Ziel und Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung und Berechnung der Raumdiagonalen an platonischen Körpern mit dem Satz des Pythagoras, insbesondere an Dodekaeder und Ikosaeder sowie die Bestimmung und Anwendung weiterer zu den Raumdiagonalen analogen Raumstrecken an ihnen. Das soll mit der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra gewährleistet werden. Diese Software wurde aufgrund ihrer Übersicht- und Anschaulichkeit gewählt, da sich die Ergebnisse auch besser strukturieren und vergleichen lassen. Bei der Arbeit an einem Modell wären diese Eigenschaften nicht gegeben, da besonders die Körper wie Dodekaeder und Ikosaeder zu viele Eckpunkte haben, was die Bestimmung ihrer Raumdiagonalen sichtlich erschweren würde. Dies gilt auch für die Bestimmung und Anwendung anderer Raumstrecken.
Körperdarstellungen und -messungen werden schon relativ früh im Mathematikunterricht in der Grundschule thematisiert. Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich legen die zum Ende der Grundschulzeit anzueignenden Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen fest. Hierunter zählen die Kompetenzen im Bereich Raum und Form, die anhand einfacher, geometrischer Figuren wie Quadrat oder Rechteck und Körper wie Würfel erworben werden. Ab der Sekundarstufe I werden auch zusätzlich komplexere Körper thematisiert und es wird zur Berechnung verschiedener Strecken, beispielsweise die Diagonalen und Höhen, der Satz des Pythagoras angewendet.
Da die Raumstrecken wie etwa die Raumdiagonalen mit dem Satz des Pythagoras im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I speziell an platonischen Körpern wie Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder eher selten angewendet werden, sondern vielmehr an Grundkörpern wie Würfeln und Quadern stattfinden, soll sich die vorliegende Arbeit mit den Raumdiagonalen an allen platonischen Körpern beschäftigen. Außerdem soll auch untersucht werden, welche weiteren Raumstrecken analog zu den Raumdiagonalen in platonischen Körpern vorstellbar sind. Gerade für den Mathematikunterricht ist dieser Erkenntnisgewinn von großem Vorteil, da die Raumstrecken in der Sekundarstufe I meist nur auf Raumdiagonalen und Höhen beschränkt werden, obwohl noch viele weitere Möglichkeiten existieren. Dieser neue Themenzuwachs wäre ein zusätzlicher Gewinn für den Mathematikunterricht. Des Weiteren könnte es den Horizont der SchülerInnen in Bezug auf die Möglichkeiten der Raumstrecken von Körpern, insbesondere den platonischen, erweitern.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Theoretische Grundlagen
2.1 Die Raumdiagonalen
2.2 Der Satz des Pythagoras
2.3 Die platonischen Körper
3. Methodologie der Arbeit
4. Raumdiagonalen in platonischen Körpern
4.1 Bestimmung aller möglichen Raumdiagonalen in platonischen Körpern
4.2 Berechnungen der Raumdiagonalen in platonischen Körpern anhand des Satzes des Pythagoras
5. Analogien zu den Raumdiagonalen – andere mögliche Verbindungsstrecken im Raum der platonischen Körper
5.1 Bestimmung der möglichen, zu den Raumdiagonalen analogen Verbindungsstrecken
5.2 Anwendung und Darstellung analoger Verbindungsstrecken auf platonische Körper
5.2.1 Verbindungsstrecke zwischen zwei Flächenmittelpunkten (MF – MF)
5.2.2 Verbindungsstrecke zwischen zwei Kantenmittelpunkten (MK – MK)
5.2.3 Verbindungsstrecke zwischen Kantenmittelpunkt und Flächenmittelpunkt (MK – MF)
5.2.4 Verbindungsstrecke zwischen Eckpunkt und Flächenmittelpunkt (E – MF)
5.2.5 Verbindungsstrecke zwischen Eckpunkt und Kantenmittelpunkt (E – MK)
6. Zusammenfassung der Ergebnisse
6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse zu den Raumdiagonalen
6.2 Zusammenfassung der Ergebnisse zu den analogen Raumstrecken
7. Interpretation und Diskussion der Ergebnisse
7.1 Raumdiagonalen an platonischen Körpern
7.2 Zu den Raumdiagonalen analogen Raumstrecken
7.3 Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die geometrischen Raumdiagonalen in allen platonischen Körpern und berechnet deren Längen mithilfe des Satzes des Pythagoras. Darüber hinaus werden systematisch weitere mögliche Verbindungsstrecken im Raum dieser Körper bestimmt, analysiert und visualisiert, um ein tieferes Verständnis für die räumlichen Strukturen dieser Polyeder zu gewinnen.
- Untersuchung und Berechnung von Raumdiagonalen in platonischen Körpern
- Einsatz der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra zur Visualisierung
- Analyse analoger Verbindungsstrecken zwischen Flächen-, Kanten- und Eckpunkten
- Vergleichende Darstellung und Interpretation der geometrischen Zusammenhänge
- Erkenntnisgewinn für den Geometrieunterricht in der Sekundarstufe
Auszug aus dem Buch
4.1 Bestimmung aller möglichen Raumdiagonalen in platonischen Körpern
Zunächst werden die Raumdiagonalen an einem Eckpunkt bestimmt. Dann werden diese Raumdiagonalen an allen Eckpunkten des Körpers angewendet und ihre Gesamtanzahl wird entweder durch Abzählen oder Berechnung festgestellt.
Tetraeder: Im Tetraeder sind keine Raumdiagonalen nach der Definition 2.1.1 vorhanden, da jede Verbindung zwischen zwei beliebigen Eckpunkten stets die Kante des Tetraeders ist.
Hexaeder: Aufgrund der überschaubaren Eckenanzahl erfolgt die Bestimmung der Raumdiagonalen im Hexaeder ohne jegliche Hilfsmittel. Da eine Raumdiagonale nach der Definition 2.1.1 nicht auf der Seitenfläche liegen darf und stets durch den Raum verlaufen muss, gibt es im Hexaeder für jede Ecke nur eine mögliche Verbindungsecke für die Raumdiagonale. Diese verbindet jeweils die gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander. Durch die Verbindung dieser Ecken enstehen insgesamt vier gleich lange Raumdiagonalen, die sich im Körpermittelpunkt schneiden (ABB. 4.1.1). Es gilt also für das Hexaeder der Satz 4.1.1.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einleitung thematisiert die Bedeutung von Körperdarstellungen im Mathematikunterricht und definiert das Ziel der Arbeit, Raumdiagonalen an allen platonischen Körpern systematisch zu untersuchen und zu berechnen.
2. Theoretische Grundlagen: Hier werden die mathematischen Begriffe Raumdiagonale, Satz des Pythagoras und platonische Körper definiert sowie die Eindeutigkeit der fünf platonischen Körper bewiesen.
3. Methodologie der Arbeit: Dieses Kapitel erläutert den Einsatz der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra zur Erstellung, Visualisierung und Untersuchung der platonischen Körper.
4. Raumdiagonalen in platonischen Körpern: In diesem Teil werden die Raumdiagonalen bestimmt und ihre Längen anhand des Satzes des Pythagoras berechnet.
5. Analogien zu den Raumdiagonalen – andere mögliche Verbindungsstrecken im Raum der platonischen Körper: Es erfolgt eine systematische Bestimmung und Anwendung weiterer Verbindungsstrecken zwischen verschiedenen markanten Punkten innerhalb der platonischen Körper.
6. Zusammenfassung der Ergebnisse: Dieser Abschnitt bietet eine tabellarische Übersicht der berechneten Anzahlen und Längen sowohl für die Raumdiagonalen als auch für die analogen Raumstrecken.
7. Interpretation und Diskussion der Ergebnisse: Abschließend werden die Resultate diskutiert, Auffälligkeiten in den Zahlenverhältnissen interpretiert und ein Ausblick für den vertieften Geometrieunterricht gegeben.
Schlüsselwörter
Platonische Körper, Raumdiagonale, Satz des Pythagoras, Geometrie, GeoGebra, Polyeder, Raumstrecken, Kantenmittelpunkt, Flächenmittelpunkt, Umkugel, Inkugel, Sternpolyeder, Stereometrie, Dualität, Mathematikunterricht
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Untersuchung von Raumdiagonalen und weiteren Verbindungsstrecken in platonischen Körpern.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit verknüpft die Geometrie der platonischen Körper mit dem Satz des Pythagoras und nutzt die Software GeoGebra zur Visualisierung.
Welches primäre Ziel verfolgt die Forschungsfrage?
Ziel ist die Bestimmung und Berechnung aller Raumdiagonalen sowie analoger Verbindungsstrecken in platonischen Körpern.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden geometrische Konstruktionen und Berechnungen durchgeführt, unterstützt durch die dynamische Mathematiksoftware GeoGebra.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die systematische Untersuchung der Körper, die Berechnung von Diagonalenlängen und die Analyse weiterer Verbindungen zwischen Eck-, Flächen- und Kantenmittelpunkten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit am besten?
Zentrale Begriffe sind platonische Körper, Raumdiagonalen, Satz des Pythagoras und Geometrie.
Warum spielt der Satz des Pythagoras eine so wichtige Rolle in der Arbeit?
Der Satz des Pythagoras ist das zentrale Werkzeug, um die Längen der Raumdiagonalen und anderer Strecken innerhalb der komplexen platonischen Körper zu berechnen.
Welchen Erkenntnisgewinn bietet die Arbeit für den Schulunterricht?
Die Arbeit erweitert den Fokus über einfache Raumdiagonalen hinaus und zeigt Schülern neue Möglichkeiten der räumlichen Geometrie auf.
- Arbeit zitieren
- Kübra Capan (Autor:in), 2019, Raumdiagonale in platonischen Körpern. Untersuchung und Berechnung am Dodekaeder und Isokaeder, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/998814
