Optionen-Einführung und Theorie der Preisbildung


Seminararbeit, 2010

30 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Was sind Optionen?
2.1 Optionen als bedingte Termingeschäfte
2.2 Der Optionsvertrag
2.3 Gewinn- und Verlustprofile

3 Grundlagen der Optionspreisbildung
3.1 Innerer Wert und Zeitwert
3.2 Einflussfaktoren
3.2.1 Indirekte Einflussfaktoren
3.2.2 Indirekte Einflussfaktoren
3.3 Ober- und Untergrenzen des Optionspreises
3.3.1 Grenzen des Optionspreises bei Kaufoptionen
3.3.2 Grenzen des Optionspreises bei Verkaufsoptionen
3.3.3 Dividendenzahlungen während der Laufzeit
3.3.4 Optionen des amerikanischen Typs
3.3.5 Der Optionspreis während der Laufzeit
3.4 Die Griechen

4 Optionspreismodelle
4.1 Das Binomialmodell
4.1.1 Bewertung von Kaufoptionen mit dem Binomialmodell
4.1.2 Bewertung von Verkaufsoptionen mit dem Binomialmodell
4.2 Das Black & Scholes - Modell
4.2.1 Bewertung von Kaufoptionen mit dem Black and Scholes - Modell
4.2.2 Bewertung von Verkaufsoptionen mit dem Black and Scholes - Modell

5 Put - Call - Parität
5.1 Put - Call - Parität im Binomialmodell
5.2 Put - Call - Parität im Black & Scholes - Modell

6 Schlusswort

7 Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Risikoverteilung bei Termingeschäften aus Sicht des Käufers

Abbildung 2 Gewinn- und Verlustdiagramm bei Optionen

Abbildung 3 Kaufoption in ihren theoretischen Wertgrenzen

Abbildung 4 Verkaufsoption innerhalb ihrer theoretischen Wertuntergrenzen

Abbildung 5 Zustandsbaum des Binominalmodells

Abbildung 6 Black & Scholes - Bewertungsfunktion für Kaufoptionen

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Positionen in Optionsgeschäften

Tabelle 2 Einflussfaktoren im Überblick

Tabelle 3 Duplikationsportfolio bei der Kaufoption

Tabelle 4 Zahlungsreihe des Verkaufs einer Kaufoption

Tabelle 5 Duplizierung des Verkaufs der Kaufoption

Tabelle 6 Duplikationsportfolio bei der Verkaufsoption

Tabelle 7 Zahlungsreihe des Kaufs einer Verkaufsoption

Tabelle 8 Duplizierung der Zahlungsreihe des Kaufs einer Verkaufsoption

1 Einführung

Jean-Paul Getty, ein amerikanischer industrieller sagte einmal: „Geld lässt sich beliebig ver- mehren, solange man es nicht ausgibt, sondern geschickt investiert.“ Doch woher soll man wissen was ein geschicktes Investment ist? Im Laufe der letzten Jahre hat der Handel mit Derivaten, also Termingeschäften stark zugenommen. Derivate werden nicht nur einzeln als Optionen, Futures oder Forwards gehandelt, sondern auch in strukturierten Finanzprodukten verwendet. Aus dem modernen Banken- und Handelswesen sind die Termingeschäfte nicht mehr weg zu denken. Optionen, die börslich oder außerbörslich gehandelt werden sind wich- tige Bestandteile des Kapitalmarktes. Die entscheidende Frage, die sich bei der Suche nach einer geschickten Anlagemöglichkeit in Optionen auftut, ist: „Ist der Preis für das Produkt angemessen?“ Um diese Frage beantworten zu können, muss man sich zuerst darüber im Klaren sein, was Optionen sind und welche Unterschiede es zwischen einzelnen Optionsty- pen gibt. Dieses Verständnis vorausgesetzt, kann man im nächsten Schritt anhand einiger Überlegungen den Preis der Option eingrenzen. Modellhafte Annahmen zur Bestimmung des Optionspreises sind der letzte Schritt auf einer Leiter, die zum fairen Optionspreis führt. Der faire Optionspreis beantwortet die Frage, ob der Preis für die Option angemessen ist.

2 Was sind Optionen?

2.1 Optionen als bedingte Termingeschäfte

„Unter einem Termingeschäft versteht man eine für beide Vertragsparteien bindende Ver- pflichtung über die Lieferung bzw. Abnahme eines Gutes mit einer bestimmten Qualität und Quantität zu einem im Vorfeld festgelegten Preis sowie zu einem festgelegten Zeitpunkt.“1 Im Gegensatz zu Futures und Forwards, bei welchen die Ausübung zwingend festgelegt ist, besteht bei Optionen seitens des Optionskäufers ein Wahlrecht die Option auszuüben, oder sie verfallen zu lassen. Aufgrund dieser Typologie nennt man Futures und Forwards unbe- dingte Termingeschäfte, Optionen dagegen werden als bedingte Termingeschäfte bezeich- net. Diese Unterscheidung zeigt sich auch in der Risikoverteilung. Bei unbedingten Termin- geschäften steht der Gewinnchance symmetrisch das Verlustrisiko gegenüber. Bei Optionen ist die Verteilung asymmetrisch zugunsten des Optionskäufers verschoben, da er entschei- den kann, ob er die Option ausübt, oder nicht. Der Optionsverkäufer dagegen ist verpflichtet, sich dem Willen des Käufers zu fügen und muss bei Ausübung der Option den zugrunde liegenden Vermögenswert zum vereinbarten Preis liefern oder abnehmen. Erhält der Opti- onskäufer das Recht den Gegenstand der Option zu kaufen, so spricht man von einer Call- Option. Bei Put-Optionen erhält der Käufer das Recht den Optionsgegenstand zu Verkaufen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 Risikoverteilung bei Termingeschäften aus Sicht des Käufers2

2.2 Der Optionsvertrag

Laut Definition ist eine Option ein „bilateraler Vertrag, welcher mit einem Wahlrecht ausges- tattet ist.“3 Dieses Wahlrecht bezieht sich auf den der Option zugrunde liegenden Vermö- gensgegenstand (Underlying). Dabei kann es sich um Aktien, Rohstoffe oder Zinszahlungen handeln. Je nach Wesen der Option (Call oder Put) kann das Underlying zu einem im Vorfeld festgelegten Preis - dem Ausübungspreis oder auch stiking-price - gekauft oder verkauft werden. Der Optionskäufer hat, wie eingangs bereits erwähnt, die Möglichkeit zu wählen, ob er von diesem Recht Gebrauch macht oder ob er die Option unausgeübt verfallen lassen möchte. Daher auch der Name „Option“ (von lat. optio = „das Recht zu wählen“). Zu welchem Zeitpunkt der Käufer von diesem Recht Gebrauch machen kann, hängt von der Ausübungs- art der Option ab. Man unterscheidet zwischen american-style und european-style. Bei Ers- teren kann die Option über die gesamte Laufzeit hinweg ausgeübt werden. Beim european- style ist eine Ausübung nur am letzten Tag der Laufzeit möglich, dem so genannten Ver- fallstag oder auch expiration date. Der Verkäufer einer Option wird auch als Stillhalter be- zeichnet, da er, wie zuvor erwähnt bei Ausübung der Option dazu verpflichtet ist das Under- lying abzunehmen oder zu verkaufen. Der Verkäufer einer Kaufoption ist der Stillhalter in Waren, der Verkäufer einer Verkaufsoption der Stillhalter in Geld. Der Käufer einer Option bezahlt dem Verkäufer den Optionspreis, um dafür das Recht zu erhalten, die Option auszu- üben. „Nur aufgrund des ihm zufließenden Optionspreises ist der Verkäufer bereit, sich ge- genüber dem Optionsinhaber in der Zukunft passiv zu verhalten und so stets die für ihn un- günstigere Position einzunehmen.“4 An Stelle der Bezeichnungen „Käufer“ und „Verkäufer“ werden die Positionen, welche beim Optionsgeschäft entstehen mit „Long“ und „Short“ be- zeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1 Positionen in Optionsgeschäften5

2.3 Gewinn- und Verlustprofile

Die Verschiebung der Risikoverteilung kann man sich am einfachsten klarmachen, wenn man die verschiedenen Gewinn- und Verlustmöglichkeiten der einzelnen Positionen im Opti- onsgeschäft kennt. Der Inhaber einer Kauf- bzw. Verkaufsoption kann maximal einen Verlust in Höhe des von ihm bezahlten Optionspreises erleiden, falls er sich gegen eine Ausübung der Option entscheidet. Der Kauf eines Optionsrechts bringt die Aussicht auf nahezu unbe- grenzten Gewinn.6 Die gilt vor allem für Kaufoptionen, Verkaufsoptionen sind im Gewinn be- grenzt, da das Underlying keinen geringeren Wert als Null annehmen kann. Bei Kaufoptio- nen ist der Kurs nach oben nicht begrenzt, weshalb der Gewinn, welcher durch die Kaufopti- on erzielt werden kann theoretisch unbegrenzt ist. Eine Option, deren innerer Wert größer als Null ist, steht „im Geld“ (in the money = ITM). Steht der innere Wert nahe bei Null, so ist die Option „am Geld“ (at the money = ATM). Optionen mit negativem inneren Wert sind „aus dem Geld“ (out of the money = OTM).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 Gewinn- und Verlustdiagramm bei Optionen7

3 Grundlagen der Optionspreisbildung

3.1 Innerer Wert und Zeitwert

Der Preis einer Option lässt sich aufteilen in die beiden Komponenten innerer Wert und Zeit- wert. Als inneren Wert bezeichnet man die positive Differenz zwischen dem Ausübungspreis und dem Preis, welcher für das Underlying an der entsprechenden Börse zu bezahlen wäre. Die Differenz wird deswegen als positiv bezeichnet, da bei eventueller Negativität die Option nicht ausgeübt wird und deshalb kein Preis für das Underlying zu bezahlen ist. Die Option kann also minimal einen inneren Wert von Null haben, wo hingegen im positiven Bereich theoretisch keine Grenzen gesetzt sind. Ein Rechenbeispiel zur Bestimmung des inneren Wertes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie im Beispiel zu erkennen ist, muss bei der Berechnung des inneren Wertes darauf ge- achtet werden, ob es sich um eine Call- oder um eine Put-Option handelt. Dem entspre- chend müssen die Formeln angewendet werden. Der innere Wert ist aber nur ein Bestandteil des Optionspreises. Als weiterer Bestandteil kommt der Zeitwert hinzu. Ohne ihn wäre der Optionspreis immer dem inneren Wert gleich. Der Zeitwert einer Option lässt sich aus der Differenz zwischen dem Optionspreis und dem inneren Wert bestimmen. Die Funktion des Zeitwertes besteht darin, dass mit längerer Restlaufzeit der Option die Chance größer ist, dass sie ITM endet. Umgekehrt lässt sich sagen, dass mit abnehmender Restlaufzeit der Zeitwert geringer wird und am Verfallstag der Option gleich Null ist. „Die Abnahme des Zeit- wertes ist nicht linear, sondern verstärkt sich gegen Ende der Laufzeit exponentiell. Denn die Chance, dass die Option gewinnbringend endet, nimmt aufgrund des herannahenden letzten Handelstages von Tag zu Tag schneller ab und verstärkt die Gefahr eines wertlosen Ver- falls.“8 Der Zeitwert ist also nicht konstant, sondern ändert sich ständig.

3.2 Einflussfaktoren

3.2.1 Indirekte Einflussfaktoren

Es gibt fünf Faktoren, die den Preis einer Option bestimmen:

1. Kurs des Underlyings
2. Restlaufzeit
3. Volatilität des Kurses des Underlyings
4. Risikofreier Zins (Marktzins)
5. Erwartete Dividendenauszahlungen während der Laufzeit

An dieser Stelle wird gezeigt, wie sich der Optionspreis verhält, wenn einer dieser Faktoren bei Konstanthaltung der anderen Faktoren verändert wird.9 Einer der größten Einflüsse geht vom Preis des Underlyings aus. Das ergibt sich daraus, dass die Option direkt an die Ent- wicklung des Underlyings gebunden ist. Mit steigendem Preis des Underlyings verteuert sich die Kaufoption und die Verkaufsoption sinkt im Preis. Anders herum fällt mit fallendem Un- derlyingpreis der Wert der Kaufoption, jedoch steigt der Wert der Verkaufsoption bei dieser Entwicklung. Wie in Kapitel 3.1. bereits erläutert wurde ist der Wert einer Option mit langer Laufzeit aufgrund des höheren Zeitwertes größer als der Wert einer Option mit kurzer Lauf- zeit, selbst wenn das Underlying und der Ausübungspreis der beiden Optionen gleich sind. Dies ergibt sich aus dem Sachverhalt, dass mit längerer Restlaufzeit die Chance steigt, dass die Option ITM endet. Der Einfluss des Zeitwertes nimmt bei abnehmender Restlaufzeit zu, da der Zeitwert und die Chance auf eine Änderung des Zustands (ITM, ATM, OTM) gegen Ende der Laufzeit exponentiell abnehmen. Die Volatilität des Kurses des Underlyings gibt an, in welchem Ausmaß der Wert des Underlying um einen Mittelwert schwankt. Diese Daten werden mit den statistischen Methoden der Varianz bzw. der Standardabweichung be- stimmt.10 „Bei einer historischen Volatilität von 10 und einem Mittelwert von 100 schwankt das Underlying zwischen 90 und 110.“11 Die Volatilität macht also keine Aussage über die Richtung der Abweichung sonder lediglich über deren Ausmaß. Je größer die Volatilität des Kurses, desto größer ist auch die Chance, dass sich der Wert des Underlyings während der Optionslaufzeit ändert. Der Inhaber einer Kaufoption profitiert von Kursanstiegen, sein Risiko ist im Falle eines Kursverfalls jedoch begrenzt, weil er höchstens den Preis der Option verlie- ren kann. Der Inhaber der Verkaufsoption profitiert von Kursrückgängen, sein Risiko im Falle eines Kursanstiegs ist ebenfalls begrenzt. „Der Wert einer Kauf- und Verkaufsoption wächst also mit steigender Volatilität.“12 Am anschaulichsten lässt sich der Einfluss des risikolosen Zinses auf den Optionspreis aus der Sich des Stillhalters erklären. Als Verkäufer einer Kauf- option hält der Stillhalter das Underlying um es im Falle der Ausübung an den Inhaber der Option liefern zu können. Bei steigendem risikolosem Zins entgehen dem Stillhalter Zinser- träge, da er das Underlying nicht liquidieren und den Ertrag anlegen kann. Der Optionskäufer muss ihm diesen „Verlust“ vergüten. Der Preis der Kaufoption steigt bei einem Anstieg des risikolosen Zinssatzes. Der Verkäufer einer Verkaufsoption ist Stillhalter in Geld, er hält liqui- de Mittel zur Verfügung um das Underlying im Falle der Ausübung durch den Optionsinhaber kaufen zu können. Anders als der Verkäufer der Kaufoption kann der Verkäufer der Ver- kaufsoption das Geld während der Laufzeit zum risikolosen Zinssatz anlegen und so von einem steigenden Zinssatz profitieren. Entsprechend sinkt der Wert der Verkaufsoption mit steigendem risikolosem Zinssatz. Bei fallendem, risikolosem Zins sinkt der Wert der Kaufop- tion. Gleichzeitig steigt der Wert der Verkaufsoption, da die Zinserträge aus risikolosen Anla- gen geringer ausfallen. Dividendenzahlungen während der Laufzeit beeinflussen den Preis von Aktienoptionen je nach Ausübungsart. Bei Optionen des europäischen Typs gehen die erwarteten Dividendezahlungen bereits zu Beginn in die Berechnung des Optionspreises ein. Bei Optionen, welche nach dem amerikanischen Typ ausgeübt werden können, haben die Zahlungen während der Laufzeit einen direkten Einfluss auf den Optionspreis. An dem Tag, an welchem die Dividende ausgezahlt wird, gibt es einen Abschlag auf den Preis der Kaufop- tion, da am Ex-Dividendentag der Preis der zu Grunde liegenden Aktie sinkt. Anders herum verhält es sich dann logischerweise mit dem Preis der Verkaufsoption. Er steigt mit fallen- dem Aktienkurs.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2 Einflussfaktoren im Überblick13

3.2.2 Indirekte Einflussfaktoren

Folgende Faktoren haben einen indirekten Einfluss auf den Optionspreis:

1. Erwartungen über die Entwicklung des Kurses des Underlying
2. Risikoneigung des Käufers und des Verkäufers
3. Eigenarten alternativer Anlagemöglichkeiten
4. Transaktionskosten und Steuern

Der Einfluss der Erwartungen über die Entwicklung des Kurses des Underlying kann aus dem Einfluss des Underlyingkurses auf den Optionspreis abgeleitet werden. Falls ein steigender (fallender) Kurs erwartet wird, ist anzunehmen, dass der Preis der Kaufoption höher (niedriger) angesetzt wird, als bei einer erwarteten Seitwärtsbewegung des Kurses. Der Preis von Verkaufsoptionen wird bei einem erwarteten Anstieg (Fall) des Kurses niedriger (höher) angesetzt, als bei wenn eine Seitwärtsbewegung des erwartet wird.

Die Risikoneigung von Käufer und Verkäufer spielt in der Hinsicht eine Rolle, dass ein Verkäufer einer Option, welcher risikoavers agiert einen höheren Optionspreis ansetzen wird, als ein risikofreudiger Verkäufer. Ein Optionskäufer mit einem risikofreudigen Profil wird bereit sein mehr für eine Option zu bezahlen, als ein risikoaverser Käufer. Das Vorhandensein und die Eigenart alternativer Anlagemöglichkeiten beeinflusst den Optionspreis, weil Anlageobjekte mit anderen Anlageobjekten in Konkurrenz stehen. Daraus ergibt sich ein Einfluss auf das Underlying, die Volatilität und den Ertrag aus risikolosen Anlagen.14

3.3 Ober- und Untergrenzen des Optionspreises

Die theoretischen Ober- und Untergrenzen des Optionspreises lassen sich am besten an- hand von Aktienoptionen erklären. Optionen mit Aktien als Underlying sind die am häufigsten gehandelten Optionen. Zu Beginn werden die Wertgrenzen von Optionen des europäischen Typs betrachtet und die Überlegungen anschließend auf amerikanische Optionen übertra- gen. Den Überlegungen wird das Vorliegen eines vollkommenen Kapitalmarktes zu Grunde gelegt.

3.3.1 Grenzen des Optionspreises bei Kaufoptionen

Der Preis Ct einer Kaufoption des europäischen Typs am letzten Tag der Laufzeit hängt nur vom Aktienkurs K und vom Ausübungspreis A ab, da der Zeitwert am Verfallstag Null ist. Es steht fest, in welcher Situation die Option steht und es gibt keine Chance, dass sich dies noch ändert. Sollte der Aktienkurs höher liegen als der Ausübungspreis, hat die Kaufoption genau den Wert der Differenz aus Aktienkurs und Ausübungspreis. Andererseits kann der Wert der Option minimal Null betragen, da der innere Wert nicht negativ werden kann, weil die Option in diesem Fall nicht ausgeübt wird. Der Preis dieser Kaufoption kann beschrieben werden durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der maximale Preis einer Kaufoption am Verfallstag ist demnach gleich der Höhe des aktuel- len Aktienkurses. Bei einem hypothetischen Ausübungspreis von Null wird dies deutlich. Der innere Wert wäre dann gleich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Betrachtung der Wertuntergrenze ist zu beachten, dass der Ausübungspreis erst am Ende der Laufzeit gezahlt werden muss. Sollte die Option vor dem Ausübungstag gekauft werden, ist das Geld welches zur Bezahlung des Ausübungspreises benötigt wird bis zum Verfallstag zum risikolosen Zinssatz ir anzulegen. Die Wertuntergrenze ergibt sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen Aktienkurs und dem Barwert des Ausübungspreises:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zuvor bestimmten Begrenzungen sollen anhand von Abbildung 315 verdeutlicht werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 Kaufoption in ihren theoretischen Wertgrenzen

Anhand dieser Überlegung ergibt sich der Preis einer europäischen Kaufoption:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3.2 Grenzen des Optionspreises bei Verkaufsoptionen

Um den Preis Pt einer Verkaufsoption am Verfallstag zu bestimmen, kann man ebenso vorgehen wie es bei den Kaufoptionen getan wurde, da auch hier der Zeitwert am letzten Tag der Optionslaufzeit keine Rolle spielt. Der Preis der Verkaufsoption hängt am Verfallstag nur vom aktuellen Aktienkurs Kt und dem Ausübungspreis A ab. Daraus ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Liegt der aktuelle Kurs Kt unter dem Ausübungspreis A, so hat die Verkaufsoption am Ver- fallstag genau den Preis, der dem inneren Wert der Option entspricht. Der Preis wird dann maximal, wenn der Kurs der Aktie auf Null fällt und entspricht dann dem Ausübungspreis A:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird davon ausgegangen, dass das Kapital, welches zum Kauf der Aktie benötigt wird, vom Beginn des Optionsgeschäfts an zur Verfügung steht. Der Barwert dieses Kapitals stellt die Wertobergrenze der Verkaufsoption dar, da es für die Dauer der Laufzeit zum risikolosen Zinssatz ir angelegt wird.

[...]


1 Bloss/Ernst S. 2f.

2 Vgl. Maier S. 11

3 Bloss/Ernst S. 27

4 Steinbrenner S. 27

5 In Anlehnung an Perridon/Steiner/Rathgeber S. 326

6 Steinbrenner S. 51

7 Vgl. Steiner/Bruns S. 316

8 Bloss/Ernst S. 39

9 Vgl. Hull S. 240

10 Zur Berechnung der Volatilität siehe etwa Pfeifer S. 294ff.

11 Bloss/Ernst S. 41

12 Hull S. 242

13 Bloss/Ernst S. 44

14 Plötz S. 51

15 Steiner/Bruns S. 320

Ende der Leseprobe aus 30 Seiten

Details

Titel
Optionen-Einführung und Theorie der Preisbildung
Hochschule
Hochschule für Wirtschaft und Umwelt Nürtingen-Geislingen; Standort Nürtingen
Note
1,3
Autor
Jahr
2010
Seiten
30
Katalognummer
V154814
ISBN (eBook)
9783640683581
ISBN (Buch)
9783640683505
Dateigröße
626 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Optionen-Einführung, Theorie, Preisbildung
Arbeit zitieren
Peter Gaubatz (Autor), 2010, Optionen-Einführung und Theorie der Preisbildung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/154814

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