Bewertung von Bonuszertifikaten mittels Monte-Carlo-Simulation

Programmierung mit R


Hausarbeit (Hauptseminar), 2013
24 Seiten, Note: 1.0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einführung

2 Einordnung und Auszahlungsprofil von Bonuszertifikaten
2.1 Eingliederung von Bonuszertifikaten im Zertifikatehandel
2.2 Auszahlungsprofil von Bonuszertifikaten

3 Bewertung von Bonuszertifikaten
3.1 Überlick über Bewertungsverfahren von Derivaten
3.2 Monte Carlo Simulation im risikoneutralen Bewertungsansatz
3.2.1 Merkmale stochastischer Prozesse für Finanzzeitreihen
3.2.2 Schätzung der Inputparameter
3.2.3 Ablauf einer Monte-Carlo Simulation

4 Schlussbetrachtung

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Eingliederung von Zertifikatsprodukten

2 Auszahlungsprofil Bonus-Zertifikat

3 Preiskomponenten einer Call Option

4 Beispielspfade einer MCS mit Underlying EuroStoxx

5 Histogramm der Payoffs mit 5000 Simulationen

1 Einführung

Die Bewertung von strukturierten Produkten (Derivaten) stellt eines der Kerngebiete der quantitativ-statistischen Finanzwirtschaft dar. Als Terminkontrakte bergen sämtliche derivative Produkte ein zeitliches Auseinanderfallen von Ordererstellung und Ausführung bzw. Lieferung des Basiswertes in sich. Da die Ausführung von in der Gegenwart festgelegten Kontrakspezifikationen erst in der Zukunft geschieht, müssen mathematische Modelle zur Preisbestimmung Aussagen über das zukünftige Verhalten des Basiswertes treffen. Eines dieser Modelle stellt die Monte-Carlo Simulation dar.

Die Produktpalette derivativer Instrumente ist riesig. Sämtliche derivative Produkte las- sen sich jedoch aus vier Grundpositionen herleiten: dem Call long (Kauf einer Kaufop- tion), Call short (Verkauf einer Kaufoption), Put long (Kauf einer Verkaufsoption) und dem Put short (Verkauf einer Verkaufsoption). Diese sogenannten Optionen bilden das Grundgerüst aller anderen Derivate dar. Die für die Praxis relevanten Derivate zur Be- grenzung von Geschäftsrisiken stellen insbesondere Forwards, Futures oder Swaps dar, mit denen beispielsweise Zins-, Inflations- oder Wechselkursunsicherheiten der Zukunft begrenzt oder gänzlich neutralisiert werden können. Die für Privatanleger konzipierten Derivate werden unter dem Namen Zertifikate emittiert und können als gebündelte Opti- onsstrategien verstanden werden, die spezielle Anlageziele verfolgen.

Ein bei Privatanlegern beliebtes Zertifikat stellt das Bonus-Zertifikat dar, bei dem Anle- ger sowohl bei steigenden, stagnierenden aber auch bei leicht fallenden Kursen profitieren können. Im Folgenden wird mit dem frei verfügbaren Statistikprogramm R1 ein Paket zur Preisbestimmung von einfachen Bonus-Zertifikaten anhand einer Monte-Carlo Simulati- on beschrieben. Dieses Paket ermöglicht bei Kenntnis aller notwendigen Inputparameter den fairen Preis eines jeden einfachen Bonus-Zertifikates zu ermitteln. Ein dieser Arbeit begleitendes und für illustrative Zwecke dienliches Bonus-Zertifikat von Julius Bär, sowie die Beschreibung des eigens für diese Arbeit entworfenen R-Packtes ’bonus’ sind am Ende der Arbeit beigefügt.

2 Einordnung und Auszahlungsprofil von Bonuszer- tifikaten

2.1 Eingliederung von Bonuszertifikaten im Zertifikatehandel

Eine geläufige Unterteilung der vielfältigen Produkttypen im Zertifikatehandel hat der Schweizer Verband für strukturierte Produkte (SVSP) in seiner Swiss Derivate Map 2 veröffentlicht. Hiernach wird zwischen Kapitalschutz, Renditeoptimierung, Partizipation und Hebelprodukten unterschieden. Nachfolgende Übersicht ordnet die Produkttypen im Spannungsverhältnis zwischen Renditemöglichkeiten und Risiko ein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Eingliederung von Zertifikatsprodukten

Produkte mit dem geringsten Risiko, aber auch der geringsten Renditemöglichkeit wer- den Kapitalschutzprodukte genannt. Wie der Name suggeriert, sind Anleger bei diesen Produkten nach unten auf den eingesetzten Nominalwert abgesichert (Kapitalschutz), haben jedoch die Möglichkeit bei Kurssteigerungen im Basiswert nach oben unbegrenzt zu partizipieren. Solche Produkte sind unter den Namen Garantie-, Kapitalschutz- oder Airbagzertifikate zu finden. Renditeoptimierungsprodukte weisen ein umgekehrtes Profil auf. Diese Produkte sind nach oben durch eine maximale Auszahlung begrenzt, können jedoch bei Kursrückgängen im Basiswert zu Verlusten führen. Dieser im Vergleich zu Kapitalschutzprodukten negativen Grundkonstruktion steht jedoch eine höhere Rendi- temöglichkeit bei stagnierenden und leicht schwankenden Kursen gegenüber. Typische Produkte dieser Produktkategorie sind Discountzertifikate, Aktienanleihen (auch: Reverse Convertibles) oder Expresszertifikate. Unter der Kategorie Partizipation werden Produkte eingegliedert die im Kern die Entwicklung des Basiswertes 1:1 widerspiegeln, d.h. sowohl nach oben als auch nach unten vollständig partizipieren. In diese Kategorie fallen unter anderem Tracker-Zertifikate, Outperformance-Zertifikate und Bonus-Zerfikikate. Die Ka- tegorie mit den höchsten Renditemöglichkeiten, aber auch dem höchsten Verlustrisiko, bilden die sogenannten Hebel- oder Knock-Out-Produkte. In diese Kategorie fallen unter anderem Optionsscheine (Warrents) und Mini-Futures. Bei diesen Produkten besteht die Gefahr eines Totalverlusts falls der Basiswert eine untere Barriere (Stopp-Loss Level) unterschreitet. Dieses Risiko wird kompensiert durch ein attraktives Hebelpotenzial im Umkehrschluss falls der Basiswert diese Barriere nicht unterschreitet.

Die in dieser Arbeit fokussierten Bonus-Zertifikate sind bezogen auf die Swiss Derivate Map Partizipationsprodukte und weisen ein entsprechend höheres Rendite- und Risikopotential auf. Im nächsten Schritt soll auf die Konstruktion und das Auszahlungsprofil von Bonus-Zertifikaten näher eingegangen werden.

2.2 Auszahlungsprofil von Bonuszertifikaten

Das generelle Auszahlungsprofil eines einfachen Bonuszertifikates wird durch zwei Schwellen determiniert: einem Absicherungsniveau und einem Bonusniveau, welche jeweils unterhalb und oberhalb dem anfänglichen Startkurs (Referenzkurs) des Basiswertes liegen. Demnach ergeben sich zwei unterschiedliche Auszahlungsprofile.3

1. Seitwärtsmarkt oder Kursanstieg

Hierbei hat der Basiswert während der Laufzeit zu keinem Zeitpunkt das Absi- cherungsniveau unterschritten. Es kam demnach zu stagnierenden, leicht fallenden oder steigenden Kursen. Der Anleger erhält in allen Fallen mindestens das in den Zertifikatsvereinbarungen festgelegte Bonusniveau. Durchbricht der Basiswert das Bonuslevel nach oben, nimmt der Anleger zudem an der höheren Performance teil.

2. Kursverfall oder vorübergehender Einbruch

Falls der Basiswert das Absicherungsniveau während der Laufzeit unterschreitet, verfällt das Bonusniveau. Jedoch hat der Anleger in diesem Fall die Möglichkeit am Basiswert 1:1 zu partizipieren. Das Bonuszertifikat wandelt sich insofern in ein Tracker-Zertifikat, des vollständig an der Entwicklung des Basiswertes teilnimmt.

Bei der Betrachtung der zwei Profile wird deutlich wo die Vorteile des klassischen Bonus- zertifikates liegen. Es bieten Anlegern die Chance auf einen aktraktiven Bonusbetrag, eine partielle Absicherung gegen Kursverluste soweie die Möglichkeit nicht nur von steigenden, sondern auch von stagnierenden und leicht fallenden Kursen zu profitieren.

Ein praktisches Beispiel soll die möglichen Szenarien verdeutlichen. Preis des Bonus- Zertifikats: 100 e, Referenzkurs: 100 e, Bonusniveau: 140 e (140%), Absicherungsniveau:

70 e (70%), Bezugsverhältnis 1:1. Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht das Profil des klassischen Bonus-Zertifikats unter Beachtung der Preisspezifikationen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Auszahlungsprofil Bonus-Zertifikat

1. Szenario: Basiswert durchbricht nie das Absicherungsniveau und steigt am Fälligkeitstag auf 160 e. Der Anleger erhält 160 e.

2. Szenario: Basiswert durchbricht nie das Absicherungsniveau und steigt am Fälligkeitstag auf 110 e. Der Anleger erhält den Bonus i.H.v. 140 e.

3. Szenario: Basiswert durchbricht nie das Absicherungsniveau und sinkt leicht am Fälligkeitstag auf 80 e. Der Anleger erhält den Bonus i.H.v. 140 e.

4. Szenario: Basiswert durchbricht während der Laufzeit das Absicherungsniveau und endet bei 50 e. Der Anleger partizipiert 1:1 und erhält 50 e.

5. Szenario: Basiswert durchbricht während der Laufzeit das Absicherungsniveau und steigt auf 90 e. Der Anleger partizipiert 1:1 und erhält 90 e.

3 Bewertung von Bonuszertifikaten

3.1 Überlick über Bewertungsverfahren von Derivaten

Im vorherigen Beispiel wurde der Preis des Zertifikats (100 e) als gegeben angesehen. Ziel dieses Kapitels ist es einen Überblick über mathematische Modelle zur Bestimmung des Derivatepreises zu geben und anschließend näher auf das für Zertifikate relevante Modell der Monte-Carlo Simulation einzugehen. Allgemein gesprochen ergibt sich ein fairer Derivatepreis aus einem inneren Wert plus einem Zeitwert, wie die nachfolgende Grafik am Beipsiel einer einfachen Call-Option verdeutlicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Preiskomponenten einer Call Option

Der innere Wert stellt den heutigen Wert bei Ausübung dar und ergibt sich aus der Differenz zwischen aktuellem Kurs S und Basiswert/ Strike X. Ein Call ist im Geld wenn S > X ist und der Preis ist umso größer je höher diese Differenz ist. Der Zeitwert ergibt sich - aus Verkäufersicht - aus einer Zinskomponente (man verzichtet heute auf den Geldbetrag) und aus einer Spekulationskomponente (der Wert kann sich zum Voroder Nachteil entwickeln). Während der innere Wert bekannt ist, ist es die Aufgabe eines Modells zur Bestimmung des fairen Preises, den Zeitwert und dabei insbesondere die Spekulationskomponente zu ermitteln. Insofern müssen alle Modelle Aussagen über das zukünftige Verhalten des Basiswertes treffen.

Aus Modellsicht stehen grundsätzlich drei verschiedene Bewertungsansätze zur Verfügung, welche theoretisch durch den Einsatz gleicher Inputparameter zum selben Ergebnis führen müssen. Diese Hauptansätze lauten:

1. Bewertung über das Binomialmodell

2. Bewertung über die Black-Scholes Bewertungsgleichung

3. Risikoneutrale Bewertung

zu 1) Das Binomialmodell ist ein Modell zur Preisbestimmung bei dem nach abzählbaren (diskreten) Abständen, Zustandspreise des Basiswertes simuliert werden. Dabei wird so vorgegangen, dass sich nach jedem diskreten Zwischenschritt zwei mögliche Zustandspreise ergeben, jeweils für ein Aufwärts- und ein Abwärtsszenario im Basiswert. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung als up-Faktor u und die Wahrscheinlichkeit einer Abwärtsbewegung als down-Faktor d angenommen. Wird dieser Vorgang der Zwei- teilung eines jeden Knotens bis zum letzten Zeitpunkt am Laufzeitende vollzogen, ergibt sich als Ergebnis ein Zustands- bzw. Binomialbaum. Die nun nach dem letzten Schritt sich ergebenen Zustandspreise können mit dem konkreten Auszahlunsprofil des Derivats verglichen werden, sodass sich individuelle Payoffs je Binomialzweig ergeben. Der Opti- onspreis zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich sodann als Erwartungswert der diskontierten zukünftigen Zahlungen bezüglich der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten.4

zu 2) Während das Binominalmodell mit diskreten Auszahlungen versucht den fairen Op- tionspreis zu bestimmen, liegt der Black-Scholes-Merton Bewertungsgleichung ein stetiges Auszahlungsmodell zugrunde. Black-Scholes-Merton haben dabei gezeigt, dass sich durch Konstruktion einer risikolosen Anlage zum risikoloesen, stetigen Zinssatz r und einer Divi- dendenlosen Aktie, welche sich nach einem Wiener Prozess verhält, sich eine Bewertungs- gleichung ergibt, mit der der faire Preis eines Derivats berechnet werden kann. Abhängig wie das Underlying S definiert ist, kann die Bewertungsgleichung unterschiedliche Aus- prägungen annehmen. Die möglichen Werte von S und t werden somit von einer konkreten Randbedingung des Underlying festgeschrieben. Durch Auflösen der Differenzialgleichung kann somit der Preis eines Derivats analytisch bestimmt werden.5

zu 3) Neben dem Binomialmodell auf zeitdiskreter und dem Modell nach Black-Scholes auf zeitstetigen Ebene, ist die risikoneutrale Bewertung die dritte Möglichkeit zur Be- stimmung von fairen Preisen. Während bei B/S die Preisbestimmung exotischer Derivate aufgrund der notwendigen partiellen Differenzialgleichung mit Randbedingung analytisch oftmals schwer bzw. nicht möglich ist, liegt der große Vorteil bei der risikoneutralen Be- wertung in der numerischen Bestimmung beliebiger Derivate. Es eignet sich insofern als Simulationstool zur praktischen Bewertung beliebiger Derivate und damit insbesondere von Zertifikaten. Dabei wird von Risikoneutralität ausgegangen, d.h. in die Bewertung gehen keine Risikopräferenzen ein. Ein numerisches Verfahren stellt die Monte-Carlo Si- mulation (MCS) dar. Dabei ergibt sich der faire Wert als erwarteter, diskontierter Payoff unter dem risikoneutralen Maß. Im folgenden werden die Schritte einer MCS näher be- schrieben. Als Beispiel soll die Bewertung eines einfachen Bonuszertifikats dienen.

[...]


1 Verfügbar auf: http://cran.r-project.org.

2 SVSP (2011): Swiss Derivate Map.

3 Ausführlich zu dem Aufbau und Auszahlungsprofilen von Bonus-Zertifikaten: Goldman Sachs (2010), Bonus-Kompass.

4 Für mehr Informationen zum Binomialmodell, siehe Hull, J. (2008), S. 237-256.

5 Für mehr Informationen zum Black-Scholes-Merton Model, siehe Hull, J. (2008), S. 277-309.

Ende der Leseprobe aus 24 Seiten

Details

Titel
Bewertung von Bonuszertifikaten mittels Monte-Carlo-Simulation
Untertitel
Programmierung mit R
Hochschule
Georg-August-Universität Göttingen  (Department of Statistics)
Note
1.0
Autor
Jahr
2013
Seiten
24
Katalognummer
V274434
ISBN (eBook)
9783656674559
ISBN (Buch)
9783656697428
Dateigröße
616 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Zertifikate, Monte Carlo Simulation;
Arbeit zitieren
Josef Gilgen (Autor), 2013, Bewertung von Bonuszertifikaten mittels Monte-Carlo-Simulation, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/274434

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