Inhaltsverzeichnis

Abk  ürzungsverzeichnis  III

Symbolverzeichnis   V

Abbildungsverzeichnis   VIII

Tabellenverzeichnisse   IX

1.  Einleitung  1

1.1  Problemstellung  1

1.2  Aufbau der Arbeit  2

2.  Optionen und ihre Bewertung  4

2.1  Optionen  4

2.2  Optionsbewertung  5

2.2.1  Das Black/Scholes-Modell  7

2.2.2  Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell  8

3.  GARCH-Modelle  12

3.1  Das symmetrische GARCH-Modell  12

3.2  Asymmetrische GARCH-Modelle  17

3.3  Schätzen und Testen.  18

4.  Das GARCH-Optionspreismodell  19

4.1  Das Grundmodell  19

4.2  Das Bewertungsproblem.  20

4.3  Die risikoneutrale Bewertung  20

4.4  Das GARCH-Options-Delta  23

4.5  Vergleich mit dem Black-Scholes-Modell  23

4.6  Numerische Ergebnisse  25

5.  Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise  27

5.1.  Der Ansatz von Duan et al. (1999)  27

5.1.1  Das Grundmodell  28

5.1.2  Die analytische Approximation  29

5.1.3  Numerische Ergebnisse  31

5.2  Analytische Approximation für GJR-GARCH und EGARCH  32

5.2.1  Numerische Ergebnisse  34

I

6.  Konvergenz zum zeit-stetigen Limit  35

7.  Zusammenfassung und Ausblick  39

8.  Abbildungen und Tabellen  41

9.  Literaturverzeichnis  48

II

Abkürzungsverzeichnis

AR Autoregressive ARCH Autoregressive Conditional Heteroskedastic Bzgl. Bezüglich Bzw. Beziehungsweise BS Black/Scholes CBOE Chicago Board of Options Exchange D.h. Das heißt D Diffusionsmodell DAX Deutscher Aktienindex DTB Deutsche Terminbörse et al. Et alii/ Et aliae/ Et alia (lat.: und andere) etc. Et cetera (lat.: und so weiter) EGARCH Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic f. folgende ff. fortfolgende GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic GH GARCH GJR Glosten, Jagannathan und Runkle Hrsg. Herausgeber IGARCH Integrated in Variance Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic Lat. Lateinisch LRNVR Locally Risk-Neutral Valuation Relationship max Maximum MA Moving Average MHZ Megahertz NGARCH Nonlinear Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic NIC News Impact Curve PC Personal Computer S. Seite S&P Standard & Poors SV Stochastische Volatilität V-DAX DAX Volatilitätsindex Vgl. Vergleiche

III

Z.B. Zum Beispiel

IV

Symbolverzeichnis

Stochastischer Prozess

Parameter

…

Residuum

Residuum

Bedingter Mittelwert

Kontinuierlich kumulierte Rendite Parameter

Volatilitätsschock Parameter

Bedingte Standardabweichung Varianz/Volatilität des Underlyings GARCH-Varianzprozess

, Diffusions-Varianzprozess

Standardabweichung/Volatilität des Underlyings Implizite Volatilität Parameter Konstante

Informationsmenge

V

Δ Optionspreis-Delta

Δ GARCH-Optionspreis-Delta

Δ

Black/Scholes-Optionspreis-Delta

-Verteilung Υ Konstante

Ordnungsparameter

,

,

Europäischer Call-Optionspreis

Europäischer Diffusions-Call-Optionspreis

Europäischer GARCH-Call-Optionspreis

Analytisch approximierter europäischer GARCH-Call-Optionspreis

… , … … , … , , , ∗ = … … … h ℎ

… ln… … , … … … , , , Ordnungsparameter

VI

Markov-Übergangswahrscheinlichkeit

…

Europäischer Put-Optionspreis

Europäischer Black/Scholes-Put-Optionspreis Ordnung des MA-Bestandteils eines GARCH-Prozesses Ordnungsparameter Diskontierungsfaktor

Risikofreier Zinssatz s,t Zeitindizes

Preis/Kurs des Underlyings

Preis/Kurs des Underlyings

Preis/Kurs des Underlyings

,

Diffusions-Underlyingkursprozess GARCH-Underlyingskursprozess

…

, , ,

x

Zufallsvariable y Volatilität im Zeitpunkt t

Kursprozess

Transformierter Kursprozess

z

∈

VII

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Auszahlungsstrom einer europäischen Call-Option mit einem

Abbildung 2 Auszahlungsstrom einer europäischen Put-Option mit einem Ausübungspreis

Abbildung 3 Kontinuierliche tägliche Daimler-Benz-Rendite-Verteilung und angepasste Normalverteilung (Andres (1997), S. 11) ............................................................ 42 Abbildung 4 Kontinuierliche tägliche Daimler-Benz-Rendite und angepasste

Normalverteilung (Andres (1997), S. 35) ............................................................ 42 Abbildung 5 Negative Korrelation von DAX und Volatilität (Pape und Merk (2003), S. 9) 43 Abbildung 6 Implizite Volatilitäten der am 22.November 1994 an der DTB gehandelten

Abbildung 7 Niedrige bedingte Volatilität und ihre Effekte auf die anualisierte implizite Volatilität des GARCH-Optionspreises (Duan (1995), S. 24) ........................... 44 Abbildung 8 Hohe bedingte Volatilität und ihre Effekte auf die anualisierte implizite

Tabellenverzeichnisse

Tabelle 1 S&P100 Index Call-Optionspreisverzerrungen als Prozentsatz des

Black/Scholes-Preises (Duan (1995), S. 21) ........................................................... 45

Tabelle 2 S&P100 Index Call-Options-Deltaverzerrungen als Prozentsatz des

Black/Scholes-Preises (Duan (1995), S. 22) ........................................................... 46

Tabelle 3 Anzahl pro Sekunde berechneter Optionspreise (Duan et al. (2004), S. 60) ..... 47

IX

1. Einleitung

1.1 Problemstellung

Durch steigende internationale Handelsvolumina und die vermehrte Nachfrage nach Absicherungsmöglichkeiten zukünftiger Zahlungsströme hat die Bedeutung der Optionsmärkte in der Vergangenheit immer mehr zugenommen. Als Anfang der 70er Jahre der Handel von Derivaten im großen Umfang startete, bekam die Bewertung von Optionen auch in der wissenschaftlichen Forschung und Diskussion eine immer stärke Bedeutung. ¹ Fast zeitgleich erschienen die grundlegenden und wegweisenden Arbeiten von Black/Scholes (1973) und Merton (1973) zur Bewertung von Aktienoptionen. Das auf Arbitrage-Argumenten aufbauende Black/Scholes-Modell hat sich aufgrund der leichten und schnellen Berechenbarkeit des Optionspreises mittlerweile als Standardverfahren zur Optionsbewertung durchgesetzt, obwohl zahlreiche empirische Analysen verschiedene systematische Bewertungsfehler offenbaren. ² Die wesentlichen Schwächen einer Optionsbewertung nach Black/Scholes liegen in der Unterbewertung von Optionen aus-dem-Geld ³ , der Unterbewertung von Optionen auf Wertpapiere mit niedriger Volatilität ⁴ , der Unterbewertung von Optionen mit kurzen Laufzeiten ⁵ und der U-förmige Verlauf der impliziten Volatilität in Relation zum Ausübungspreis ⁶ . Die Gründe für diese Fehlbewertungen resultieren im Wesentlichen aus den restriktiven Annahmen einer Normalverteilung der Aktienrenditen sowie der im Zeitablauf konstanten Volatilität. Aufgrund dieser systematischen Bewertungsfehler wurden verschiedene

Optionspreismodelle entwickelt, die sich insbesondere der Heteroskedastizität von Aktienrenditen widmen. Diese Optionspreismodelle lassen sich in zwei Klassen teilen. ⁷ Die Klasse der Deterministischen Volatilitätsmodelle unterstellt für die Volatilität einen deterministischen Zusammenhang mit dem Kurs des Underlyings und/oder der Zeit. Zu den prominentesten Deterministischen Volatilitätsmodellen gehören das Constant-Elasticity-of-Variance-Modell von Cox/Ross (1975), das Compound-Optionspreismodell von Geske (1983) und das Displaced-Diffusion-Modell von Rubinstein (1983). In der Klasse der sogenannten Stochastischen Volatilitätsmodelle folgt die Volatilität einem eigenständigen stochastischen Diffusionsprozess. Zu den bekanntesten zeit-stetigen Stochastischen Volatilitätsmodellen gehören die Modelle von Hull/White (1987), Johnson/Shanno (1987), Scott (1987), Wiggins (1987) und Stein/Stein (1991). Die Anfang der achtziger Jahre durch Engle (1982) und Bollerslev (1986) eingeführten ARCH-(Autoregressive Conditional Heteroskedastic) und GARCH-Modelle (Generalized Autoregressive

¹ Im April 1973 startet an der Chicago Board of Options Exchange (CBOE) der Handel von Optionskontrakten auf 16

amerikanische Aktien. Der Erfolg der CBOE führte weltweit zur Einführung von Terminmärkten, die sich hinsichtlich der

Standardisierung und Börsenorganisation an der CBOE orientierten.

² Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff.

³ Vgl. Black (1975), S. 36ff. und Gultekin et al. (1982), S. 58ff.

⁴ Vgl. Black/Scholes (1972), S. 399ff., Gultekin et al. (1982), S. 58ff. und Whaley (1982), S. 29ff.

⁵ Vgl. Black (1975), S. 36ff. und Whaley (1982), S. 29ff.

⁶ Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff. und Sheikh (1991), S.459ff.

⁷ Vgl. Duan (1995), S. 13.

1

Conditional Heteroskedastic) gehören zur Klasse der zeit-diskreten Stochastischen Volatilitätsmodelle. Seit ihrer Einführung existiert ein Ansatz, der konzeptionell in der Lage ist, eine zeitveränderliche Varianz zu modellieren. ARCH- und GARCH-Modelle gehen von einer leptokurtischen Verteilung der Renditen aus, die im Vergleich zur allgemein üblichen Normalverteilungsannahme mehr Masse an den Enden und in der Mitte der Verteilung konzentriert. Diese Eigenschaften machen GARCH-Modelle auch für die Optionsbewertung interessant.

Der erste, der das GARCH-Modell mit der Optionspreistheorie vereinte, war Duan (1995). Duan entwickelt ein Optionspreismodell, in dem das Underlying einem GARCH-Prozess von Bollerslev (1986) folgt. Durch die Änderung der Annahme einer im Zeitablauf konstanten Renditevarianz zugunsten einer GARCH-Varianzstruktur verliert die arbitragetheoretische Fundierung des Risikoneutralen Bewertungsansatzes von Cox/Ross (1976) ihre Gültigkeit, weshalb die Risikoneutralisierung der Bewertung gesondert nachzuweisen ist. Dazu leitet Duan eine lokale risikoneutrale Bewertung her, die ihm erlaubt Optionspreise als diskontierte Erwartungswerte zu berechnen. Ein bedeutender Nachteil des GARCH-Optionspreismodells ist, dass diese Erwartungen nicht analytisch ausgedrückt werden können und zuerst durch speicherintensive und/oder zeitaufwendige numerische Verfahren wie die Monte-Carlo-Simulation evaluiert werden müssen.

Bezüglich numerischer Verfahren zur beschleunigten Bestimmung des Optionspreises im GARCH-Optionspreismodell haben sich innerhalb kürzester Zeit beachtliche Fortschritte ergeben. Duan/Simonato (1998) entwickelten eine Empirical-Martingale-Simulation, Ritchken/Trevor (1999) einen Lattice-Approach und Duan/Simonato (1999) einen Markov-Chain-Approach. Diese Ansätze sind jedoch ebenfalls speicherintensiv und/oder zeitaufwendig. Für empirische Studien und die Anwendung in der Praxis ergibt sich daher der Bedarf nach einer analytischen Approximationsmethode zur schnellen und effizienten Optionsbewertung. Duan et al. (1999) entwickeln eine schnelle und akkurate analytische Approximation europäischer Optionspreise im GARCH-Modellrahmen. Dieser Ansatz ist im Gegensatz zum konkurrierenden Ansatz von Heston/Nandi (2000) nicht auf ein bestimmtes GARCH-Modell beschränkt und wird von Duan et al. (2006) auf die populären GJR-GARCH- und EGARCH-Modelle erweitert. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung und Evaluierung des GARCH-Optionspreismodells von Duan (1995) und seiner Weiterentwicklungen aufgrund der empirischen Kritik am Black/Scholes-Modell.

1.2 Aufbau der Arbeit

Im zweiten Kapitel wird die theoretische Basis für das Verständnis der Optionsbewertung gelegt. Es wird kurz auf die Grundprinzipien von Optionen sowie auf die allgemeine Problemstellung bei der Bewertung europäischer Optionen eingegangen. Bezüglich der Optionsbewertung liegt die Fokussierung auf dem Black/Scholes-Modell. Anhand von Beobachtungen empirischer Studien

2