Unscharfe Hypothesen bei der einfachen Varianzanalyse mit zufälligen Effekten

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Modell
2.1 Klassisches Modell
2.2 Grundlagen unscharfer Hypothesen
2.3 Verallgemeinertes Modell

3 Simultane Kontrolle der Fehlerkriterien
3.1 Zugrundeliegende Annahmen
3.2 Herleitung der Bedingung
3.3 Parameterbetrachtung

4 Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Die Varianzanalyse untersucht den Einfluss nominalskalierter unabhängiger Varia­blen auf eine bzw, mehrere metrische abhängige Variablen, Das Zusammenwirken und die gegenseitige Beeinflussung mehrerer Faktoren kann mit der Varianzanalyse untersucht werden.

Es kann beispielsweise untersucht werden, ob die verschiedenen Düngemittel A, B, C und D einen Einfluss auf den Ernteertrag haben. Ein landwirtschaftliches Feld würde in mehrere Parzellen unterteilt werden. Per Zufall würden die Parzellen vier Gruppen zugeordnet werden, die dann mit den vier unterschiedlichen Düngemitteln behandelt werden. Jeder Parzelle werden anschließend Stichproben entnommen. Das Ergebnis gibt Aufschluss darüber, ob sieh die Düngemittel in ihren Ernteerträgen signifikant unterscheiden.

Dieses Beispiel berücksichtigt lediglich eine nominalskalierte unabhängige Va­riable (Düngemittel) und eine abhängige metrische Variable (Ernteertrag), daher spricht man hierbei von der einfachen Varianzanalyse. Die Berücksichtigung anderer nominalskalierter Variablen (bspw, Klima, Bewässerung etc.) führt zur mehrfachen Varianzanalyse, Die Anzahl der Stichproben, die einer Parzelle entnommen werden, können sieh unterscheiden. Wird jeder Parzelle die gleiche Anzahl an Stichproben entnommen, spricht man vom balancierten Design.

Weiter lässt sieh zwischen festen und zufälligen Effekten unterscheiden. Feste Effekte sind dadurch charakterisiert, dass die unterschiedlichen Behandlungsmetho­den im Vorwege festgelegt werden. Bei den zufälligen Effekten hingegen werden aus einer großen Menge an Behandlungsmethoden (in unserem obigen Beispiel Dünge­mittel) zufällig einige ausgewählt und anhand der Stichprobe wird anschließend eine Aussage über die Grundgesamtheit aller Behandlungsmethoden getroffen.

Diese Seminararbeit befasst sieh ausschließlich mit der einfachen Varianzanalyse mit zufälligen Effekten und balanciertem Design, Mithilfe des Modells unscharfer Mengen werden die Hypothesen zum Testen der Unterschiedlichkeit der Behand­lungsmethoden umformuliert. Damit wird das Modell erweitert, da man im klas­sischen Modell mit einigen Xachteilen konfrontiert werden kann. Zum einen wird schon bei minimalen Abweichungen vom getesteten Parameter bei genügend großen Stichprobenumfang die Hypothese fast immer verworfen. Auf dieses Problem wird in dieser Arbeit jedoch nicht näher eingegangen, da man sieh in der Praxis Kosten für die Stichprobenentnahmen gegenüber sieht, sodass versucht wird mithilfe eines möglichst kleinen Stichprobenumfang Aussagen über die Grundgesamtheit treffen zu können.

Das Problem des klassischen Modells, mit dem sieh in dieser Arbeit vorrangig befasst wird, stellt die komplemetäre Beziehung der Fehler 1, und 2, Art dar, Mithilfe der unscharf formulierten Hypothesen wird versucht beide Fehlerkriterien simultan zu kontrollieren, Ziel ist es mithilfe einer möglichst kleinen Stichprobe beide Fehlerwahrscheinlich­keiten bestimmen zu können und zu erreichen, dass beide möglichst eine vorgegebene Schranke nicht überschreiten.

2 Modell

2.1 Klassisches Modell

Bei der Varianzanalyse mit zufälligen Effekten werden zunächst die a Behandlungs­methoden aus einer großen Menge von Behandlungsmethoden gezogen. Man möchte eine Aussage darüber machen, ob die Behandlungsmethoden äquivalent sind oder nicht. Wir konzentrieren uns hierbei auf den balancierten Fall, das heißt, dass von je­der Behandlungsmethode die gleiche Anzahl an Stichproben gezogen wird. Es ergibt sich für alle i = 1,a zufällig gezogenen Behandlungsmethoden und die j = 1, ...,n (n G R) zufälligen Stichproben der Behandlunsmethode i das Modell:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Ti [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle i =1,..., k und j = 1,..., n. Alle Zufallsvariablen ^ und eij seien voneinander unabhängig, dann gilt für alle i, j, dass yij N(ß, a¡2 + a2), wob ei a¡2 und a2 die Varianzkomponenten der Beobachtungen genannt werden.

Um die Xullhypothese gegen die Alternativ-Hvpothese zu testen, bei gegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit 7 verwenden wir die Formulierung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gesamtvarianz oder Total Sum of Squares (SSt) wird dabei in ihre einzelnen Bestandteile zerlegt. Man erhält die Sum of Squares of Error (SSe) und die Sum of Squares of Treatment (SSTr.), Es stellt sich dabei folgender Zusammenhang raus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Total Sum of Squares (SST), die Sum of Squares of Error (SSE) und die Sum of Squares of Treatment (SSTr.) sind dabei wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das heißt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Nach dem Satz von Cochran sind SSE und SSTr, von einander unabhängig. Zum Testen verwendet man die Teststatistik:

Aufgrund der Unabhängigkeit von SSE und SSTr. ist die Teststatistik nach F verteilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Nullhypothese wird abgelehnt, genau dann, wenn die Teststatistik T größer ist als der vom Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden abhängige Wert der F- Verteilung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2.2 Grundlagen unscharfer Hypothesen

Die Zugehörigkeitsfunktionen zu den unscharfen Hypothesen werden im Folgenden mit mHo und шн1 bezeichnet, wobéi mHl = 1 — mHo gilt. Die Zugehörigkeitsfunktion mHo ordnet jedem Eie ment 9 des Parameterr a ums 0 einen Wert aus dem Bereich [0; 1] zu, der als Zugehörigkeitsgrad zur Nullhypothese interpretiert werden kann. Der Parameterraum 0 stellt die Menge aller möglichen Parameterwerte dar. Wir nehmen eine in einem bestimmten Intervall monoton fallende Zugehörigkeitsfunkti­on zur Nullhypothese an. Aufgrund des oben beschriebenen Verhältnisses zwischen mHo und mHl folgt daraus, dass die Zugehörigkeitsfunktion von mHl monoton stei­gend ist (siehe Abbildung 2.1). Ist das betrachtete 9 kleiner 90, so ist der Wert der Zugehörigkeitsfunktion zur Nullhypothese größer als der der Alternativhypthese (mHo(9) > mHl(9)),¹Das heißt, dass der Parameter 9 Element der scharfen Men­ge A0 := {9 G 0\шно(9) > mHl(9)} ist, also der Menge der Parameter, die eher der Nullhypothese zuzuorden sind. 90 ist der Parameterwert, bei dem sich die Zu­gehörigkeitsfunktionen schneiden. Ist das betrachtete 9 größer 90, so ist der Wert der Zugehörigkeitsfunktion zur Alternativhypthese größer als der der Nullhypothese (mHo (9) < mHl (9)). Das heißt, dass der Parameter 9 Element der scharfen Menge B0 := {9 G 0\mHo(9) < mHl (9)} ist, also der Menge der Parameter, die eher der Alternativhypohese zuzuorden sind.

Mit Hilfe der unscharf formulierten Hypothesen wird versucht, im Gegensatz zu den scharfen Hypothesen, nicht nur für den Fehler 1. Art, sondern auch für den Fehler 2. Art zu kontrollieren. Die verallgemeinerten Kriterien werden eingeführt, um die simultane Kontrolle für Fehler 1. und 2. Art zu ermöglichen. Nach Arnold

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¹mit e0 =