Modellieren im Mathematikunterricht - Verkehrsdurchsatz

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Hauptteil
a. „Verkehrsdurchsatz“ – Was ist das überhaupt?
b. Ablauf der gestalteten Seminarsitzungen
c. Wie kann man den Verkehrsdurchsatz modellieren?
i. Das „Situationsmodell“
ii. Das „Realmodell“
iii. Eine Formel für den „Verkehrsdurchsatz“
iv. Abstandsmodell 1: Der „Konstantabstand“
v. Abstandsmodell 2: „Tacho-Halbe-Regel“
vi. Abstandsmodell 3: „2-Sekunden-Abstand“
vii. Abstandsmodell 4: „Fahrschul-Regel“
viii. Abstandsmodell 5: „Fahrphysik“
ix. „Mathematische Resultate
d. Diskussion(en) im Plenum:
i. Wie beantworten die Modelle die Ausgangsfrage?
ii. Was sind Schwächen der Modelle?
iii. Ist diese Modellierungsaufgabe sinnvoll für den Mathematikunterricht?
e. Studenten entwickeln Modelle – Wie gehen sie dabei vor?
i. Beispiel 1
ii. Beispiel 2

3. Schluss
a. Wichtige Erkenntnisse im Bezug auf die Herangehensweise an solche Aufgaben durch Studenten/Schüler
b. Eigene Einschätzung zur Sinnhaftigkeit der Verwendung in der Schule

4. Literaturverzeichnis

5. Anhang
a. Plakat
b. Plakat

1. Einleitung

Im Wintersemester 2008/09 besuchte ich das Seminar „Modellieren im Mathematikunterricht“ bei Herrn Prof. Dr. Danckwerts. Zunächst konnte ich mir unter dem Begriff „Modellieren“ nicht wirklich etwas vorstellen. Wie sollte man im Mathematikunterricht etwas modellieren können, fragte ich mich. Doch nach den ersten Sitzungen verstand ich, was es damit auf sich hatte. Mit „Modellieren“ sollte derjenige Prozess beschrieben werden, der es ermöglicht Situationen der realen Welt in die mathematische Sprache zu übersetzen, um von dort dann wieder Erkenntnisse für das Problem im Realen zu gewinnen. Um diesen Prozess zu vereinheitlichen, benutzten wir meist den sog. Modellierungskreislauf nach BLUM und LEISS^[1], mit dem es möglich ist, Schritt für Schritt Aufgaben zu lösen/modellieren, auf die unsere „Standardmodelle“ im ersten Moment nicht zu passen scheinen.

Im Zuge des Seminars haben sich meine Gruppe und ich mit dem Thema „Verkehrsdurchsatz“ beschäftigt und dazu zwei Seminarsitzungen gestaltet.

In der folgenden Ausarbeitung werde ich zunächst eine allgemeine Einführung in das Thema „Verkehrsdurchsatz“ geben, ehe ich die Planung und Durchführung der beiden Sitzungen beschreibe. Anschließend wird das Thema auf inhaltlicher Ebene beleuchtet, indem ich verschiedene Modellierungsmöglichkeiten vorstelle. Dieser Teil stellt den ersten von zwei Schwerpunkten des Hauptteils dar. Danach sollen die Diskussionen im Plenum kurz erörtert werden. Den zweiten Schwerpunkt des Hauptteils bildet die Untersuchung von zwei Plakaten, die von den Studenten^[3] im Plenum entwickelt wurden. Von den Plakaten sollen Parallelen zu den zuvor vorgestellten Modellen hergestellt werden und außerdem darauf geachtet werden, wie die Studenten beim Modellieren vorgehen.

Somit könnte die Frage, unter die ich meine Ausarbeitung stelle, wie folgt lauten:

Wie kann man das Thema „Verkehrsdurchsatz“ sinnvoll modellieren und wie gehen Studenten/Schüler an solch eine Aufgabe heran?

1. Hauptteil

a. „Verkehrsdurchsatz“ – Was ist das überhaupt?

Mit dem Begriff „Verkehrsdurchsatz“ werden die meisten nicht direkt etwas verbinden können. Also was verbirgt sich hinter diesem Ausdruck?
Ganz einfach gesprochen handelt es sich um den Versuch zu untersuchen, wie viele Fahrzeuge im Straßenverkehr innerhalb einer bestimmten Zeit eine Straße befahren. Also, wie hoch der Durchsatz dieser Straße ist. Natürlich hängt dieser Durchsatz von vielen Faktoren ab, wie Geschwindigkeit und Abstand der Fahrzeuge, Wetter usw. Diese Faktoren sollen so gut es geht später in den Modellierungsvorgang einfließen.

Konkret soll ein Beispiel verdeutlichen, was mit dem Begriff „Verkehrsdurchsatz“ gemeint sein kann. Es ist im Übrigen jenes Beispiel, welches von unserer Gruppe als Grundlage für die Seminarsitzungen benutzt wurde. Durch dieses kann die Kernfrage formuliert werden, auf die immer wieder eingegangen wird. Desweiteren ist durch den folgenden Zeitungsartikel die „Realsituation“ dargestellt; so wird die Ausgangsposition im Modellierungskreislauf nach BLUM und LEISS bezeichnet. An dieser Stelle beginnt also die Modellierungsaufgabe.

Es ist folgender Zeitungsartikel gegeben:

Herr Janssen und seine Frau sind mit Freunden im Kino verabredet. Auf dem Weg dorthin stehen sie auf einer Bundesstraße im Stau, der sich scheinbar „aus dem Nichts“ gebildet hat. Er beschwert sich nun: „Diese verdammte 70-Zone. Wenn die hier die Geschwindigkeitsbegrenzung aufheben würden, könnten alle schneller fahren und es würden sich nicht so viele Fahrzeuge stauen, sodass es zum Stehen kommt.“

Hat Herr Janssen recht, ist der „Fahrzeugdurchsatz“ bei höheren Geschwindigkeiten tatsächlich größer?^[4]

Um dieses Problem bzw. um die Fragestellung im letzten Satz des Zitats soll es im Folgenden genauer gehen.

b. Ablauf der gestalteten Seminarsitzungen

Unsere Gruppe bestand aus vier Mitgliedern und unsere Aufgabe war es, zwei Seminarsitzungen zum Thema „Verkehrsdurchsatz“ zu gestalten. Ich werde nun kurz den inhaltlichen Aufbau der beiden Sitzungen skizzieren und ausgewählte Punkte später im Hauptteil näher beschreiben.

In der ersten Sitzung lag der Schwerpunkt auf der Aktivität der Studenten im Plenum. Zunächst stellten wir als Gruppe das Problem vor, das oben mit dem Beispiel in 2a) schon genannt wurde. Anschließend bekam das Plenum von uns die Aufgabe Modellierungsversuche zum beschriebenen Problem anzustellen und die Ergebnisse auf Plakaten zu fixieren. Zusätzliche Fragen, wie „Wo befindet ihr euch im Modellierungskreislauf nach BLUM?“ und „Wie beantworten eure Modelle die Kernfrage?“ sollten den Kommilitonen helfen über ihre Modellierungstätigkeit zu reflektieren. Die Plakate sollten innerhalb von 60 min. erstellt werden. Anschließend wurden diese präsentiert, was sich bis in die zweite Sitzung hineinzog. Nachdem die Plakate präsentiert waren, wurden Ergebnisse bzw. Modellierungen aus dem Buch von G. Hinrichs^[5] durch unsere Gruppe dargelegt. Zunächst wurde das „Realmodell“^[6] beschrieben, um anschließend fünf Abstandsmodelle zu erörtern. Danach folgte eine Partnerarbeit, in der Schwächen der Modelle geklärt werden sollten und darüber diskutiert werden sollte, wie nun die Kernfrage durch die von uns vorgestellten Modelle beantwortet werden. Abschließend wurde im Plenum darüber diskutiert, inwiefern solch eine Modellierungsaufgabe im Mathematikunterricht sinnvoll ist oder nicht.

c. Wie kann man den „Verkehrsdurchsatz“ modellieren?

i. Das „Situationsmodell“

Unter 2a) haben wir schon die „Realsituation“ im Sinne des Modellierungskreislaufes kennengelernt. Ziel ist es nun den Modellierungskreislauf zu durchlaufen. Im ersten Schritt sucht man das sog. „Situationsmodell“. In unserem Beispiel kann man sich unter diesem die Gesamtsituation vorstellen, in der Herr Janssen steckt, d.h. den Stau mit all seinen Involvierten, deren individuellem Fahrverhalten, der momentanen Wetterlage usw. In diesem Modell hat man schon einige Sachen ausgeklammert, die für den eigentlichen Modellierungsablauf unwichtig sind, wie zum Beispiel die Tatsache, dass sich die Janssens auf dem Weg ins Kino befinden. Dennoch ist dieses Modell noch nicht „glatt“ genug, um es mit einfachen mathematischen Hilfsmitteln zu analysieren. An dieser Stelle kommt das sog. „Realmodell“ ins Spiel. Dieses Modell stellt eine vereinfachte, idealisierte Variante des „Situationsmodells“ dar. Ich möchte das „Realmodell“ genauer an unserem Beispiel erörtern.^[7]

ii. Das „Realmodell“

Was „Verkehrsdurchsatz“ bedeutet habe ich weiter oben schon kurz beschrieben. Der „Durchsatz“ einer Straße wird mit Sicherheit von der Geschwindigkeit abhängen, die die Autos fahren. Darum werden wir den Durchsatz einer Straße im Folgenden kurz nennen. Die zugrunde liegende Zeiteinheit wird (Std.) betragen.

Nun vereinfachen/idealisieren wir das „Situationsmodell“, damit wir den Schritt vom „Rest der Welt“^[8] zur „Mathematik“^[9] einfacher vollziehen können. Im Hinblick auf die Straße, die befahren wird, gehen wir von einer Fahrspur aus. Die gemeinte Straße ist in unserem Fall eine Bundesstraße, die zumeist einspurig verlaufen. Desweiteren geht man davon aus, dass alle Autos auf dieser Straße mit einer konstanten Geschwindigkeit unterwegs sind. Individuelles Fahrverhalten, wie im „Situationsmodell“ berücksichtigt, wird damit gänzlich ausgeschlossen. Weiter nehmen wir an, dass alle Autos die Gleiche Länge haben und im gleichen Abstand zueinander fahren. Als letzte Vereinfachung einigen wir uns darauf, dass gutes Wetter vorherrschen soll, d.h. ein idealer Straßenbelag zum Bremsen gegeben ist, und man sich auf einer horizontal verlaufenden Straße befindet, d.h. dass es keinerlei Steigungen gibt.

Man sieht, dass viele Idealisierungen getroffen wurden, die später auch Gegen- stand der Kritik, im Bezug auf eine Verbesserung der Modellierung, werden können. Dennoch wollen wir mit diesen Annahmen den Kreislauf durchlaufen.

Welche Schlussfolgerungen kann man an dieser Stelle des Modellierungsprozesses ziehen? Wir erkennen, dass es sinnvoll ist, die Autos auf einer Art Streifen zu betrachten, der sich an einer bestimmten Beobachtungsstelle vorbei zieht. Bei konstanter Geschwindigkeit fahren in einer Stunde genau so viele Autos vorbei, wie auf einem langen Streifen stehen. Diese Formel erhält man durch Äquivalenzumformung aus der Formel der gleichförmigen Bewegung , die man aus dem Alltag kennt, und aus der sich auch die Einheit herleitet. Diese Schlussfolgerung kann an einer Skizze erläutert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Hinrichs 2008 S. 19

^[2] Standardmodelle sind u.a. „lineare Funktionen“ bzw. „Polynomfunktionen im Allgemeinen“, „Dreisatz“, „Volumen- und Flächenberechnung durch bestimmte Formeln“ usw.

^[3] Der Einfachheit halber werden in der gesamten Ausarbeitung die Begriffe „Student(en), Schüler, Lehrer“ usw. für beide Geschlechter benutzt.

^[4] Hinrichs 2008 S. 231

^[5] siehe Literaturverzeichnis

^[6] Modellierungskreislauf nach BLUM und LEISS in Hinrichs 2008 S.19

^[7] Hinrichs 2008 S. 232 ff

^[8] Hinrichs 2008 S.19

^[9] Ebd.