Der Gödelsche Beweis - oder die Geburt der Postmoderne aus dem Geist der Mathematik

Der Gödelsche Beweis

oder

Die Geburt der Postmoderne aus dem Geist der Mathematik

1 Einleitende Dar- und Klarstellung

Kaum etwas eint so sehr, wie die gemeinsame Abneigung gegen einen Dritten. In Konkretion dieser alltäglichen Beobachtung führt auch die Mathematik so antipodisch sich gerierende Lager wie das technisch-revolutionär fortschreitende und das geisteswissenschaftlich-ahnungsvoll ambitionierte zusammen: in den Verkennungen, deren Gegenstand sie abgibt.

Während Techniker die Mathematik bestenfalls für eine Hilfswissenschaft und eigentlich für überflüssig halten, sobald sie einen Mathematiker gefunden haben, der langsamer rechnet als sie selbst, sind kulturell beflissene Gemüter immerhin bereit, den so Gekränkten mit schönen Beileidsbekundungen ob seines trockenen und unkreativen Berufes zu salben. Ohne allerdings bei dem Bekenntnis, mit der Mathematik gerade einmal orthographisch vertraut zu sein, auch nur ansatzwei- se jene Scham zu entwickeln, die sie wiederum einem Techniker abverlangen, der zugibt, keinen Kleist zu kennen.

Zugrunde liegt dem allemal die Vorstellung, die Mathematik sei recht besehen eben keine Wissenschaft, gleich gar keine schöpferische, sondern eine Art stupider Mähdrescher, der - aus ein paar antiken Grundlagen zusammengeschraubt - in- zwischen alle halbwegs (weil natürlich höchstens für die Techniker) interessanten Felder abgegrast hat. Mathematiker, die sich kein ordentliches Kreuzworträtsel leisten können, knobeln daher vielleicht noch an so Fermatschen Problemen und dergleichen rum - was aber eher dem kurzweiligen Unterfangen gleichkommt, mit besagtem Mähdrescher ein Gänseblümchen zu pflücken. Jedenfalls grassiert die Überzeugung, weil die Mathematik ”absolutlogisch“sei,wäreallesdarinnen restlos und für alle Zeiten festgeklopft, frei von Unstimmigkeiten, vollständig be- stimmt und so weiter. Es läßt sich nicht leugnen, daß Mathematiker lange Zeit zu dieser Sichtweise beigetragen haben, die bei ihnen in einem Wunschdenken wurzelt, welches sich an die bereits in der Antike begonnene Wandlung der Ma- thematik von der beobachtenden zur deduktiven Disziplin knüpft. Insbesondere in der Geometrie hatte man herausgefunden, daß man all die vielen Gesetzmäßig- keiten, die man aus der Erfahrung kannte, aus relativ wenigen und unmittelbar einleuchtenden Grundannahmen logisch herleiten konnte. Die axiomatische Me- thode war geboren.

Faßt man, wie es zunächst ganz natürlich geschah, die Axiome einer Theorie (z.B. eben der Geometrie) als wahre Aussagen über real erlebbare Sachverhalte auf, so kommen Fragen wie etwa die nach der Widerspruchsfreiheit des Systems überhaupt nicht in Betracht: in der Welt kann ein Sachverhalt nicht zugleich mit seiner Negation bestehen. (Daß dahinter die sehr idealistische Gestalt eines ”güti- gen Schöpfers“ steht, der uns den logischen Verstand nicht gibt, um ihm nachher mit Widersprüchen hohnzusprechen, fällt kaum jemandem auf, bzw. war lange Zeit ohnehin Kanon.)

Es stellte sich jedoch bald heraus, daß durchaus nicht widerspruchsfrei sein muß, was uns anschaulich zunächst einleuchtet¹. Nachhaltig erschüttert wurde diese eigenartige Mischung aus Intuition, um nicht von allzumenschlicher Willkür zu reden (in der Auswahl der Axiome) und logischer Strenge (in der Durchführung der darauf gegründeten Theorien) erst im vorigen Jahrhundert, als ein Einfall Georg Cantors, die abstrakte Mengenlehre, das Glück hatte, einige Furore zu machen, bevor unverbesserliche Nörgler die Widersprüche in der doch nach best- bekannter intuitiv-axiomatischer Manier eingeführten Theorie aufzeigten². Weil sich bereits andeutete, daß die Mengenlehre einen außerordentlich fruchtbaren Boden für nahezu die gesamte Mathematik abgeben könnte, wurde einige Mühe darauf verwandt, die aufgetretenen Mißstände zu beheben. Und siehe da: das ließ sich machen. Wenn man dem ”gesundenMenschenverstand“beiderBegriffs- bildung das Heft aus der Hand nahm und die Axiome so geschickt ausklügelte, daß sie keiner Antinomie eine Angriffsfläche boten. Nun aber war ein Stein ins Rollen gebracht, man konnte keiner Axiomatik mehr blindlings trauen, nicht einmal der euklidischen; die Mathematik erlebte eine Grundlagenkrise. David Hilbert war es, der auf dem Mathematikerkongreß 1901 mit seinem ”Programm zur Rettung der Mathematik“ einen Weg zu ihrer Überwindung weisen wollte. In Erwägung, daß sich weite Teile der damaligen Analysis auf die Geometrie, diese unter Umständen auf die Arithmetik, und die wiederum auf das Modell der natürlichen Zahlen zurückführen ließen, forderte er, eine axiomatische Theorie zu schaffen, die

1. wenigstens das Modell der natürlichen Zahlen enthalten, und
2. ihre eigene Widerspruchsfreiheit mit finiten Methoden beweisen können sollte.

Und Kurt Gödel war es, der 1931 zeigte, daß genau das nicht geht.

Was nicht heißt, daß die Widerspruchsfreiheit des arithmetischen Modells der natürlichen Zahlen nicht bewiesen werden könnte. Jedoch müssen dazu als Beweismittel Theorien herangezogen werden, deren eigene Widerspruchsfreiheit (und damit Gültigkeit in unserem doch immer noch sehr anspruchsvoll-idealistischen Sinne) noch unklarer ist als die des fraglichen Modells.

2 Widerspruchsfreiheit und sonstige Wünsche

Es soll nicht der Eindruck entstehen, die Mathematik wolle sich als vorausset- zungslose Wissenschaft darstellen. Das tut sie nicht einmal in der ganz formalen Logik, wo sie als ein sozusagen postmodernes reines Sprachspiel auftritt. So pa- radox es klingt: daß Bertrand Russel mit seinem Bonmot, die reine Mathematik sei jene Disziplin, bei der man weder weiß, worüber man spricht, noch ob das, was man sagt wahr ist, ziemlich ins Schwarze trifft, läßt sich am besten an Beispielen zeigen. Eines ist das bekannte euklidische Parallelenaxiom für die Geometrie, welches besagt, daß es durch einen gegebenen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden genau eine Parallele zu dieser Geraden gibt. So weit, so einleuchtend. Doch wenn dieses Axiom klug gewählt ist, so folgt es nicht aus den anderen, denn sonst wäre es ja überflüssig. Nun, es ist klug gewählt, und man kann es problemlos z.B. durch das Axiom ersetzen, daß es durch einen gegebenen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden keine Parallele zu dieser Geraden geben soll. Oder mehrere. Freilich muß man sich dann von der üblichen Vorstellung einer Ge- raden verabschieden und daran gewöhnen, daß es sich um einen Begriff handelt, der lediglich durch seine Beziehungen zu anderen Begriffen desselben Systems bestimmt ist (in diesem Fall den Punkten, die ihrerseits nur aus ihrer Unterschei- dung von und Beziehung zu den Geraden bestehen). Statt könnte man also ebensogut ”Punkt“und ”Gerade“ ”Lampe“und ”Teddy“sagen,ohneamSachverhalt etwas zu ändern, denn diese Begriffe werden ausschließlich durch die axiomati- schen Aussagen definiert, in denen sie auftreten - und Namen sind Schall und Rauch...

Wenngleich sich für die erwähnte Abwandlung der euklidischen Geometrie durch- aus Modelle finden, liegt der Gedanke nahe, daß das gar nicht so wichtig sei. Denn eine mathematische Theorie ist eben nicht mit einem eventuellen Modell gleich- zusetzen, das sie realisiert, sondern sie ist eine logische Konstruktion. Das heißt, sie besteht aus Formeln³, die sich nach bestimmten Regeln aus Zeichen zusam- mensetzen. Ohne daß diese Zeichen irgendetwas müssen. Selbst ”bedeuten⁴ “ die Regeln, nach denen aus bereits gebildeten Formeln weitere abgeleitet wer- den, können einigermaßen beliebig für jede Theorie festgelegt werden. Das heißt, daß wir die Logik innerhalb einer abgeschlossenen Theorie (durchaus verschie- den von unserer üblichen!) selbst bestimmen können. Wir wollen jedoch nicht übersehen, daß wir bei der Betrachtung der Theorie ”vonaußen“,beiderEnt- scheidung, ob eine Zeichenfolge eine Formel unserer Theorie ist oder nicht (sofern wir das entscheiden können!) eine minimalisierte Form der klassischen Logik ver- wenden. Hier deutet sich ein weiteres Problem neben der Widerspruchsfreiheit an: das Problem der Entscheidbarkeit. Wann ist eine Zeichenfolge Formel ei- ner gegebenen Theorie? Nun, wenn sie sich in endlich vielen Schritten nach den Ableitungsregeln der Theorie aus den Axiomen der Theorie bilden läßt. Frei- lich lassen sich nach den oben erwähnten Regeln zur Zeichenzusammensetzung womöglich auch Zeichenketten bilden, die nicht aus den Axiomen ableitbar sind. Kann man an dieser Stelle problemlos den Begriff der Wahrheit (im Sinne der Theorie) einführen? Oder ist nur ableitbar gleich wahr? Das führt (der Pragma- tismus läßt grüßen) zu völlig unbefriedigenden Ergebnissen. Beispielsweise hat sich nämlich herausgestellt, daß man Aussagen innerhalb der Theorie der ebenen Geometrie aufstellen kann, die aus den euklidischen Axiomen der ebenen Geo- metrie nicht ableitbar, aber gleichwohl wahr sind⁵. Diese Feststellung begründet folgende Einteilung: eine Theorie, aus deren Axiomen jede innerhalb der Theorie wahre Aussage mit den Ableitungsregeln der Theorie in endlich vielen Schritten gewonnen werden kann, heißt vollständig. Andernfalls heißt sie unvollständig. Zurück zur Widerspruchsfreiheit: wie können wir von einer gegebenen Theorie beweisen, daß sie widerspruchsfrei ist? Grundsätzlich tun sich zwei Möglichkei- ten auf. Erstens: Wir haben ein Modell für unsere Theorie (sei’s z.B. das, was wir ”dieRealität“nennen),vondemwirfestglauben,daßeswiderspruchsfrei sei. Zweitens: Die metatheoretische Aussage ”DieTheorieistwiderspruchsfrei.“

hat eine Entsprechung innerhalb der Theorie, die dort ableitbar ist. Eine dritte Möglichkeit, wir deuteten es bereits an, ist die Einbettung der zu untersuchenden Theorie in eine umfassendere Konstruktion, innerhalb derer ihre Widerspruchs- freiheit ableitbar ist. Jedoch werden wir auf diesem Wege immer nur eine Verlage- rung des Problems erreichen, denn die Frage nach der Widerspruchsfreiheit dieser umfassenderen Konstruktion berührt natürlich auch wieder die unserer kleinen Ausgangstheorie.

3 Worum es eigentlich geht

Gödels Resultate haben, nachdem sie längere Zeit überhaupt nicht beachtet wur- den, für Aufregung deutlich über die Mathematik hinaus gesorgt. Es sah so aus, als sei hier einem damals 25-jährigen Mathematiker gelungen, was seit jeher ein weitgehend uneingelöster Anspruch der Philosophen war: eine echte, gehaltvolle, nicht wie üblich tautologische Aussage über ”dieWelt“(diespätestensinunserm Kopf eine Welt der Gedanken ist) auf rein gedanklichem Wege, quasi durch einen logischen Kurzschluß, statt auf den verschlungenen Trampelpfaden der Naturwis- senschaften zu erreichen. Worin bestehen nun diese Resultate? Gödel zeigte, daß es schon für die klassische Arithmetik keinen Widerspruchsfreiheitsbeweis geben kann, der in der arithmetischen Theorie selbst darstellbar wäre. Was ist daran nun so traurig? Aus dem Verlauf des zu der schockierenden Be- hauptung gehörigen Beweises ergibt es sich, daß der Mißstand ausdrücklich nicht durch Ausbau der arithmetischen Theorie, durch irgendwelche Erweiterungen be- hoben werden kann. Vielmehr zeigt sich, daß jeder Theorie, die umfassend genug ist, wenigstens das System der natürlichen Zahlen und ihrer Arithmetik abzubil- den, eben dieser Weg zum Beweis ihrer eigenen Widerspruchsfreiheit verwehrt ist. Was pikanterweise bedeutet, daß das, was durch Gödels Arbeit geschehen schien, eben nicht funktioniert: die Gewinnung von wahren (in dem sehr abgeschwächten Sinne von: widerspruchsfreien) und einigermaßen aussagekräftigen Theorien aus dem logischen Nichts, d.h. die ihre Wahrheit (eher: Möglichkeit) wenigstens im stark modifizierten Sinne von Widerspruchsfreiheit selbst beweisen. Folglich ver- bleiben für solcherart mächtige Theorien, daß in ihnen immerhin über die natürli- chen Zahlen gesprochen werden kann, nur die beiden anderen Wege zum Beleg, daß sie wenigstens widerspruchsfrei sind: der eher naiv-experimentelle Weg, ein Modell der Theorie zu finden und darauf zu vertrauen, daß dessen Existenz für sei- ne Widerspruchsfreiheit einsteht, und der eher spirituell anmutende: das infinite Fortschreiten zu immer komplexeren Theorien, die einander sukzessive ihre Wi- derspruchsfreiheit gewähren, wobei man implizit darauf hofft, die Unendlichkeit, die das entstehende Gebilde aufsaugt, als einen finit handhabbaren Begriff fassen zu können, der dann die Widerspruchsfreiheit der einzelnen Theorien ableitbar macht. Nein, eine hoffnungsvolle Arabeske gibt es an dieser Schlußkette noch: es könnte sich als möglich erweisen, die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik mittels einer Theorie zu beweisen, die weniger komplex ist, als die Arithmeit selbst, was ihr eventuell gestatten würde, auch gleich ihre eigene Widerspruchsfreiheit zu be- weisen. Allerdings bestehen derzeit keine aussichtsreichen Vorstellungen darüber, wie eine solche Theorie aussehen sollte.

In jedem Falle wollen wir bedenken, daß Gödels Darlegungen durchaus keine in- nere Angelegenheit der Mathematik sind (jedenfalls nicht, wenn man Mathematik lediglich als virtuose Rechenkunst versteht und nicht wie ein berühmter Physiker als ”höhereFormderPhilosophie“*fg*).DennnatürlichbetrifftdasGödel- sche Verdikt jede in irgendeinem Formalismus, irgendeiner logisch analysierbaren Sprache ausgedrückte Theorie, die - ohne es womöglich vordergründig zu tun - in der Lage wäre, von natürlichen Zahlen zu sprechen. Es läßt sich denken, wie wenige Theorien da übrig bleiben, wenn man sich vor Augen führt, daß das Be- streben von Forschern und Philosophen immer darauf zielte, möglichst viel von der Welt in einem Formalismus unterzubringen. Doch die Bedeutung des Gödel- schen Satzes reicht noch weiter: im Verlauf des Beweises zeigt sich, daß für ein deduktives System, das hinreichend mächtig ist, die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben, ein Satz innerhalb des Systems bewiesen werden kann, der besagt:

”WenndasSystemwiderspruchsfreiist,dannistesunvollständig.“

Das bedeutet, das in jedem (hinreichend mächtigen) deduktiven System Wider- sprüche auftreten, oder aber Aussagen formuliert werden können, die wahr (im starken Sinne von nicht falsifizierbar, bzw. sogar in Metasystemen beweisbar!), aber nicht ableitbar sind. Eine naheliegende philosophische Interpretation dieser Ergebnisse finden wir in den Diskursen zur sogenannten Postmoderne: das Ende der großen Theorien. Der Begriff der Erkenntnis muß neu definiert werden - ohne die bisher implizit immer angelegte Forderung des Gesamtzusammenhanges.

Weitreichende Konsequenzen ergeben sich auch für den sensiblen Bereich der ”künstlichenIntelligenz“:solangedieMaschinen(undauchwir)mitfestvorge- gebenen Befehlssätzen im Sinne einer Logik mit fest vorgegebenen Schlußregeln arbeiten, folgt aus der Unvollständigkeit der widerspruchsfreien unter unseren Theorien, daß uns immerzu unendlich viele wahre - womöglich interessante - Aussagen entgehen. Sie liegen einfach außerhalb der Reichweite jeder bestimmten axiomatischen Theorie. Eine Alternative wäre eine Art Patchwork (nochmal ein schöner Gruß an die ”Postmoderne!“)verschiedenerAxiomatiken.Dabei wäre freilich mit Widersprüchen zwischen einzelnen Versatzstücken zu rechnen, wenn es nur endlich viele sind, mit denen wir unser Dilemma lösen wollen. Mit- hin werden wir unendlich viele benötigen - in jedem einigermaßen komplexen Erkenntnisbereich.

marvinius@yahoo.com

[...]

¹ Insofern war vielleicht die Genialität eines Euklid, der die ebene Geometrie axiomatisierte, recht hinderlich für die Emanzipation des mathematischen Denkens: seine Axiome sind überaus evident und gleichzeitig auch nach heutigem besten Wissen und Gewissen widerspruchsfrei, so daß lange Zeit nicht auffiel, daß das durchaus nicht selbstverständlich ist.

² Zu den berühmtesten Antinomien, die auftreten, wenn ”Mengen“naivals ”Zusammen- fassungen von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens“ definiert werden (wie es Cantor zunächst tat), gehört die Frage nach der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten: enthält diese Menge sich selbst als Element oder nicht?

³ Bitte, bitte nicht auf ”Rechengesetze“reduziertauffassen-eineFormelindiesemSinne kann gegebenenfalls auch ein Goethe-Gedicht oder eine Borges-Geschichte sein!

⁴ Dies wäre eine passende Gelegenheit, darüber nachzudenken, was denn unter ”bedeuten“ überhaupt verstanden werden kann. Vielleicht demnext mal ... Man mache sich aber schon jetzt bitte das Problem bewußt!

⁵ Z.B. der Satz von Desargue, der nur unter Zuhilfenahme räumlicher Überlegungenbewiesen werden kann.