Abweichungsmaße

Inhalt:

I. Abweichungsmaße
- Geschichtliche Aspekte
- Begriffe: Definition
- Bedeutung

II. Anwendung
- Works
- Beispielaufgabe

Einfache Formen der Statistik gab es schon auf frühen Stufen der Zivilisation. So benutzten die Babylonier schon 3000 v. Chr. kleine Tontafeln für tabellarische Aufstellungen von landwirtschaftlichen Erträgen und von getauschten oder verkauften Waren. Um auf die Gegebenheiten richtig reagieren zu können, ist eine Bewertung der Daten nötig.

Die Statistik ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Sammlung, Zusammenstellung und Analyse von Zahlenmaterial – den statistischen Daten – für wissenschaftliche, soziale, politische und wirtschaftliche Zwecke beschäftigt. Zur Bewertung dienen die Abweichungsmaße.

I. Die Abweichungsmaße:

- Spannweite -

Berechnung:

R=X_Max - X_Min

Definition:

Differenz vom größten zum kleinsten Wert

Bedeutung: Kann zur besseren Einschätzung von Datensätzen kleineren Umfangs dienen: Eine Klassenarbeit hat einen Durchschnitt von 2.0 aber eine Spannweite von 4, daraus kann man erschließen, daß trotz des guten Durchschnitts wenige schlechte Noten vorhanden sein müssen. (Bsp.: Note 1 x 3 Note 5 x 1)

- Empirische Streuung -

Häufig hat man mit der empirischen Streuung oder Varianz einer Verteilung zu tun, also damit, ob sich die Werte um einen Mittelwert häufen oder ob sie mehr oder weniger gleichmäßig über das ganze Spektrum verstreut sind.

Berechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definition:

Gewichtete Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.

Bedeutung:

Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert. In vielen Fällen reicht der Mittelwert zur Charakterisierung der Abweichung nicht aus.

Die Streuung wird auch als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate bezeichnet.

ÞDurch das Quadrieren jeder einzelnen Differenz des Mittelwertes vom Einzelwert werden die Extremwerte stärker gewichtet.

Beispiel:* Bei der Produktion von Bolzen z.B. ist der Durchmesser ein wichtiges Maß. Bei der

Einrichtung der Maschine ist ihr Mittelwert dem Sollmaß gleich. Während der Produktion stellt sich aber heraus, daß viele Durchmesser größer bzw. kleiner als das Sollmaß sind; bei gleichem Mittelwert können nun sogar bei der einen Maschine die Abweichungen groß und bei der anderen klein sein. Sie müssen aber innerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Zu ihrer Beschreibung wird die Streuung oder Varianz genutzt.

Erstmalig wurde dieses Verfahren von Carl Friedrich Gauß (geb. 1777, gest. 1855), einem deutschen Gelehrten, der bahnbrechend Erkenntnisse in Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie herausstellte, angewandt. Er erfand mit Weber den elektromagnetischen Telegraphen, entwickelte die moderne Zahlentheorie, Algebra und Analyse sowie Funktionstheorie, und Methoden zur Berechnung von Planetenbahnen und führte das absolute Maßsystem ein.

- Empirische Standardabweichung -

Berechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definition:

Mittlere Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.

Bedeutung:

Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert. Die Bedeutung gleicht wie die Berechnung größtenteils der der Varianz. Der Unterschied ist lediglich, daß bei der Standardabweichung durch das Wurzelziehen aus der Summe der Abweichungsquadrate Extremwerte weniger stark gewichtet werden. Ist die Standardabweichung gering, so häufen sich die Messungen um den Mittelwert; ist sie groß, so sind sie weit verstreut.

Als Beispiel kann man sich eine Aufgabe vorstellen, in der die extrem Abweichungen von Interesse, aber nicht unbedingt Ausschlaggebend sind.

II. Anwendung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Spannweite:

Für die Spannweite existiert in WORKS keine Konkrete Funktion.

Allerdings kann man mit Hilfe der Funktionen MAX(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...) und MIN(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...), den größten bzw. kleinsten Wert eines Bereichsbezuges ausgeben lassen und daraus die Differenz bilden.

Empirische Streuung:

Funktion: VARIANZ(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)

Anwendung:
- VARIANZ ins Eingabefeld eingeben.
- Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)

Empirische Standardabweichung:

Funktion: STABW(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)

Die Funktion liefert als Ergebnis die Standardabweichung einer Grundmenge basierend auf einem, in Bereichsbezügen angegebenen, Musters.

Anwendung:
- STABW ins Eingabefeld eingeben.
- Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)

Martin Behrens

Quellen: *Mathematik(1969), Lexikon Mathematik(1979) -VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Microsoft Encarta`97, WORKS4.0

Textverarbeitung: Microsoft WORD`97