Inhaltsverzeichnis

0.  MOTIVATION  1

1.  EINLEITUNG  2

1.1.  MODELLIERUNG DES AKTIENKURSES MIT DEM LOG-LINEAREN ANSATZ  2

1.2.  STOCHASTISCHE PROZESSE UND BROWNSCHE BEWEGUNG  2

1.3.  DIE BLACK-SCHOLES-FORMEL  3

2.  WICHTIGE VERTEILUNGEN  5

2.1.  NORMALVERTEILUNG  5

2.2.  -VERTEILUNG  5

2.3.  F-VERTEILUNG  5

2.4.  T-VERTEILUNG (STUDENT-VERTEILUNG)  6

2.5.  DICHTE DER T4-VERTEILUNG MIT VARIANZ 1  6

3.  F-TEST  8

3.1.  DAS MODELL  8

4.  SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE  9

4.1.  DURCHFÜHRUNG DER SIMULATION  9

4.2.  PROGRAMMIERUNG DES F-TESTS  11

4.3.  ERGEBNIS UND INTERPRETATION  12

5.  TEST MIT REALEN DATEN  15

5.1.  PRÜFEN DER MODELL-VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE REALEN DATEN  15

5.2.  TESTERGEBNISSE  20

6.  BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL  21

QUELLENVERZEICHNIS   22

0. Motivation

Aktienkurse sind von großer Unsicherheit geprägt, da genaue Vorhersagen über Kurswerte nicht möglich sind. Dies liegt daran, dass die Aktienkurse sehr vielen Einflüssen unterliegen, wie z.B. der allgemeinen Marktsituation, der Firmenstrategie, politische Ereignisse usw. Aus diesem Grund werden Modelle gesucht, die Aktienkurse möglichst genau beschreiben, um diese Unsicherheit zu verkleinern oder gar zu beseitigen. Dabei wählt man gerne stochastische Modelle, um Aktienkurse zu modellieren, weil man annimmt, dass die Kurse zumindest zu einem gewissen Anteil zufällig verlaufen und somit auch nicht exakt vorherzusagen sind. Den Anfang zum Thema stochastische Modellierung machte im Jahr 1900 Louis Bachelier mit seiner Disertation. Ein wichtiges Ergebnis für die moderne Finanzmathematik lieferten 1973 Black und Scholes mit ihrer Black-Scholes Formel zur Bewertung von Preisen europäischer Optionen. Das Modell basiert auf der Arbitrage-Theorie, in der keine risikolosen Gewinne existieren, da davon ausgegangen wird, dass diese sofort von den Marktteilnehmern erkannt und über eine Preisanpassung eliminiert werden. Das Black-Scholes Modell wurde wegen seiner Einfachheit sehr beliebt in der Praxis und wird auch heute noch verwendet. Die Volatilität spielt im Black-Scholes Modell eine wichtige Rolle, da sie als einzige Größe im Modell unbekannt ist. Diese muss geschätzt werden, womit wir im Bereich Statistik sind.

In der Finanzwelt spielt die Statistik eine große Rolle, wenn es darum geht bestimmte Parameter für ein Modell zu schätzen. Dabei muss man sich auf aktuelle bzw. vergangene Kurswerte beschränken. Auch die Volatilität muss auf diese Art und Weise bestimmt bzw. geschätzt werden. Somit könnte man die Statistik als eine Schnittstelle zwischen den theoretischen Modellen und der Realität betrachten.

Im Rahmen dieser Bachelorarbeit konzentrieren wir uns ausschließlich auf das Black-Scholes Modell. Nach einer kurzen Einführung bezüglich des Modells soll das Verhalten von Kurswerten zunächst theoretisch mit Hilfe von simulierten Zufallswerten betrachtet werden, bevor reale Finanzdaten analysiert werden. Dabei werden auch Tests bezüglich Parameter-Schätzwerten durchgeführt. Hier wird besonders auf die Varianz eingegangen. Schließlich sollen Abweichungen zwischen theoretischem Modell und Realität betrachtet werden, wobei vor allem die Verteilung der realen Werte analysiert wird.

S e i t e | 1

1. Einleitung

1.1. Modellierung des Aktienkurses mit dem log-linearen Ansatz

Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese Frage zu beantworten. Es soll hier der sogenannte loglineare Ansatz gewählt werden. Im Folgenden wird nur die Idee für diesen Ansatz beschrieben, dabei folgen wir den Darlegungen in [3.]. Wir betrachten uns zunächst ein

Zeitpunkt t=0 K(0)=0. Wir wollen nun die Preisentwicklung des Bonds wie ein Sparguthaben modellieren. Ein solches Sparguthaben K folgt bei kontinuierlicher Verzinsung der Vorschrift K(t)=K0 e rt

zu einem Zeitpunkt t mit dem Startkapital K0 und einer festen Zinsrate r. Nun stellen wir uns einen Aktienkurs ähnlich wie ein Bond vor, nur dass sich der Aktienpreis gemäß einer zufälligen Störung um den Bondpreis bewegt. Als Ausgleich für das Risiko, dass sich au

Bondpreises linear ist, legt dies den sogenannten log-linearen Ansatz für den Aktienkurs S nahe: ln(S(t))=ln(S0

Man modelliert

1.2. Stochastische Prozesse und Brownsche Bewegung

In diesem Abschnitt wird die Brownsche Bewegung eingeführt, da das Black-Scholes Modell auf diesem Ansatz aufbaut.

Definition (Filterung): F,P) sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Familie {Ft} von Sub--Algebren von F mit einer geordneten Indexmenge I für die Fs t

Mit Hilfe von Filterungen werden beobachtete Ereignisse (z.B. Aktienkurs-Werte) bis zu einem

S e i t e | 2

Definition (Stochastischer Prozess mit Filterung): Eine Menge {(Xt,Ft)} bestehend aus einer Filterung {Ft} ⁿ -wertigen

Zufallsvariablen {Xt}, wobei Xt Ft-messbar ist, heißt stochastischer Prozess mit Filterung {Ft}. Definition (Brownsche Bewegung) :

Eine Brownsche Bewegung ist ein reellwertiger stochastischer Prozess {Wt} mit folgenden Eigenschaften: W0=0 P-fast sicher i.

Wt-Ws ~ (0,tii. iii.

Unter der Annahme, dass der Aktienkurs St diesem Modell folgt, erfüllt St folgende stochastische Differentialgleichung dSt = St dt + St dWt

Es ergibt sich für die Rendite des Aktienkurses:

Der Renditen-Prozess ist somit eine geometrische Brownsche Bewegung.

1.3. Die Black-Scholes-Formel

Auch heute noch wird das bereits 1973 publizierte Black-Scholes Modell für Preise von Optionen häufig verwendet. Dieses Modell basiert auf den oben genannten Annahmen und Definitionen, wobei das Black-Scholes-Modell für europäische Call-Optionen, geschrieben auf ein Wertpapier S mit Ausübungspreis K, Ausübungszeitpunkt T und Auszahlung C(T)=max{S(T)-K,0} betrachtet

diesen Voraussetzungen gilt:

Black-Scholes-Formel für eine europäische Call-Option C:

wobei die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung ist und r die konstante Zinsrate darstellt.

S e i t e | 3

Vergangenheitswerten des Aktienkurses geschätzt.

Modellieren wir den Aktienkurs St als eine geometrische Brownsche Bewegung, so sind die logarithmierten relativen Zuwächse (log-Renditen) gegeben durch

Dabei ist Rt der Zuwachs Yt Yt-1 des logarithmierten Aktienkurses Yt=ln(S(t)). Rt ist eine unabhängig identisch normalverteilte Zufallsvariable und besitzt somit die Varianz

(siehe [1.], S. 92 ff).

Die unbekannte Varianz schätzen wir in der Simulation für verschiedene Stichproben sowohl für generierte Zufallszahlen, die einer bestimmten Verteilung unterliegen, als auch für reale Finanzdaten. Wir wollen uns dann betrachten, welcher Verteilung die Renditen wirklich folgen und auch ob die Varianz verschiedener Perioden gleich ist. Die Gleichheit bezüglich der Varianz wird mit dem F-Test überprüft. Am Schluss wollen wir also wissen, in wie weit die Voraussetzungen für das Black-Scholes Modell in der Realität wirklich zutreffen und wo es Abweichungen gibt.

S e i t e | 4