Einführung in die Periodische Spline–Interpolation an einfachen Beispielen

Inhaltsangabe oder Einleitung

In dieser Abhandlung wird anhand von einfachen Beispielen die Vorgehensweise bei der periodischen Spline–Interpolation erläutert. Periodisch heißt hier nicht, dass man nur periodische Funktionen oder geschlossene Kurven erzeugen kann, was eine starke Einschränkung bedeuten würde. Mithilfe der periodischen Spline–Interpolation erhält man auch translationsinvariante Funktionen und Kurven. Es müsste eigentlich statt „periodische Spline–Interpolation“ genauer „Interpolation mit periodischen Randbedingungen“ heißen. Zwingend periodisch sind nur die Ableitungen ersten und zweiten Grades, wenn man für die Segmente ganzrationale Funktionen dritten Grades oder sogenannte kubische Bézier–Kurven verwendet. Die Segmente für Spline–Funktionen werden in dieser Abhandlung in der Taylor–Form dargestellt. Die Segmente für Spline–Kurven werden sowohl in der Bernstein–Bézier–Form (Bézier–Spline–Kurven) als auch unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen (B–Spline–Kurven) angegeben. Die Koeffizienten für die Taylor–Form, die Bézier–Punkte für die Bernstein–Bézier–Form und die Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für die Darstellung unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen werden hier nach einer neuartigen iterativen Methode berechnet. Einschränkungen, was die Anzahl der Interpolationspunkte (Datenpunkte) angeht, müssen nicht gemacht werden. Die Rechenzeit für die Koeffizienten (Taylor–Form), Bézier–Punkte oder Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für einen XP–Rechner (AMD Athlon Dual Core Processor 3800+) mit einem als JAVA–Applet geschriebenen Programm liegt für 10000 Interpolationspunkte (Datenpunkte) bei rund 19 s. Als kleine Hilfe für Programmierer werden wesentliche Programmteile in Form eines Struktogramms angegeben.