Die Benford-Verteilung. Anwendung auf reale Daten der Marktforschung

Diplomarbeit

Die Benford-Verteilung
Anwendung auf reale Daten der Marktforschung

Maja Irene Susanne Glück

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung . . . 1
1.1 Geschichtlicher Abriss zu Benfords Gesetz . . . 1
1.2 Erklärungen für Benfords Gesetz . . . 2
1.3 Aufbau der Arbeit . . . 3
1.4 Mathematische Grundlagen . . . 3

2 Benfords Gesetz . . . 6
2.1 Mantissen und signifikante Ziffern . . . 6
2.2 Wahrscheinlichkeitsraum . . . 9
2.3 Spezialfälle von Benfords Gesetz . . . 16
2.4 Allgemeine Eigenschaften der Benford-Verteilung . . . 19
2.5 Strukturelle Eigenschaften der Benford-Verteilung . . . 24
2.6 Grenzwertsatz für signifikante Ziffern . . . 33
2.7 Beispiele für benford-verteilte Datenmengen . . . 43

3 Anwendung von Benfords Gesetz in der Marktforschung 46
3.1 Verschiedene Anwendungsmöglichkeiten . . . 46
3.2 Datenerhebung in der Marktforschung . . . 48
3.3 Datentypen in der Marktforschung . . . 53
3.4 Tests auf die Benford-Verteilung . . . 55
3.5 Ergebnisse bisheriger Studien . . . 62
3.6 Tests bei Umfragedaten . . . 65

4 Zusammenfassung und Ausblick . . . 71

A Programm zur Ermittlung der Ziffernhäufigkeiten . . . 73
B Teilstichproben aus Datensatz 3 . . . 79

Literaturverzeichnis . . . 84

Inhaltsangabe

Die vorliegende Arbeit handelt von Benfords Gesetz über die Verteilung signifikanter Ziffern von realen Zahlen und dessen Anwendung in der Marktforschung. Benfords Gesetz besagt kurzgefasst, dass die Anfangsziffern bestimmter Datenmengen nicht gleichverteilt sind, sondern einer logarithmischen Verteilung folgen.

Es werden ein Wahrscheinlichkeitsraum für Benfords Gesetz und Formeln für die Verteilung der ersten, zweiten und n-ten Ziffer sowie die gemeinsame Verteilung der ersten n Ziffern eingeführt. Ferner werden die besonderen Eigenschaften der Benford-Verteilung wie die Skalen- und die Baseninvarianz betrachtet. Als Hauptresultat wird ein Grenzwertsatz für signifikante Ziffern angegeben und bewiesen.

Als besondere Anwendungsmöglichkeit wird die Aufdeckung von Fälschungen bei Interviews in der Marktforschung betrachtet. Dazu werden die Prozesse der Datenerhebung beleuchtet und Ergebnisse bisheriger Studien vorgestellt. Die verschiedenen in der Marktforschung auftauchenden Datentypen werden analysiert und ihre Eignung als Prüfgrößen untersucht. Darauf aufbauend wird ein Programm zum Test auf die Benford-Verteilung vorgestellt und eine mögliche Testfrage auf Tauglichkeit untersucht.

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