Cookbook formulas for any non negative integer n for the following integrals:
The method of undetermined coefficients debunks the myth created by the classical textbooks that the integrals are evaluated only by integration.
Like the introduction of x by the Arabs leading to algebra is the method of undetermined coefficients for some integrals leading to highways without speed limit.
Inhaltsverzeichnis
John Bredakis Method and: Highways without speed limit for certain integrals
Cookbook formulas for any non negative integer n
For the following integrals
Ip is the generator of all the formulas of my method
and of the basic property of the gamma function Γ(x)
Big bang in mathematics
Improper forms of the above , for any non negative integer n
The method of undetermined coefficients
debunks the myth
created by the classical textbooks
that the integrals are evaluated only by integration
Essay:
Like the introduction of x by the Arabs
leading to algebra
is the method of undetermined coefficients
for some integrals
leading to highways without speed limit
Μy method is tightly related to the gamma function Γ(x)
and to the Laplace Transformation
Valid also for s=1
And: n=(O,1,2,3,..,n) n!=Γ(n+1)
In the last part of this paper (pdf) a detailed analysis
of the gamma function Γ(x) is provided
- John Bredakis method –
By the method of undetermined coefficients
By differentiation
For r=-1
John Bredakis method - Examples
All the general formulas for In
The general formula for Inhc and Inhs
Derivation of the general formula for Inhc and Inhs
Improper integrals
Specific formulas - John Bredakis method
General formulas for Inhc and Inhs (a=0)
General formulas for Inc and Ins (a=0)
- A fascinating look at Higher Mathematics -
Derivation of the formula of Ip
The great God always applies the rules of geometry
Motivated by the method of undetermined coefficients
- Laplace Transformation and the relation of some transforms -
The 1st shifting theorem
The 2nd shifting theorem via the unit step function ua(t)
Corollary to the 2nd shifting theorem:
Instead of providing a table of inverse Laplace Transforms
- The story behind my method -
Summary of the gamma Γ(x) and the beta B(x,y) function
Schematic representation of the gamma function Γ(x)
A summary of the gamma function Γ(x)
- Formula of B(x,y) and the Jacobian -
Conversion from Rxy to Ruv domain - Derivation of the Jacobian
Applying those of the previous page
The proof of the equivalent forms of the gamma function Γ(x)
The proof of the equivalent forms of B(x,y)
Formulas and remarks related to the gamma function Γ(x)
The Wallis product formula:
As an epilogue
References:
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit stellt die „John Bredakis Methode“ vor, ein mathematisches Verfahren zur analytischen Berechnung bestimmter Integrale mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten, welche als Alternative zur klassischen Integration fungiert. Das zentrale Ziel ist es, universelle „Kochbuch-Formeln“ für Integraltypen wie Exponentialfunktionen mit Polynomen, logarithmische Funktionen sowie trigonometrische und hyperbolische Funktionen für beliebige nicht-negative Ganzzahlen n bereitzustellen und diese mit der Gamma-Funktion sowie der Laplace-Transformation in Verbindung zu bringen.
- Herleitung der John Bredakis Methode für verschiedene Integralformen
- Analyse der mathematischen Zusammenhänge zur Gamma-Funktion Γ(x)
- Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung
- Verknüpfung der Ergebnisse mit der Laplace-Transformation
- Herleitung und mathematische Beweise für Beta- und Gamma-Funktionen
Auszug aus dem Buch
- The story behind my method -
.After many many years of self education in higher mathematics I reached a satisfactory level in various fields of this science.
Integral calculus is my favourite topic
. At one time in the past I tried (without success) to find a method to provide cook book formulas for the integrals of:
⌠ n ⌠ n
⌡ t .cos(k.t).dt and ⌡ t .sin(k.t).dt for high integer n.(n>2)
.Along this direction I tried the integral ⌠ x n ⌡ e .x .dx and bingo.
My sound knowlegde of the the gamma function Γ(x) verified my general formula at the improper form of this integral.
Zusammenfassung der Kapitel
John Bredakis Method and: Highways without speed limit for certain integrals: Einführung in die „John Bredakis Methode“ und die Motivation für alternative Integrationsformeln.
The method of undetermined coefficients: Darlegung der philosophischen und methodischen Grundlage, dass Integrale nicht nur durch klassische Integration gelöst werden können.
- John Bredakis method –: Detaillierte Herleitung der Kernmethode unter Verwendung der Methode der unbestimmten Koeffizienten.
John Bredakis method - Examples: Präsentation praktischer Anwendungsbeispiele für die entwickelten Formeln.
All the general formulas for In: Zusammenstellung der allgemeinen Lösungsformeln für die Integraltypen.
Improper integrals: Erweiterung der Methode auf uneigentliche Integrale unter Berücksichtigung der Gamma-Funktion.
- A fascinating look at Higher Mathematics -: Reflexion über die mathematische Herleitung und die Verknüpfung mit trigonometrischen Identitäten.
- Laplace Transformation and the relation of some transforms -: Analyse der Beziehungen zwischen der Methode, der Gamma-Funktion und der Laplace-Transformation.
- The story behind my method -: Persönlicher Rückblick des Autors auf den Prozess der Selbstbildung und Entdeckung der Methode.
Summary of the gamma Γ(x) and the beta B(x,y) function: Mathematische Zusammenfassung der Eigenschaften von Gamma- und Beta-Funktionen.
Schlüsselwörter
John Bredakis Methode, Integralrechnung, unbestimmte Koeffizienten, Gamma-Funktion, Laplace-Transformation, Beta-Funktion, Differentialgleichungen, Bessel-Funktion, Wallis-Produkt, analytische Integration, Kochbuch-Formeln, höhere Mathematik, mathematische Beweise, Eigenfunktionen, Polynom-Integration.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit stellt eine alternative analytische Methode zur Lösung komplexer Integrale vor, die der Autor als „John Bredakis Methode“ bezeichnet.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit behandelt Integralrechnung, Differentialgleichungen, spezielle mathematische Funktionen (Gamma, Beta, Bessel) und deren Zusammenhänge.
Was ist das primäre Ziel der Forschung?
Das Ziel ist die Bereitstellung von universell anwendbaren Formeln („Kochbuch-Formeln“) für Integralklassen, die oft mühsam durch klassische Integration gelöst werden müssen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Der Kernansatz basiert auf der Methode der unbestimmten Koeffizienten, kombiniert mit algebraischen Umformungen und Vergleichen mit bekannten Funktionen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der systematischen Herleitung der Formeln für verschiedene Funktionstypen, deren Verifizierung mittels Gamma-Funktion und der Erweiterung auf Laplace-Transformationen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie „unbestimmte Koeffizienten“, „Integralrechnung“, „Gamma-Funktion“ und „John Bredakis Methode“ geprägt.
Wie steht die Methode in Verbindung zur Laplace-Transformation?
Der Autor nutzt die Laplace-Transformation als ein Werkzeug zur Verifizierung und zur Etablierung von Identitäten für die von ihm hergeleiteten Integrale.
Welche Rolle spielt die Gamma-Funktion Γ(x)?
Die Gamma-Funktion dient als zentrales theoretisches Fundament und als Kontrollinstanz für die Validität der hergeleiteten Integrationsformeln im uneigentlichen Bereich.
Bietet die Arbeit auch Anwendungen in der Differentialrechnung?
Ja, es werden auch Lösungsansätze für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten diskutiert.
Was ist der persönliche Hintergrund für diese Methode?
Der Autor, J.K. Bredakis, beschreibt seine Arbeit als Ergebnis jahrelanger autodidaktischer Studien, motiviert durch das Ziel, die Komplexität der Integralrechnung zu vereinfachen.
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- Prof. Dr. med. John Bredakis (Autor), 2011, Big Bang in Math - John Bredakis Method, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/181860
