Die vorliegende Arbeit handelt von Benfords Gesetz über die Verteilung signifikanter Ziffern von realen Zahlen und dessen Anwendung in der Marktforschung. Benfords Gesetz besagt kurzgefasst, dass die Anfangsziffern bestimmter Datenmengen nicht gleichverteilt sind, sondern einer logarithmischen Verteilung folgen.
Es werden ein Wahrscheinlichkeitsraum für Benfords Gesetz und Formeln für die Verteilung der ersten, zweiten und n-ten Ziffer sowie die gemeinsame Verteilung der ersten n Ziffern eingeführt. Ferner werden die besonderen Eigenschaften der Benford-Verteilung wie die Skalen- und die Baseninvarianz betrachtet. Als Hauptresultat wird ein Grenzwertsatz für signifikante Ziffern angegeben und bewiesen.
Als besondere Anwendungsmöglichkeit wird die Aufdeckung von Fälschungen bei Interviews in der Marktforschung betrachtet. Dazu werden die Prozesse der Datenerhebung beleuchtet und Ergebnisse bisheriger Studien vorgestellt. Die verschiedenen in der Marktforschung auftauchenden Datentypen werden analysiert und ihre Eignung als Prüfgrößen untersucht. Darauf aufbauend wird ein Programm zum Test auf die Benford-Verteilung vorgestellt und eine mögliche Testfrage auf Tauglichkeit untersucht.
Inhaltsverzeichnis
1 Einfuhrung
1.1 Geschichtlicher Abriss zu Benfords Gesetz
1.2 Erklärungen fur Benfords Gesetz
1.3 Aufbau der Arbeit
1.4 Mathematische Grundlagen
2 Benfords Gesetz
2.1 Mantissen und signifikante Ziffern
2.2 Wahrscheinlichkeitsraum
2.2.1 Grundraum Ω
2.2.2 Mantissen-σ-Algebra Mb
2.2.3 Wahrscheinlichkeitsmaß P˜
2.3 Spezialfalle von Benfords Gesetz
2.3.1 Gesetz der ersten Ziffern
2.3.2 Gesetz der n-ten Ziffern
2.4 Allgemeine Eigenschaften der Benford-Verteilung
2.4.1 Konvergenz der Benford-Verteilung
2.4.2 Abhängigkeit der Ziffern
2.5 Strukturelle Eigenschaften der Benford-Verteilung
2.5.1 Skaleninvarianz
2.5.2 Baseninvarianz
2.6 Grenzwertsatz fur signifikante Ziffern
2.7 Beispiele fur benford-verteilte Datenmengen
2.7.1 Endpreise von Ebay-Auktionen
2.7.2 Fibonacci-Zahlen
2.7.3 Lucas-Zahlen
2.7.4 Hills Datenmengen
3 Anwendung von Benfords Gesetz in der Marktforschung
3.1 Verschiedene Anwendungsmöglichkeiten
3.1.1 Computeroptimierung
3.1.2 Plausibilitätstest bei mathematischen Modellen
3.1.3 Steuerfahndung
3.1.4 Marktforschung
3.2 Datenerhebung in der Marktforschung
3.2.1 Stichprobe
3.2.2 Pretest
3.2.3 Ablauf des Interviews
3.2.4 Durchfuhrungsobjektivität
3.2.5 Dispositions
3.2.6 Kontaktphase
3.2.7 Filterfragen und unfertige Interviews
3.2.8 Abhören und Monitoring
3.2.9 Interviewdauer
3.2.10 Ausreißer-Prufung
3.2.11 Telefonische Nachkontrollen
3.2.12 Falsche Angaben der Befragten
3.3 Datentypen in der Marktforschung
3.3.1 Nominal- und Ordinalskalen
3.3.2 Intervallskalen
3.4 Tests auf die Benford-Verteilung
3.4.1 Verschiedene in der Literatur erwähnte Tests
3.4.2 Invarianz-Testverfahren
3.4.3 χ2-Anpassungstest
3.4.4 Programm zum Test auf die Benford-Verteilung
3.4.5 Testbeispiele
3.4.6 Interpretation von Tests
3.5 Ergebnisse bisheriger Studien
3.5.1 Judge und Schechter
3.5.2 Swanson, Cho und Eltinge
3.5.3 Schräpler und Wagner
3.6 Tests bei Umfragedaten
3.6.1 Daten aus der Literatur
3.6.2 Reale Daten
4 Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht Benfords Gesetz, das eine logarithmische Verteilung der Anfangsziffern in vielen realen Datenmengen beschreibt. Ziel ist es, die theoretischen Grundlagen dieses Gesetzes zu erarbeiten und dessen praktische Anwendbarkeit in der Marktforschung zu bewerten, insbesondere zur Identifikation von Fälschungen in Umfragedaten.
- Theoretische Herleitung der Benford-Verteilung und ihrer Eigenschaften
- Mathematische Beweise für Skalen- und Baseninvarianz
- Grenzwertsatz für signifikante Ziffern bei zufälligen Datensätzen
- Evaluierung von Testverfahren zur Überprüfung von Benford-Verteilungen
- Analyse von Umfragedaten hinsichtlich ihrer Tauglichkeit für Benford-Tests
Auszug aus dem Buch
1.1 Geschichtlicher Abriss zu Benfords Gesetz
Der Astronom Simon Newcomb veröffentlichte 1881 einen Artikel mit dem Titel „Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers“ [NEWCOMB 1881]. In diesem Beitrag erläuterte er seine Beobachtung, dass die ersten Seiten von Logarithmen-Tafeln wesentlich schneller abgenutzt sind als die letzten. Er schloss daraus, dass die 1 als erste Ziffer häufiger vorkomme als die 2, die 2 häufiger als die 3 und so fort. Für seine Beobachtung gab er folgende Beschreibung an:
P(erste signifikante Ziffer = d) = log10(1 + 1/d), wobei d = 1, 2, ..., 9 ist
und
P(zweite signifikante Ziffer = d) = Summe von k=1 bis 9 von log10(1+ (10k+d)^-1), wobei d = 0, 1, 2, ..., 9.
Diese Entdeckung widerspricht der allgemeinen Ansicht, dass jede Ziffer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit - beispielsweise 1/9 für die erste Ziffer bei den Dezimalzahlen - vorkommen sollte. Lange Zeit beschäftigte sich niemand mit diesem Thema. Bekannt wurde es erst, als der Physiker Frank Benford dieselbe Beobachtung in den Logarithmen-Tafeln machte und 1938 fundiert durch eigenes Datenmaterial in dem Artikel „The law of anomalous numbers“ veröffentlichte [BENFORD 1938].
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einfuhrung: Dieses Kapitel bietet einen historischen Überblick über Benfords Gesetz und legt die mathematischen Grundlagen für die gesamte Arbeit.
2 Benfords Gesetz: Hier werden die theoretischen Eigenschaften, wie Skalen- und Baseninvarianz, sowie der Grenzwertsatz für signifikante Ziffern detailliert hergeleitet und bewiesen.
3 Anwendung von Benfords Gesetz in der Marktforschung: In diesem Hauptteil wird untersucht, wie Benfords Gesetz zur Identifikation von manipulierten Umfragedaten eingesetzt werden kann, inklusive verschiedener Testmethoden und Fallbeispiele.
4 Zusammenfassung und Ausblick: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und diskutiert das Potenzial von Benfords Gesetz als Instrument in der Qualitätssicherung.
Schlüsselwörter
Benfords Gesetz, Signifikante Ziffern, Mantisse, Marktforschung, Datenmanipulation, Skaleninvarianz, Baseninvarianz, Wahrscheinlichkeitsmaß, Chi-Quadrat-Test, Umfragedaten, Datenerhebung, Qualitätssicherung, Stichprobe, Logarithmische Verteilung, Ziffernanalyse
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit Benfords Gesetz, einer mathematischen Beobachtung über die Verteilung von Anfangsziffern in numerischen Datensätzen, und ihrer praktischen Anwendung zur Prüfung von Umfragedaten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Theorie hinter Benfords Gesetz (Wahrscheinlichkeitstheorie) und der empirischen Anwendung in der Marktforschung zur Aufdeckung von gefälschten Interviews.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel ist die theoretische Durchdringung der Benford-Verteilung und die Beantwortung der Frage, ob und wie diese als Qualitätssicherungsinstrument bei der Datenerhebung in der Marktforschung dienen kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematisch-stochastische Methoden zur Definition von Wahrscheinlichkeitsräumen sowie statistische Testverfahren, insbesondere Chi-Quadrat-Anpassungstests, zur Überprüfung von Hypothesen verwendet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden neben den theoretischen Beweisen der Eigenschaften der Verteilung vor allem die Prozesse der Datenerhebung in der Marktforschung und die Eignung verschiedener Testverfahren analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie Benfords Gesetz, Signifikante Ziffern, Marktforschung, Datenmanipulation und Chi-Quadrat-Test definiert.
Warum sind Nominal- und Ordinalskalen für den Test ungeeignet?
Bei diesen Skalen handelt es sich um kodierte Kategorien ohne reelle Mantissen-Eigenschaften, weshalb sie mathematisch nicht die Voraussetzungen für eine Benford-Verteilung erfüllen.
Ist die Ablehnung der Nullhypothese ein direkter Beweis für eine Fälschung?
Nein. Eine Ablehnung der Nullhypothese signalisiert lediglich eine signifikante Abweichung von der erwarteten Verteilung, was ein Indiz für Fehler oder Manipulation sein kann, aber nicht zwangsläufig eine Fälschung beweist.
- Quote paper
- Diplom-Mathematikerin Maja Glück (Author), 2007, Die Benford-Verteilung. Anwendung auf reale Daten der Marktforschung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/111955
