"Mit Summen muss man als Student umgehen können, das kommt schließlich schon in der Grundschule dran. Das Summenzeichen erweitert die bekannte Addition zweier Zahlen lediglich auf endlich viele Summanden."
Aus mathematischer Sicht ist gegen diese Aussage eigentlich nichts einzuwenden. Trotzdem sollte man dem Umgang mit Summen und dem Summenzeichen etwas mehr Bedeutung beimessen und den Umgang damit nicht als "Trivialität der Grundschule" abtun. In vielen mathematischen Einstiegsvorlesungen wird das Summenzeichen als bekannt vorausgesetzt, weshalb man darauf nicht weiter eingeht. Da man aber um den Umgang mit Summen (und Produkten und trigonometrischen Funktionen und Logarithmen und...was alles einmal Schulstoff war und nun an der Hochschule schnellstmöglich nachgeholt werden muss) in einem naturwissenschaftlichen Studium nicht herum kommt, sollten diese "Grundlagen der Grundschulausbildung" möglichst bald nachgeholt werden.
Was in einer Vorlesung oft zu kurz kommt und in Tutorien nicht genau thematisiert wird, wird hier versucht nachzuholen. Diese anschauliche und ausführliche Einführung in den Umgang mit Summen versucht alle Fragen abzudecken, die man zu Beginn haben kann. Die anschließenden Aufgaben mit kommentierten Lösungen festigen das Wissen und helfen dabei, die Theorie auch in der Praxis anwenden zu können.
Inhaltsverzeichnis
1 Pünktchenschreibweise
2 Das Summenzeichen
3 Rechenregeln für Summen
4 „Manipulation“ von Summen
4.1 Abspalten/Hinzufügen von Summanden
4.2 Indexverschiebung
4.3 Teleskopsumme
5 Besondere Summen und Summenformeln
6 Aufgaben (und Lösungen) zum Summenzeichen
Zielsetzung & Themen
Das Ziel dieses E-Books ist es, Studierenden der Anwendungswissenschaften einen fundierten und anschaulichen Umgang mit dem Summenzeichen zu vermitteln, um mathematische Grundlagenlücken effizient zu schließen.
- Bedeutung und korrekte Anwendung des Summenzeichens.
- Methoden der Manipulation von Summen (Abspalten, Indexverschiebung).
- Erkennen und Anwenden von Teleskopsummen.
- Verständnis wichtiger Summenformeln für die praktische Berechnung.
- Praktische Übungen zur Festigung des mathematischen Handwerkszeugs.
Auszug aus dem Buch
4.2 Indexverschiebung
Eine Indexverschiebung verändert ähnlich wie das Abspalten/Hinzufügen von Summanden den Start- und Endwert der Summe. Sie verändert aber auch die Summationsvorschrift, die Bildungsvorschrift ak für die einzelnen Summanden. Dies geschieht durch die Addition oder Subtraktion einer ganzen Zahl. Es gilt nämlich: n k=1 ak = n+z k=1+z ak−z
Umganssprachlich: wir vergrößern den Start- und Endwert um die gleiche Zahl z, dann müssen wir in jedem einzelnen Summanden den Wert der Laufvariable um z verkleinern, damit wir nicht zuviel oder zu wenig haben und der Summenwert gleich bleibt.
Wie sieht das nun konkret aus? Wir nehmen uns mal eine Summe und führen eine Indexverschiebung durch: 5 k=3 k k^2 + 5, wir verschieben den Index jetzt um 3 nach oben, d.h. der Start- und Endwert werden um 3 vergrößert. Damit die Summe gleich bleibt, ziehen wir in der Summationsvorschrift von jedem k diese Vergrößerung um 3 ab: 8 k=6 (k − 3) (k − 3)^2 + 5
Zusammenfassung der Kapitel
1 Pünktchenschreibweise: Einführung in die intuitive, aber mathematisch ungenaue Darstellung von Summen durch Auslassungspunkte.
2 Das Summenzeichen: Definition und formale Einführung des Summenzeichens sowie Erklärung der Rolle der Laufvariable.
3 Rechenregeln für Summen: Darstellung der wichtigsten Gesetzmäßigkeiten wie Distributivität und Linearität beim Umgang mit Summentermen.
4 „Manipulation“ von Summen: Vermittlung von Techniken zur Umformung von Summen, insbesondere durch Abspalten, Indexverschiebung und Teleskopsummen.
5 Besondere Summen und Summenformeln: Übersicht über leere Summen, konstante Summanden sowie wichtige Identitäten wie die Gaußsche Summenformel.
6 Aufgaben (und Lösungen) zum Summenzeichen: Zusammenstellung von Übungsaufgaben samt ausführlichen Lösungen zur Anwendung des Gelernten.
Schlüsselwörter
Summenzeichen, Laufvariable, Pünktchenschreibweise, Teleskopsumme, Indexverschiebung, Gaußsche Summenformel, Mathematische Grundlagen, Summation, Summanden, vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz, Geometrische Summenformel, Umformung, Anwendungsmathematik, Addition.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in diesem E-Book grundsätzlich?
Das E-Book vermittelt Grundlagen zum Umgang mit dem Summenzeichen, die für naturwissenschaftliche Studiengänge essenziell sind.
Welche zentralen Themen werden behandelt?
Die zentralen Themen umfassen die Definition, die Manipulation von Summen durch diverse Rechenregeln und die Anwendung spezieller Summenformeln.
Was ist das primäre Ziel des Textes?
Ziel ist es, Studenten eine Brücke von der Schulmathematik zum universitären Niveau zu schlagen, um Schwierigkeiten in mathematischen Vorlesungen zu vermeiden.
Welche wissenschaftliche Methode wird vermittelt?
Es werden mathematische Umformungsmethoden wie die Indexverschiebung und die Anwendung der vollständigen Induktion bei Beweisen erläutert.
Was wird im Hauptteil schwerpunktmäßig behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die praktischen Umformungstechniken von Summen, um diese effizienter berechenbar zu machen.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit?
Begriffe wie Summenzeichen, Indexverschiebung, Teleskopsumme und Summenformeln definieren den methodischen Kern des E-Books.
Wie unterscheidet sich die Pünktchenschreibweise vom Summenzeichen?
Die Pünktchenschreibweise ist oft ungenau und anfällig für Interpretationsfehler, während das Summenzeichen eine exakte und eindeutige mathematische Notation bietet.
Wann ist eine Teleskopsumme zu identifizieren?
Eine Teleskopsumme liegt vor, wenn sich die Summanden in einer Form darstellen lassen, bei der sich durch die Differenzbildung innerhalb der Summe nahezu alle Terme gegenseitig aufheben.
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- Markus Jansen (Autor), 2014, Umgang mit dem Summenzeichen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/268141
