Wie viele verschiedene Legotierchen gibt es? (Grundschule, Mathematik Klasse 1 und 2)

Inhaltsverzeichnis

1. Zielsetzung
1.1. Lehrplanbezug
Kapitel I Grundlagen und Leitlinien
Kapitel II A
Kapitel II B

2. Begründung der Zielsetzung und der didaktisch Reduktion
2.1 von der Sachstruktur
2.2 von der Individuallage der Klasse
Differenzierung im Unterricht
2.3. Didaktische Reduktion

3. Methodisches Vorgehen
3.1 Kommentierter Sitzplan:

4. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen

5. Anlagen
5.1 Kurzplan
5.2 Arbeitsblätter /Materialien

6. Literaturverzeichnis
6.1 Grundlagenliteratur:
6.2 Fachliteratur

1. Zielsetzung

1.1. Lehrplanbezug

Kapitel I Grundlagen und Leitlinien

Bildung und Erziehung sind ein grundlegender Auftrag der bayerischen Grundschulen, um die Schüler in ihrer Persönlichkeitsentwicklung zu unterstützen und grundlegende Bildung und Wertorientierung zu erlangen. Der Lehrplan benennt Rechnen als elementare Kulturtechnik und zentrale Bildungsaufgabe der Grundschule. Neben dem Erwerb der Kulturtechnik, sollen Schüler das Lernen lernen, begabtengerecht gefördert werden, in einem erziehenden Unterricht Schule als Lern- und Lebensraum erfahren, in der Variation der Unterrichtsformen Übung und Sicherung erleben.

Differenzierter und individualisierter Unterricht orientiert sich am Leistungsspektrum der Klasse und soll auf die unterschiedlichen Lernvoraussetzungen, auf den Leistungsstand der Schüler sowie ihre Fähigkeiten und ihr Lerntempo abgestimmt sein. Dies setzt eine sorgfältige Beobachtung der individuellen Lernwege und –fortschritte der Schüler voraus. Auch das fächerverbindende Lernen, z.B. durch das im Kunstunterricht stattfindende Malen der Füße und Hände wird in Kapitel I angesprochen.¹

Kapitel II A

Die fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsaufgaben tragen der Komplexität der Lebenswirklichkeiten der Schüler Rechnung, und viele der hier erwähnten Aufgaben, wie soziales Lernen, sprachliche Bildung, Umwelterziehung werden in der Stunde situativ aufgegriffen.

Kapitel II B

Mathematik Lehrplan

Im bayerischen Lehrplan für die Grundschule ist die Unterrichtseinheit dem Fachbereich Mathematik der ersten beiden Jahrgangsstufen zuzuordnen. Unter Punkt 1. 4. 2 bzw. 2.4.2 „Arbeit an Sachsituationen“ sollen die Kinder Sachsituationen und ihre Darstellung erschließen und Aufgaben zur Kombinatorik bearbeiten. „Dazu stellen sie Situationen konkret handelnd, verbal und zeichnerisch dar, … und lösen diese.“²

Mögliche Querverbindungen zu anderen Fachbereichen bieten sich an zu:

- Deutsch : 1 / 2. 5 Lesen und mit Literatur umgehen, sinnverstehendes Lesen weiterent- wickeln, Informationen aus Sachtexten entnehmen
- Musik: 1 / 2.1.1 Singen und Sprechen, Tier-, Zoolieder
- HSU: 1.7 Erkunden der Umwelt, Tiere in der Umgebung
- Kath. Religion:1.1.1 Miteinander anfangen (aufeinander zugehen, wer für mich wichtig ist)

2.2 Miteinander leben

- Ethik 1 / 2.1 Sich selbst entdecken 1 / 2.2 Miteinander leben

In diesen anderen Fächern können diese besonderen Tiere thematisiert werden, das Besondere an jedem herausgearbeitet und die Einzigartigkeit jedes Einzelnen dokumentiert werden. Das Wahrnehmen kleinster Unterschiede kann so explizit beobachtet werden, da dieser Inhaltsbereich fächerübergreifend ist.

Darstellung der Sequenz

Sequenzziel:

Die Kinder sollen durch die intensive Auseinandersetzung mit verschiedenen kombinatorischen Fragestellungen auf enaktiver, ikonischer und symbolischer Ebene verschiedene Problemlösestrategien hinsichtlich ihrer Effizienz miteinander vergleichen und diese bei verschiedenen Aufgabenstellungen anwenden und vertiefen, um auf diese Weise die Strukturgleichheit des Problemlöseprozesses zu erkennen und zu verinnerlichen als Voraussetzung, selbst weitere und schwierigere Aufgaben nach demselben Prinzip lösen zu können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zielformulierungen

Das Grobziel der Stunde lautet:

Die Schüler bauen Lego -Tierchen als Anlass für einen enaktiven und ikonischen Zugang zur Durchdringung der kombinatorischen Fragestellung unter besonderer Berücksichtigung der individuellen Problemlösestrategie.

Die Feinziele der Stunde lauten:

Die Schüler erhalten die Lernchance:

- ihr Vorwissen zu kombinatorischen Fragestellungen zu reaktivieren.
- durch die aktiv- entdeckende Auseinandersetzung mit dem Material die verschiedenen Lego-Tierchen zu finden und auf dem Arbeitsblatt zu notieren.
- die Problemstellung auf individuellen Wegen zu lösen, indem sie ihre Ergebnisse ordnen, um damit die Vollständigkeit der Möglichkeiten zu überprüfen / begründen.
- eine systematische Vorgehensweise an kombinatorische Problemstellungen zu entwickeln, indem die Tierchen gemeinsam strukturiert angeordnet werden.
- Interesse und Neugier an mathematikhaltigen Phänomenen sowie Ausdauer und Konzentration im Prozess des mathematischen Arbeitens zu entwickeln.
- bei der Reflexion verschiedene Lösungswege im Hinblick auf ihre Effizienz zu vergleichen und die eigene Vorgehensweise zu überdenken.

Weiteres Feinziel für die Schwächeren, diese

- differenzieren bei Bedarf selbst, indem sie statt der je 3 Legosteine 4 verwenden. Feinziel für die Stärkeren, diese
- differenzieren bei Bedarf selbst, indem sie statt der je 4 Legosteine nur 3 verwenden.

2. Begründung der Zielsetzung und der didaktisch Reduktion

2.1 von der Sachstruktur

Die Kombinatorik als ein Teilbereich der Stochastik ist die Theorie endlicher Mengen. Sie beschäftigt sich „beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“³

Die mathematische Zielstellung der Kombinatorik ist durch zwei Aufgabenstellungen gekennzeichnet:

1) Es ist festzustellen, welche Möglichkeiten es gibt, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen auszuwählen oder anzuordnen.
2) Es ist festzustellen, wie viele Möglichkeiten es dafür insgesamt gibt.⁴

Es ist zudem zu unterscheiden, ob die Reihenfolge der Elemente relevant ist oder nicht. Darüber hinaus muss eine Differenzierung vorgenommen werden, ob ein Element nur einmal oder auch mehrmals ausgewählt werden darf.

Die elementare Kombinatorik lässt sich in folgende vier Grundaufgaben einteilen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die kombinatorische Aufgabenstelltung „Wie viele verschiedene Lego -Tiere gibt es?“ gehört zum Typ der Grundaufgabe 1, es handelt sich um eine Aufgabe des Typs Variation mit Wiederholung. Bei der Variation mit Wiederholung besteht das Ziel in der Bestimmung der Anzahl aller möglichen k-elementigen Anordnungen mit Wiederholungen aus einer n-elementigen Menge, d. h. die Anordnung der Elemente spielt bei dieser Aufgabe eine Rolle.

In der Literatur findet man die Legotierchen meist unter der Bezeichnung „Strummi-Tierchen“ wieder.

„Strummi ist eine Verballhornung von „strukturiertes Material“⁵. Ein Strummi-Tierchen ist eine Variation von vier (bei mir auch nur 3) Legosteinen, die wie folgt zusammengesetzt werden:

Aus der Kombination der einzelnen Teile in zwei Farben ergeben sich bei Tieren aus 3 Steinen 8, bei Tieren aus 4 Steinen 16 Möglichkeiten verschiedene Strummi-Tierchen herzustellen (siehe Anhang). Der versetzte Kopf ist dabei insofern wichtig, als dass ansonsten die „Türme“ einfach umgedreht werden könnten und es keine 8 bzw. 16 Möglichkeiten mehr gäbe. Das vorliegende Material ist strukturiert. Die Reihenfolge ist also wichtig (Kopf bis Hinterteil) und die Elemente (in diesem Fall die Farben) können mehrfach ausgewählt werden (mit Wiederholung). „Es entsteht eine k-Auswahl aus der n-Menge {a1, a2,…, an} mit Berücksichtigung der Reihenfolge mit Wiederholung.

Für jeden Platz gibt es n Möglichkeiten, insgesamt also n×n×…×n = nk k-Faktoren Möglichkeiten.“⁶ Für die drei bzw. vier Körperteile (k) gibt es je zwei Möglichkeiten (n) diese zu kolorieren, da zwei Farben zur Auswahl stehen: nk =2³=8 bzw. nk = 24 = 16

Dabei existieren insgesamt bei Tieren aus 3 Steinen:

- 2 einfarbige Strummi-Tierchen
- 6 Strummi-Tierchen mit einem andersgefärbten Stein

Die 8 unterschiedlichen Strummi-Tierchen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für eine strukturierte Darstellung aller Kombinationsmöglichkeiten wird meistens das Baumdiagramm genutzt. Durch das Darstellen der Lösung in einem Baumdiagramm wird das systematische Zählen gefördert.

Wichtig für Grundschüler ist nicht die fachwissenschaftliche Durchdringung kombinatorischer Fragen, sondern ein Grundverständnis dafür zu erzeugen, dass den dargestellten Aufgaben eine Multiplikation zugrunde gelegt wird und dass es eben Möglichkeiten gibt, die gefundenen Lösungen strukturiert darzustellen.

Das Arbeiten mit Materialien führt die Schüler dazu, intuitiv zu erfahren, dass das enaktive Darstellen der Möglichkeiten seine Grenzen hat. Gefundene Möglichkeiten müssen zerstört werden, um neue Möglichkeiten darzustellen. Dadurch wird zumindest das Darstellen der Lösungen auf ikonischer Ebene notwendig.

Gegenwarts- und Zukunftsbedeutung

Die Schüler sollen bereits möglichst früh lernen, sich aktiv entdeckend mit mathematischen Problemstellungen auseinanderzusetzen. Sie sollen nicht zu Menschen erzogen werden, die nach dem „Nürnberger Trichter“ funktionieren, sondern die sich möglichst mit Freude selbständig Lösungsstrategien suchen und somit zu tieferen Einsichten gelangen. Ein gut ausgebildetes Problemlöseverhalten hilft ihnen nicht zuletzt auch, ihren Alltag besser zu meistern. Kombinatorische Fragestellungen fördern die Entwicklung von strategischem Denken.⁷

Die Tierchen aus Legosteinen bieten den Rahmen für ein spielerisches, experimentelles Vorgehen, das ihrem noch sehr ausgeprägten Bewegungs- und Spieldrang entgegen kommt. Sie beinhalten sowohl den Aspekt der Handlungsorientierung als auch des selbstständigen Entdeckens. Die Legosteine haben einen sehr hohen Aufforderungscharakter und fördern so die Freude und das Interesse, sich mit mathematikhaltigen Problemstellungen zu befassen. Sie treffen das Interesse der Schüler unmittelbar von der Sache her - haben einen Bezug zu ihrer Lebenswirklichkeit -, aber auch von der abstrakten Problemstellung. „Kombinatorische Fragestellungen bieten auch in der Grundschule eine ganze Reihe von Möglichkeiten für Kinder, um über spielerische Handlungen Lösungsstrategien zu erproben und propädeutisch grundlegende mathematische Begriffe und Beziehungen anzubahnen, die oft in enger Verbindung stehen zu arithmetischen oder geometrischen Themen.“⁸

Vorerfahrungen der Kinder

Bereits in der Lebenswelt der Kinder kommen häufig kombinatorische Sachverhalte vor: Bei Zahlenschlösser an Fahrrädern oder Koffern, bei der Zusammenstellung von Menüs, bei Spielen (Superhirn, Würfelspiel) oder bei Kleidungsproblemen. Diese kombinatorischen Erscheinungen begegnen den Kindern immer wieder, ohne dass sie sich der dahinter verbergenden Struktur bewusst sind.

Entwicklungspsychologische Hinweise

Phasen der Entwicklung des mathematischen Denkens nach Piaget und Aebli:

- 4-6 Jahre: Voroperativ-anschauliches Denken, Begriffe sind an die reale Anschauung und konkrete Handlung gebunden
- 6-12 Jahre: konkret-operatives Denken, Kompositionsfähige und reversible Denkhandlungen, Koordination von konkreten Handlungen in der Vorstellung, Lösung kann allmählich auf verschiedenen Wegen erreicht werden
- Ab 11 Jahren: Formal-operatives Denken, Denken ist nicht mehr an die konkrete Vorstellung gebunden, es ist deduktiv, abstrakt und hypothetisch⁹

Didaktische Grundsätze

Orientierung an Vorwissen, Operatives und EIS- Prinzip, Forschend-entdeckendes und soziales Lernen, Entwicklung einer Metasprache, Differenzierung durch offene Aufgabenstellung, überlegte Auswahl von Arbeitsmitteln, all dies wird durch das Thema realisiert.

„Eigenes Tun ermöglicht intensivere Lernprozesse als die bloße Instruktion und das Unterrichtsgespräch.“¹⁰

Der Handlungs- und produktionsorientierte Ansatz entstand am Ende des 20.Jahrhunderts.

Spinner¹¹ definiert den handlungs- und produktionsorientierten Unterricht folgendermaßen:

Handlungsorientierung meint: Selbsttätigkeit, ganzheitliches Tun, welches kognitive, sinnhafte und affektive Zugänge miteinander verbindet.

Produktionsorientiert meint: Schüler beschäftigen sich selbst mathematisch handelnd, dies kann auch begrenzt operativ sein wie beispielsweise das Auffüllen von Lücken in einem Arbeitsblatt oder das Wiederherstellen einer Reihenfolge etc.

Fächerverbindende Aspekte:

- Deutsch : 1 / 2. 5 Lesen und mit Literatur umgehen, sinnverstehendes Lesen weiterent- wickeln, Informationen aus Sachtexten entnehmen
- Musik: 1 / 2.1.1 Singen und Sprechen, Tier-, Zoolieder
- HSU: 1.7 Erkunden der Umwelt, Tiere in der Umgebung
- Kath. Religion:1.1.1 Miteinander anfangen (aufeinander zu gehen, wer für mich wichtig ist)

2.2 Miteinander leben

- Ethik 1 / 2.1 Sich selbst entdecken 1 / 2.2 Miteinander leben

2.2 von der Individuallage der Klasse

In der Klasse 1/2a befinden sich 22 Schüler, davon 10 Erstklässler und 12 Zweitklässler. 2 Erstklässler wiederholen freiwillig. Bei den Erstklässlern gibt es 3 Mädchen und 7 Jungen, die Zweitklässler bestehen aus 8 Mädchen und 4 Jungen, insgesamt werden also 11 Mädchen und 11 Jungen gemeinsam unterrichtet.

Die Erstklässler sind sehr interessiert an Themen des Mathematikunterrichts, sie lernen neue mathematische Begebenheiten kennen und werden in einer Mathe-Differenzierungsstunde pro Woche alleine ohne die Zweitklässler durch die Rektorin der Schule unterrichtet. Jedes Kind hat einen Paten aus den Reihen der Zweitklässler, so dass es sich dort auch jederzeit Hilfe holen kann. 3 der Kinder sind bei kombinatorischen Aufgabestellungen leistungsmäßig als stark einzustufen, 3 als schwach und 4 als mittel. Drei der schwachen Kinder sind Kooperationskinder, erhalten also noch zusätzliche Förderstunden in Zusammenarbeit mit dem Förderzentrum, bei einem wurde ein Schulbegleiter beantragt, bei einem weiteren wurde die Unterstützung durch den MSD beantragt.

Die Zweitklässler arbeiten ebenfalls sehr selbstständig und interessiert. Bei ihnen finden sich 4 starke Schüler, 3 schwache und 5 im mittleren Leistungsniveau.

Eine Stunde pro Woche unterrichtet Frau Lr in Mathematik nur die Zweitklässler, während die Erstklässler WTG haben.

Die Kinder sind die Arbeit mit Mathebausteinen gewohnt und erarbeiten sich viele Sachverhalte selbständig.

Die Klasse kann sehr konzentriert arbeiten, aber einigen Schülern fällt es dennoch noch schwer, länger bei der Sache zu bleiben und ruhig zu sein. Sie müssen dann öfter ermahnt werden, zuzuhören, zur Lehrerin zu schauen, nicht an irgendetwas herumzuspielen oder den Nachbarn zu ärgern.

Die Schüler sind Partnerarbeit, Gruppenarbeit, Sitzkreis und Arbeit an verschiedenen Stationen gewohnt, sie bearbeiten auch selbstständig Wochenpläne. Sie kennen Selbstkontrollen und können ihre Ergebnisse im Plenum präsentieren. Differenzierung der beiden Jahrgangsstufen im Mathematikunterricht, meist anhand unterschiedlicher Schwierigkeitsstufen der Arbeitsblätter und -aufträge findet permanent statt. Rechnen die Erstklässer im Zehnerbereich, so lösen die Zweitklässler Aufgaben im Hunderterraum, so können auch Kopfrechenaufgabe gemeinsam bearbeitet werden.

Ergebnisse der von mir am 22.11.13 durchgeführten Befragung aufgrund dessen Soziogramme der Klasse 1 / 2 a erstellt wurden:

2 Jungen haben sich eindeutig herauskristallisiert, neben denen 5 bzw. 6 Kinder keinesfalls sitzen wollen, diese würden auch mehrheitlich nicht zum Geburtstag eingeladen werden und neben ihnen möchten die meisten auch nicht in der Zweierreihe laufen. F und M sind die Aussenseiter der Klasse, 1 Junge und 1 Mädchen werden bevorzugt angegeben als Wunschnachbarn in der Gruppe, dies sind F und L .

Erstklässler:

B.: Kommt gut mit, lässt sich aber durch M leicht ablenken und in Konflikte hineinzie- hen

C.: spricht zuhause überwiegend Polnisch, hat noch Sprachschwierigkeiten und beteiligt sich selten mündlich. Er arbeitet gerne schriftlich und bemüht sich meist. C ist beim MKT- Training (Ute Ph) und hat seit Mitte Dezember noch eine zusätzliche Deutsch-Förder stunde auch bei Frau Phi, eine weitere Stunde beim MSD wurde beantragt.

[...]

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¹ Vgl. Lehrplan für die bayerische Grundschule, S.7-13.

² Ebd., S. 104

³ Meyers Lexikonredaktion, S. 320

⁴ Vgl. wikipedia, Meyers Lexikon, Radatz zu Kombinatorik

⁵ Müller/ Wittmann, S. 99

⁶ Meyers Lexikonredaktion, S. 322

⁷ vgl. Radatz/ Rickemeyer, S. 68

⁸ Vgl. Radatz et al., S. 117

⁹ Vgl. Maras, S. 169

¹⁰ Spinner 2004, S. 252

¹¹ Vgl. ebd., S. 247