Fuzzy-lineare Portfoliooptimierung

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1. Einleitung

1.1. Hintergrund

Unter Portfoliooptimierung versteht man die Zusammenstellung Risiko behafteter Wertpapiere dergestalt, dass die erwartete Rendite maximal und das dabei eingegangene Risiko minimal wird. ¹ Da diese Zielsetzungen nicht zwingend kompatibel sind, besteht oftmals die Notwendigkeit ein Kompromißportfolio aus einer Menge effizienter, d.h. gegenüber den Zielsetzungen paretro-optimaler, Portfolios auszuwählen. Markowitz verwendet als Zielfunktionen die erwartete Rendite, ν, und die Renditevarianz, V . ² Mit x i als Gewichtung des Wertpapiers i kann somit bei Kenntnis der Renditenkovarianzmatrix, C, ein effizientes Portfolio nach Markowitz durch Lösen der Optimierungsaufgaben:

• Maximierung der Rendite gemäß Formel 1.1

n

ν = (1.1) ν i x i → max i=1

unter den Nebenbedingungen Ausschluss von Leerverkäufen, x i ≥ 0, Konstanz n der Investitionssumme, i=1 x i = 1, und Beschränkung der Renditevarianz, V = x T C x ≤ V b ; bzw.

• Minimierung der Renditevarianz gemäß Formel 1.2

V = x T C x → min (1.2)

unter den Nebenbedingungen Ausschluss von Leerverkäufen, x i ≥ 0, Konstanz der n n Investitionssumme, i=1 x i = 1, und Beschränkung der Rendite, ν = i=1 µ i x i ≥ ν c , gefunden werden.

¹ Vgl. Rödder u. a. (2008), S.273

² Vgl. Markowitz (1952)

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1.2. Problemstellung

Die der Arbeit zugrundeliegende Problemstellung bezieht sich auf die Modellierung einer fuzzy-linearen Optimierungsaufgabe und Ermittlung einer optimalen Portfolioumschichtung eines Aktienportfolios bestehend aus Aktien von im MDAX gelisteten Unternehmen. Dabei ist das zur Verfügung stehende Kapital bereits anteilig auf die Aktien verteilt und die Gewichtung der Aktien zueinander wird durch ihre Gewichtung im MDAX am ersten Handelstage des Jahres 2009 bestimmt (siehe auch Anhang A). Als Zielfunktion wird einerseits die erwartete Rendite gewählt, wobei bei der Umschichtung auf den Wert der hinzugekauften bzw. verkauften Aktien Transaktionskosten in Höhe von 1 % einkalkuliert werden sollen. Andererseits soll das Risiko des nicht Erreichens der erwarteten Rendite („downside risk“) ausgehend von Formel 1.3 minimiert werden.

Der Investor ist ferner an möglichst kurzfristig realisierbaren Gewinnen interessiert. Da der Investor sich jedoch nicht allein auf kurzfristige Trends verlassen möchte stellt er noch folgende Bedingungen an die mittel- und langfristige Entwicklung der Aktien:

• Eine erwartete mittelfristige Rendite von über 5 %, wenigstens aber über 3 % bei einer erwarteten mittelfristigen Unterschreitung der erwarteten Rendite von weniger als 10 %, mindestens aber weniger als 15 %; und

• Eine erwartete langfristige Rendite von über 8 %, wenigstens aber über 6 % bei einer erwarteten langfristigen Unterschreitung der erwarteten Rendite von weniger als 20 %, mindestens aber weniger als 25 %.

Zur Ermittlung der kurz-, mittel- und langfristig erwarteten Rendite bzw. des erwarteten Risikos sollen in Ermangelung einer besseren Alternative historische Aktienkurse, welche einen Zeitraum von 100, 500 bzw. 1000 Handelstagen vor dem Tag der Umschichtung beinhalten, verwendet werden. Des Weiteren möchte der Investor das investierte Kapital konstant halten.

Zur Lösung der Problemstellung wird in Kapitel 2 auf Basis der Anforderungen des Investors ein hartes lineares Optimierungsproblem mit mehrfacher Zielsetzung formuliert und gelöst. Dieses Optimierungsproblem wird in Kapitel 3 als unscharfes lineares Optimierungsproblem formuliert und in Abhängigkeit von den gewählten Zugehörigkeitsfunktionen gelöst. Kapitel 4 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten.

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2. Lineares

Portfoliooptimierungsproblem mit

mehrfacher Zielsetzung

2.1. Formulierung der Zielfunktionen und

Nebenbedingungen