Der goldene Schnitt. Zur die Mathematik des Schönen und Harmonischen


Trabajo Escrito, 2010

25 Páginas, Calificación: 1,0


Extracto


Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Was ist der goldene Schnitt
Selbstähnlichkeit

Irrationalität
Irrationale Zahlen
Maximale Irrationalität

Leonardo Fibonacci

Konstruktion des goldenen Schnitts
Innere Konstruktion
Äußere Konstruktion

Formen des goldenen Schnitts
Goldenes Rechteck
Goldenes Dreieck
Goldene Spirale
Zusammenhänge mit Fibonacci
Goldener Winkel
Pentagon und Pentagramm

Harmonie in Natur und Wachstum
Weitere Beispiele in der Natur

Schöne Symmetrie

Ergänzende Gegensätze

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Vorwort

Was empfinden wir als schön? Was empfinden wir als harmonisch? Gibt es so etwas wie eine univer- selle Harmonie und Schönheit, die jeder Mensch unabhängig seiner Erfahrungen erkennen und spüren kann?

Verschiedene Tatsachen sprechen dafür. Menschen haben seit jeher unabhängig von Herkunft und Standort Dinge geschaffen, die in einem gewissen mathematischen Verhältnis zueinander stehen. Aber nicht nur in der Mathematik und Mensch- heitsgeschichte spielt diese Proportion eine Rolle.

Auch die Natur zeigt erstaunlich oft diese Verhält- nisse. Sei es in den mikroskopisch kleinen DNA- Strängen von Lebewesen oder in der Form von unvorstellbar großen Galaxien. Diese Proportionen scheinen etwas »magisches« zu besitzen. Etwas, das aus den natürlichen Umständen unseres Uni- versums und dessen Naturgesetzen resultiert und allem Existenten innewohnt. Die Proportion, die zu diesen Formen und Verhältnissen führt, wird von uns Menschen heute »der goldene Schnitt« genannt. Doch was hat es mit diesen Proportionen auf sich? Was macht sie so besonders? Was sind ihre Eigenschaften? In dieser Abhandlung über den goldenen Schnitt möchte ich diesen Dingen auf den Grund gehen und darüber hinaus einen Ausflug in die Mathematik des Schönen und Har- monischen wagen.

Was ist der goldene Schnitt

Der goldene Schnitt bezeichnet zunächst einmal eine genau definierte Proportion. Von Proporti- onen sprechen wir immer dann, wenn wir Ver- hältnisse vergleichen. Ein Verhältnis besteht nun wiederum aus einer gegebenen Größe und einer zweiten, die sich in einer bestimmten Relation zu dieser Größe verhält. Vergleichen wir beispielswei- se Mond und Erde: Die Erde hat einen mittleren Durchmesser von 12.756 km, der Mond einen mitt- leren Durchmesser von 3476 km. Setzen wir nun diese Werte in prozentuale Relation erhalten wir [(3476/12756)x100] ≈ 27%. Dieser Prozentsatz von rund 27% ist das Verhältnis in dem der Durchmes- ser des Mondes zur Erde steht. Nun können wir ein anderes Beispiel finden, das in gleichem Verhältnis steht; als vereinfachtes Beispiel könnte ein Golf- ball und ein Basketball dienen.

Wir vergleichen diese beiden Verhältnisse nun proportional (und erhalten dadurch eine Propor- tion), indem wir sagen »Der mittlere Durchmesser der Erde verhält sich zu dem des Mondes wie der Durchmesser eines Basketballs zu dem eines Golf- balls.«

Nachdem wir nun gezeigt haben, wie sich eine Proportion und Verhältnisse definieren, können wir dies beim goldenen Schnitt anführen. Denn dieser wird unter anderem durch folgende Aussa- ge definiert: »Eine Strecke teilt sich im goldenen Schnitt, wenn sich der lange Teil zum kurzen Teil so verhält wie die gesamte Strecke zum langen Teil.«

Mathematisch sprechen wir dabei von der Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jede real existierende Strecke besitzt nur einen einzigen Punkt an dem diese Verhältnisgleichung möglich ist!

Selbstähnlichkeit

Unter der Selbstähnlichkeit des goldenen Schnit- test ist zu verstehen, dass man beide Hälften einer, im goldenen Schnitt geteilten Strecke wie- derum dazu benutzen kann, um weitere goldene Verhältnisse zu erzeugen.

Wir teilen die Strecke a im goldenen Schnitt in den größeren Teil b und den kleineren Teil c. (Die beiden Teilstrecken stehen im goldenen Verhältnis 1:1,618). Nun können wir die Länge von c nutzen um b zu teilen. Die beiden entstehenden Teilstü- cke stehen wiederum im goldenen Verhältnis.

Auch ist es möglich die Grundstrecke a um die Länge von b zu ergänzen. Die neu entstandende Gesamtlänge a+b teilt sich nun auch am Schnitt- punkt von a und b im Verhältnis 1:1,618

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Selbstähnlichkeit und die damit einherge- hende Rekursivität des goldenen Schnittes ist in dieser Form einzigartig.

Daher kommt neben der Definition a/b = (a+b)/a in Bezug auf den goldenen Schnitt auch die fol- gende in Betracht: a/b = b/(a-b)

Als Zeichen für den goldenen Schnitt dient das griechische Phi Ф, was auf den griechischen

Bildhauer Phidias zurückgeht, welcher angeblich als erster den goldenen Schnitt in seinen Werken benutzt haben soll.

Die Zahl des goldenen Schnitts Ф wird folgender- maßen definiert:

Als Zeichen für den goldenen es nicht ausgeschlossen werden kann, dass noch andere - bisher unbekannte - Zahlen existieren, die »noch irrationaler« sind.

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, welcher eigentlich Leonar- do da Pisa hieß, gilt heute als der bedeutends- te Mathematiker des Mittelalters und lebte ca. 1170-1240 in Pisa)1. Bekannt ist er auch heute noch durch die Erwähnung seiner berühmten

Irrationalität

Irrationale Zahlen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Bezug auf irrationale Zahlen ist »ratio« hier nicht als »Vernunft« sondern als »Verhältnis« zu verstehen. Irrationale Zahlen werden deshalb als solche bezeichnet, weil man sie nicht als Verhält- nis aus ganzen Zahlen beschreiben kann.

Eine rationale Zahl wie zum Beispiel 4 kann pro- blemlos als Verhältnis der Zahlen 12 zu 3 - also 12/3 beschrieben werden. Mit irrationalen Zahlen ist dies nicht möglich.

Die Dezimaldarstellung von irrationalen Zahlen ist unendlich, es gibt also keine Nachkommastelle an der man die Darstellung beenden kann, sofern man von einer beschränkenden Rundungsvarianz absieht. Außerdem treten in der Dezimaldarstel- lung keine periodischen Werte auf. Dies würde zum Beispiel bei der Zahl 1,234234234234 der Fall sein, in der sich die Zahlenfolge 234 periodisch wiederholt.

Maximale Irrationalität

Irrationalität kann gewissermaßen daran gemes- sen werden, wie einfach sich eine irrationale Zahl durch rationale Zahlen approximieren lässt - also wie »nahe« wir einer irrationalen Zahl durch das Verhältnis von zwei rationalen Zahlen kommen können und wie gut sie sich annähernd rational darstellen lässt.

Die mathematische Kreiszahl Π ist eine recht ein- fach zu approximierende, irrationale Zahl da man sie mit dem Verhältnis der einfachen Zahlen 22/7 mit nur einer Abweichung von 0,00126 approxi- mieren kann.

Von Ф wird angenommen, dass es sich dabei um die am schwierigsten zu approximierende Zahl

- demzufolge die irrationalste Zahl - handeln könnte. Beweisen kann man dies jedoch nicht, da Fibonacci-Zahlenreihe in zeitgenössische Literatur und Verfilmungen.

Die erwähnte Zahlenfolge entstand im Jahre 1202 als Leonardo damit das Wachstum einer Kanin- chenpopulation beschrieb.

Bei seiner Betrachtung galten folgende Regeln:

- Jedes Kaninchenpaar zeugte jeden Monat ein neues Paar.
- Die Zeugung der Paare beginnt erst im jeweils zweiten Monat ihrer Existenz.

Daraus folgt also, dass im ersten Monat 1 Pärchen existiert. Im zweiten Monat beginnt dieses ein- zelne Pärchen mit der Zeugung, sodass im dritten Monat nun 2 Hasenpärchen existieren. In diesem Monat zeugt das erste Pärchen nun wieder ein neues Pärchen für den vierten Monat. Im vierten Monat existieren also 3 Pärchen. Es zeugen nun das erste Pärchen, sowie das nun zwei Monate alte zweite Pärchen jeweils ein neues Pärchen für den nächsten Monat. Dies lässt sich nun unendlich weiterführen. Die unten dargestellte Grafik ver- deutlicht die bisherige und weitere Entwicklung. Betrachtet man nun die Anzahl der Paare je Monat so erhält man die Zahlenfolge 1,1,2,3,5,8,…

Es entsteht hier also die bekannte Fibonacci-Zah- lenfolge, die folgendermaßen definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei gilt: a = Anzahl der Pärchen (Zahl in der Folge), n = Monat (Positionsindex in der Zahlenfol- ge)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Beispiel: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Warum ist die Fibonacci-Folge nun wichtig für die Betrachtung des goldenen Schnitts?

Die Zahlenfolge hat eine interessante Eigenschaft. Wenn wir jeweils die Zahlen an+1 und an dividie- ren, nähert sich der Quotient proportional zum Positionsnsindex in der Zahlenfolge immer weiter dem bekannten Wert für den goldenen Schnitt

(1,618…) an.

Dazu vergleiche man die folgende Tabelle:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Konstruktion des goldenen Schnitts

Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten die gol- denen Proportionen bzw. die goldene Teilung zu konstruieren. Hierzu benötigt man lediglich einen Zirkel und ein Lineal - ob das Lineal dabei Maß- einheiten besitzt oder nicht, ist egal.

Durch die Nutzung von Zirkel und Lineal können wir zudem feststellen, dass sich die goldenen Pro- portionen durch das Zusammenwirken von Kreisen und Geraden erzeugen lassen - Kreise und Gerade sind in der Geometrie formal betrachtet absolute Gegensätze. Es sei hier nur angemerkt, dass die Erwähnung von Gegensätzen an dieser Stelle nicht grundlos geschieht und an späterer Stelle in dieser Abhandlung noch weiter darauf eingegangen wird.

Bei der »inneren Konstruktion« wird eine Stre- cke gezogen und diese dann im goldenen Schnitt geteilt.

Bei einer »äußere Konstruktion« hingegen ergänzt man eine vorhandene Strecke um die Länge, die nötig ist, dass aus der Grundstrecke nun die länge- re Teilstrecke einer im goldenen Schnitt geteilten Gesamtstrecke entsteht.

Die Länge der Strecke, die wir zu Beginn ziehen, ist unwichtig, da sich der goldene Schnitt nicht auf bestimmte Längen bezieht, sondern nur eine Proportion beschreibt, welche lässt sich in jeder Strecke erzeugen lässt.

Innere Konstruktion

1 Wir ziehen zunächst eine beliebige Strecke AC und benennen sie c.
2 Dann zeichnen wir aus Punkt B eine Ortho- gonale a zur Strecke c mit der Länge c/2.
3 Nun verbinden wir die Punkte A und C mit der Strecke b.
4 Jetzt zeichnen wir einen Kreis mit dem Mit- telpunkt C und dem Radius a. An der Stelle an der der Kreis die Strecke b schneidet, markieren wir den Punkt D.
5 Zum Schluss zeichnen wir einen zweiten Kreis aus dem Mittelpunkt A mit dem Radius der Strecke AD. An der Stelle an dem der zweite Kreis nun die Strecke c trifft, mar- kieren wir den Punkt S. Der Punkt S teilt unsere Strecke c im goldenen Schnitt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Äußere Konstruktion

1 Wir ziehen eine beliebige Strecke AS und benennen sie c.
2 Nun konstruieren wir eine orthogonale Stre- cke SC zu c aus dem Punkt S mit der Länge c und nennen sie a.
3 Jetzt zeichnen wir jeweils einen Kreis mit Mittelpunkt A bzw. Mittelpunkt S und dem Radius a.
4 Anschließend ziehen wir vom Schnittpunkt

der beiden Kreise aus eine Parallele zu a (oder eine Orthogonale zu c), welche die Strecke c im Punkt M schneidet und erhal- ten somit den Mittelpunkt der Strecke c

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5 Zum Schluss konstruieren wir aus dem Punkt

M einen Kreis mit dem Radius MC. Dann ver- längern wir die Strecke AS bis diese den ge- rade erzeugten Kreis im Punkt B schneidet. Punkt S aus dem ersten Schritt teilt nun die neue Strecke AB im goldenen Schnitt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formen des goldenen Schnitts

Mit den nun kennen gelernten Verfahren zum

Ermitteln des goldenen Schnitts in einer Strecke, können wir im folgenden verschiedene Figuren im goldenen Schnitt konstruieren.

Diese werden mitsamt Konstruktionsanleitung auf den folgenden Seiten erklärt.

Das Verständnis für die Art und Weise in dem der goldene Schnitt zu den nun aufgezeigten geomet- rischen Figuren steht und wie es durch den golde- nen Schnitt zu diesen Figuren kommt, ist insofern wichtig, da wir später erkennen werden, wo in der Natur genau diese Formen wieder auftauchen.

[...]


1 P. Hemenway, Der geheime Code, S. 71

Final del extracto de 25 páginas

Detalles

Título
Der goldene Schnitt. Zur die Mathematik des Schönen und Harmonischen
Universidad
Academy for Design Cologne
Curso
Designtheorie
Calificación
1,0
Autor
Año
2010
Páginas
25
No. de catálogo
V213334
ISBN (Ebook)
9783656416388
ISBN (Libro)
9783656416463
Tamaño de fichero
3758 KB
Idioma
Alemán
Palabras clave
Goldener Schnitt, Fibonacci, Designtheorie, Design, Gestaltung, Gestaltungsregel
Citar trabajo
Manuel Kniepe (Autor), 2010, Der goldene Schnitt. Zur die Mathematik des Schönen und Harmonischen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/213334

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