Der Einfluss von Spreizung, Nachlauf und Lenkrollradius auf die Lenkrückstellung

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Gründe für eine selbsttätige Lenkrückstellung
1.2 Möglichkeiten zur Lenkrückstellung
1.3 Radstellungen
1.3.1 Bezugsgrößen
1.3.2 Sturz
1.3.3 Spur
1.3.4 Spreizung
1.3.5 Nachlaufwinkel
1.3.6 Lenkrollradius

3. Aufgabenstellung

4. Vorgehensweise
4.1 Allgemeines
4.2 Kurzbeschreibung des Rechenweges
4.3 Ausführlicher Rechenweg
4.3.1 Berechnung von t und l
4.3.2 Koordinatentransformation ins X*Y*Z*-System
4.3.3 Drehung des Achsschenkel P
4.3.4 Rücktransformation ins XYZ-System
4.3.5 Bestimmung des Rückstellmomentes

5. Beispielrechnung

6. Ergebnisse

7. Zusammenfassung und Diskussion

8. Literatur

9. Anhang

Verwendete Abkürzungen und Formelzeichen

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1. Einleitung

1.1 Gründe für eine selbsttätige Lenkrückstellung

Für eine selbsttätige Lenkrückstellung existieren mehrere Gründe. Würde an den Vorderrädern eines Fahrzeuges das Rückstellmoment fehlen, so bräuchte man nur eine sehr geringe Kraft, um das Fahrzeug in die Kurve zu lenken. Allerdings müsste man am Ende der Kurve die Stellung der Lenkung selbst zurück in die Geradeausstellung bringen. Im schlimmsten Fall könnte es dazu kommen, dass der Fahrer am Kurvenende die Lenkung nicht schnell genug zurückstellt und somit die Kurve weiterfährt. Außerdem hätte der Fahrer kein Gefühl für Kurvengeschwindigkeit und Fahrverhalten.

Ein weiterer Grund für die selbsttätige Lenkrückstellung ist die Gewährleistung des Geradeauslaufes speziell bei Hinterrad angetriebenen Fahrzeugen, da diese in einen instabilen Fahrzustand sind. Diese Fahrzeuge benötigen die durch die Vorderachsgeometrie erzeugten Momente.

1.2 Möglichkeiten zur Lenkrückstellung

Um eine selbsttätige Lenkrückstellung zu realisieren, werden entsprechende Momente um die Lenkungsdrehachse benötigt. Dies kann man auf verschiedene Weisen erzeugen. Der heutige Stand der Technik greift dabei auf die Gewichtsrückstellung zurück, worauf sich auch diese Studienarbeit bezieht.

Bei der Gewichtsrückstellung wird durch die Auflagekraft, die auf den Reifen wirkt, ein Moment um die Lenkungsdrehachse erzeugt. Dabei sind folgende Vorderachs-Einstellwerte von größter Wichtigkeit. Dazu gehört der Nachlaufwinkel e und Spreizungswinkel g. (Auf Spreizungs- und Nachlaufwinkel wird im weiteren Verlauf dieser Studienarbeit noch näher eingegangen) Denn stünde die Lenkungsdrehachse senkrecht, würde keine Moment durch die Auflagekraft entstehen können.

Bei einer senkrechten Lenkungsdrehachse kann nur dann ein Moment entstehen, wenn man mit dem geometrischen Nachlauf arbeitet. Dabei ist die Radmitte hinter der Lenkungsdrehachse L, wie in der Abbildung 1 zu sehen ist, angebracht. Durch diesen Hebelarm, kann ein Moment um die Lenkungsdrehachse entstehen.

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Abbildung 1: Geometrischer Nachlauf

Bei geometrische Nachlauf bewirkt allerdings nicht die Auflagekraft die Lenkrückstellung, sondern der Rollwiderstand WR bewirkt die Rückstellung. Wie man in Abbildung 2 sehen kann, bewirkt genau genommen die Rollwiderstands-Komponente WR*sinb die Lenkrückstellung. Die Komponenten WR*cosb heben sich gegenseitig auf.^[2]

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Abbildung 2: Geometrischer Nachlauf

1.3 Radstellungen

1.3.1 Bezugsgrößen

Die Radmittelebene (1) ist die zur Raddrehachse senkrechte Mittelebene des Reifens. Der Radaufstandspunkt (2) ist der Schnittpunkt der Radmittelebene mit der Drehachse auf der Fahrbahnebene. Die Geometrische Fahrachse (3) ist die Winkelhalbierende des Gesamtvorspurwinkels der Hinterachse.

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Abbildung 3:Radmittelebene(1), Radaufstandspunkt(2), geometrische Fahrachse(3)

Die Fahrzeuglängsmittelebene (4) ist eine fahrzeugfeste Ebene, die senkrecht zur Fahrbahn steht und durch die Mitte der Spurweite der Vorder- und Hinterachse geht. ^[1]

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Abbildung 4: Fahrzeugmittelebene(4)

1.3.2 Sturz

Sturz ist der Neigungswinkel des Rades zur Senkrechten. Die Neigung oben nach außen bedeutet ein positives Vorzeichen, eine Radneigung oben nach innen erhält ein negatives Vorzeichen.(Siehe Abbildung 5)

Der Sturzwinkel ändert sich mit dem Radeinschlag. Negativer Sturz erhöht die Seitenführungskraft des Rades bei Kurvenfahrt. Ein falsch eingestellter Sturz (übermäßiger Wert positiv oder negativ) führt zu einseitigem Reifenverschleiß. Um ein einseitiges Ziehen einer Achse zu vermeiden, sollte zwischen den beiden Rädern dieser Achse kein größerer Sturzunterschied als maximal 30 Winkelminuten vorhanden sein.

Vorderräder haben in der Regel einen leicht negativen Sturz, bei Hinterrädern ist ein deutlich negativer Sturzwinkel üblich.^[1]

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Abbildung 5: Sturzwinkel

1.3.3 Spur

Die Gesamtspur einer Kfz-Achse wird aus der Differenz zwischen dem vorderen und hinteren Abstand der Räder einer Achse ermittelt, gemessen an den Felgenhörnern.
Die Einzelspur bezeichnet den Winkel eines einzelnen Rades - an der Hinterachse gemessen - in bezug auf die Fahrzeuglängsmittelebene, aber an der Vorderachse gemessen in bezug auf die geometrische Fahrachse.

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Abbildung 6: Fahrzeuglängsmittel-ebene

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Abbildung 7: geometrische Fahrachse

Vorspur wird durch ein positives Vorzeichen gekennzeichnet. Ein geradeaus laufendes Rad hat den geringsten Reifenverschleiß. Bei der Geradeausfahrt entstehen aber Kräfte, die die Räder wegen der Elastizität in den Radaufhängungen vorne nach außen drücken. Deswegen würden sich die Räder an der Innenschulter vorzeitig abradieren. Um dem entgegenzuwirken, stellt man die Räder bei nicht angetriebenen Achsen auf Vorspur ein. Bei angetriebenen Achsen werden die Räder wegen der Antriebskräfte zusätzlich vorne zusammengedrückt, deshalb werden hier die Räder in der Regel auf 0-Spur oder sogar Nachspur eingestellt. Die Vorspur stabilisiert also den Geradeauslauf durch Verspannung der Reifenaufstandsflächen und verhindert damit ein Flattern und Radieren der Räder. Weist ein Fahrzeug an der Hinterachse ungleiche Einzelspurwerte auf, müssen für die Geradeausfahrt die Vorderräder so eingeschlagen werden, dass die Winkelhalbierende der Vorderachsgesamtspur parallel zur Winkelhalbierenden der Hinterachsgesamtspur (=geometrische Fahrachse) steht. Dadurch fährt das Fahrzeug im "Dackellauf", und das Lenkrad steht auf einem leichten Lenkeinschlag.^[1]

1.3.4 Spreizung

Spreizung ist der Winkel, um den der Achsschenkelbolzen bzw. die Lenkungsdrehachse gegen die Senkrechte oben nach innen geneigt ist. Dadurch entstehen Rückstellkräfte, die das Rad nach einer Kurvenfahrt wieder in Geradeausstellung bringen.

Sturz und Spreizungswinkel bestimmen miteinander die Lage des Berührungspunktes der Vorderräder auf der Fahrbahn. Durch die Spreizung wird der Hebelarm, an dem die Radkräfte angreifen, kleiner, was das Einschlagen der Räder erleichtert. Außerdem wirken sich Fahrbahnstöße nicht so stark auf die Lenkung aus.^[1]

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Abbildung 8: Spreizung

1.3.5 Nachlaufwinkel

Der Winkel zwischen der Lenkdrehachse und der Senkrechten wird als Nachlaufwinkel bezeichnet. Eine Neigung oben nach hinten wird mit positivem Vorzeichen gekennzeichnet. Durch den Nachlauf werden die Räder gezogen, wodurch ihre Flatterneigung reduziert wird. Bei Kurvenfahrt werden zusätzliche Rückstellkräfte frei, die zusammen mit dem Effekt des Spreizungswinkels die Geradeausstellung der Vorderräder unterstützen.

Sind die Nachlaufwinkel am linken und rechten Vorderrad stark unterschiedlich, so fährt das Fahrzeug bei losgelassenem Lenkrad nicht mehr geradeaus, es zieht einseitig.^[1]

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Abbildung 9: Nachlauf

1.3.6 Lenkrollradius

Der Lenkrollradius ist der Abstand zwischen Mitte der Radaufstandsfläche bis zum Durchstoßpunkt der verlängerten Lenkdrehachse durch die Fahrbahn, er erleichtert die Lenkbarkeit des Fahrzeugs.

Der Lenkrollradius ergibt sich aus dem Zusammenwirken von Sturz, Spreizung und Einpresstiefe des Rades; dabei ergeben sich drei Möglichkeiten: Lenkrollradius positiv, null oder negativ.

Der Begriff "negativer Lenkrollradius" wurde durch die Einführung bei AUDI in Verbindung mit dem diagonalen Bremssystem Insbesondere deshalb bekannt, weil ein negativer Lenkrollradius auf die Geradeausfahrt eine selbststabilisierende Wirkung bei einseitig ziehenden Bremsen oder bei unsymmetrischen Fahrbahnwiderständen ausübt. Neigt normalerweise ein Fahrzeug dazu, in Richtung des stärker gebremsten Rades zu ziehen, so wird diese Reaktion durch einen negativen Lenkrollradius ins Gegenteil verwandelt. Die Bremskraft dreht das Rad zur nicht gebremsten Seite hin ein, wodurch ein seitliches Ausbrechen des Fahrzeugs vermieden wird.

Das Beilegen von Distanzscheiben zwischen Scheibenrad und Radnabe oder der Einsatz von Felgen mit anderer Einpresstiefe verändert zwangsläufig den bei der Fahrzeugentwicklung festgelegten Lenkrollradius und damit auch das Fahrverhalten des Kraftfahrzeugs.^[1]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10: Lenkrollradius

3. Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung dieser Studienarbeit ist es den Einfluss von Spreizung, Nachlauf und Lenkrollradius auf die Lenkrückstellung zu untersuchen. Dabei sollen grafische Darstellungen des Rückstellmoments in Abhängigkeit von den obigen Parametern erstellt werden.

Dazu wurden folgende Rahmenbedingungen gesetzt:

- Bei der Lenkrückstellung bezieht man sich nur auf die Gewichtskraft des Wagens, das bedeutet es wird nur die Auflagekraft auf den Reifen als Kraft berücksichtigt. Deshalb spricht man auch hier von der Gewichtsrückstellung.
- Als Gewichtskraft eines gängigen Personenkraftwagen werden 16 KN angenommen, bei einer gleichmäßigen Verteilung auf alle vier Reifen.
Daraus folgt: pro Reifen wirken 4 KN als Gewichtskraft.
- Die Länge des Achsschenkels wird mit 200 mm definiert.

In Kombination mit den angegeben Rahmenbedingen sollen für verschiedene Einstellwerte von Spreizungswinkel g und Nachlaufwinkel e grafische Darstellungen für das jeweilige Rückstellmoment bei verschiedenen Radeinschlagswinkel b erstellt werden.

Dafür wurden folgende Rahmenbedingungen festgelegt:

- Spreizungswinkel g von 0° bis 12° in 3°-Schritten
- Nachlaufwinkel e von –2° bis 8° in 2°-Schritten
- Radeinschlagswinkel von –45° bis 45° in 5°-Schritten

4. Vorgehensweise

4.1 Allgemeines

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Abbildung 11: Definition des Systems

Bevor in diesem Abschnitt die Vorgehensweise zur Rechnung aufgezeigt wird, will ich erklärend auf den Aufbau des Systems eingehen. Wie in Abbildung 11 zu erkennen ist, sind hier alle für die Rechnung relevanten Winkel und Größen aufgezeigt.

Grundlegend ist das Koordinatensystem XYZ. Wobei die X-Achse immer in Richtung Front des Fahrzeuges zeigt. Die Y-Achse zeigt in die Fahrzeugmitte und die Z-Achse geht senkrecht nach oben.

Die Spreizungsachse P ist in der x,z-Ebene um den Nachlaufwinkel e nach hinten und um den Spreizungswinkel g in der y,z-Ebene nach innen geneigt, immer mit Bezug auf die Z-Achse. Der Achsschenkel P zeigt in die negative Y-Richtung bei einem Lenkeinschlaf von 0°. An diesem Achsschenkel wirkt die Kraft F in Z-Richtung.

F ist die Auflagekraft, die auf den Reifen wirkt. Der wahre Neigungswinkel l zur Z-Achse liegt in der um t zur X-Achse geneigten Ebene.

4.2 Kurzbeschreibung des Rechenweges

Das Berechnen des Rückstellmomentes in Abhängigkeit von Spreizung, Nachlauf und Lenkeinschlag ist eine recht komplexe Rechnung, deswegen werde ich zunächst einmal einen kurze Beschreibung des Rechenweges geben, und im Nachhinein dann auf jeden einzelnen Rechenschritt genau eingehen.

1. Ermittlung des wahren Neigungswinkel l und des dazugehörigen Drehwinkels t um die Z-Achse aus den vorgegeben Werten von Spreizungswinkel g und Nachlaufwinkel e
2. Koordinatentransformation des XYZ-Systems in das X*Y*Z*-System mit Hilfe von Matrizenrechnung, so dass die Z*-Achse in Richtung der Spreizungsachse S (Achsschenkelbolzen) liegt
3. Drehung des Achsschenkel P um die Z*-Achse mit Drehmatrizen in 5°-Schritten jeweils bis zu einem maximalen Lenkeinschlagswinkel von –45° und 45°
4. Rücktransformation aus dem X*Y*Z*-System in das XYZ-Systems jeden einzelnen Punktes des Achsschenkels
5. Errechnen des Rückstellmomentes

4.3 Ausführlicher Rechenweg

4.3.1 Berechnung von t und l

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 12

Bevor man die Transformationsmatrizen erstellen kann, werden Drehwinkel benötigt, die nicht identisch mit dem Nachlaufwinkel e und dem Spreizungswinkel g sind. Die beiden Drehwinkel t und l werden wie folgt aus dem Nachlauf- und Spreizungswinkel berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.3.2 Koordinatentransformation ins X*Y*Z*-System

Da das Ermitteln des Rückstellmomentes ein dreidimensionales Problem ist, bedient man sich der Matrizenrechnung. Da in diesem Fall keine Translation durchzuführen ist, sind keine homogenen Matrizen erforderlich, es reichen reelle 3x3 Rotationsmatrizen.

Bei diesen Matrizen handelt es sich um Abbildungsmatrizen bijektiver linearer Abbildungen, d.h. Automorphismen im R³, die die Drehung eines Vektors des R³ durch Matrixmultiplikation berechnen.

Diese Rotationsmatrizen sind orthonormal, d.h. sie haben die Determinante 1 und sind orthogonal, die Inverse der Matrix ist also gleich der Transponierten.

Die Spalten- und Zeilenvektoren stehen jeweils paarweise senkrecht aufeinander und haben eine Länge von 1. Dadurch wird die Erhaltung von Längen, Abständen und Winkeln garantiert, die Matrix beschreibt folglich eine Rotation mit drei Freiheitsgraden.^[3]

Obwohl es möglich ist, beliebige Drehachsen zu verwenden, werden hier insbesondere die Rotationen um die Standardachsen benutzt, da diese durch besonders einfache Matrizen beschrieben werden können.

In diesem Fall wird die Gesamttransformation durch zwei Drehungen beschrieben. Zuerst wird das XYZ-Koordinatensystem um die Z-Achse um den Winkel t in das X’Y’Z’-System gedreht. Danach wird das X’Y’Z’-System um die Y’-Achse um den Winkel l in das X*Y*Z*-System gedreht. Wie in Abbildung 13 zu sehen ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 13: Koordinatentransformation

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^[1]: http://www.alfisti.net

^[2]: Fahrwerktechnik 1 ; Jörnsen Reimpell

^[3]: http://wwwipr.ira.uka.de/~megi/SEMINAR/SS_03/Quaternionen.pdf