Ziele und Inhalte der Mathematikdidaktik

Inhaltsverzeichnis

1. Definition von Didaktik und Mathematikdidaktik
1.1 Was versteht man unter Didaktik
1.2 Was versteht man unter Mathematikdidaktik

2. Was ist Mathematikunterricht

3. Allgemeine Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts

4. Allgemeine Lernziele nach H. Winter (1972)
4.1 Argumentieren lernen (vernünftig reden)
4.2 Sich kreativ verhalten lernen (neue Situationen erzeugen und meistern)
4.3 Umweltsituationen mathematisieren lernen

5. Anzustrebende intellektuelle Grundfertigkeiten (geistige Grundtechniken)
5.1 Klassifizieren
5.2 Ordnen
5.3 Generalisieren
5.4 Konkretisieren/Spezialisieren
5.5 Analogisieren
5.6 Formalisieren

6. Resümee

Literaturverzeichnis

Anhang

Ziele und Inhalte der Fachdidaktik Mathematik -

Ziele des Mathematikunterrichts

1. Definition von Didaktik und Mathematikdidaktik

1.1 Was versteht man unter Didaktik?

Didaktik ist die Ableitung von dem griechischen Verb „did`askein“. Es kann sowohl aktiv (lehren oder unterrichten), als auch passiv (lernen oder unterrichten) und medial (sich selbst lehren) verwendet werden. Das vom Verb abgeleitete Substantiv „didaxis“ bedeutet: Lehre, Unterricht, Unterweisung.

Die Didaktik beschäftigt sich mit der Frage wer, wann, was, mit wem, wo, wie, womit, wozu wir lernen sollen. Die Didaktik selbst umfasst die Theorie und Praxis des Unterrichtens. Sie erfasst das gesamte Unterrichtsgeschehen und stellt die Unterrichtslehre dar.

1.2 Was versteht man unter Mathematikdidaktik?

Unter Mathematikdidaktik versteht man die Wissenschaft, die sich mit dem Lehren und Lernen von Mathematik befasst. Sie bildet die Grundlage für jeden Mathematiklehrer.

„Die Mathematikdidaktik befaßt sich mit der Entwicklung, Durchführung und Überprüfung von Mathematikkursen sowie mit der theoretischen Fundierung solcher Kurse.“

(Vgl. WITTMANN [116], S. 1.)

Betrachten wir nicht nur die Theorie der Bildungsinhalte (manchmal auch „Didaktik im engeren Sinn“ genannt), sondern schließen bewusst Fragen der Umsetzung im Unterricht (Methodik) ein, dann erkennen wir weiter den interdisziplinären Charakter der Mathematikdidaktik. Die Mathematikdidaktik übernimmt Ergebnisse aus Pädagogik, Psychologie, Soziologie u.a. und natürlich auch aus der Mathematik und verarbeitet diese weiter.

2. Was ist Mathematikunterricht?

Die Mathematik ist eine anwendungsorientierte Wissenschaft; ihre Inhalte und Verfahren dienten und dienen der Lösung praktischer Probleme. Deshalb vermittelt der Mathematikunterricht fachliches Wissen und Können und vielseitige Fähigkeiten und Einstellungen. Dies schließt die Entwicklung und Schulung in den Bereichen der Wahrnehmung und Begriffsbildung, Lebensweltbezug, Handlungserfahrungen und Modellbildung sowie Formales Denken mit ein.

Unter Wahrnehmung und Begriffsbildung versteht man die Fähigkeit, räumliche Veränderungen und Handlungsabfolgen erkennen, beschreiben und symbolisieren zu können. Lebensweltbezug, Handlungserfahrungen und Modellbildung führen dazu, dass der Lernende Beziehungen erkennen und beschreiben kann, er Wesentliches und Unwesentliches unterscheiden sowie Zusammenhänge der Realität in mathematische Begriffe übersetzen kann. Formales Denken hingegen hilft bei der Anwendung und Nutzung von Lösungsstrategien sowie bei der Verknüpfung bisher als nicht zusammengehörig erkannter Strukturen.

3. Allgemeine Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts

„Die Ziele und das Warum eines Unterrichtsfaches sind, wie schulische Erziehung allgemein, immer abhängig vom jeweiligen gesellschaftlich - politischen Grundverständnis, vom angestrebten Bild von Schule bzw. vom Menschen selbst.“

(RADATZ, SCHIPPER 1983, S. 19)

Für viele Mathematiker steht die Sache im Vordergrund, das System der Fachwissenschaft Mathematik bildet den Hintergrund. Letzteres allein kann nicht das Ziel des Mathematikunterrichts sein, dieser soll vielmehr einen Anteil an der allgemeinen Entwicklung, Erziehung und Ausbildung des Kindes leisten. Mathematik soll für den Schüler nützlich und hilfreich sein, soll Gedanken und Sinne disziplinieren und trotzdem interessant und schön sein.

Sicher kann Mathematik interessant und schön sein, sicher ist aber auch, dass der Mathematikunterricht sehr vielen Schülern keinen Spaß bereitet, sie ihn hassen, abwählen oder nur still erleiden. Für diese Schülerinnen und Schüler sind Erfolgserlebnisse besonders wichtig, denn diese fördern den Spaß an der Mathematik. Das Erkennen eigener Leistungen, das Angesprochenfühlen von einer Aufgabe oder einem Problem sowie das Wecken von Neugier steigert die Motivation im Mathematikunterricht erheblich. Grundlegende Ziele sind, die Freude der Kinder am eigenen Denken und Auseinandersetzen mit Problemen, die Risikobereitschaft, beim Denken eigene Wege zu gehen, die kritische Haltung gegenüber der Einstellung, alles sei berechenbar sowie das Abwägen mehrerer Lösungswege.

Das Lernen im Mathematikunterricht soll wirklichkeitsnah und in lebendigen Anwendungszusammenhängen erfolgen. Wirklichkeitsnah bedeutet, den Alltag einzubeziehen, Situationen aus dem Umfeld der Schülerinnen und Schüler zu thematisieren, auf mathematische Gehalte zu untersuchen und Gelerntes in realen Anwendungssituationen zu benutzen. Letzteres bedeutet einerseits Erfahrungen von Schülerinnen und Schülern aufzugreifen und andererseits Voraussetzungen zu schaffen, die es ermöglichen, sich neue Erfahrungen mit Hilfe mathematischer Einsichten aktiv zu erschließen. Nicht alle Aufgabenstellungen lassen sich an Anwendungen orientieren, manche dienen vor allem der Vermittlung der Struktur der Mathematik. Dem Mathematikunterricht stellt sich also die Aufgabe, Struktur der Mathematik, Schülererfahrung sowie Anwendungszusammenhänge zu verbinden, dabei sollen die mathematische Kreativität, Argumentationsfähigkeit und Mathematisierungsfähigkeit umfassend gefördert werden. Besonders wichtig ist, dass die Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten, welche im Mathematikunterricht erworben werden, auf der Basis des entdeckenden, anschauungsgebundenen und handlungsorientierten Lernens erfolgen. Entdeckendes, anschauungsgebundenes und handlungsorientiertes Lernen bedeutet, konkrete Handlungen und den Umgang sowie die Auseinandersetzung mit Phänomenen (Gegenständen und Sachverhalten verschiedener Art) immer zum Ausgangspunkt für die Entwicklung mathematischer Begriffe, Denkweisen und Verfahren werden zu lassen.

Der Mathematikunterricht soll sich auch mit fächerübergreifenden Zielen befassen, er soll sowohl Anwendungsbeispiele anderen Fächern entnehmen und diese in Themen des Mathematikunterrichts einbinden als auch Querverbindungen zu den anderen Wissensgebieten aufzeigen. Um möglichst vielfältige Verbindungen zu anderen Fächern zu erhalten, bietet es sich an, im Mathematikunterricht an Beispielen anderer Fächer so weit wie möglich anzuknüpfen. Dies gilt für alle Arbeitsbereiche und Fächer. Die Kinder lernen dabei zu argumentieren (Begründen, Folgern, Prüfen...), sich kreativ und flexibel in Problemsituationen zu verhalten (Variieren, Übertragen, Alternativen entwickeln...) sowie Ordnen und Strukturieren von Umweltsituationen und Beziehungen erkennen.

Der Mathematikunterricht leistet auch seinen Beitrag zum Ausdrucksverhalten und der Sprache. Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst ihre mathematischen Erfahrungen und Einsichten in einer alters- und herkunftsgemäßen Sprache äußern. Vielfältige Anlässe dazu ergeben sich, wenn Schülerinnen und Schüler mathematische Probleme und Lösungsvorschläge in Partner oder Gruppenarbeit erörtern. Hierbei besteht die Notwendigkeit sich untereinander verständlich zu machen. In der Grundschule erwerben die Kinder im Spiel und im handelnden Umgang mit Dingen umfangreiche Erfahrungen, welche die Grundlage für mathematische Begriffsbildungsprozesse darstellen.

In den weiterführenden Klassen sollte diese „angemessene“ Sprache dahingehend verändert werden, dass die Gedanken der Partner vollständig, klar und verständlich mitgeteilt werden. Dies erfordert die Einführung mathematischer Begriffe und Inhalte. Letztere ersetzen nach und nach die umgangssprachlichen Formulierungen, wobei die Schülerinnen und Schüler stets im Wechsel von bekannter und neuer Bezeichnung Gelegenheit zur Aneignung der Fachsprache entsprechend ihrem Lerntempo und ihrem individuellen Sprachverhalten haben.

Der Mathematikunterricht soll durch wiederholtes Üben eine sichere Beherrschung von Grundkenntnissen und grundlegenden Fertigkeiten und Fähigkeiten erreichen.

Beim Beschreiben von Gegenständen, beim Unterscheiden, Sortieren und Ordnen entwickeln nicht nur Grundschüler eigene altersgemäße Sprechweisen und Darstellungsformen.

Die Übungen in den einzelnen Bereichen sollten abwechslungsreich gestaltet sein und zeitlich nicht zu sehr ausgedehnt werden. Möglichkeit zur Selbstkontrolle sollte so oft wie möglich gegeben sein, da sie die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler fördert.

4. Allgemeine Lernziele nach H. Winter (1972)

H. Winter ist der Meinung, dass der Mathematikunterricht nicht wie von selbst die Gesamtgeistigkeit positiv prägend beeinflusst.

„Nicht die Inhalte des Mathematikunterrichts ermöglichen von sich aus das Erreichen allgemeiner Lernziele, sondern die Art und Weise des unterrichtlichen Umgangs.“

(RADATZ, SCHIPPER 1983, S. 21)

Fachübergreifende und fachbezogene Ziele können die Inhalte des Mathematikunterrichts strukturieren und die Lernweisen sowie Lehrmethoden auf diese Ziele hin bestimmen.

Winter beschränkt sich nicht nur auf kognitive Ziele, sondern befasst sich auch mit sozialen und affektiven Zielen.

Nach seinen Erkenntnissen werden die allgemeinen mathematischen Lernziele nicht nur fachmathematisch, sondern auch anthropologisch, nämlich durch allgemeinmenschliche Fähigkeiten und Haltungen, also durch menschliche Aspekte begründet.

Ähnlich wie B. Bloom, teilt Winter die „Allgemeinen Lernziele“ in Hauptklassen ein. Er unterscheidet folgende allgemeine kognitive Haltungen und Fähigkeiten:

4.1. Argumentieren lernen (vernünftig reden)

„Der Schüler soll lernen zu argumentieren. Dazu gehören: begründen, logisch einordnen, folgern, sich an Vereinbarungen (z. B. Definitionen) halten, Alternativen beurteilen, Inhalte und Methoden nach eigenen und vorgegebenen Kriterien bewerten, Hypothesen testen, Beweise auf ihre Stichhaltigkeit prüfen, Scheinargumente als solche entlarven und unzulässige Verallgemeinerungen durch Gegenbeispiele widerlegen; bereit sein, Gegenargumente anzuhören; bereit sein, unwiderlegbare Argumente zu akzeptieren, auf vollständiger Unterrichtung bestehen.“

(LAUTER 1991, S. 20)

Als erstes und wichtigstes Lernziel des Mathematikunterrichts nennt Winter das Argumentieren, das auch als Dialogfähigkeit und Dialogwilligkeit bezeichnet werden kann.

Jeder mathematische Sachverhalt muss vom Lernenden begründet werden, er muss die Fähigkeit besitzen, sich mit dem Anderen vernünftig zu verständigen. Sicher ist, das dieses Ziel nicht allein zum Mathematikunterricht gehört, sondern auch in allen anderen Fächern Geltung hat. Bezogen auf den Mathematikunterricht, ist mit Argumentieren nichts anderes gemeint als Begründen oder Beweisen.

Damit ein sachliches Gespräch zustande kommt, ist es notwendig, dass sich die beiden Gesprächspartner auf einen gemeinsamen Gesprächsgegenstand einigen und sie die Gesprächsvoraussetzungen so klar wie möglich formulieren. Die Teilnehmer müssen den Mut besitzen, sich festzulegen und Aussagen zu treffen, die gegebenenfalls durch Beispiele oder Gegenbeispiele verdeutlicht und erläutert werden. Diese Aussagen müssen zu neuen Aussagen verknüpft werden, d.h. es müssen logische Folgerungen gezogen werden, die nur mit bereits vorhandenen Vorkenntnissen (=Wissen) entstehen können. In diesem Punkt stimmt Winter mit Bloom überein. Bloom führt das Wissen als wichtigstes Lernziel auf, was bedeutet, dass der Schüler Informationen speichert und sie bei Bedarf wieder abruft. In dem der Schüler das „alte Wissen“ mit dem „neuen Wissen“ verknüpft, ist es ihm möglich, gewisse Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und daraus Folgerungen zu ziehen.

Der jeweils andere Gesprächspartner nimmt die Aussagen auf, überprüft sie, indem er sie nachrechnet oder kontrolliert und akzeptiert sie. Erkennt er die Aufgaben als falsch, wird er versuchen sie zu widerlegen.

Dass es sich bei der Argumentationsfähigkeit nicht nur um ein kognitives Lernziel handelt, wird besonders deutlich, wenn man den sozialen Aspekt einer gelungenen Kommunikation betrachtet. Die ehrliche Anerkennung und Würdigung der Äußerungen des Gesprächspartners sind unverzichtbare Voraussetzungen für eine gelungene Kommunikation.

Zu einem eindeutig affektiven Lernziel zählt der zugehörige Mut, seine Meinung zu äußern, die Aussage des Gesprächspartners anzugreifen oder sogar seine eigenen Fehler einzugestehen.

Das Lernziel „Argumentieren“ bedeutet in der Unterrichtspraxis Gesprächsvoraussetzungen zu klären, Lösungen zu analysieren und zu kontrollieren, genau und präzis zu formulieren, Beispiele anzugeben, Aussagen zu überprüfen u.a..

Die Argumentationsfähigkeit bzw. Dialogfähigkeit zählt zu den allgemeinmenschlichen Fähigkeiten. Sie ist eng mit der „Selbstverwirklichung“ des Menschen, aber auch mit der Selbstbehauptung verknüpft. Der Mensch als sprechendes Wesen kann sich „vernünftig“ mit anderen Menschen unterhalten, wenn er bestimmte Regeln einhält. Bereits in der Grundschule lernen die Schülerinnen und Schüler das Verhalten im Gesprächskreis. Man lässt den Anderen ausreden, hört zu und akzeptiert die Meinung des Anderen. Weicht die eigene Meinung davon ab, so lernt man diese zu erklären und zu begründen.

Das „Begründen“ bildet die Vorstufe des mathematischen „Beweisens“, da es in der Grundschule noch keine formalen Beweise gibt.

[Die praktischen Beispiele für das „Argumentieren“, die „Kreativität“, das „Mathematisieren“ und die „Geistigen Grundtechniken“ in der Grundschule sind im Anhang mit den jeweiligen Arbeitsblättern dargestellt.]

Unterrichtsbeispiele: LPE Klasse 3, Arbeitsbereich 1: Arithmetik

Aufgabe 1: Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 100

Vorteilhaftes Zusammenzählen und Abziehen

Lernziele

- Berechnen von Summen und Differenzen mit mehr als zwei Zahlen
- Vorteilhaftes Vertauschen der Zahlen beim Zusammenfassen und Abziehen (Rechenvorteil Zehnerzahlen)
- Vorteilhaftes Verändern von zehnernahen Zahlen

1.1.1 Material

2 Neun – mit einer Zahl beschriftete – Plastikbecher, ein Softball

1. Einheit: Vorteilhaftes Zusammenzählen

* Einstieg

Auf einem Tisch stehen umgedreht die neun Plastikbecher.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

* Erarbeitung

Impuls: Die anderen Kinder könnten daraus eine leichtere Aufgabe machen. Die Vorschläge der Kinder und evtl. genannte Rechenwege werden unter die obige Aufgabe geschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kinder sollen begründen, warum die zweite Aufgabe leichter zu rechnen ist als die erste und welche unterschiedlichen Wege der Addition es gibt.

* Tafelanschrieb

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

* Vergleich der Rechenwege

Bei der ersten Aufgabe müssen die Kinder bei 24 + 28 über den Zehner rechnen. Dabei werden oft Fehler gemacht. Bei der zweiten Aufgabe kommen wir mit 24 + 16 auf die Zehnerzahl 40 und können alle Zahlen leicht zusammenzählen.

* Begründen des Rechenwegs

Provokation: Darf man bei einer Plusaufgabe so einfach die Zahlen vertauschen?

Die Kinder können die Antwort mit Hilfe des gleichen Ergebnisses begründen.

2. Einheit: Vorteilhaftes Abziehen

* Einstieg

Die Kinder erhalten verschiedene Minusaufgaben.

* Folie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

* Erarbeitung

Ein Kind beginnt die Aufgabe zu lösen und begründet, warum es die Aufgabe auf diesem Weg gelöst hat. Die anderen Kinder nennen weitere Lösungsmöglichkeiten.

* Vergleich der Rechenwege

Welcher Rechenweg erscheint einfacher? Warum?

* Impuls

Darf man bei Minusaufgaben auch alle Zahlen miteinander vertauschen?

Wie kann ich vorteilhaft rechnen?

* Ergebnis und Begründung

Die erste Zahl darf man nicht vertauschen, denn bei Minusaufgaben muss immer die größte Zahl vorne stehen. Doch die beiden anderen Zahlen darf man vertauschen.

Aufgabe 2: Zahlbereichserweiterung - Vergleichen von Zahlen, Zahlbeziehungen

Zahlen bilden und erkennen/Zahlen als Fläche darstellen

Lernziele

- Förderung der bildlichen Größenvorstellung
- Erkennen von Gesetzmäßigkeiten in der Geometrie
- Variierende Darstellungsformen von Größen/Zahlen

Material

Arbeitsblatt mit Gitternetz, das aus Hunderterfeldern besteht

* Aufgabe

Jedes Kind erhält die gleichen Zahlen aus dem Zahlenraum bis 1000. Jedes Kind soll nun die Zahlen auf dem Gitternetz geometrisch (bildlich) darstellen, ohne sich an den anderen Kindern zu orientieren und die entsprechende Zahl unter das Bild schreiben.

* Folie

Male auf dem Blatt so viele Kästchen an, wie du für die jeweilige Zahl benötigst.

a) 150 e) 83

b) 370 f) 140

c) 535 g) 925

d) 675 h) 755

[...]