Wahrscheinlichkeiten beim Schafkopf

GLIEDERUNG

1. Vorwort

2. Grundlegende Informationen zum Schafkopfspiel

3. Austeilen der Spielkarten
3.1 Austeilen der Karten als Laplace-Experiment
3.2 Anzahl der möglichen Verteilungen

4. Verteilung der Trümpfe
4.1 Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung der Trümpfe
4.2 Versuch: Relative Häufigkeit bei der Verteilung der Trümpfe
4.3 Hypothesentest zur Ermittlung eines unfairen Spielers
4.4 Erwartungswert für die Anzahl der Trümpfe
4.5 Varianz und Standardabweichung für die Anzahl der Trümpfe

5. Wahrscheinlichkeiten während des Spielablaufs
5.1 Gewinnwahrscheinlichkeit beim Anspielen eines Asses
5.2 Gewinnwahrscheinlichkeit beim Tout-Spiel
5.2.1 Solo-Tout
5.2.2 Wenz-Tout

6. Schlusswort

7. Anhang
7.1 Histogramm zu 4.1
7.2 Stabdiagramm bzw. kumulative Verteilungsfunktion zu 5.2.1
7.3 genaues Versuchsergebnis zu 4.2

8. Quellenverzeichnis

1. Vorwort

„Schafkopf“ ist eines der ältesten bekannten Kartenspiele und erfreut sich insbesondere im süddeutschen Raum einer großen Beliebtheit. Wie die meisten anderen Kartenspiele auch stellt es eine Kombination aus Glücks- und Strategiespiel dar.

Üblicherweise verlassen sich Schafkopfspieler bei Ihren Entscheidungen sowohl auf Erfahrungen aus vergangenen Spielen als auch auf Ihre Intuition. Erfolgreiche Spieler müssen darüber hinaus die möglichen Konsequenzen für die noch verbleibenden Durchgänge antizipieren. In der Regel haben die Teilnehmer dabei jedoch keine Kenntnis über Ihre tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit. Ziel dieser Arbeit ist daher, das Schafkopfspiel aus einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Perspektive zu beleuchten.

Nach einem kuren Überblick zu den wichtigsten Spielregeln erfolgt zunächst eine kombinatorische Betrachtung der möglichen Kartenverteilungen. Darauf aufbauend wird anschließend die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der erhaltenen Trümpfe berechnet. Mithilfe eines selbst durchgeführten Experiments wird darüber hinaus der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit dargestellt. Im darauf folgenden Kapitel wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung die optimale Entscheidung in unterschiedlichen Spielsituationen aufgezeigt, bevor die Arbeit mit einem Schlusswort abschließt.

2. Grundlegende Informationen zum Schafkopfspiel

Um Unklarheiten vorzubeugen, erfolgt zunächst eine überblicksartige Darstellung des allgemeinen Spielablaufs.

Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf die lange Variante des „Bayerische(n) Schafkopf“ (Schafkopf und Doppelkopf, 2004, S.12), das heißt, dass insgesamt 32 Karten auf vier Spieler verteilt werden. Nach dem Austeilen muss jeder Teilnehmer der Runde mitteilen, ob er ein Spiel wagen will. Dabei unterscheidet man grundsätzlich zwischen einem Rufspiel, bei dem ein Mitspieler mit einem bestimmten Ass als Partner ausgerufen wird, und einem Einzelspiel (z.B. Solo oder Wenz), in welchem der Spieler alleine gegen die restlichen drei Teilnehmer antritt. Ziel ist es stets, möglichst viele und punktreiche Stiche für sich zu entscheiden, um letztlich mit mind. 61 (Spieler) bzw. 60 (Gegenspieler) Punkten das Spiel als Gewinner zu beenden. Die erzielte Punktzahl ergibt sich hierbei aus der Summe der Zählwerte aller Karten, die während einer Partie gestochen wurden.

Die weiteren für diese Facharbeit relevanten Spielregeln werden an geeigneter Stelle jeweils kurz erläutert.

3. Austeilen der Spielkarten

Bevor Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchgeführt werden, soll zunächst die Verteilung der Spielkarten näher betrachtet werden.

3.1 Austeilen der Karten als Laplace-Experiment

Bei den folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass beim Verteilen der Karten ein Laplace-Experiment vorliegt.

Von einem Laplace-Experiment spricht man genau dann, „wenn alle Ergebnisse des zugehörigen Ergebnisraums gleichwahrscheinlich sind.“ (Mathematische Formeln und Definitionen, 1998, S.107)

Anschaulich bedeutet dies, dass ausreichend und fair gemischt wird, womit die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Blatt zu erhalten, für alle möglichen Zusammensetzungen dieses Blattes gleich groß ist.

3.2 Anzahl der möglichen Kartenverteilungen

Voraussetzung für die späteren stochastischen Untersuchungen ist, dass die Gesamtzahl aller möglichen Kartenverteilungen bekannt ist.

Erleichtert werden die Berechnungen durch die Verwendung des sogenannten Binomialkoeffizienten, der wie folgt definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese dienen dazu, die Anzahl der Möglichkeiten, wie aus einer Menge mit n Elementen genau k Elemente ausgewählt werden können, zu bestimmen. Die Reihenfolge wird dabei nicht berücksichtigt.

Ebenso ist bei der Verteilung der Karten die Reihenfolge für die Qualität des Blattes nicht von Bedeutung. Ob der Speler beispielsweise den Eichel Ober als erste oder als letzte Karte erhält ist unerheblich, da dieser trotzdem zu einem beliebigen Zeitpunkt ausgespielt werden darf.

Untersucht man nun, auf wie viele Arten die 32 Karten auf die vier Spieler verteilt werden können, ergibt sich als Ergebnisraum Ω :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dem ersten Spieler stehen noch alle 32 Karten zur Verfügung. Der zweite Spieler kann selbstverständlich keine der acht schon zuvor vergebenen Karten besitzen, so dass ihm nur noch 8 aus 24 Karten zustehen. Entsprechend verhält es sich auch für den dritten und vierten Teilnehmer der Runde.

Für den einzelnen Spieler sind die genauen Karten der Gegner nicht von Interesse, um die Wahrscheinlichkeiten, die sein eigenes Blatt betreffen, zu berechnen. Es ist daher sinnvoll einen zweiten Ergebnisraum Ω zu bilden, der lediglich diese acht Karten berücksichtigt.

Hierbei kommt man auf insgesamt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um sich der Größe dieser Zahl bewusst zu werden, bietet sich folgendes Beispiel an:

Kalkuliert man als Spieldauer durchschnittlich fünf Minuten, so müsste man (unter Berücksichtigung von Schaltjahren) 52 591 500 Minuten bzw. 99 Jahre, 362 Tage und 3 Stunden am Stück spielen, um einmal jedes mögliche Blatt erhalten zu haben.

Anhand dieser sehr hohen Zahlen wird schnell klar, dass Schafkopf und ähnliche Kartenspiele ein hohes Maß an strategischem Denken erfordern, da es schier unmöglich ist, eine einheitliche Taktik zu finden, die auf jedes Spiel anwendbar ist.

4. Verteilung der Trümpfe

Die Verteilung der Trümpfe stellt zu Beginn den wichtigsten Orientierungspunkt für das weitere Verhalten innerhalb des Spiels dar. Von ihr macht der Spieler vor allem abhängig, ob er ein Einzelspiel oder ein Rufspiel wagt. In den folgenden Berechnungen wird von einem üblichen Herzsolo ausgegangen, das heißt, neben den jeweils vier Obern und Untern sind die restlichen Herzkarten Trumpf (selbiges gilt auch im Rufspiel). Somit kommt man auf eine Gesamtzahl von 14 Trümpfen, die vor dem Spiel verteilt werden.

4.1 Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung der Trümpfe

Zur Erfassung der Trumpfanzahl ist es sinnvoll, zunächst eine Zufallsgröße X zu bilden, die jedem Ergebnis eine reelle Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zuordnet: „Eine reellwertige Funktion von Ω in heißt Zufallsgröße.“ (Mathematische Formeln und Definitionen, 1998, S.108)

Durch kombinatorische Mittel und logisches Denken kann jetzt die Gesamtzahl der für das Ereignis A:=„Der Spieler erhält x Trümpfe“ günstigen Ergebnisse berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

x = Anzahl der erhaltenen Trümpfe

Es gibt zunächst „x aus 14“ Möglichkeiten für die Verteilung der Trümpfe. Anschließend können sich die fehlenden 8-x Karten beliebig aus den restlichen 18 „normalen“ Karten zusammensetzen.

Da von ungezinkten Spielkarten und somit einem Laplace-Experiment ausgegangen wird, gilt für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anzahl der für E günstigen Ergebnisse

Anzahl der mögl. gleichwahrscheinlichen Ergebnisse (Mathematische Formeln und Definitionen, 1998, S.107)

Als geeigneter Ergebnisraum wird

Ω (vgl. Kapitel 3.2) verwendet, weil hier nur die eigenen Karten zur Betrachtung herangezogen werden.

Damit kann schließlich folgende Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (Anzahl der Trümpfe) formuliert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Folgende Wertetabelle gibt einen genauen Überblick über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Histogramm: siehe Anhang S.20):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in Prozent

Es zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit ein herausragendes Blatt mit mehr als fünf Trümpfen ausgeteilt zu bekommen lediglich rund 20 Prozent beträgt.

4.2 Versuch: Relative Häufigkeit bei der Verteilung der Trümpfe

Durch ein selbst durchgeführtes Experiment soll im Folgenden der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit veranschaulicht werden. Dies hat den Zweck, dem Leser verständlich zu machen, wie die errechneten Wahrscheinlichkeiten zu inter- pretieren sind.

In insgesamt 100 Schafkopfspielen wurde notiert, wie viele Trumpfkarten einem bestimmten Spieler jeweils zu Beginn einer Runde ausgeteilt wurden (für genaues Versuchsergebnis: siehe Anhang S.21). Dabei sollte insbesondere das Ereignis R:=„mind. vier erhaltene Trümpfe“ untersucht werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

n = Anzahl der Spiele k = Anzahl der Blätter mit mind. 4 Trümpfen nach n Spielen Nach allen 100 Spielen hat der Spieler also 47-mal vier oder mehr Trümpfe erhalten.

Anhand dieser Tabelle lassen sich nun die relativen Häufigkeiten für das Ereignis R berechnen und in einem Liniendiagramm (erstellt mit: Grafiker Version 4.0) darstellen.

Die relative Häufigkeit::

„Tritt ein Ereignis E bei einer Folge von n Versuchen genau k-mal ein, so heißt k n die relative Häufigkeit des Ereignisses E bei dieser Versuchsfolge. k heißt die absolute Häufigkeit des Ereignisses E.“ (Mathematische Formeln und Definitionen, 1998, S.106)

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