Extrait
Umgang mit dem Summenzeichen
Ausf¨
uhrliche Erkl¨
arungen und Anwendungen zu
Markus Jansen
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
3
1
P¨
unktchenschreibweise
5
2
Das Summenzeichen
6
3
Rechenregeln f¨
ur Summen
7
4
"
Manipulation" von Summen
9
4.1
Abspalten/Hinzuf¨
ugen von Summanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Indexverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
Teleskopsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5
Besondere Summen und Summenformeln
13
6
Aufgaben (und L¨
osungen) zum Summenzeichen
15
2
Vorwort
Mit Summen muss man als Student umgehen k¨
onnen, das kommt schließlich schon in
der Grundschule dran. Das Summenzeichen erweitert die bekannte Addition zweier Zahlen
lediglich auf endlich viele Summanden.
Aus mathematischer Sicht ist gegen diese Aussage eigentlich nichts einzuwenden. Trotzdem soll-
te man dem Umgang mit Summen und dem Summenzeichen etwas mehr Bedeutung beimessen
und den Umgang damit nicht als
"
Trivialit¨
at der Grundschule" abtun. In vielen mathemati-
schen Einstiegsvorlesungen wird das Summenzeichen als bekannt vorausgesetzt, weshalb man
darauf nicht weiter eingeht. Aus eigener Erfahrung weiß ich aber, dass das in den wenigs-
ten F¨
allen so ist. Sicherlich spielt der inflation¨
are Gebrauch des Taschenrechners eine große
Rolle; und das nicht nur auf den Umgang mit Summen sondern allgemein auf das Mathema-
tikverst¨
andnis bezogen. Die verk¨
urzte Schulzeit und Konzentration auf
"
das Wesentliche" tut
dann ihr ¨
ubriges. Da man aber um den Umgang mit Summen (und Produkten und trigono-
metrischen Funktionen und Logarithmen und...was alles einmal Schulstoff war und nun an der
Hochschule schnellstm¨
oglich nachgeholt werden muss) in einem naturwissenschaftlichen Studi-
um nicht herum kommt, sollten diese
"
Grundlagen der Grundschulausbildung" m¨
oglichst bald
nachgeholt werden.
F¨
ur wen ist diese ¨
Ubersicht geschrieben?
Diese ¨
Ubersicht ist aus einer kurzen Zusammenfassung zum Umgang mit Summen f¨
ur drei
meiner Nachhilfesch¨
uler entstanden. Dabei wollte ich sowohl verst¨
andlich als auch mathema-
tisch korrekt den Umgang mit Summen festhalten und an einigen Beispielen die Anwendung
erkl¨
aren. Da ich diese ¨
Ubersicht auch sp¨
ater noch in diversen Nachhilfestunden verwendet
habe, lag irgendwann der Gedanke nahe meine Ausf¨
uhrungen zu erweitern und mehr Leu-
ten zug¨
anglich zu machen. Letztendlich ist eine recht umfangreiche Beschreibung zu Summen
entstanden, die sowohl die Bedeutung und Verwendung des Summenzeichens erkl¨
art als auch
die Anwendung in ausgew¨
ahlten Aufgaben vorf¨
uhrt. Die Inhalte einer Mathematikvorlesung
werden dadurch nat¨
urlich nicht aufgearbeitet, vielmehr soll es eine Erg¨
anzung zu den kurz-
en und m¨
oglicherweise nicht ausreichenden Erkl¨
arungen zum Summenzeichen w¨
ahrend einer
Vorlesung oder eines Tutoriums sein. Bloß weil man w¨
ahrend eines Tutoriums nachvollziehen
kann, was an der Tafel passiert, muss das bei einer anderen Aufgabe die man selbst l¨
osen soll
nicht auch so sein.
Wenn ich ein
"
Zielpublikum" benennen m¨
usste, so w¨
aren dies Studenten der Anwendungs-
wissenschaften (Physik, Chemie, Ingenieursstudieng¨
ange etc.). Allerdings soll das nat¨
urlich die
anderen Studieng¨
ange nicht ausschließen, es ist nicht einmal auf Studenten beschr¨
ankt sondern
3
kann auch von Sch¨
ulern gelesen werden. Lediglich f¨
ur Mathematikstudenten eine kleine War-
nung: bei allen Bem¨
uhungen um mathematische Korrektheit leidet unter der Zielsetzung der
anschaulichen Erkl¨
arung ein wenig die Exaktheit. Beweise werden nicht gef¨
uhrt, evtl. auch mal
ein paar Voraussetzungen unter den Tisch fallen gelassen. F¨
ur (rein) mathematische Kontexte,
sollte man also noch etwas genauer arbeiten.
Bei weiteren Fragen oder Unklarheiten. . .
. . . fragen sie bitte Ihren Mathematiker oder Apotheker. Falls beide nicht weiterhelfen k¨
onnen,
gibt es aber nat¨
urlich auch andere M¨
oglichkeiten, offene Fragen zu kl¨
aren.
Eine gute Anlaufstelle im Internet ist http://www.matheboard.de, wo man kostenlos Hilfe
zu seinen Problemen bekommen kann.
Anmerkungen und Korrekturen k¨
onnen gerne direkt an markus.jansen2@rwth-aachen.de
geschickt werden. Auch Fragen k¨
onnen gerne an diese Adresse geschickt werden, wobei ich
mich nur um eine zeitnahe Antwort bem¨
uhen, diese aber nicht garantieren kann.
4
1 P¨
unktchenschreibweise
Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition, im einfachsten Fall also eine
Zahl, die durch Addition zweier Zahlen entsteht. Neben Zahlen k¨
onnen nat¨
urlich noch andere
mathematische Objekte addiert werden (Funktionen, Matrizen etc.), ebenso k¨
onnen Summen
sich nicht nur auf zwei Summanden beschr¨
anken. Es kann eine beliebig Anzahl endlich vieler
oder auch unendlich vieler Summanden vorkommen. Gerade bei sehr vielen Summanden ist es
daher zweckm¨
aßig, eine einheitliche Schreibweise zu vereinbaren. Auf Summen mit unendlich
vielen Summanden, sogenannte Reihen, werden wir dabei nicht explizit eingehen.
F¨
ur Summen mit endliche vielen Summanden kann man die P¨
unktchenschreibweise nutzen,
um sich die Summe bzw. den Aufbau der Summe etwas besser zu veranschaulichen.
"
Die Summe der Zahlen von 1 bis
n f¨ur eine nat¨urliche Zahl n" l¨asst sich etwa schreiben
als: 1 + 2 + 3 +
· · · + n. Die P¨unktchen stehen hierbei f¨ur alle
"
ausgelassenen" Summanden,
die zwischen der 3 und
n liegen. Dabei ist wichtig, dass die P¨unktchen auf eindeutige Art und
Weise interpretiert werden k¨
onnen und die Darstellung noch ¨
ubersichtlich ist.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20
w¨
are nicht ¨
ubersichtlich und beschreibt auch nicht die Summe der Zahlen von 1 bis 20; die 14
kommt n¨
amlich nicht als Summand vor. In diesem Fall w¨
are die P¨
unktchenschreibweise also
nicht 1 + 2 +
· · · + 20. Sie m¨usste aufgeteilt werden in 1 + 2 + · · · + 13 + 15 + 16 + · · · + 20.
¨
Ubersichtlich ist weder die eine noch die andere Darstellung.
F¨
ur welche Summe steht 3+5+7+
· · ·+19? Auf den ersten Blick k¨onnte man meinen, dass dies
die Summe aller ungeraden Zahlen von 3 bis 19 ist. Allerdings k¨
onnte man auch argumentieren,
dass dies die Summe aller Primzahlen von 3 bis 19 ist. Zuf¨allig sind n¨amlich gerade 3, 5 und 7
die ersten 3 ungeraden Primzahlen, 19 ist auch eine Primzahl. Die P¨
unktchenschreibweise ist
in diesem Fall also nicht eindeutig.
Die P¨
unktchenschreibweise ist f¨
ur die exakte Welt der Mathematik nicht geeignet und sollte
m¨
oglichst nur zur eigenen Veranschaulichung eingesetzt werden. Aufgaben mit der P¨
unktchen-
schreibweise zu l¨
osen sollte man vermeiden, vom Einsatz in Beweisen sollte man nat¨
urlich
auch absehen. Stattdessen ist es notwendig, eine eindeutige Schreibweise zu verwenden, die
keine solchen Missverst¨
andnisse aufkommen l¨
asst. Dies f¨
uhrt letztendlich auf die Verwendung
des Summenzeichen
.
5
Fin de l'extrait de 21 pages
- Citation du texte
- Markus Jansen (Auteur), 2014, Umgang mit dem Summenzeichen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/268141
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