Diese Staatsexamensarbeit beschäftigt sich mit dem Vierfarbenproblem und arbeitet die Faszination für dieses Problem dabei in zwei größeren Teilen auf.
In einem fachwissenschaftlichen Teil wird der Erkenntnisweg des Vierfarbenproblems mit seinen kleineren Umwegen nachgezeichnet und dem Leser ein grundlegender Einblick in dessen einzelne Etappen gegeben. Der zweite Teil der Arbeit beleuchtet das graphentheoretische Feld der Vierfarbenproblematik aus fachdidaktischer Perspektive.
Betrachten wir zunächst das Vierfarbenproblem im Zusammenhang mit uns bekannten Landkarten. Alle Landkarten haben gemeinsam, dass sie aus Ländern, Grenzlinien und Eckpunkten bestehen. Aus unserem alltäglichen Sprachverständnis heraus ist auch deren Beziehung zueinander eindeutig festgelegt: Die Länder werden von Linien begrenzt und die Eckpunkte sind solche Punkte, an denen (mindestens) drei Linien zusammen-stoßen. Der Begriff der Jordankurve bringt in diesem Zusammenhang die erste formale Konkretisierung des Objekts Grenzlinie, die wir zunächst als Menge von Punkten in der euklidischen Ebene ansehen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Fachwissenschaftliche Grundlagen der Vierfarbenproblematik
2.1. Grundlagen für Färbungsprobleme
2.1.1. Landkartenfärbungen aus Sicht der Topologie
2.1.2. Färbungen aus der graphentheoretischen Perspektive
2.2. Das Vierfarbenproblem
2.3. Graphenfärbung auf geschlossenen Oberflächen
2.3.1. Beispiele von geschlossenen Oberflächen
2.3.2. Eulercharakteristik
2.3.3. Lösung der Färbungsprobleme
3. Didaktische Realisierung eines außerschulischen Lernvorhabens
3.1. Lernen am anderen Ort
3.1.1. Relevanz und Planung außerschulischer Lernvorhaben
3.1.2. Das Museum als Lernstandort
3.2. Entdeckendes Lernen als Unterrichtsprinzip
3.2.1. Lehr-Lerntheoretische Begründung
3.2.2. Entdeckendes Lernen in der Mathematikdidaktik
3.3. Methodisch-didaktische Planung
3.3.1. Grundkonzept des Lernvorhabens
3.3.2. Vorbereitung im Unterricht
3.3.3. Durchführung im Erlebnisland Mathematik
3.3.4. Nachbereitung im Unterricht
4. Schlussbetrachtungen
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das mathematische Vierfarbenproblem aus fachwissenschaftlicher und fachdidaktischer Sicht, mit dem Ziel, ein außerschulisches Lernvorhaben für das "Erlebnisland Mathematik" in Dresden zu entwickeln und methodisch zu fundieren.
- Mathematische Grundlagen des Vierfarbenproblems (Topologie und Graphentheorie)
- Färbungsprobleme auf komplexeren geschlossenen Oberflächen
- Didaktische Potenziale des Lernens am außerschulischen Lernort
- Methodische Planung eines entdeckenden Lernarrangements
Auszug aus dem Buch
2.1.1. Landkartenfärbungen aus Sicht der Topologie
Betrachten wir zunächst das Vierfarbenproblem im Zusammenhang mit uns bekannten Landkarten. Alle Landkarten haben gemeinsam, dass sie aus Ländern, Grenzlinien und Eckpunkten bestehen. Aus unserem alltäglichen Sprachverständnis heraus ist auch deren Beziehung zueinander eindeutig festgelegt: Die Länder werden von Linien begrenzt und die Eckpunkte sind solche Punkte, an denen (mindestens) drei Linien zusammenstoßen. Der Begriff der Jordankurve bringt in diesem Zusammenhang die erste formale Konkretisierung des Objekts Grenzlinie, die wir zunächst als Menge von Punkten in der euklidischen Ebene ansehen. Wir können dabei zwischen Jordanbögen und geschlossenen Jordankurven unterscheiden und erhalten somit folgende Definition.
Definition 2.1.1. Eine Teilmenge C der Ebene R2 ist (i) ein Jordanbogen, wenn es eine injektive stetige Abbildung c : [0, 1] → R2 mit C = Im (c) gibt. Wir bezeichnen ferner c (0), c (1) als die Randpunkte von C. (ii) eine geschlossene Jordankurve, wenn es eine stetige Abbildung c : [0, 1] → R2 mit C = Im (c) gibt, sodass c (0) = c (1) sowie c|[0,1) injektiv ist (vgl. Fritsch 1994 [16], S. 49).
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Hinführung zum Vierfarbenproblem und zur Zielsetzung der Arbeit, die sowohl eine mathematische Aufarbeitung als auch ein didaktisches Konzept umfasst.
2. Fachwissenschaftliche Grundlagen der Vierfarbenproblematik: Mathematische Einführung in das Problem, unterteilt in topologische Grundlagen, das Kernproblem und dessen Erweiterung auf komplexe Oberflächen.
3. Didaktische Realisierung eines außerschulischen Lernvorhabens: Analyse des Lernortes Museum und Entwicklung eines methodischen Konzepts für den entdeckenden Unterricht zum Vierfarbensatz.
4. Schlussbetrachtungen: Reflexion über die Umsetzbarkeit des exploratorischen Lernarrangements im Schulalltag und die Bedeutung der Prozessorientierung im Mathematikunterricht.
Schlüsselwörter
Vierfarbenproblem, Graphentheorie, Topologie, Außerschulisches Lernen, Erlebnisland Mathematik, Entdeckendes Lernen, Eulersche Polyederformel, Graphenfärbung, Mathematisches Experimentieren, Museumspädagogik, Didaktik, Eulercharakteristik, Kuratowskische Graphen, Planarität, Forschungsheft.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit verknüpft die fachmathematische Auseinandersetzung mit dem Vierfarbenproblem mit einem didaktischen Konzept für einen außerschulischen Besuch im Erlebnisland Mathematik.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Themen umfassen graphentheoretische Grundlagen, die Färbbarkeit auf verschiedenen Oberflächen sowie didaktische Strategien für entdeckendes, handlungsorientiertes Lernen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, Schülern einen Zugang zum abstrakten mathematischen Vierfarbenproblem zu ermöglichen, indem komplexe Zusammenhänge durch ein spezielles Lernvorhaben erfahrbar gemacht werden.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt eine Kombination aus fachwissenschaftlicher Herleitung mathematischer Sätze und einer fachdidaktischen Analyse von Lernkonzepten, insbesondere des entdeckenden Lernens.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in einen fachlichen Teil zur mathematischen Struktur des Problems und einen didaktischen Teil, der das "Forschungsheft" als Instrument zur Lernbegleitung entwirft.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören das Vierfarbenproblem, Graphentheorie, Entdeckendes Lernen, außerschulische Lernorte und mathematisches Argumentieren.
Warum ist das Erlebnisland Mathematik ein geeigneter Lernort?
Der Lernort bietet durch seine Exponate die Möglichkeit für ein handlungsorientiertes und spielerisches Ausprobieren mathematischer Phänomene, was das entdeckende Lernen ideal unterstützt.
Welche Rolle spielt das "Forschungsheft" für die Schüler?
Das Forschungsheft dient als zentrales Arbeitsmedium, das den Erkenntnisprozess strukturiert und Schülern hilft, eigene Vermutungen und Lösungsansätze während des Lernvorhabens zu dokumentieren.
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- Fabian Schulz (Autor), 2018, Das Vierfarbenproblem in außerschulischen Lernvorhaben. Möglichkeiten zur didaktischen Realisierung, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1007757
