Handlungsorientierte Zugänge zum Funktionsbegriff und Möglichkeiten zur Förderung des funktionalen Denkens

Inhaltsübersicht:

1 Einleitung

2 Handlungsorientierung als Konzept zur Umsetzung eines größeren Realitätsbezuges der Fachinhalte in den Unterricht

3 Funktionsbegriff und Funktionsarten
3.1 Der Funktionsbegriff
3.2 Lineare Funktionen mit fachwissenschaftlicher Analyse proportionaler Funktionen
3.3 Potenzfunktionen mit dem Spezialfall der Antiproportionalität
3.4 Exponentialfunktionen

4 Chancen für instruktives Unterrichten zur Unterstützung und Entwicklung des funktionalen Denkens und des Funktionsbegriffserwerbs
4.1 Differenzierung und Verbundenheit von unterschiedlichen Repräsentationen desselben Sachverhalts
4.2 Mathematik als Instrument der Physik
4.2.1 Proportionalität als Eigenschaft von Funktionen
4.2.2 Experimentelle Ermittlung proportionaler Zusammenhänge
4.2.3 Herausarbeitung von Potenzfunktionen
4.2.4 Modellierung als mathematisch-theoretisches Konstrukt eines realen (Natur-) Vorgangs
4.3 Innermathematische Anwendungen von proportionalen und antiproportionalen Funktionen

5 Schlussbetrachtung

6 Inhaltsverzeichnis

7 Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

Mathematik wird in unserer Gesellschaft oftmals als etwas verstanden, was eherlästig und anstrengend ist als dass sie Freude bereitet und für unser Leben nützlich sein kann. Sie habe rein gar nichts mit dem richtigen Leben zu tun, sondern erscheine zwecklos und diene zu gar nichts, was die Menschheit zum Leben benötige, mögen einige Menschen in den Extremfällen sagen. Höchstens den Aufgaben des Zählens, Rechnens und Messens, wie sie in der Form der Grundfertigkeiten verstanden werden, würde noch Bedeutung zukommen. Und viele Jugendliche, vielleicht die Mehrheit, werden sich während des Mathematikunterrichts in der Schule zumindest insgeheim schon einmal gefragt haben, wozu man „das Ganze“ überhaupt jemals wieder brauchen wird. Wohl fast jeder Mathematiklehrer wird diese Frage schon einmal gestellt bekommen haben. Dass Mathematik jedoch weitaus mehr ist als das Zählen und Rechnen, leuchtet längst nicht jedem unmittelbar ein. Sogar von einem Imageproblem der Mathematik ist die Rede, wie kürzlich in der Zeitschrift DAAD Letter zu lesen war, obwohl im Alltag fast nichts mehr ohne Mathematik funktioniere, so die Autorin des Artikels.¹ Wie kommt diese weitläufig ablehnende Haltung gegenüber dieser Wissenschaft, die einer der ältesten überhaupt ist, zustande? Als „zu schwer“ und „zu abstrakt“ wird die Mathematik bereits in den Schuljahren verurteilt. In signifikantem Maße liegt die Ursache also bereits im Schul-Unterricht, beim Heranführen der Schüler an diese großartige Disziplin - die Mathematik.

Und hier setzt diese Arbeit an² - im Mathematikunterricht. Das erfolgreiche Lernen kann überhaupt nur dann gelingen, wenn den Schülern³ gleichzeitig die Bedeutsamkeit und der Nutzen des Gelernten vermittelt werden. Andernfalls erfolgt wiederum die Suche der Kinder und Jugendlichen nach dem veritablen Wert bestimmter Themenbereiche und die Gefahr des Infragestellens und der Skepsis bis hin zur Resignation, wie sie leider allzu oft vorhanden ist. Die Mathematik muss keineswegs langweilig und sinnlos erscheinen. Und es wäre fatal, Kindern schon infrühen Jahren mit (für sie) sinnleeren Formeln, Gesetzen und Theorien zu begegnen. Vorgegebenen, fertigen Systematiken sollte dort Einhalt geboten werden, wo es möglich ist. Die Erkenntnis für die Herkunft des Elementaren ginge ansonsten verloren und damit auch das grundsätzliche Interesse an der Mathematik. Die Gliederung sachlichen und logischen Wissens kann nur in nachvollziehbaren Zusammenhängen erlernt werden. Eine grundlegende Chance hierfür bietet uns die Natur. Sie gehorcht in einer ungemein großen Vielfalt gewissen mathematischen Regeln, sodass einige Menschen gar der Meinung sind, die ganze Welt könne durch die Mathematik beschrieben werden. Deshalb verwundert es nicht, dass die Mathematik trotz ihrer Nähe zur Natur als Sprach- und nicht als Naturwissenschaft deklariert wird. (Allein die Verbundenheit mit der Wirtschaft schließt die Vermutung aus, die Mathematik sei eine Naturwissenschaft). Dabei spielen Modellierungen eine tragende Rolle, denn ohne sie könnte man viele (Natur-) Vorgänge aus der Welt schlicht und ergreifend nicht übersetzen und somit weder interpretieren noch analysieren.

Der Begriff der Funktion ist einer der Kernbegriffe der modernen Mathematik. Kaum ein Gebiet der Mathematik ist gänzlich frei von den Erscheinungsformen des Funktionsbegriffs. Deshalb ist es in hohem Maße bedeutend, den Funktionsbegriff treffend und sorgfältig in den Schulen einzuführen. Es stellt sich dabei insbesondere die Frage, wie die Entwicklung des funktionalen Denkens am geeignetsten gefördert und unterstützt wird und die latenten Chancen für die Herausarbeitung einer angemessenen Vorstellung und eines sicheren Verständnisses des Funktionsbegriffs tatsächlich wahrgenommen werden können. Dabei ist es wichtig, die Schüler auf der einen Seite nicht zu früh mit formalen Ausdrucksweisen zu überfordern. Andererseits ist es ja gerade das Geschick der Mathematik, Aussagen bzw. Gesetzmäßigkeiten möglichst prägnant in ihrer eigenen Sprache wiederzugeben. Nicht zuletzt deshalb wird oft auch von der Schönheit der Mathematik gesprochen, in der viele eine Kunst sehen und sie als eine ästhetische Disziplin bezeichnen. Den Schülern muss sie mit Lebendigkeit begegnen, denn schließlich besteht auch die Musik „nicht nur aus Kreisen und Kreuzchen, die über die Notenlinien tanzen. Ganz entsprechenderwachen auch die mathematischen Symbole erst zum Leben […]“⁴, wenn dieSchüler die Mathematik auf reale Sachverhalte übertragen und anwenden können.

Wenngleich die Behandlung von Funktionen im Mathematikunterricht, oder genauer der Funktionsbegriffserwerb und dessen Festigung, der Kern dieser Arbeit ist, ist es zunächst sinnvoll, das handlungsorientierte Unterrichten allgemein durch ihre Eigenschaften zu bestimmen, da dieses Unterrichtskonzept hierbei eine bedeutende Rolle spielt. Das Thema Funktionen wird dabei zwischendurch immer wieder explizit mit einbezogen. Anschließend wird noch etwas zum Funktionsbegriff und einigen grundlegenden Funktionsarten, so wie sie in der Sekundarstufe 1 vorkommen, gesagt. Dabei wird der Fokus insbesondere auf die Begriffe Proportionalität und Antiproportionalität gelegt und einige Eigenschaften unter einem fachwissenschaftlichen Aspekt betrachtet. In dem umfangreichen Kapitel 4 geht es um den Mathematikunterricht. Darin werden viele Möglichkeiten und Beispiele genannt, die Lehrern und vor allem den Schülern von Nutzen sein können, da sie Nachhaltigkeit beim Verständnis des Funktionsbegriffs zu versprechen vermögen. Das fächerübergreifende Unterrichten (mit der Physik), d.h. die Behandlung außermathematischer Problemstellungen, wird ebenso Inhalt sein wie innermathematische Sachverhalte im Umgang mit Funktionen. Allerdings hat es sich während des Verfassens der Arbeit aufgrund des umfassenden Themas als sinnvoll erwiesen, das Augenmerk hauptsächlich auf die Proportionalität bzw.

Antiproportionalität gerichtet zu lassen. Die Arbeit hätte bei Einbeziehung mehrerer Funktionsarten (inkl. Beispiele) ansonsten beliebig weit fortgeführt werden können oder massive Einschränkungen inhaltlicher Art nach sich ziehen müssen. Der Titel dieser Arbeit macht schließlich schon deutlich, dass die Zugänge zu diesem Thema und in die Unterstützung für ein altersgerechtes Entwickeln des Funktionsbegriffs den Kern bilden. Die ersten Einblicke in dieses Gebiet finden nun einmal primär mit den genannten Funktionseigenschaften (nach den einfachsten Zuordnungen) statt und bilden somit ein gewisses Fundament des Funktionsverständnisses - die Grundlage alles Aufbauendem also.

2 Handlungsorientierung als Konzept zur Umsetzung eines größeren

Realitätsbezuges der Fachinhalte in den UnterrichtDer handlungsorientierte Unterricht findet auf der Basis schüleraktiver Form statt. Die Schüler sind demnach aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligt und erfahren somit einen anderen Zugang zu einem inhaltlichen Stoff als es der Frontalunterricht beispielsweise vorgibt. Diese Form ist in einigen Fächern beliebter als in anderen, da entweder die Voraussetzungen günstiger erscheinen oder sich auf der anderen Seite die Haltung durchsetzt, den darlegenden (frontalen) Unterricht der Bequemlichkeit wegen „standardmäßig“ durchzuführen. Nichtsdestoweniger ist der Frontalunterricht hin und wieder vonnöten und soll insgesamt nicht abgewertet werden. Allerdings ist dringend auf eine ausgewogene Handhabung mit den verschiedenen Unterrichtsformen- bzw. Konzepten zu achten. Nach Hilbert Meyer ist der handlungsorientierte Unterricht „ein ganzheitlicher und schüleraktiver Unterricht, in dem die zwischen Lehrer und den Schülern vereinbarten Handlungsprodukte die Organisation des Unterrichtsprozesses leiten, so daß Kopf- und Handarbeit der Schüler in ein ausgewogenes Verhältnis zueinander werden können.“⁵ Das Ganze ist aber nur durch eine komplexe unterrichtliche Gestaltung zu erreichen, was viele Lehrer womöglich davon abschreckt, diesen Weg zu gehen. Da die Mathematik eng mit formalen Attributen zusammenhängt, diese Wissenschaft also durch ihre formalen Systeme, den abstrakten Strukturen und logischen Schlussfolgerungen überhaupt erst „lebt“, sind leider immer noch viele Lehrer der konventionellen Auffassung, dass sich der Mathematikunterricht kaum handlungsorientiert durchführen lässt. Doch das ist nicht der Fall, wie in dieser Arbeit am Beispiel zur Behandlung von Zuordnungen und Funktionen im Folgenden gezeigt werden soll. Bei diesem Thema wäre es fatal, die Chance des schülerorientierten Unterrichts nicht zu nutzen. Hier kann ich als Lehrer beweisen, dass „Mathematik […] kein Zuschauersport“⁶ ist, sondern durchaus von Aktivitäten lebt und dass es sie „nicht nur in den Hirnen der Mathematiker gibt“⁷, sondern dass sie wirklich existiert.

Das Prinzip des exemplarischen und genetischen Lernens nach Martin Wagenschein⁸ und das entdeckende Lernen nach Bruner⁹ gehören zum Konzept der Handlungsorientierung. Wenn Kinder aufgrund eines Phänomens jeglicher Art oder speziell eines mathematischen Problems oder gareines funktionellen Zusammenhangs fragen: „Warum?“, dann wollen sie keinen großartigen fachwissenschaftlichen Vortrag hören. Sie wollen vielmehr wissen, unter welchen Umständen dies oder jenes passiert. Die Kinder suchen sich die Erklärungen zu den Problemen / Phänomenen selbst. (Allein die Suche danach hat einen hohen Wert!). Als Beispiel dient hier etwa der funktionale Zusammenhang einer Flüssigkeitsmenge zu der Füllhöhe bei unterschiedlichen Gefäßen. Dies wird aber noch in Kapitel 4.1 eingehender beschrieben.

Das lernpsychologische Modell der Äquilibration¹⁰ von Piaget kommt bei solchen handlungsorientierten Zugängen sehr zum Tragen. Denn nach dem Äquilibrationsprinzip hat jeder Lernende eine kognitive Struktur, die sich im Laufe seines Lebens durch individuelle Erfahrungen in der Umwelt gebildet hat. Wenn jemand also beispielsweise sportlich aktiv ist, wird er gewisse funktionale Abhängigkeiten, bewusst oder unbewusst, ständig erfahren: Parabel beim Hochsprung, Kugelstoßen oder beim Speerwerfen; Geschwindigkeitsveränderungen oder -konstanz bei diversen Bewegungen (100m-Lauf, 400m-Lauf, Radfahren bei unterschiedlichen Steigungen/Strecken usw.). Dabei haben diese Kenntnisse zwar nicht immer unbedingt quantitativen, aber doch zumindest qualitativen Charakter. Genauso können aber auch Erfahrungen anderer Art zum Teil vorhanden sein. Insbesondere viele Proportionalitäten (als Eigenschaft von Funktionen, aber ohne zwingendes Wissen über Funktionen) werden im Alltagsleben „automatisch“ erfahren. Auch im Mathematikunterricht kann sich diese so genannte kognitive Struktur weiter ausbilden - nämlich durch Handlungsorientierung. Ein Kind muss sehen, wie verschiedene Größen voneinander abhängen. Es genügt nicht, jede funktionale Abhängigkeit rein mündlich und schriftlich zu besprechen. Sondern sie müssen sich für Kinder und Jugendliche anhand eines Versuchs aufwerfen und in der Auswertung entweder bestätigen oder zum Staunen bringen. Im ersten Fall, wenn also eine sicher geglaubte Vermutung bestätigt wird, spricht man von einer Assimilation¹¹. Die neue Information bzw. das Ergebnis passt zu der bereits vorhandenen kognitiven Struktur, sodass diese nun verstärkt wird. Im zweiten Fall dagegen, wenn also ein Experiment oder irgendeine andere gemachte Erfahrung ein anderes Ergebnis liefert als es der vorherigen Vermutung entspricht, spricht man von einer Akkomodation¹². Zunächst herrscht dadurch ein kognitives Ungleichgewicht. Die vorhandene Struktur muss korrigiert und angepasst werden, sodass sich die neue kognitive Struktur ausbilden kann. Akkomodation kann aber meist nur da erfolgen, wo man handelnd tätig ist. Sie kann jedenfalls dann viel besser erfolgen. Erst dann kann mithilfe des Erfahrungsfeldes der Sinne ein Staunen und daraus ein Nachdenken resultieren, um schließlich neue Erkenntnisse zu gewinnen. Im Beispiel der bereits oben genannten Zuordnung „Füllhöhe in Abhängigkeit von der Füllmenge“ bei unterschiedlichen Gefäßformen ist bei Schülern oft zu beobachten, dass sie bei einem Gefäß wie z. B. in der Form eines (oben offenen) Kreiskegelstumpfes eine Proportionalität vermuten. Meistens lautet ihre Argumentation: „Das Wasser steigt gleichmäßig, weil ja die Seitenkanten des Behälters gerade verlaufen.“ (Sie meinen damit aber nicht „orthogonal zur Grundfläche“, sondern lediglich „nicht gewölbt“). Selbst wenn erkannt wird, dass das Wasser nicht in gleichem Maße ansteigt, haben viele Schüler die falsche Vorstellung, dass ein entsprechender Funktionsgraph linear ansteigen müsse. Hier bietet sich die Chance, sie durch praktisches Tun von ihrer Fehleinschätzung zu überzeugen.

Die handelnde Auseinandersetzung mit den Dingen ist demnach eine vor-formale Phase, die gerade in der Schule beim Thema Funktionen eine wichtige Rolle spielt. Erst dadurch kann eine vernünftige Grundlage für den Funktionsbegriff und die Behandlung von weiteren Funktionsarten geschaffen werden. Die Übersetzung in die Sprache der Mathematik (Funktionsgraphen, Symbolik usw.) erfolgt entweder parallel oder nach der aktiven Auseinandersetzung; sie sollte aber niemals davor oder gar nicht stattfinden. Bei anderen Themengebieten der Mathematik mag das zum Teil schwieriger sein; man denke zum Beispiel an die Zahlentheorie. Im Endeffekt ist die Mathematik nun mal abstrakt, doch sie kann in vielen Bereichen lebendig und somit für Kinder und Jugendliche besser zugänglich gemacht werden.

Wichtig bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Problemen ist es, die Mathematik in der Schule nicht als Lernpensum zu verstehen. StureAnwendungsschemata, die lediglich für die Lösung eines Problems von Nutzen sind, machen keinen Sinn, wenn nicht das Fundamentalste dieses Problems sorgfältig nachvollzogen wird. Schon der Mathematiker Felix Klein, der sich für eineNeuordnung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts einsetzte, wusste:

Wissenschaftlich unterrichten kann nur heißen, den Menschen dahin bringen, daß er wissenschaftlich denkt, keineswegs aber ihm von Anfang an mit einer kalten wissenschaftlich aufgeputzten Systematik in`s Gesicht springen.¹³

„Nach Gugjons gibt es drei Begründungsebenen für handlungsorientierten Unterricht: eine sozialisationstheoretische, eine anthropologisch-lernpsychologische und eine didaktisch-methodische.“¹⁴ Erstere wird darin begründet, dass sich die Erfahrungswelt der Kinder aufgrund der fortschreitenden Medienentwicklung mehr und mehr auf das Symbolische reduziert und somit die aktive Auseinandersetzung mit den Dingen fehlt. Dieser degressiven Aktivität wirkt der handlungsorientierte Unterricht entgegen. Der anthropologisch-lernpsychologische Aspekt begründet sich darin, dass der Mensch Teil der Umwelt ist und eine Verbundenheit zwischen dem physiologischen Handeln und dem Denken existiert. Der chinesische Philosoph Konfuzius hat bereits zu seinen Lebzeiten (551 - 479 v. Chr.) eine bekannte Weisheit ausgesprochen, die noch heute vorzüglich in den Gedankengang eines jeden Schülers passen mag: „Sage es mir, und ich werde es vergessen, zeige es mir und ich werde es vielleicht behalten. Lasse es mich tun, und ich werde es können.“ Wenn wir uns also mit einer Sache beschäftigen und es selbst tun, dann behalten wir mehr davon als wenn wir nur davon reden oder sehen. Wir können einen Sachverhalt besser verstehen! Und falls sofort an den Physikunterricht gedacht wird, so ist das zwar richtig. Aber auch und gerade im Mathematikunterricht sind solche Zugänge zu inhaltlichen Themen möglich und sinnvoll. Man könnte etwa Beweise, speziell in der Geometrie, handelnd und anschaulich nachvollziehen. Wobei dem Begriff Beweis leider oft nicht der nötige Respekt entgegengebracht wird, da das Ausschneiden und Aneinanderlegen der Hypothenusenquadrate zwar den Satz des Pythagoras offensichtlich bestätigt, aber noch längst kein Beweis dessen ist. Dieses Beispiel unterstützt aber im beträchtlichen Maße das Verständnis mathematischer Gesetze, Regeln und Zusammenhänge. Die Schüler erhalten hiermit eine visuelle Unterstützung ihres Denkens bezüglich eines mathematischen Problems. Das Thema Funktionen bietet eine Fülle von Möglichkeiten, den Funktionsbegriff und seine verschiedenen Funktionsarten schülerorientiert-handelnd einzuführen. Die dritte Begründungsebene, die didaktisch-methodische, bezieht sich nicht auf das Konzept der gesamten Handlungsorientierung, sondern auf ihre Grundbestandteile - den einzelnen Unterrichtsansätzen. Es gibt nicht die Methodik für einen handlungsorientierten Unterricht. Die Intentionen können in verschiedenen Phasen sehr unterschiedlich gewichtet sein. So ist es zum Beispiel möglich, in einer bestimmten Unterrichtsstunde mehr Wert auf die Selbstständigkeit und Selbsttätigkeit, in einer anderen Stunde dagegen auf die Teamfähigkeit zu legen. Handlungsorientierung beinhaltet einige Aspekte, die es zu berücksichtigen gilt. Sie ist nicht so zu verstehen, dass man die Schüler sozusagen ins kalte Wasser wirft und sie an Aufgaben arbeiten lässt, die sie womöglich aufgrund ganz neuer Inhalte überfordern. Das funktioniert in Fällen, die selbst Schülern von vornherein trivial erscheinen. Jedoch, Themengebiete, die sich eben nicht anspruchslos erschließen lassen, erfordern vor einer umfangreichen praxisbezogenen Handlungsorientierung eine Art „Aufwärmphase“. Diese Phase ist recht einfach gestrickt und beschränkt sich auf die Handarbeit einfachster Formen wie Skizzen, Notizen und graphischen Darstellungen. Um etwa in das Thema der ganzrationalen Funktionen einzuführen, genügt meist eine übliche Lehrbuchaufgabe. Dabei könnten zum Beispiel Schnittpunkte von Geraden berechnet werden, um in die tatsächliche Handlungsorientierung einzuführen. Der Nachteil bei solchen Einstiegen ist jedoch eine meist realitätsferne Problemstellung, die die Schüler lösen sollen. Um eine allzu große Realitätsferne am Ende abzuwenden, sollte spätestens in der tatsächlichen handlungsorientierten Phase das Erfahrungssammeln im Zusammenhang mit dem betreffenden Thema im Mittelpunkt stehen. Durch Experimentieren mit den Dingen lässt man die Schüler selbst Theorien entdecken, ohne Abstraktionen zu verfrühen. Das Mathematisieren, das formale Übersetzen der Realität in die Sprache der Mathematik, erfolgt im günstigsten Fall nach den handelnden Erfahrungen mit den Dingen. Außerdem bietet sich ein fächerübergreifender Ansatz an, der im Kapitel 4 noch ausführlich thematisiert wird. Wie eingangs erwähnt, sind auch frontale Unterrichtssequenzen unverzichtbar für den Erwerb von Wissen. Außerdem scheinen nicht alle Themen gleichermaßen geeignet zu sein, in der komplexesten Form handlungsorientiert zu unterrichten. Die schulischen Bedingungen zwingen gewissermaßen zu einer Reduktion auf elementare Inhalte. Doch die Diskussion um möglicherweise überfüllte Lehrplaninhalte soll nicht weiter Gegenstand dieser Arbeitsein. Vielmehr ist dazu zu appellieren, Handlungsorientierung auch danndurchzuführen, wenn nicht alle Bedingungen dieses Unterrichtskonzepts unbeirrt erfüllt werden können.

Das Thema Funktionen weist viele Möglichkeiten auf, realitätsbezogene Probleme zu behandeln. Mittels Modellierungen wird der Übergang von der Realität zur Mathematik geschafft, sodass aus ihnen eine systematische Untersuchung des mathematischen Sachverhaltes und die Rückübersetzung der Ergebnisse in die reale Situation möglich werden. Deshalb ist es auch so wichtig, den Schülern einen solchen realitäts- und anwendungsbezogenen Unterricht zu bieten. Fragen der Art „Wozu braucht man das überhaupt?“ erübrigen sich damit schon fast. Funktionen sind allgegenwärtig! Und das muss den Schülern verdeutlicht werden, indem mit ihnen Zuordnungen erstellt werden, Optimierungsaufgaben behandelt und Naturgesetze sowie wirtschaftliche Probleme funktional und handelnd-aktiv bearbeitet bzw. interpretiert werden. Dann werden sie erkennen, dass ein theoretisches Konstrukt (wie die funktionale Darstellung in Form eines Graphen) hilft, die Welt um uns herum besser zu verstehen. Der Sinn von Funktionen wird den Schülern dadurch besser bewusst, wodurch der Mathematik im Allgemeinen ein größerer Respekt gezollt wird. Gleichzeitig werden möglicherweise Kräfte in den Köpfen der Schüler entwickelt, die eine Übertragbarkeit auf andere Zusammenhänge begünstigen und zu neuer Motivation von Untersuchungen ähnlicher Probleme führen. Dieser realitätsnahe Bezug ist immens wichtig für die Bildung des funktionalen Denkens. Nimmt man sich nämlich einige Schulmathematik-Bücher vor, dann liegt die Schwierigkeit und das Problem direkt vor Augen: Viele Aufgaben sind so gestellt, dass sie mit der Realität nichts gemein haben oder wenigstens in Frage gestellt werden müssen:

[a] 1 Liter Milch kostet 39 Cent. Wie viel Euro kosten 30 Liter Milch?

[b] Ein Affe springt drei Meter hoch. Wie hoch springen fünf Affen?

[c.1] Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y = 2 − 0,25x . Ein Fass entsteht durch Rotation der Fläche zwischen -1 und 1. Berechne das Volumen des Fasses.

[c.2] Ein Fass ist 2m hoch, hat einem maximalen Umfang von 3,8m, eine Wandstärke von 4cm und eine Boden- und Deckfläche von je 90cm Durchmesser. Wie könntest du sein Volumen berechnen?

Die Aufgaben [a] und [b] sind von der Art typischer Dreisatz-Aufgaben (als Behandlung des Themas proportionaler Zuordnungen), wobei auch den meisten Schülern klar sein wird, dass [b] unsinnig ist. Was hier eher lächerlich erscheinend dargestellt ist, weist jedoch auf eine ernste Problematik hin. In allzu vielen Fällen werden die Schüler mit Aufgaben konfrontiert, die mit dem wirklichen Leben nichts zu tun haben. Und trotzdem können genau solche Aufgaben besprochen, dann allerdings auch zwingend erörtert und deren Inhalt in Frage gestellt werden. Denn wenn ein Liter Milch 39 Cent kostet und man die Kosten für 30 Liter errechnen will, ist allein aus diesen Angaben noch nicht gesagt, dass eine Proportionalität gegeben ist (vgl. [a]). Die Erfahrung aus dem Alltag spricht in solchen Situationen manchmal eher für einen Mengenrabatt. Die Aufgaben [c.1] und [c.2] behandeln ganz konkret das Thema Funktionen. Es handelt sich inhaltlich um dieselbe Aufgabe, nur ist sie jeweils anders formuliert. Bei der realitätsnahen Aufgabenformulierung [c.2] müssen Entscheidungen vorgenommen werden, wie vorgegangen werden soll. Das reale Fass muss erst in einem Modellierungsschritt durch einen mathematischen Körper ersetzt werden. Die Aufgabe [c.1] dagegen enthält schon alle mathematisierten Daten, sodass Überlegungen, die das tatsächliche praktische Problem betreffen, gar nicht erst ansprechen.¹⁵ Ein zu geringer Lebensbezug ist hierbei zu kritisieren, gleichwohl das Umgehen und Berechnen solcher Funktionen von geübten Schülern hiermit gut gefestigt werden kann.

3 Funktionsbegriff und Funktionsarten

In den bisherigen Abschnitten wurde bereits mehrfach von Funktionen gesprochen. Ehe auf die genauere unterrichtliche Gestaltung eingegangen wird, sollen in diesem Kapitel der Begriff der Funktion und einige grundlegende Funktionsarten im Fokus stehen. Es sei darauf hingewiesen, dass hier nun nicht sämtliche Funktionsarten sowie deren Eigenschaften dargestellt werden können. Das würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen und die Intention verfehlen. Hervorgehoben sein sollen stattdessen insbesondere diejenigen Funktionen, die meist für die ersten Zugänge dieses großen Themengebiets genutzt werden - die proportionalen und z. Tl. auch antiproportionalen Funktionen. Denn im Kern soll es hier um die Zugänge und das Entwickeln des funktionalen Denkens gehen. Eine noch schärfere Beschreibung würde schlichtweg zu weit führen und die Arbeit um ein Vielfaches umfangreicher werden lassen. Die für die Sekundarstufe 1 bedeutenden Funktionen sind die linearen Funktionen, die Potenz- und Exponentialfunktionen. Vor der Behandlung dieser Themen, werden in der Schule einfache, proportionale und antiproportionale Zuordnungen behandelt.¹⁶ Die vier folgenden Unterkapitel sollen die Grundlage für die Vorstellung mehrerer Einführungsmöglichkeiten im Unterricht (Kapitel 4) bilden.

3.1 Der Funktionsbegriff

In vielen Bereichen des alltäglichen Lebens findet genau das statt, was inWissenschaft und Technik hochgradig von Nutzen ist, den ein oder anderen aber unscheinbar in seinem Alltag beschäftigt. Es werden (zwei) Mengen von Zahlen, Größenbereichen oder von anderen Objekten in bestimmter Weise miteinander in Beziehung gesetzt, sodass jedem Element aus einer der Mengen mindestens ein Element aus der anderen Menge zugeordnet ist. So gehören Preise zu bestimmten Mengen von Waren oder zu bestimmten Stückzahlen. Bei Fahrkarten vonbeispielsweise S- und U-Bahnen werden die Preise jeweils den entsprechenden Entfernungszonen zugeordnet. Solche Zuordnungen sind für uns allgegenwärtig, weswegen es nicht verwundert, dass dieses Thema zur mathematischen Grundbildung gehört und deshalb bereits Stoff des 7-ten Schuljahres ist. In den darauf folgenden Schuljahren werden spezielle Zuordnungen betrachtet, die eindeutig sind und besondere Eigenschaften besitzen. Der Mathematikunterricht in den vorherigen Klassenstufen gewährleistet, dass das Umgehen mit Größen durch das im elementaren anwendungsbezogenen Rechnen als vorausgesetzt gesehen werden kann. Hier, beim Thema Zuordnungen, kommt es nun darauf an, zwei Größen- oder Gegenstandsbereiche in Abhängigkeit voneinander zu betrachten. Durch eine so genannte Zuordnungsvorschrift wird gekennzeichnet, welche Größenbereiche in Abhängigkeit voneinander stehen. Eine Zuordnungsvorschrift könnte zum Beispiel lauten: Zeitpunkt : Temperatur. Wir haben hier also zwei Mengen, die in folgender Weise verknüpft sein könnten: Jedem Zeitpunkt, an dem gemessen wird, ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. Zeitpunkt und Temperaturwert bilden zusammen ein (Werte-) Paar. Allgemein heißt diejenige Menge, von der der Pfeil in der Zuordnungsvorschrift ausgeht, welche also die Elemente enthält (Argumente), denen andere Elemente zugeordnet werden, Ausgangsmenge. Diejenige Menge, bei der der Pfeil der Zuordnungsvorschrift endet, die also die den Elementen der Ausgangsmenge zugeordneten Elemente enthält, heißt Zielmenge. Es gibt Zuordnungen, die sich in ihrer Charakteristik unterscheiden. Besteht zwischen zwei Mengen eine Beziehung in der Art, dass jedem Element der Ausgangsmenge (nennen wir sie A) mindestens ein Element in der Zielmenge (nennen wir sie B) zugeordnet ist, so heißt eine solche Zuordnung eine Relation. „Ist diese Relation eindeutig, d.h., wird jedem Element aus A genau ein Element in B zugeordnet, so heißt sie Funktion. Die allen Elementen aus A zugeordneten Elemente in B bilden die Bildmenge der Relation oder Funktion.“¹⁷

Bei einer Funktion mit dem Funktionsnamen f schreibt man terminologischenVereinbarungen zufolge für das dem a∈ A durch f zugewiesene Element in derZielmenge kurz f (a) . Man nennt f (a) den Funktionswert von f an der Stelle a oder auch für das Argument a . Die Funktion f wird in der Form f :a a f (a); a∈ A, f (a)∈ B angegeben.

Wir halten fest und definieren den Begriff der Funktion nun mathematisch:

Eine Funktion f : A → B ist eine Teilmenge f ⊆ A × B , mit den Eigenschaften:

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Damit ist die Existenz eines zu jedem Argument gehörenden Funktionswertes sowie die Eindeutigkeit dieser Zuordnung bestimmt. Man schreibt kurz: f (a) = b , falls (a, b ∈ f

Eine Funktion f : a a b ; a ∈ A, b = f (a) ∈ B bestimmt also stets eine Menge so genannter geordneter Paare: {(a, f (a)) a∈A}. Sehr vereinfacht ausgedrückt ist eine Funktion genau dann vorhanden, wenn eine Menge geordneter Paare vorliegt, bei denen zu einem „1. Element“ (dasjenige aus der Ausgangsmenge) genau ein „2. Element“ (Element aus der Zielmenge) gehört. Ein Argument darf also keinen zwei Werten zugeordnet werden.

Mit Hilfe von Pfeildiagrammen lassen sich verschiedene Fälle anhand kleiner endlicher Mengen illustrieren. Beispielhaft sind nun vier verschiedene Fälle dargestellt:

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Die Zuordnungen (I) und (II) befriedigen die Anforderungen an eine Funktion. Jedem Element aus der Ausgangsmenge wird genau ein Wert in der Zielmenge zugeordnet. Die Zuordnungen aus (III) und (IV) hingegen sind keine Funktionen. Bei (III) ist die Existenzbedingung nicht erfüllt - es gibt offensichtlich ein Element, dass keinem Wert zugeordnet ist. Bei (IV) ist die Eindeutigkeitsbedingung verletzt - es gibt ein Argument, das zwei Werten zugeordnet ist. Ein gutes Verständnis von Zuordnungsvorschriften ist sehr wichtig, um verschiedene Sachverhalte im Schulunterricht behandeln zu können. Am Anfang werden Zuordnungsvorschriften meist noch mit Worten beschrieben statt mit einer Argumentvariable und einem Funktionsterm. Häufig werden reellwertige Funktionen betrachtet. Das sind Funktionen, deren Zielmenge IR ist. Hat eine solche Funktion gleichzeitig eine Ausgangsmenge IR oder wenigstens eine Teilmenge davon, so nennt man sie reelle Funktion. Sie sind signifikant, um verschiedenste Zusammenhänge zu beschreiben, wie noch zu sehen sein wird. Die Ausgangsmenge einer reellen Funktion wird als Definitionsbereich, die Bildmenge als Wertebereich bezeichnet. Man schreibt für eine Funktion mit dem Namen f dann: D( f ) = IR , falls der Definitionsbereich den Bereich der reellen Zahlen umfasst.

Funktionen lassen sich auf verschiedene Weisen anschaulich darstellen: Durch

(1) Anlegen von Tabellen („Wertetabellen“),
(2) Pfeil- / Mengendiagramm
(3) Deutung der Wertepaare als Punkte einer Ebene im kartesischen Koordinatensystem; (bei reellen Funktionen ist die Verbindung dieser Punkte als Graph zulässig).

Am anschaulichsten ist die Darstellung einer Funktion als Graph in einem Koordinatensystem. Diese graphische Darstellung, die man auch Schaubild nennt, ist die Menge aller geordneten Paare. Jeder Punkt des Graphen ist eindeutig durch seine Koordinaten bestimmt.

[...]

¹ Vgl. Jung, K.: Magie der Mathematik - Mehr Anerkennung für ein Traditionsfach. In: DAAD Letter, 28. Jg. 2008, Heft 1, S. 10-13.

² Die ursprünglich angesetzte Seitenzahl ist aufgrund zahlreicher Abbildungen im Text um etwa 10 Seiten überschritten. (Anm. d. Verf.)

³ Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird in dieser Arbeit durchgehend die männliche Form verwendet. Natürlich sind damit auch immer beide Geschlechter gemeint. (Anm. d. Verf.)

⁴ Du Sautoy, M.: The Music of the Primes - Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters. London 2003. Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. München 32007, S. 102.

⁵ Meyer, H.: Unterrichtsmethoden I: Theorieband. Berlin 112006, S. 214.

⁶ Zeitler, H.: Zur Einführung. In: Der Mathematikunterricht, 47. Jg. 2001, Heft 2, S. 3.

⁷ Ebd., S. 3.

⁸ Vgl.: Wagenschein, M.: Verstehen lehren. Weinheim und Basel 52005, S. 27-114.

⁹ Vgl.: Bruner, Jerome S.: Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart 11971, S. 21-44.

¹⁰ Vgl.: Buggle, F.: Die Entwicklungspsychologie Jean Piagets. 2., überarbeitete Auflage, Stuttgart [u.a]. 1993, S. 36-40.

¹¹ Ebd., S. 25.

¹² Ebd., S. 25.

¹³ Klein, F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Band 1. Berlin 1924, S. 290

¹⁴ Beckmann, A.: Formen der Handlungsorientierung als Ansatz für eine unterrichtliche Umsetzung. In: mathematica didactica, 22. Jg. 1999, Band 1, S. 80.

¹⁵ Vgl.: Henn, H.-W.: Mathematik und der Rest der Welt. In: MNU, 60. Jg. 2007, Heft 4, S. 263 f..

¹⁶ Nach Lehrplan Sekundarstufe 1 der weiterführenden allgemeinbildenden Schulen Hauptschule, Realschule, Gymnasium, Gesamtschulen. Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Hrsg.) von 1997.

¹⁷ Kusch, L./Glocke, T.: Kusch Mathematik 1 Arithmetik und Algebra. 15., völlig neubearbeitete Auflage, Berlin 1994, S. 301.