Optionsbewertung in zeitstetigen Sprung-Diffusionsmodellen

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1. Einleitung

Die Bewertung von Derivaten stellt ein wichtiges Thema der Finanzierungs-theorie dar. Derivate sind Termingesch¨ afte, deren Preis sich nach dem Wert eines bestimmten Underlying Assets richtet. Dies k¨ onnen neben Aktien oder anderen Derivaten auch nichtfinanzielle, messbare Gr¨ oßen wie das Wetter sein. Grunds¨ atzlich lassen sich bedingte und unbedingte Termingesch¨ afte unterscheiden. W¨ ahrend bei den unbedingten Termingesch¨ aften eine beiderseitige Verpflichtung besteht, das betrachtete Underlying Asset an einem festgelegten Termin gegen einen zuvor festgelegten Basispreis zu tauschen, erwirbt der K¨ aufer eines bedingten Termingesch¨ aftes oder einer Option das Recht, das Underlying Asset bis zu (amerikanische Option) oder an einem bestimmten Termin (europ¨ aische Option) zu einem festgelegten Basispreis zu kaufen (Kaufoption) beziehungsweise zu verkaufen (Verkaufsoption), oder aber, die Option verfallen zu lassen. Statt des tats¨ achlichen Kaufs oder Verkaufs kann auch ein cash settlement (Barausgleich) vorgenommen werden. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich europ¨ aische Optionen auf Aktien betrachtet.

Da eine Option ein Recht und keine Verpflichtung verbrieft, muss der K¨ aufer einer Option einen Optionspreis entrichten, der dem Wert der Option entspricht. Am Ende der Laufzeit entspricht dieser der Differenz zwischen dem Wert des Underlying Assets und dem im Optionsvertrag festgelegten Basispreis, zu jedem vorherigen Zeitpunkt ist er von der zuk¨ unftigen Entwicklung des Preises des Underlying Assets abh¨ angig und somit unsicher. Um einen Optionspreis bestimmen zu k¨ onnen, ohne dass Sicherheit ¨ uber die zuk¨ unftige Entwicklung

des Preises des Underlying Assets besteht, m¨ ussen bestimmte Annahmen ¨ uber

diese, getroffen werden. In zeitstetigen Modellen wird zu diesem Zweck ein Prozess angenommen, dem der Preis des Underlying Assets folgt.

Black und Scholes (1973) entwickelten ein grundlegendes Modell, in dem f¨ ur die Preisentwicklung des Underlying Assets eine geometrisch Brownsche Bewegung angenommen wird. Dies erm¨ oglicht die Ermittlung von pr¨ aferenzfreien

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2. Einf¨ uhrung in die Optionsbewertung in vollst¨ andigen Kapitalm¨ arkten

Driftterm ist von der Zeit und dem aktuellen Aktienkurs abh¨ angig, der Volatilit¨ atsterm ergibt sich durch die Multiplikation der konstanten Volatilit¨ at der Aktienkursrendite σ S,BS mit dem aktuellen Aktienkurs S BS (t) und den Inkrementen eines elementaren Wiener Prozesses dW (t). Demnach stellt der Wiener Prozess die einzige stochastische Variable im betrachteten Prozess dar. Die geometrisch Brownsche Bewegung generiert stetige Stichprobenpfade, das heißt, dass der Aktienkurs sich innerhalb eines infinitesimalen Zeitintervalls nur infinitesimal ¨ andert. F¨ ur dt → 0 gilt demnach auch dS BS (t) → 0. ³ Weiterhin ergibt sich durch die zum aktuellen Aktienkurs proportionale Modellierung eine normalverteilte Aktienrendite 4

beziehungsweise ein logarithmisch normalverteilter Aktienkurs ln S BS (T )

ln S BS (T ) ∼ N

2.1.1. Die Fundamentalgleichung

Da der Kapitalmarkt vollst¨ andig und somit durch die Aktie und die risikoneutrale Anleihe abschließend beschrieben ist, liefert eine auf dem Markt gehandelte Option auf die betrachtete Aktie keine weiteren Informationen. Ihr Wert ist eine Funktion des Kurses des Underlying Assets und der Zeit 5

V = V BS S BS (t), t . (2.2)

³ Vgl. Neftci (2000), S.179.

⁴ Vgl. Hull (2005), S. 347 f..

⁵ Vgl. Sandmann (2000), S. 269.

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2.1.2. Die empirische Verteilung von Aktienkursen

Zwei empirischen Ph¨ anomenen ist in Verbindung mit dem Black-Scholes-Modell in der Literatur besondere Aufmerksamkeit gewidmet worden. Dabei handelt es sich einerseits um die so genannten Volatility Smiles und andererseits um die leptokurtische Form der empirischen Verteilung der Aktienkursrenditen.

In der Black-Scholes-Modellwelt wird von einer konstanten Volatilit¨ at ausgegangen. Berechnet man die impliziten Volatilit¨ aten von Optionspreisen als die Volatilit¨ aten, die sich aus der Black-Scholes Bewertungsgleichung f¨ ur einen beobachteten Marktpreis ergeben, so ergibt sich, dass diese bei sonst gleichen Bedingungen weder f¨ ur unterschiedliche Restlaufzeiten, also in t, noch f¨ ur unterschiedliche Basispreise K konstant sind. Werden die berechneten Werte f¨ ur die Volatilit¨ at gegen die zugeh¨ origen Basiswerte abgetragen, so ergibt sich eine Kurve, die in der Literatur h¨ aufig als Volatility Smile beschrieben wird. 10

Beim Vergleich der empirischen Verteilung der Aktienkursrenditen mit der Normalverteilung ergibt sich, dass erstgenannte einen positiven Exzess, also eine h¨ ohere Spitze und breitere Enden aufweist als die Normalverteilung. Dies deutet darauf hin, dass die tats¨ achliche Wahrscheinlichkeit f¨ ur sehr kleine sowie f¨ ur sehr große Bewegungen im Aktienkurs h¨ oher ist als sich aus der Normalverteilung ergibt. 11

Hinzu kommt, dass tats¨ achliche Aktienkursverl¨ aufe nur f¨ ur einen verh¨ altnism¨ aßig großen Zeitmaßstab durch stetige Stichprobenpfade simuliert werden k¨ onnen. Bei der Betrachtung k¨ urzerer Zeitintervalle scheinen Unstetigkeiten, also starke Kurs¨ anderungen innerhalb eines sehr kurzen Zeitintervalls, einen nicht zu vernachl¨ assigenden Einfluss auf den Kursverlauf zu haben. ¹² Das Vorliegen solcher Kursspr¨ unge l¨ asst sich einerseits empirisch nachweisen, ¹³ andererseits l¨ asst sich aus den verh¨ altnism¨ aßig hohen Preisen von Optionen mit sehr kurzen Restlaufzeiten, die sich aus dem Geld befinden, schließen, dass

¹⁰ Vgl. Cont und Tankov (2003), S.8 ff..

¹¹ Vgl. Wilmott (2000), S. 409 ff., Cont und Tankov (2003), S. 210 f..

¹² Vgl. Cont und Tankov (2003), S. 2 f..

¹³ Vgl. bspw. Ball und Torous (1985), S. 168 f. und Kim et al. (1994), S. 614 ff..

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enkurses durch einen Sprungprozess gilt, dass f¨ ur dt → 0 nicht der Betrag, um den sich der Aktienkurs ver¨ andert, falls ein Sprung eintritt, sondern lediglich die Sprungeintrittswahrscheinlichkeit gegen Null geht. ¹⁸ Tritt ein Kurssprung ein, so kommt es zu einer nichtinfinitesimalen ¨ Anderung des Aktienkurses in-

nerhalb eines infinitesimalen Zeitintervalls. Dies stellt den wesentlichen Unterschied zu einer Modellierung durch die geometrisch Brownsche Bewegung (2.1) dar.

2.2.1. Die allgemeine Bewertungsgleichung

Der Wert einer Option V ist eine Funktion des Wertes des Underlying Assets und der Zeit

F¨ ur die Wert¨ anderung der Option dV CR

Itˆ os Lemma f¨ ur Sprungprozesse 19

dV CR S CR (t), t

F¨ ur den Fall, dass kein Sprung eintritt (dN CR (t) = 0), wird die Wert¨ anderung der Option somit, ebenso wie die der Aktie, durch eine deterministische ¨ Anderung beschrieben. Tritt ein Sprung ein (dN CR (t) = 1), so resultiert die zus¨ atzliche Wert¨ anderung der Option ausschließlich aus der Wert¨ anderung in S CR (t).

Die Herleitung der allgemeinen Bewertungsgleichung erfolgt analog zu der Herleitung der Fundamentalgleichung (2.7) im Black-Scholes-Modell. Da der Poisson-Prozess die einzige stochastische Variable der Preisprozesse beider betrachteten Assets darstellt, ist es m¨ oglich, ein Portfolio zu bilden, das f¨ ur ein

¹⁸ Vgl. Neftci (2000), S. 179.

¹⁹ Siehe Anhang A.2.

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den Erwartungen der Investoren abh¨ angige Variable λ CR ist weder in der allgemeinen Bewertungsgleichung (2.15) noch in der Preisgleichung (2.16) enthalten. 22

2.3. Risikoneutrale Bewertung

Auf einem vollst¨ andigen Kapitalmarkt lassen sich Wertpapiere nicht nur an-hand von perfekten Hedgeportfolios bewerten. Ebenso ist es m¨ oglich, eine risikoneutrale Bewertung vorzunehmen. Dies bedeutet, dass von dem tats¨ achlichen Wahrscheinlichkeitsmaß P auf ein ¨ aquivalentes Martingalmaß Q ¨ ubergegangen

wird und zwar so, dass der diskontierte Preis jedes beliebigen Assets S(t) ein Martingal unter Q ist

S(t) = e ^{−r(T −t)} E ^Q t [S(T )]. (2.17)

Dabei gibt E ^Q [X] den Erwartungswert von X unter dem ¨ aquivalenten Martingalmaß Q an. Der Erwartungswert unter dem tats¨ achlichen Wahrscheinlichkeitsmaß P wird weiterhin mit E[X] bezeichnet. Um eine Bewertung vornehmen zu k¨ onnen ist dann lediglich die Auszahlung des Assets am Laufzeitende sowie die Dichtefunktion der Verteilung des Assetpreises erforderlich.

Definition 2.3.1 ¨ Aquivalentes Martingalmaß. uber (Ω, F) ist ein zu P ¨ aquivalentes Mar-Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q ¨ tingalmaß, wenn

1. Q ¨ aquivalent zu P ist

2. der diskontierte Preisprozess ein Martingal unter Q ist.

Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße sind ¨ aquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen, wenn also die Bedingung Q(A) = 0 ⇔ P(A) = 0 ∀ A ∈ F erf¨ ullt

²² Vgl. Cox und Ross (1975), S.11.

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