I

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   I

Variablenverzeichnis   II

1.  Einleitung  1

2.  Binomialmodell  2

2.1  Grundlagen  2

2.2  Einperiodische Binomialbäume  3

2.3  Mehrperiodische Binomialbäume.  6

2.4  Amerikanische Optionen  9

2.4.1  Grundlagen  9

2.4.2  Call-Optionen  9

2.4.3  Put-Optionen  10

2.5  Dividenden  11

3.  Black-Scholes Modell  12

3.1  Übersicht  12

3.2  Statistische Grundlagen  13

3.2.1  Markov-Prozess  13

3.2.2  Brownsche Bewegung und Wiener-Prozesse  13

3.2.3  Aktienkurse und geometrische Brownsche Bewegung  14

3.2.4  Itô-Prozesse und Itôs Lemma  15

3.3  Die Black-Scholes Formel  17

3.3.1  Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung  17

3.3.2  Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung  20

3.4  Grenzen und Erweiterungen des Modells  23

3.4.1  Vorzeitige Ausübung  23

3.4.2  Dividendenzahlungen  24

3.4.2.1  Europäische Optionen  25

3.4.2.2  Amerikanische Optionen  27

3.4.3  Besteuerung von Dividenden  29

3.4.4  Jump-Diffusion  30

3.4.5  Weitere ausgewählte Modifikationen  31

4.  Zusammenfassung  31

Literaturverzeichnis   III

Δ Hedgeverhältnis

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1. Einleitung

Eine Option verbrieft das Recht, ein bestimmtes Underlying zu einem im Voraus festgelegen Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Zeitpunkt, indem eine Option ausgeübt werden kann, richtet sich nach dem jeweiligen Optionstyp. Während amerikanische Optionen innerhalb ihrer Laufzeit zu jeder Zeit ausgeübt werden können, kann man europäische Optionen lediglich am Stichtag ausführen. Des Weiteren existieren noch zahlreiche weitere Optionsarten, wie beispielsweise asiatische Optionen, deren Auszahlung von dem durchschnittlichen Wert ihres Underlyings, innerhalb eines festgelegten Zeitabschnitts, abhängt.

Die Auswahl der möglichen Underlyings, beschränkt sich nicht ausschließlich auf Aktien. Vielmehr kann eine Vielzahl von Basiswerten wie Indizes, Währungen, oder weitere Derivate, wie zum Beispiel Futures, Optionen zugrundeliegen. ¹ Aufgrund der Vielfalt der Optionsarten und den möglichen Basiswerten eigenen sich Optionen für vielfältige Verwendungszwecke. Neben der reinen Kursspekulation, bei der sich Optionen aufgrund ihres Hebels besonders eigenen, bieten Optionen noch zahlreiche weitere Anwendungsmöglichkeiten. So können sie beispielsweise im Rahmen des Risikomanagements eines international agierenden Unternehmens zur Absicherung des Wechselkursexposures verwendet werden.

Seit dem ersten Optionshandel im 17. Jahrhundert, stellt sich die Frage nach der korrekten Bewertung einer Option. Das erste analytische Bewertungsmodell, wurde jedoch erst im Jahr 1900 von Bachlier entwickelt. ² Dieser versuchte Optionen, mit Hilfe der Modellierung eines stochastischen Prozesses zur Abbildung der Wertentwicklung des Underlyings, zu bewerten. Weiterentwicklungen folgten 1964 von Boness und Sprenkle sowie 1965 von Samuelson. Auf dieser konzeptionellen Grundlage entstand schließlich 1973 das bahnbrechende Black-Scholes Modell. Während in den Jahren danach einige Erweiterungen des Black-Scholes Modells entwickelt wurden, entstanden parallel mit dem Binomialmodell, der Methode der finiten Differenzen sowie dem Monte Carlo Ansatz numerische Bewertungsverfahren. ³ Die vorliegende Arbeit untersucht das numerische Binomialmodell sowie das analytische Black-Scholes Modell. Insbesondere werden Herleitung, Aufbau, Modellgrenzen und Modifikationen behandelt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird im Folgenden, sofern im Text

¹ Vgl. Wilmott (1998), S. 215-216.

² Vgl. im Folgenden Hagl (2007), S. 70-71; Bachlier (1900); Boness (1964); Sprenkle (1964); Samuelson (1965); Black/Scholes (1973); Merton (1973)

³ Vgl. Smithson (1992), S. 24; Rendleman/Bartter (1979); Cox/Ross/Rubinstein (1979); Boyle (1977); Schwartz (1977).

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nichts anderes vermerkt wurde, die Notation sämtlicher Formeln gemäß dem Variablenverzeichnis vorgenommen.

2. Binomialmodell

2.1 Grundlagen

Das Binomialmodell zur Bewertung von Aktienoptionen wurde beinahe zeitgleich und unabhängig voneinander von Cox, Ross und Rubinstein (1979) und Rendleman und Bartter (1979) entwickelt. Dieses zeitdiskrete Modell hatte ursprünglich die Approximation, Interpretation und anschauliche Darstellung des Black-Scholes Modells ⁴ zum Ziel. ⁵ Dank seiner Flexibilität hinsichtlich der bewertbaren Optionen ist es bis heute das gebräuchlichste numerische Bewertungsverfahren. 6

Ziel des Modells ist die Bewertung von Optionen anhand des der Option zugrundeliegenden risikobehafteten Wertpapiers. Mit Hilfe eines den Zahlungsstrom einer Option replizierenden Duplikations-Portfolios kann durch die Auswertung des endlich langen Binomialbaumes der Wert des Portfolios und somit der Wert der Option bestimmt werden. Das Modell unterstellt einen Kursverlauf, der einem zeitdiskreten und multiplikativen Binomialprozess folgt, bei dem der Kurs eines risikobehafteten Wertpapiers nach jedem Zeitschritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit steigen und einer bestimmten Gegenwahrscheinlichkeit fallen kann. ⁷ Es gelten folgende Annahmen: 8

 Keine Transaktionskosten und Steuern

 Keine Dividenden oder sonstige Zahlungen während der Optionslaufzeit  Leerverkäufe sind möglich  Diskreter Aktienhandel  Aktien sind beliebig teilbar

 Möglichkeit zur Kreditaufnahme und- vergabe zum bekannten und konstanten risiko-

losen Zinssatz

 Kein Arbitrage möglich

 Keine Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung der Option

⁴ Siehe Kapitel 3.

⁵ Vgl. Rendleman/Bartter (1979), S. 1101.

⁶ Vgl. Hagl (2007), S. 77-78; Sandmann (2010), S. 199-200.

⁷ Vgl. Wilmott/Howison/Dewynne (2002), S. 180-182; Hagl (2007), S. 78-80.

⁸ Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232; Steiner/Bruns (2002), S. 324; Hagl (2007), S. 47.

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2.2 Einperiodische Binomialbäume

Grundlage dieses Modells ist der einperiodische Zweizustandsbaum, der die möglichen Kursverläufe eines risikobehafteten Wertpapiers beschreibt. ⁹ Die Variable bezeichnet den Kurswert einer Aktie zum Zeitpunkt . In steigt der Wert dieser Aktie mit der Wahrscheinlichkeit auf den Wert oder fällt mit der Gegenwahrscheinlichkeit auf den Wert .

Dabei sind die Kursänderungsfaktoren wie folgt definiert: . Der gegenwärtige Wert

einer Call-Option mit dieser Aktie als Underlying wird mit der Variablen beschrieben. Die Laufzeit der Option endet in Analog zum Kursverlauf der Aktie steigt der Wert einer Call-Option, die diese Aktie zugrundeliegen hat, auf den Wert , sollte die Aktie auf steigen.

Fällt die Aktie zum Zeitpunkt auf , sinkt der Wert der Option auf . Die Auszahlung der Call-Option in entspricht dem inneren Wert der Option, also der Differenz zwischen Aktienkurs und Ausübungspreis, sofern diese positiv ist:

Abbildung 1 zeigt mögliche Entwicklungen der Aktien- und Optionswerte: 10

Zur Herleitung des gegenwärtigen Werts der Call-Option wird ein sogenanntes Duplikations-portfolio ¹¹ gebildet, das die künftigen Rückflüsse dieses Calls repliziert. Dieses Portfolio besteht aus Einheiten der zugrundeliegenden Aktie und einem Betrag , der in einen risikolosen Bond investiert ist. Der risikolose Bond verzinst sich mit dem risikolosen Zinssatz . Definiert man ergeben, sich für den Wert des Duplikationsportfolios in der Periode

⁹ Vgl. im Folgenden Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232-233.

¹⁰ Vgl. Rendleman/Bartter (1979), S. 1095.

¹¹ In Anlehnung an Cox/Ross/Rubinstein (1979). Black/Scholes (1973), S. 641 und Rendleman/Bartter (1979), S. 1093-1094 verwenden alternativ ein Hedge-Portfolio.

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folgende mögliche Werte: 12

Bei der Nichtexistenz von Arbitragemöglichkeiten müssen die Rückflüsse der Option und des Portfolios stets den gleichen Wert haben: 13

Die Gleichung (4) bezeichnet den Wert der Call-Option, wenn der Aktienkurs steigt. Sollte der Kurs fallen, entspricht Gleichung (5) dem Wert der Option. Durch die Auflösung dieses Gleichungssystems nach und ergibt sich die Zusammensetzung des duplizierenden Portfolios: 14

Zur Gewährleistung der No-Arbitrage Bedingung müssen die Kursänderungsfaktoren und in folgendem Verhältnis stehen: . Im Fall können durch einen kreditfinanzierten ¹⁵ Aktienkauf risikolose Arbitragegewinne erwirtschaftet werden. Sollte gelten,

würde der Leerverkauf von Aktien und der Kauf von risikolosen Bonds zu Arbitragegewinnen führen. 16

Durch Einsetzen der Gleichungen (6) und (7) in Gleichung (3) erhält man den Wert der Call-Option in :

¹² Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 171-172.

¹³ Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 233-234; Steinbrenner (1996), S. 165-166.

¹⁴ Vgl. Chriss (1997), S. 275-276.

¹⁵ Der Leerverkauf von risikolosen Bonds entspricht einer Kreditaufnahme.

¹⁶ Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 171-172; Sarkuppe (1994), S. 158-159.

Definiert man Option im Einperiodenmodell: 17

Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass die Bewertung der Option nicht von der Binomialwahrscheinlichkeit abhängt. Es kann somit von einer risikoneutralen Welt ausgegangen werden, in der es keinen Unterschied macht, ob der Investor risikoavers oder risikofreudig ist. 18

Tatsächlich ergibt sich jedoch für die Binomialwahrscheinlichkeit der selbe Wert, wie für den Parameter . Die Herleitung erfolgt über den Erwartungswert der Aktie zum Zeitpunkt : 19

In einer Welt, in der alle Akteure indifferent gegenüber Risiken sind, muss der Erwartungswert der Rendite einer Investition dem risikolosen Zinssatz entsprechen, bzw. sich eine Investition mit verzinsen. Es gilt: 20

Durch Gleichsetzen der Gleichungen (10) und (11), erhält man einen Wert für , der exakt entspricht:

Die Variable wird daher auch als Pseudowahrscheinlichkeit bezeichnet, da sie der Binomialwahrscheinlichkeit entspricht, diese aber für die Bewertung der Option im Binomialmodell nicht nötig ist.

¹⁷ Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 234.

¹⁸ Vgl. Hull (2006), S. 244-247.

¹⁹ Im einperiodischen Modell:

²⁰ Vgl. Smith (1976), S. 22; Cox/Rubinstein (1985), S. 173-174.

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2.3 Mehrperiodische Binomialbäume

Die Annahme von exakt zwei möglichen Aktienkursen während der Optionslaufzeit erscheint zunächst stark realitätsfern. Es liegt auf der Hand, dass allein an einem einzigen Tag der Kurs einer Aktie mehrere verschiedene Werte annehmen kann. Sollte man jedoch die Anzahl der Kursbewegungsschritte im Binomialmodell gegen Unendlich streben lassen, erhält man infinitesimal kleine Zeitschritte, in denen der Kurs jeweils einen von zwei Werten annehmen kann. Dieser Fall scheint nun der realen Kursentwicklung zu entsprechen und führt zur Annahme der Lognormalverteilung der Aktienkurse. 21

Zur Herleitung der Bewertungsformel wird zuerst das zweiperiodische Binomialmodell betrachtet. Analog zu den möglichen Kursverläufen der Aktie, kann die Call-Option nach zwei Perioden 3 verschiedene Werte annehmen: 22

Wie aus Abbildung 2 ersichtlich ist, handelt es sich um einen symmetrischen Binomialbaum. Grund für diese Tatsache sind konstante Zeitabschnitte und über die Zeit konstante Kursände-rungsfaktoren sowie eine konstante Binomialwahrscheinlichkeit. Dadurch führt ein Aktienkurs, der zuerst auf steigt und danach auf fällt zu genau dem selben Wert, wie ein Verlauf von über auf . Somit gilt für die entsprechenden Werte der Option: . 23

Um die Optionen im zweistufigen Modell zu bewerten, werden die Werte der einzelnen Knotenpunkte rekursiv berechnet. Das bedeutet, dass in diesem Fall zuerst der Wert der Option in analog zum einperiodischen Modell ermittelt werden: ²⁴ den Punkten und

²¹ Vgl. Rendleman/Bartter (1979), S. 1099; Hull (2006), S. 241.

²² Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 236.

²³ Vgl. Chriss (1997), S. 223-227.

²⁴ Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 237-238.