücksichtigung erfährt gar die Vorstellung davon. Neue Erkenntnisse werden linear strukturiert und mit alten Wissensständen kumuliert. Diese Art von Wissensaufbau bei SuS anzuwenden, entspricht nicht der historischen Entwicklung.⁵²

Jahnke (1998) sieht den klaren Vorteil der Geschichte der Mathematik darin, dass sich nicht nur die Mathematik weiterentwickelt hat, sondern auch einzelne Begriffe sich einem Wandel unterzogen haben. Es sei ein anderer Zugang zur Mathematik mit dem Ziel, die Entwicklung mathematischer Begriffe, Bezug zur Anwendung, Kultur und Philosophie zu ermöglichen und den Zusammenhang zu Personen zu schaffen, die sie auch entwickelt haben - ein menschlicheres Bild von Mathematik. Er betont, wie oben bereits erwähnt, dass neben der Begriffsentwicklung auch die Rolle der Mathematik in unserer Welt und eine subjektivere Seite der Mathematik die Vorteile bilden. Denn sowohl Ziele und die Intention mathematischer Begriffsbildung als auch Verfahren, alternative Lösungswege und persönliche Aspekte, dienen der einfacheren Verständlichkeit der Mathematik und bieten Abwechslung. Mit welchen Möglichkeiten dies jedoch im Unterricht umgesetzt werden soll, wird in den nächsten Kapiteln erklärt.⁵³

„Die mathematischen Ideen, Begriffe und Techniken sind irgendwann einmal aus konkreten Fragen, die Menschen gestellt haben, entstanden, und wenn man zu dieser Entstehung zurückgeht, sollte sich ihre Bedeutung besser erschließen. Dahinter steht die Idee der Partizipation.“⁵⁴

Ähnliche Ziele sieht auch Bernard (2014) in der Entwicklung des Mathematikunterrichts.

,,[...]the teaching of science in general, and of mathematics in particular, is now meant to be deeply ,cultural‘: this means, in particular, that it includes more history, more epistemology and more facts concerning the society at large.“⁵⁵

Mathematikunterricht soll und muss Erkenntnisse liefern, mit denen die SuS Möglichkeiten haben, andere Problemsituationen zu verstehen und sie anzugehen, ohne Angst sie vielleicht doch nicht lösen zu können.

Viele Publikationen vermitteln den Eindruck, dass durch Integration der Geschichte der Mathematik einige Vorteile den Mathematikunterricht nachhaltig beeinflussen können. Zum einen sind es motivationale Gründe, die SuS einen enormen Anschub geben können, dass Mathematik nicht eine Qual ist, sondern mit Freude erlebt wird - zugleich auch Freude am Geschichtsunterricht bewirken kann. Ebenso bietet es die Möglichkeit, ein adäquateres Bild von der Mathematik zu vermitteln.

,,If we consider that education involves not only informing students of what is known or how things are done but also forming students4 thinking, their own self-awareness as intelligent beings, and their own relationships to their world, then an educational framework for history of mathematics in mathematics would have to attend to precisely this kind of mix of the objective and subjective.“⁵⁶

Letztendlich können die vorher genannten Vorteile von Mathematikgeschichte und ihre Integration in den Mathematikunterricht in drei wesentliche Merkmale zusammengefasst werden:

- Die Geschichte der Mathematik lässt Mathematik menschlicher erscheinen und zeigt Mathematik als eine gesellschaftliche Errungenschaft in ihrer kulturellen Entwicklung.
- Die Geschichte der Mathematik macht Mathematik interessanter, abwechslungsreicher, verständlicher und somit auch leichter für SuS, sich ihr anzunähem.
- Die Geschichte der Mathematik gibt Einsichten in Konzepte, Strukturen, Probleme und ihrer Problembewältigung und fördert damit Kompetenzen, die sonst eher als Nebeneffekt weiterentwickelt werden.

Vielleicht können die Methoden der nächsten Kapitel genau diese Ziele umsetzen, denn LuL sind heutzutage mehr darauf angewiesen, Wissenschaften und besonders Mathematik mit ihren kulturellen Einflüssen zu unterrichten, wie auch die Motivation von Katz wiederspiegelt.

„By an historical approach to calculus, I do not mean simply giving the historical background for each separate topic or giving a biographical sketch of the developers of various ideas. I do mean the organization of the topics in essentially their historical order of development as well as the discussion of the historical motivations for the development of each of these topics, both those within mathematics and those from other scientific fields.“⁵⁷

Katz meint damit, dass er eine Gestaltung des Mathematikunterrichts erreichen möchte, der an die Entwicklung der mathematischen Inhalte anknüpft, um sie chronologisch aufzubauen. Schließlich entwickelte sich die Mathematik auch über die Zeit von der historischen Motivation über Ideen, Vorstellungen und Meinungen zu der gegenwärtigen Mathematik. Diese Idee der Entwicklung auch im Lernen der SuS ist ähnlich zu sehen zu dem Modell der „Zone der nächsten Entwicklung“ nach Wygotski. So bezeichnete er die Stufe der nächsten Entwicklung der SuS individuell als reifender Prozess und noch nicht abgeschlossen. Verläuft die Entwicklung der Mathematik nicht ähnlich? Ist sie nicht ein fortlaufender Prozess, der sich in Stufen weiterentwickelt wie die Menschheit oder das Individuum selbst? Kann man nicht etwa die Entwicklung der Mathematik mit der Entwicklung der SuS parallel sehen und ihnen somit die Entstehung der heutigen Mathematik anhand ihrer Entwicklungslinien darlegen?

Diesem Gedanken wird im nächsten Kapitel nachgegangen.

[...]

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¹ Im Weiteren mit SuS abgekürzt. LuL steht für Lehrerinnen und Lehrer. Der Einfachheit halber steht im Weiteren die männliche Form stellvertretend für beide Geschlechter.

² Lehrplan Mathematik Realschule 5-10, S.6.

³ Fried 2001, S.391.

⁴ Vgl. zuKronfellner 1998, S.l.

⁵ Tzanakis & Arcavi 2000, S.206.

⁶ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.206f.

⁷ Jahnke2014. S.76.

⁸ Vollrath 1968, S. 108.

⁹ Jankvist2009, S.239.

¹⁰ Tzanakis & Arcavi 2000, S.205.

¹¹ Vgl. zu Radford et al. 2007, S. 108.

¹² Vgl. zu Siu & Siu 1979, S. 563f.

¹³ Vgl. zu de Vittori 2018, S.125.

¹⁴ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.204.

¹⁵ Vgl. zu Gulikers&Blom 2001, S.230. Vgl. zu Jankvist 2009, S.239. Vgl. zu Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.206.

¹⁶ Vgl.zuEbd., S.207.

¹⁷ Vgl. zu Siu & Siu, 1979, S.566.

¹⁸ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.207.

¹⁹ Vgl. zu Radford 2007, S.109.

²⁰ Tzanakis & Arcavi 2000, S.207.

²¹ Vgl. zu Gulikers & Blom 2001, S.230.

²² Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.205.

²³ Vgl.zuEbd., S.207.

²⁴ Vgl. zu Jankvist 2009, S.239.

²⁵ Vgl. zu Radford 2007, S.108.

²⁶ Vgl. zu Gulikers & Blom 2001, S.229.

²⁷ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.205.

²⁸ Vgl. zu Gulikers & Blom 2001, S.229. Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.205.

²⁹ Vgl. zu Jankvist 2009, S.238.

³⁰ Gulikers & Blom 2001, S.226f.

³¹ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.206.

³² Vgl. zu Gulikers & Blom 2001, S.228.

³³ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.206.

³⁴ Ebd„ S.204.

³⁵ Gulikers & Blom 2001, S.227.

³⁶ Vgl. zu Radford 2007, S.108.

³⁷ Vgl. zu Jankvist 2009, S. 238.

³⁸ Vgl. zu Jahnke 1998, S.4. Vgl. zu Radford 2007, S.109.

³⁹ Vgl.zuEbd., S.107.

⁴⁰ Gulikers & Blom 2001, S.227.

⁴¹ Vgl.zuEbd., S.227.

⁴² Gulikers & Blom 2001, S.228. Vgl. zu Siu & Siu 1979, S.563.

⁴³ Tzanakis & Arcavi 2000, S.207.

⁴⁴ Vgl. zu Gulikers & Blom 2001, S.228.

⁴⁵ Vgl.zuPoppl999,S.50.

⁴⁶ Flegg 1978, S.68.

⁴⁷ Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.204f.

⁴⁸ Jahnke2014, S.75.

⁴⁹ Vgl. zu Siu & Siu 1979, S.564.

⁵⁰ Rogers 1976, S.306.

⁵¹ Scriba 1983, S.116.

⁵² Vgl. zu Tzanakis & Arcavi 2000, S.204.

⁵³ Vgl. zu Jahnke 1998, S.4.

⁵⁴ Ebd„ S.4.

⁵⁵ Bernard 2014, S.92.

⁵⁶ Fried 2016, S.215.

⁵⁷ Katz 1993, S.243.