Analyse und Prognose monatlicher Strompreise und -verbräuche der US-Bundesstaaten Arkansas und Michigan

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation und Zielstellung

2 Datenvorbehandlung
2.1 Beschreibung der Daten
2.2 Ausreißerbereinigung und Sichtprüfung
2.3 Periodogramm und Spektraldichtediagramm

3 Modellierung
3.1 UC-Modell
3.1.1 Modellfindung
3.1.2 Modellprüfung
3.1.3 Modellprognose
3.1.4 Fehlerbetrachtung
3.2 ARIMA-Modell
3.2.1 Modellfindung
3.2.2 Modellprognose
3.2.3 Fehlerbetrachtung
3.3 Zusammenfassender Vergleich der Fehlerkriterien
3.4 Kointegration
3.4.1 Saisonbereinigung
3.4.2 Trendbereinigung mittels Einheitswurzeltests
3.4.2.1 Einheitswurzeltest nach Dickey-Fuller
3.4.2.2 Einheitswurzeltest nach Phillips-Perron
3.4.3 Modellfindung
3.4.4 Modellprüfung
3.4.4.1 Sichtprüfung der Korrelogramme der Residuen
3.4.4.2 Portmanteau-Test
3.4.4.3 LM-Test
3.4.4.4 Modellabrüstung
3.4.5 Modellprognose
3.4.6 Fehlerbetrachtung

4 Zusammenfassung
4.1 Fehlerbetrachtung aller Modelle
4.2 Fazit

5 Anhang
5.1 Datenvorbehandlung
5.1.1 Periodogramm und Spektraldichtediagramm
5.2 Modellierung
5.2.1 UC-Modell
5.2.1.1 Modellfindung
5.2.1.2 Modellprognose
5.2.2 ARIMA-Modell
5.2.2.1 Modellfindung
5.2.2.2 Modellprognose
5.3 Kointegration
5.3.1 Saisonbereinigung
5.3.2 Modellfindung
5.3.3 Modellprüfung
5.3.3.1 Sichtprüfung der Korrelogramme der Residuen
5.3.3.2 Portmanteau-Test und LM-Test
5.3.3.3 Modellabrüstung
5.3.4 Modellprognose

6 Abbildungsverzeichnis

7 Tabellenverzeichnis

8 CD-Verzeichnis

1 Motivation und Zielstellung

In dieser Arbeit werden monatliche Daten bezüglich des Stromumsatzes und -verbrauchs der US-Bundesstaten Arkansas und Michigan im Zeitraum von Januar 1990 bis Juni 2012 analysiert. Ziel dieser Untersuchungen ist es, möglichst genaue Prognosen für die Stromumsatz- und Stromverbrauchsentwicklung aufstellen zu können. Dies geschieht unter Verwendung der Softwarepakete EViews, SPSS und GiveWin2/STAMP.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Karte der USA mit den Staaten Arkansas und Michigan (Quelle: modifizierte Grafik in Anlehnung an http://www.englisch-hilfen.de/images/usa/states/map.gif)

Nachdem im ersten Kapitel eine kurze Einführung in die Thematik gegeben wurde, beschäftigt sich das zweite Kapitel mit der Beschreibung der untersuchten Zeitreihen. Zudem werden die Daten für die folgenden Untersuchungen vorbereitet. Dies betrifft eventuell vorhandene Ausreißer in den Datenbeständen, die durch Mittelwertbildung bereinigt werden. Im anschließenden Kapitel werden mit Hilfe von UC- und ARIMA-Modellen Prognoseformeln entwickelt. Außerdem sollen die Umsatz- und Absatzreihen auf Kointegration hin untersucht werden. Die Güte der Modelle wird anhand von Detailprognosen und Fehlerrechnungen bewertet. Am Ende der Arbeit werden alle gesammelten Ergebnisse zusammengefasst kurz interpretiert.

2 Datenvorbehandlung

In diesem Kapitel wird beschrieben welche Daten untersucht werden. Anschließend werden die Daten einer Sichtprüfung unterzogen. Daraufhin wird eine Ausreißerbereinigung durchgeführt. Letztendlich werden die Monatsreihen mit Hilfe von Periodogrammen und Spektraldichtediagrammen auf Zyklen überprüft.

2.1 Beschreibung der Daten

Die Daten entstammen dem Onlineportal der Energy Information Administration (EIA), dem Amt für Energiestatistik innerhalb des US-amerikanischen Energieministeriums. Gegenstand der Untersuchungen sind die beiden US-Bundesstaaten Arkansas (AR) und Michigan (MI). Für die Untersuchungen wurden die Zeitreihen monatlicher Umsatz in Millionen Dollar und monatlicher Absatz in Gigawattstunden verwendet. Der Beobachtungszeitraum umfasst das Zeitintervall von Januar 1990 bis Juni 2012 und beinhaltet somit jeweils 270 Beobachtungen für die beiden Zeitreihen.

Damit die prognostizierten Werte mit den tatsächlich eingetretenen Werten verglichen werden können, werden die beobachteten Werte der Jahre 2011 und 2012, also die letzten 18 Werte, vom restlichen Datenbestand abgetrennt. Somit stehen für die Schätzung der Prognoseformeln 252 Beobachtungen zur Verfügung.

Im Rahmen dieser Hausarbeit wird das Vorgehen bei der Erstellung der Prognosegleichungen anhand eines ausführlichen Demonstrationsbeispiels zunächst ausführlich für die Absatzreihe Arkansas dargestellt. Die Prognosemodelle der drei verbleibenden Zeitreihen werden anschließend tabellarisch und grafisch zusammengefasst. Das Vorgehen bei der Modellierung der Kointegrationsmodelle wird anhand der Umsatz- und Absatzreihe des Bundesstaats Arkansas beschrieben. Ausführliches Dokumentationsmaterial dazu ist im Anhang und auf der beigefügten CD zu finden.

2.2 Ausreißerbereinigung und Sichtprüfung

Mit Hilfe der Software EViews ist es möglich, Ausreißer und Extremwerte aus Datensätzen zu identifizieren. Die Extremwerte werden durch Mittelwertbildung aus den Monatsdaten des Vor- und Nachmonats ersetzt. Ansonsten würden diese Extremwerte das Gesamtbild der statistischen Erhebung verfälschen. In den folgenden vier Abbildungen sind die Boxplots für den Absatz und Umsatz für die Staaten Arkansas und Michigan dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Boxplot Absatz Arkansas

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Abbildung 3: Boxplot Absatz Michigan

Bei der Zeitreihe für den Absatz Arkansas sind weder Ausreißer, noch Extremwerte zu erkennen. Im Gegensatz dazu sind in der Zeitreihe des Absatzes für Michigan Ausreißer oberhalb der oberen Spange zu verzeichnen. Allerdings sind auch bei dem Absatz von Michigan keine Extremwerte vorhanden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Boxplot Umsatz Arkansas

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Abbildung 5: Boxplot Umsatz Michigan

Wie in den Abbildungen 4 und 5 zu sehen ist, gibt es beim Umsatz Arkansas drei Ausreißer und beim Umsatz Michigans sechs Ausreißer. Eine Bereinigung ist in diesem Fall nicht sinnvoll, da nach einer Datenkorrektur sich die Datenbasis verändern würde, und somit in Bezug auf diese neue Datenbasis wiederum neue Ausreißer und/oder Extremwerte zu verzeichnen wären.

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Abbildung 6: Sequenzdiagramm Absatz Arkansas

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Abbildung 7: Sequenzdiagramm Absatz Michigan

In den obigen Abbildungen 6 und 7 ist die Dynamik des Absatzes der Staaten Arkansas und Michigan dargestellt. Bei dem Absatz von Arkansas ist ein deutlicher Anstieg in den letzten 22 1/2 Jahren zu verzeichnen. Im Januar 1990 betrug der Absatz in Arkansas circa 1.026 GWh und im Januar 2012 ungefähr 1.655 GWh. Dieser stieg somit um mehr als 61 % an. Für den Bundesstaat Michigan ist eine deutlich geringere Erhöhung von gerade einmal 720 GWh zu beobachten.

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Abbildung 8: Sequenzdiagramm Umsatz Arkansas

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Abbildung 9: Sequenzdiagramm Umsatz Michigan

Wie Abbildung 8 aufzeigt, hat sich der Umsatz in Arkansas in den letzten Jahren von fast 72 Millionen Dollar auf 139 Millionen Dollar im Januar 2012 verdoppelt. In Michigan ist noch eine größere Umsatzsteigerung zu verzeichnen. Hier stieg der Umsatz um 125 % in den letzten 22 1/2 Jahren an.

2.3 Periodogramm und Spektraldichtediagramm

In den Periodogrammen bzw. Spektraldichtediagrammen lassen sich Zyklen in den Zeitreihen identifizieren. Die Auswertung der folgenden Abbildungen zeigt dabei deutliche Zyklen beim Absatz von Arkansas auf.

Bei der Frequenz 0,083 tritt eine deutlich erkennbare Spitze auf, die den Monatszyklus kennzeichnet. Der Halbjahreszyklus ist an der Spitze bei der Frequenz 0,0167 erkennbar. Der Quartalszyklus ist bei der Frequenz 0,025 zu beobachten

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Abbildung 10: Periodogramm Absatz Arkansas

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Abbildung 11: Spektraldichtediagramm Absatz Arkansas

In den Abbildungen 12 und 13 ist der Umsatz von Arkansas als Periodogramm bzw. Spektraldichtediagramm dargestellt. Hier findet sich ebenfalls ein Monats-, Halbjahres- und Quartalszyklus bei den identischen Frequenzen.

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Abbildung 12: Periodogramm Arkansas Umsatz

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Abbildung 13: Spektraldichtediagramm Umsatz Arkansas

3 Modellierung

In diesem Kapitel wird anhand der Zeitreihe für den Absatz in dem Bundesstaat Arkansas die Modellfindung, -prüfung, -prognose sowie Fehlerbetrachtung detailliert beschrieben. Die Ergebnisse der weiteren Zeitreihen werden anschließend zusammengefasst. Dies geschieht anhand der UC, ARIMA- und Kointegration-Modelle.

3.1 UC-Modell

3.1.1 Modellfindung

Hyperparameter lassen sich mit Hilfe von STAMP modellieren. Hierbei kann sowohl für das Niveau als auch für den Trend eine stochastische oder deterministische Modellierung durchgeführt werden. Die einzelnen Komponenten werden anhand der Varianzverhältnisse der Beobachtungsgleichungen modelliert. Eine Saisonkomponente kann deterministisch, trigonometrisch oder mit Dummy-Variablen modelliert werden. Durch den Likelihood-Ratio-Test (LR-Tests) wird überprüft, ob das Varianzverhältnis signifikant von null abweicht.

Im Ausgangsmodell werden stochastisches Niveau, stochastischer Trend und trigonometrische Saison berücksichtigt. Als Startkomponente wird die Komponente mit der geringsten Erklärungsgüte ausgewählt. Aus dem Modell wird keine ganze Komponente entfernt, da diese Handlung in der Regel zu einer deutlichen Verschlechterung des Modells führen würde. Des Weiteren gibt es die Möglichkeit bei der Modellfindung Zyklen und Autoregression in das Modell zu integrieren. Da es sich um einen kleinen Datenbestand handelt, ist eine Berücksichtigung von Zyklen nicht notwendig.

Aufbau des LR-Tests:

H0: = 0

HA:

LR = n ln (

Die Variable n gibt die Größe der Stichprobe wieder. Der Testwert wird mit dem Quantil der -Verteilung für zwei Freiheitsgrade, welches 5,991 beträgt, verglichen. Das Modell mit der größten Standardabweichung wird für die Nullhypothese verwendet. Das zu vergleichende Modell wird somit für die Alternativhypothese genutzt. Wenn der Wert des LR-Tests kleiner als 5,991 ist, wird die Nullhypothese nicht verworfen. Im Vergleich zum Modell der Alternativhypothese ist das Modell dann nicht signifikant schlechter. Mit diesem Modell wird dann die Modellierung fortgesetzt. Daraufhin wird dieses bessere Modell mit weiteren Modellen verglichen.

An dieser Stelle wird die Modellierung des Stromabsatzes von Arkansas durchgeführt und in der Tabelle 1 ausführlich dargestellt. Die Modellnummern geben dabei die Reihenfolge der Erstellung der Modelle wieder. Zudem ist angegeben welche Einflüsse bezüglich Niveau, Trend, Saison sowie Autoregression in die Gleichungen der jeweiligen Modelle mit eingehen. Aus den Standardfehlern der Modelle ergeben sich die Null- und Alternativhypothesen, die in den Spalten H0 und HA formuliert werden. Die Ergebnisse des LR-Tests sind in diesen Spalten grün hervorgehoben worden.

Für den Vergleich der Modelle 2 (HA) und 3 (H0) sei an dieser Stelle die Rechnung für die Bestimmung des LR-Testwerts einmal exemplarisch angegeben.

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Da 1,37 < 5,991 gilt die Nullhypothese. Modell 3 ist somit Modell 2 vorzuziehen.

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Tabelle 1: Übersicht der UC-Modelle Absatz Arkansas

Letztendlich hat sich Modell 5 als das bestes Modell herausgestellt.

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Tabelle 2: Residualvarianzen der Beobachtungsgleichungen Absatz Arkansas

Tabelle 2 ist zu entnehmen, wie sich die Residualvarianzen der einzelnen Gleichungen jeweils auf die Restvarianz der Beobachtungsgleichungen beziehen. Ein Erklärungsanteil von 4,31 % entfällt auf die Niveaugleichung. Die saisonale Gleichung hat lediglich einen Erklärungsanteil von unter 1 %.

3.1.2 Modellprüfung

An dieser Stelle wird die Erklärungsgüte der Modelle anhand verschiedener Tests untersucht. In diesem Abschnitt erfolgt dies für den Absatz in Arkansas ausführlich.

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Tabelle 3: Zusammenfassende Testauswertung UC-Modell Absatz Arkansas

- Der Standardfehler, der die Wurzel aus der geschätzten Restvarianz ist, beträgt 93,793.
- Der Testwert der Jarque-Bera-Statistik (Normality) gibt an, ob eine Normalverteilung vorliegt. Der Testwert wird mit dem Quantil der der 2 -Verteilung verglichen, welches 5,991 beträgt. Da der Testwert mit 16,980 deutlich größer ist, wird die Nullhypothese verworfen. Somit liegt keine Normalverteilung vor.
- Ein weiterer Test ist der Test auf zeitabhängige Varianz. Dazu wird das Verhältnis der Quadratsummen der ersten und letzten 80 Residuen herangezogen. Dieses Verhältnis H(80) spiegelt wider, ob die Varianz zeitabhängig (H0) oder zeitunabhängig ist (HA). Um herauszufinden, welche Hypothese angenommen und welche verworfen wird, wird der Wert H(80) mit dem Quantil der F-Verteilung verglichen. Da der Wert dieses Modells mit 1,81 größer als der Tafelwert von 1,45 ist, wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen. Dies bedeutet, dass die Reihe des Absatzes von Arkansas zeitunabhängig ist.
- Anschließend folgt die Betrachtung der Autokorrelation an den Lags 1 und 14. Deren Werte von 0,080527 und 0,034316 werden mit dem Quantil der N.V.(0;1/T) bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % verglichen. Da die beiden Werte unter dem kritischen Wert von 0,123 liegen, wird in beiden Fällen die Nullhypothese angenommen. Das bedeutet, dass keine Autokorrelation an den Lags 1 und 14 vorliegt.
- Der Testwert der Durbin-Watson Statistik von 1,7817 wird mit dem Quantil der N.V.(2;4/T) bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %, welches 2,247 beträgt, verglichen. Hierbei gilt 4 – 2,247 < 1,7817 < 2,247. Die Nullhypothese, die besagt, dass keine Autokorrelation erster Ordnung vorliegt, kann somit nicht abgelehnt werden.
- Mit Hilfe der Q-Statistik von Box und Ljung werden die Modellspezifikationen auf Autokorrelation höherer Ordnung untersucht. Der Testwert wird mit dem Quantil der -Verteilung bei k-p+r Freiheitsgraden verglichen. Die Variable k spiegelt die Anzahl der Lags wider, p die Anzahl der Parameter und r die Anzahl der Restriktionen. Der Testwert beträgt 24,38 und ist größer als das Quantil = 18,307 der 2 –Verteilung. Somit wird die Nullhypothese abgelehnt. Somit liegt serielle Autokorrelation bis zum Lag 14 vor.
- Das saisonale Bestimmtheitsmaß beträgt 16,8 %

3.1.3 Modellprognose

Das gefundene UC-Modell wird verwendet, um eine Prognose für die letzten 18 Monate zu erstellen. Im unteren Teil der Abbildung 14 sind die prognostizierten Werte des UC-Modells im Vergleich zu den beobachteten Werten für den Absatz von Arkansas im Zeitraum von Januar 2011 bis Juni 2012 dargestellt. Des Weiteren sind die 2-Sigma-Grenzen des Konfidenzintervalls visualisiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 14: Punkt- und Intervallprognose Absatz Arkansas

Es ist zu erkennen, dass der Verlauf der Punktprognose sich dem Verlauf der beobachteten Werte sehr gut anpasst. Die prognostizierten Werte befinden sich allerdings nicht vollständig innerhalb der 2-Sigma-Grenzen. Es sind lediglich zwei Ausbrüche aus dem Konfidenzband zu verzeichnen. Diese sind im März und Oktober 2011 zu beobachten. In diesen Monaten wurde also deutlich weniger Strom abgesetzt, als prognostiziert.

3.1.4 Fehlerbetrachtung

Um die Prognose auf ihre Güte zu prüfen, kommen an dieser Stelle zwei Verfahren zum Einsatz. Die Relativzahl der Wurzel des quadratischen Prognosefehlers (RMSE%) sowie der mittlere absolute prozentuale Prognosefehler (MAPE%). Beide sollten möglichst klein sein.

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Tabelle 4: Prognosefehler der UC-Modelle

Es ist zu erkennen, dass sich der Absatz im Allgemeinen insgesamt besser vorhersagen lässt, als der Umsatz. Zudem lassen sich die Zeitreihen für den Bundesstaat Michigan besser prognostizieren, als für Arkansas.

3.2 ARIMA-Modell

3.2.1 Modellfindung

Unter Verwendung der Software SPSS sollen an dieser Stelle automatisch ARIMA-Modelle erzeugt werden. Der folgenden Tabelle sind die geschätzten Parameter für das automatisch modellierte ARIMA(1,0,2)(0,1,1)-Modell zu entnehmen. Die automatisch geschätzten Modelle unterscheiden sich jedoch von manuell abgerüsteten ARIMA-Modellen. Die Terme, die saisonale Einflüsse beschreiben, werden nicht schrittweise eliminiert. Es kommt somit zur sprunghaften Auslassung saisonaler Einflüsse. Alle Parameter konnten auf einem Signifikanzniveau von 95 % geschätzt werden.

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Tabelle 5: Parameter des ARIMA(1,0,2)(0,1,1)-Modells Absatz Arkansas

Die Kurzform des ARIMA-Modells für den Absatz Arkansas lässt sich auch mit Verschiebeoperatoren darstellen:

(1 – B12) (1 – d1 B1) Xt = d0+ (1 + c1 B1 + c2 B2) (1 + c12 B12) at

Nach der Ausmultiplikation der Klammern und dem Einsetzen der von SPSS modellierten Parameterschätzwerte ergibt sich folgende Modellgleichung für den Absatz Arkansas:

Xt = 33,851 + 0,557 ∙ Xt-1 + Xt-12 – 0,557 ∙ Xt-13 + 0,216 ∙ at-2 + 0,761 ∙ at-12

+ 0,164 ∙ at-14 + at

Für die restlichen Zeitreihen ergeben sich folgende Modellgleichungen.

Umsatz Arkansas:

(1 – B12) (1 – d1 B1 – d2 B2 – d3 B3) Xt = d0 + (1 + c12 B12) at

Xt = 0,034 + 0,588 ∙ Xt-1 + 0,163 ∙ Xt-3 + Xt-12 – 0,588 ∙ Xt-13 – 0,163 ∙ Xt-15

+ 0,799 ∙ at-12 + at

Absatz Michigan:

(1 – B12) Xt = d0 + (1 + c1 B1) (1 + c12 B12) at

Xt = 40,807 + Xt-12 – 0,360 ∙ at-1 + 0,732 ∙ at-12 – 0,264 ∙ at-13 + at

Umsatz Michigan:

(1 – B12) Xt = d0+ (1 + c1 B1 + c2 B2) (1 + c12 B12) at

Xt = 8,656 + Xt-12 – 0,492 ∙ at-1 - 0,160 ∙ at-2

+ 0,635 ∙ at-12 – 0,312 ∙ at-13 – 0,101 ∙ at-14 + at

3.2.2 Modellprognose

In der folgenden Abbildung 15 sind die beobachteten Werte des Stromabsatzes von Arkansas und die Prognose des automatisch erzeugten ARIMA(1,0,2)(0,1,1)-Modells visualisiert. Der Prognosezeitraum umfasst die letzten 18 Monate, beginnend im Januar 2011 und endend im Juni 2012.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 15: Prognose des ARIMA(1,0,2)(0,1,1)-Modells Absatz Arkansas

Die prognostizierten Werte scheinen sich dem Verlauf der beobachteten Werte anzupassen. Um dies genauer prüfen, ist der folgenden Abbildung 17 der Prognosevergleich für die letzten 18 Monate detailliert zu entnehmen.

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Abbildung 16: Detailprognose des ARIMA(1,0,2)(0,1,1)-Modells Absatz Arkansas

Es ist zu erkennen, dass der Verlauf der Punktprognose sich dem Verlauf der beobachteten Werte sehr gut anpasst. Die prognostizierten Werte befinden sich allerdings nicht vollständig innerhalb der 2-Sigma-Grenzen. Es sind zwei Ausbrüche aus dem Konfidenzband zu verzeichnen. Diese sind im Oktober 2011 und März 2012 zu beobachten. In diesen Monaten wurde also deutlich weniger Strom abgesetzt, als prognostiziert.

3.2.3 Fehlerbetrachtung

Um die Prognose der ARIMA-Modelle auf ihre Güte zu prüfen, werden wieder die Relativzahl der Wurzel des quadratischen Prognosefehlers (RMSE %) sowie der mittlere absolute prozentuale Prognosefehler (MAPE %) betrachtet.

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Tabelle 6: Prognosefehler der ARIMA-Modelle

Es ist zu erkennen, dass sich der Absatz im Allgemeinen insgesamt deutlich schlechter vorhersagen lässt, als der Umsatz. Zudem lassen sich die Zeitreihen für den Bundesstaat Michigan besser prognostizieren, als für Arkansas.

3.3 Zusammenfassender Vergleich der Fehlerkriterien

In diesem Kapitel werden der RMSE% und MAPE% der UC- und ARIMA-Modelle aller Zeitreihen miteinander verglichen, um das jeweils beste Modell zu ermitteln. In der Tabelle 7 ist dieser Vergleich dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 7: Prognosefehler der UC- und ARIMA-Modelle

Deutlich zu erkennen ist, dass bei allen Zeitreihen die UC-Modelle besser, als die ARIMA-Modelle in Bezug auf die gewählten Fehlerkriterien, vorhergesagt werden. Dies ist beim Absatz von Arkansas am besten zu sehen. Hier sind die Werte des RMSE% bzw. MAPE% des ARIMA-Modells fast doppelt so hoch, wie die des UC-Modells. Des Weiteren lässt sich der Absatz bei den UC-Modellen im Allgemeinen insgesamt besser vorhersagen, als der Umsatz. Im Gegensatz dazu ist bei den ARIMA-Modellen der Umsatz besser, als der Absatz zu prognostizieren. Zudem lassen sich die Zeitreihen für den Bundesstaat Michigan besser vorhersagen, als für Arkansas.

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