Durch steigende internationale Handelsvolumina und die vermehrte Nachfrage nach
Absicherungsmöglichkeiten zukünftiger Zahlungsströme hat die Bedeutung der Optionsmärkte in
der Vergangenheit immer mehr zugenommen. Als Anfang der 70er Jahre der Handel von
Derivaten im großen Umfang startete, bekam die Bewertung von Optionen auch in der
wissenschaftlichen Forschung und Diskussion eine immer stärke Bedeutung.1 Fast zeitgleich
erschienen die grundlegenden und wegweisenden Arbeiten von Black/Scholes (1973) und Merton
(1973) zur Bewertung von Aktienoptionen. Das auf Arbitrage-Argumenten aufbauende
Black/Scholes-Modell hat sich aufgrund der leichten und schnellen Berechenbarkeit des
Optionspreises mittlerweile als Standardverfahren zur Optionsbewertung durchgesetzt, obwohl
zahlreiche empirische Analysen verschiedene systematische Bewertungsfehler offenbaren.2 Die
wesentlichen Schwächen einer Optionsbewertung nach Black/Scholes liegen in der
Unterbewertung von Optionen aus-dem-Geld3, der Unterbewertung von Optionen auf
Wertpapiere mit niedriger Volatilität4, der Unterbewertung von Optionen mit kurzen Laufzeiten5
und der U-förmige Verlauf der impliziten Volatilität in Relation zum Ausübungspreis6. Die Gründe
für diese Fehlbewertungen resultieren im Wesentlichen aus den restriktiven Annahmen einer
Normalverteilung der Aktienrenditen sowie der im Zeitablauf konstanten Volatilität.
Aufgrund dieser systematischen Bewertungsfehler wurden verschiedene
Optionspreismodelle entwickelt, die sich insbesondere der Heteroskedastizität von Aktienrenditen
widmen. Diese Optionspreismodelle lassen sich in zwei Klassen teilen.7 Die Klasse der
Deterministischen Volatilitätsmodelle unterstellt für die Volatilität einen deterministischen
Zusammenhang mit dem Kurs des Underlyings und/oder der Zeit. Zu den prominentesten
Deterministischen Volatilitätsmodellen gehören das Constant-Elasticity-of-Variance-Modell von
Cox/Ross (1975), das Compound-Optionspreismodell von Geske (1983) und das Displaced-
Diffusion-Modell von Rubinstein (1983). In der Klasse der sogenannten Stochastischen
Volatilitätsmodelle folgt die Volatilität einem eigenständigen stochastischen Diffusionsprozess.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Aufbau der Arbeit
2. Optionen und ihre Bewertung
2.1 Optionen
2.2 Optionsbewertung
2.2.1 Das Black/Scholes-Modell
2.2.2 Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell
3. GARCH-Modelle
3.1 Das symmetrische GARCH-Modell
3.2 Asymmetrische GARCH-Modelle
3.3 Schätzen und Testen
4. Das GARCH-Optionspreismodell
4.1 Das Grundmodell
4.2 Das Bewertungsproblem
4.3 Die risikoneutrale Bewertung
4.4 Das GARCH-Options-Delta
4.5 Vergleich mit dem Black-Scholes-Modell
4.6 Numerische Ergebnisse
5. Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise
5.1. Der Ansatz von Duan et al. (1999)
5.1.1 Das Grundmodell
5.1.2 Die analytische Approximation
5.1.3 Numerische Ergebnisse
5.2 Analytische Approximation für GJR-GARCH und EGARCH
5.2.1 Numerische Ergebnisse
6. Konvergenz zum zeit-stetigen Limit
7. Zusammenfassung und Ausblick
8. Abbildungen und Tabellen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Diplomarbeit untersucht die Anwendung von GARCH-Modellen zur Optionsbewertung. Das primäre Ziel ist die Evaluierung des GARCH-Optionspreismodells von Duan (1995) sowie dessen analytischer Weiterentwicklungen, um systematische Bewertungsfehler des klassischen Black/Scholes-Modells zu beheben, die aus dessen restriktiven Annahmen hinsichtlich der Volatilität und der Renditeverteilung resultieren.
- Theoretische Grundlagen der Optionsbewertung und Kritik am Black/Scholes-Modell.
- Statistische Eigenschaften und Varianten von GARCH-Prozessen (symmetrisch, asymmetrisch).
- Vereinigung von GARCH-Prozessen mit der Optionspreistheorie und risikoneutrale Bewertung.
- Analytische Approximation von GARCH-Optionspreisen zur effizienten Berechnung.
- Konvergenz von GARCH-Modellen gegen zeit-stetige Diffusionsprozesse.
Auszug aus dem Buch
2.2.2 Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell
Das Black/Scholes-Modell stellt heute die Basis der allgemeinen Optionspreistheorie dar. Doch decken eine Vielzahl empirischer Studien von Finanzmärkten systematische Diskrepanzen zwischen den Black/Scholes-Optionspreisen und den Marktpreisen real gehandelter Optionen auf. Zu diesen Diskrepanzen gehören die Unterbewertung von Optionen aus-dem-Geld, die Unterbewertung von Optionen auf Wertpapiere mit niedriger Volatilität, die Unterbewertung von Optionen mit kurzer Laufzeit sowie der U-förmige Verlauf der impliziten Volatilitäten im Bezug auf den Ausübungspreis. Als Ursachen für diese Fehlbewertungen werden die zum Teil sehr restriktiven Annahmen des Black/Scholes-Modells angesehen. Im Folgenden werden die Annahmen des Black/Scholes-Modells in Bezug auf die divergierenden empirischen Beobachtungen diskutiert.
Aufgrund der sehr geringen Sensitivität des Optionspreises in Bezug auf die Höhe des Zinssatzes ist die Annahme eines über die Laufzeit der Option konstanten risikofreien Zinssatzes r_f unbedenklich. Merton (1973) zeigt, dass die Annahme der Abwesenheit von Dividenden relativ einfach aufgehoben werden kann, indem die während der Laufzeit fälligen Dividenden in die Black/Scholes-Bewertungsgleichung integriert werden. Ingersoll (1975) zeigt, dass dies auch ohne Probleme für Steuern möglich ist. Ähnliches gilt für die Integration von Transaktionskosten. Auch ein unstetiger Verlauf des Aktienkurses lässt sich in das Modell integrieren. Die Annahme der Möglichkeit von Leerverkäufen ist für das rechnerische Ergebnis irrelevant. Es verbleiben also die Annahmen einer konstanten Volatilität und der Lognormalverteilung des Aktienkurses als restriktive Annahmen des Modells.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Bedeutung der Optionsmärkte, Darstellung des Black/Scholes-Modells und Erläuterung des Forschungsziels, die Schwächen dieses Modells durch GARCH-basierte Ansätze zu adressieren.
2. Optionen und ihre Bewertung: Erläuterung der Grundprinzipien von Optionen sowie der klassischen Bewertungslogik inklusive des Black/Scholes-Modells und einer Diskussion empirischer Abweichungen.
3. GARCH-Modelle: Mathematische Darstellung von symmetrischen und asymmetrischen GARCH-Prozessen, die zur Modellierung zeitveränderlicher Volatilität und leptokurtischer Renditeverteilungen dienen.
4. Das GARCH-Optionspreismodell: Vorstellung des Ansatzes von Duan (1995), der GARCH-Prozesse in die Optionsbewertung integriert, sowie Erläuterung der risikoneutralen Bewertung in diesem Kontext.
5. Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise: Behandlung effizienter Approximationsmethoden für GARCH-Optionspreise nach Duan et al. (1999) sowie deren Erweiterung auf GJR-GARCH und EGARCH.
6. Konvergenz zum zeit-stetigen Limit: Analyse des theoretischen Zusammenhangs zwischen diskreten GARCH-Prozessen und zeit-stetigen bivariaten Diffusionsmodellen im Sinne der schwachen Konvergenz.
7. Zusammenfassung und Ausblick: Resümee der Ergebnisse bezüglich der Leistungsfähigkeit von GARCH-Modellen und ein Ausblick auf notwendige zukünftige Forschungsanstrengungen für die Praxis.
8. Abbildungen und Tabellen: Präsentation der grafischen Auswertungen und tabellarischen Daten zum Vergleich von Optionspreismodellen.
9. Literaturverzeichnis: Auflistung aller verwendeten wissenschaftlichen Quellen.
Schlüsselwörter
Optionsbewertung, Black/Scholes-Modell, GARCH-Modelle, Volatilität, Heteroskedastizität, Leptokurtosis, Leverage-Effekt, Duan (1995), Analytische Approximation, Risikoneutrale Bewertung, Zeitveränderliche Varianz, Finanzmärkte, Volatilitäts-Smile, Delta-Hedging, Konvergenz.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie das mathematische Modell von Black und Scholes zur Bewertung von Finanzoptionen durch modernere GARCH-Modelle verbessert werden kann, um real beobachtete Marktphänomene besser abzubilden.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen sind die mathematische Modellierung von Aktienrenditen und Volatilität, die Optionspreistheorie, die risikoneutrale Bewertung in unvollständigen Märkten sowie effiziente numerische und analytische Näherungsverfahren.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, das GARCH-Optionspreismodell von Duan (1995) und seine Weiterentwicklungen zu evaluieren, um zu zeigen, dass diese Modelle systematische Fehler des Standard-Black/Scholes-Modells – wie die Unterbewertung von Optionen – korrigieren können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit stützt sich primär auf ökonometrische Zeitreihenanalyse, stochastische Prozesse und die mathematische Finanztheorie. Es werden Monte-Carlo-Simulationen und analytische Edgeworth-Expansions-Ansätze verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die detaillierte mathematische Herleitung von GARCH-Prozessen, die Integration dieser in die Optionsbewertung mittels risikoneutraler Transformation, die Herleitung analytischer Approximationen sowie den Nachweis der Konvergenz zu stetigen Diffusionsmodellen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Optionsbewertung, GARCH-Modelle, Heteroskedastizität, Volatilität, Leverage-Effekt und analytische Approximation.
Warum reicht das Black/Scholes-Modell für die Praxis oft nicht aus?
Es basiert auf restriktiven Annahmen wie einer konstanten Volatilität und normalverteilten Renditen. Empirische Daten zeigen jedoch, dass Renditen "Fat Tails" aufweisen und Volatilitäten zeitlich stark schwanken.
Wie löst Duan (1995) das Problem der Risikoneutralität bei GARCH-Modellen?
Duan führt ein "locally risk-neutral Valuation Relationship" (LRNVR) ein, das eine Transformation des Wahrscheinlichkeitsmaßes ermöglicht, um Arbitragefreiheit in einem ansonsten unvollständigen Markt zu gewährleisten.
Warum ist eine analytische Approximation für GARCH-Modelle wichtig?
GARCH-Optionspreise sind nicht direkt formelmäßig berechenbar. Reine Monte-Carlo-Simulationen sind für den massenhaften Handel an "Trading Desks" zu rechenintensiv, weshalb schnelle Approximationsformeln für die praktische Anwendung zwingend erforderlich sind.
- Citation du texte
- Felix Paape (Auteur), 2010, Optionsbepreisung für Garch-Prozesse, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/154065
