Design von Anreizsystemen im Attended Home Delivery

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Literaturüberblick

3 Mathematische Modellformulierung
3.1 Modellierung unter Verwendung dynamischer Rabatte
3.1.1 Einführung eines nichtlinearen Grundmodells
3.1.2 Linearisierung des Grundmodells
3.2 Modellierung unter Verwendung dynamischer Preissetzung
3.3 Vergleich der dargestellten Modelle

4 Umsetzung
4.1 Entwicklung eines Beispiels
4.2 Ermittlung der Einfügekosten
4.2.1 Manuelle Berechnung der Einfügekosten
4.2.2 Automatisierte Ermittlung der Einfügekosten
4.2.2.1 Bildung der Lieferpläne für bereits angenommene Bestellungen
4.2.2.2 Einfügen einer neuen Bestellung in bestehende Lieferpläne
4.3 Implementierung des Modells
4.4 Experimente und Ergebnisse

5 Limitationen und Forschungslücken

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Verlauf des Zielfunktionswerts bei einem Zeitfenster mit Rabatt

Abbildung 2: Experiment zur Linearisierung

Abbildung 3: Veranschaulichung der rückwärtsrekursiven Berechungsweise

Abbildung 4: Betrachtungszeitpunkt 1; 25% der Buchungsperiode sind abgelaufen

Abbildung 5: Betrachtungszeitpunkt 2; 75% der Buchungsperiode sind abgelaufen

Abbildung 6: Flussdiagramm des Algorithmus zur Einfügung der neuen Bestellung

Abbildung 7: Implementierung der Zielfunktion in OPL

Abbildung 8: Schnittstelle zu Excel

Abbildung 9: Automatisiertes Ausführen eines Makros beim Zugriff auf das Spreadsheet

Abbildung 10: Experiment Betrag O

Abbildung 11: Experiment Betrag U

Abbildung 12: Experiment Länge Zeitfenster

Abbildung 13: Experiment Service Time

Abbildung 14: Experiment Preissensibilität - Gewinn

Abbildung 15: Experiment Preissensibilität - Gesamthöhe der Rabatte

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Bedeutung der Inputparameter

Tabelle 2: Bedeutung der Entscheidungsvariablen

Tabelle 3: Vergleich der Modelle von Campbell, Savelsbergh (2006) und Asdemir et al. (2009)

Tabelle 4: Inputparameter des Beispielszenarios

Tabelle 5: Ermittlung der Einfügekosten (Iteration 1)

Tabelle 6: Ermittlung der Einfügekosten (Iteration 2)

Tabelle 7: Einfügen der Bestellung E in den Lieferplan (Teil 1)

Tabelle 8: Einfügen der Bestellung E in den Lieferplan (Teil 2)

Tabelle 9: Zusammensetzen der ersten Permutation

Tabelle 10: Ermittlung der Permutationen; Beispielrechnung mit Excel

Tabelle 11: Experimentierplan

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Mit dem Warenvertrieb im Internet startete 1995 die digitale Revolution des Handels. Ein Großteil der Märkte hat sich seitdem neu sortiert. Teilweise wurden ganze Geschäftszweige in das Internet verlagert. In der Musikindustrie wurde z.B. der Verkauf von Tonträgern weitestgehend durch den Vertrieb von Downloads ersetzt. In anderen Bereichen war für eine erfolgreiche Etablierung der mit dem World Wide Web entstandenen Technologien die Zeit jedoch noch nicht reif genug. So blieben manche Handelssektoren bisher weitestgehend unberührt von dieser Welle. Ein Beispiel hierfür ist der Lebensmittelhandel. Laut einer Studie von Wagner und Wiehenbrauk (2014) betrug der Marktanteil des Internetvertriebs von Lebensmittel im Jahr 2010 lediglich 0,3 Prozent des Gesamtumsatzes in Deutschland. Im Rahmen dieser Studie prognostizieren diese jedoch für das Jahr 2020 einen Marktanteil von 20 Prozent (ebd., S. 11). Verantwortlich für das enorme Wachstum dieses Geschäftsfelds seien zum einen veränderte Gewohnheiten durch die fortschreitende Digitalisierung, zum anderen werde auch der Faktor Demografie immer wichtiger, so die Wirtschaftsprüfer. In den kommenden Jahren ist ein immer größerer Teil der Gesellschaft auf Grund eingeschränkter Mobilität vor allem im Bereich der Lebensmittel auf Lieferung ihrer Einkäufe, dem sogenannten Home Delivery Service angewiesen. Ein weiterer Treiber könnte in der Zunahme der Ressourcenknappheit liegen. So wird z.B. der Platz auf Deutschlands Straßen und Parkplätzen immer knapper, außerdem wird ein steigender Treibstoffpreis vorhergesagt. Eine Bündelung von mehreren Bestellungen in einer Auslieferungstour ermöglicht grundsätzlich eine effizientere Ressourcennutzung, als wenn jeder Kunde seine Einkäufe im Supermarkt erledigt.

Zu unterscheiden sind dabei zwei Ausprägungen, das Attended (ATD) und das Unattended Home Delivery (UATD). Beim UATD erfolgt die Zustellung der Ware wie beim klassischen Onlineshopping über einen herkömmlichen Paketdienst, wohingegen beim ATD ein spezieller Kurier zum Einsatz kommt, welcher die Ware dem Kunden in einem festgelegten Zeitfenster persönlich überreicht. Die Herausforderung besteht dabei darin, eine möglichst große Auswahl an Liefermöglichkeiten anzubieten, gleichzeitig aber die dadurch verlorene Flexibilität in der logistischen Planung so gering wie möglich zu halten. Das Angebot möglichst vieler, kurzer Lieferzeitfenster ermöglicht z.B. ein hohes Service Level, schränkt aber gleichzeitig auch die Flexibilität im Routing ein, was zu längeren und teureren Routen führt.

Die frühen Versuche des Home Delivery in der Lebensmittelbranche erfolgten überwiegend im Bereich des UATD, da die strukturellen Markteintrittsbarrieren in dieser Marktausprägung durch die Ausgliederung der Distribution wesentlich geringer sind. Um trotzdem verderbliche Waren zustellen zu können, sind dabei aber spezielle, kosten- und ressourcenintensive Verpackungsmethoden notwendig. Dies führt häufig zu hohen Lieferpreisen, wie ein Test des Magazins Computer Bild (vgl. Brins, 2013) zeigt. Das Magazin führte den Einkauf eines identischen Testwarenkorbs bei mehreren Händlern durch. Am schlechtesten schnitt hierbei Amazon ab, die in Deutschland ihre UATD Strategie des bisherigen, sehr erfolgreichen Onlinegeschäfts ohne Anpassungen auf die Lebensmittelsparte übertragen haben. Ausschlaggebend für das schlechte Testergebnis waren vor allem die überdurchschnittlichen Liefergebühren, sowie der nicht wählbare Lieferzeitraum (ebd.). Einen nachhaltigeren Erfolg ermöglicht dagegen das ATD, mit welchem vor allem Firmen in den USA (wie z.B. Peapod) und in den Niederlanden (wie z.B. Albert) schon große Erfolge verzeichnen können. Aber auch in Deutschland wird dieser zukunftsträchtige Markt zunehmend erschlossen. So bieten die Supermarktketten REWE und Tengelmann bereits in einigen Städten einen ATD Service an. Die Fälle einiger gescheiterter Unternehmungen, wie z.B. Webvan zeigen aber auch, dass ein Bestehen am Markt nur durch das Erreichen einer gesunden Gewinnmarge gesichert werden kann, was auf Grund der preissensiblen Kunden nur durch eine erhebliche Reduktion der Kosten realisierbar ist. Einen Beitrag dazu kann z.B. ein System leisten, welches durch eine Anreizsetzung wie z.B. einer Preisdifferenzierung die Kundenauswahl auf aus Anbietersicht kostengünstige Zeitfenster lenkt.

Der zweite Abschnitt bietet ein Überblick über die aktuellen wissenschaftlichen Entwicklungen im ATD. Daraus werden in Abschnitt 3 zwei ausgewählte mathematische Modelle vorgestellt und ein Vergleich zwischen den Modellen angestellt. In Abschnitt 4 wird eines davon als Anreizsystem implementiert und anschließend auf dessen Leistungsfähigkeit und Sensitivität gegenüber Veränderungen der Umwelt überprüft. Limitationen dieser Arbeit sowie weitere Forschungslücken werden in Abschnitt 5 diskutiert.

Ziel der Arbeit ist es, mögliche Anreizsysteme aufzuzeigen und deren Beitrag zum Erfolg eines ATD Services zu untersuchen.

2 Literaturüberblick

Nach Agatz et al. (2013) lässt sich der Forschungsbereich des ATD, angelehnt an die Bereiche des Revenue Managements (RM), in vier unterschiedliche Ansätze unterteilen. Als Unterscheidungskriterien werden zum einen die Modellarten mit den Ausprägungen dynamisch und statisch herangezogen, zum anderen wird eine Unterscheidung zwischen Pricing und Slotting, also der Allokation von Zeitfenstern, vorgenommen.

Statische Modelle im Bereich der Kapazitätssteuerung bezeichnet man als Differentiated Time Slotting. Ziel dieses Forschungsbereiches ist es, durch die spezielle Anpassung von Zeitfenstern an die Bedürfnisse unterschiedlicher Kundengruppen eine effizientere Routenplanung zu ermöglichen. Eine für diese Anwendung sinnvolle Segmentierung der Kundengruppen kann dabei nach geographischen Kriterien wie beispielsweise des PLZ-Gebiets erfolgen. Agatz et al. (2008a) teilen die Gestaltung von Lieferzeitfenstern in zwei Schritte auf. Im ersten Schritt geht es darum, die Serviceanforderungen und Lieferkosten eines Gebiets zu bestimmen. Im zweiten Schritt werden den Gebieten spezifisch gestaltete Zeitfenster zugewiesen, die möglichst alle Serviceanforderungen erfüllen. Bei diesem Vorgang spielen Überlegungen der Routenplanung eine große Rolle, da diese Zuweisung für den Grad der Effizienz der Routenbildung entscheidend ist. In der wissenschaftlichen Literatur werden in diesem Forschungsbereich häufig Untersuchungen zum Einfluss der Länge der Zeitfenster angestellt (vgl. Agatz et al., 2008a, S. 7). So vergleichen bspw. Punakivi und Saranen (2001) die Struktur der Lieferkosten mehrerer Händler und kommen zum Ergebnis, dass sich die Kosten des UATD Services auf nur ein Drittel der Kosten des ATD Services mit zweistündigen Lieferzeitfenstern belaufen. Dies zeigt den Effizienzgewinn der Routenplanung durch die Relaxierung von Beschränkungen auf Grund zugesicherter Zeitfenster (vgl. Agatz et al., 2008a, S. 7). Agatz et al. (2008b) thematisieren darüber hinaus das Problem der Zuweisung von Zeitfenstern zu Liefergebieten. Sie beschreiben, inwiefern Zeitfenster spezifisch gestaltet werden können, um die Serviceanforderungen eines Gebiets zu erfüllen.

Eine gewinnmaximierende Echtzeitsteuerung des Zeitfensterplans ermöglichen dynamische Modelle im Bereich der Kapazitätssteuerung. Diese werden allgemein als Dynamic Time Slotting bezeichnet. Der wichtigste Erfolgsfaktor ist hierbei eine realitätsnahe Abbildung des Kundenverhaltens. Die grundlegende Idee besteht darin, dem Kunden nur eine reduzierte, gewinnmaximierende Menge an Lieferzeitslots zur Auswahl anzubieten. Dabei ist die erfolgsentscheidende Frage, wie ein Kunde auf angebotene Alternativen reagiert, sofern dessen präferiertes Lieferzeitfenster nicht in dieser Menge enthalten ist (vgl. Agatz et al., 2008a, S. 9). In der wissenschaftlichen Literatur lässt sich als grundlegende Thematik in diesem Bereich vor allem die Entscheidung über die Annahme bzw. Ablehnung einer Lieferung in einem spezifischen Lieferzeitfenster feststellen. So entwickeln bspw. Bent und Hentenryck (2004) ein Modell, welches auf Basis von stochastischen Informationen über zukünftige Bestellungen eine Entscheidung über die Angebotsmenge an Zeitslots für eine betrachtete Bestellung treffen kann. Als Maximierungskriterium wird hierbei die Anzahl der angenommenen Bestellungen festgelegt. Campbell und Savelsbergh (2005) nehmen darüber hinaus die Möglichkeit auf, dass zur Gewinnmaximierung teure Lieferungen abgelehnt werden können, um Kapazitäten für günstigere Lieferungen freizuhalten, die in der Zukunft eintreffen könnten.

Differentiated Pricing Modelle verfolgen zur Gewinnmaximierung einen anderen Ansatz. So soll die Nachfrage durch spezifische Lieferpreise unterschiedlicher Zeitfenster geglättet werden. Dadurch werden ebenso kostspielige Überkapazitäten wie auch Nachfrageverluste durch Unterkapazitäten vermieden (vgl. Agatz et al., 2013, S. 134). Da die Einführung eines solchen Systems wenig komplex ist und die Preise ausschließlich nach statistischen Beobachtungen des Marktes fix festgelegt werden, wird in diesem Bereich im Zusammenhang mit ATD kaum Forschung betrieben.

Deutlich mehr Forschungsbeiträge lassen sich dagegen, wie auch diese Arbeit, dem Bereich des Dynamic Pricing zuordnen. Der Grundgedanke der gewinnmaximierenden Beeinflussung von Kundenentscheidungen durch Preisdifferenzierung wird hierbei um eine dynamische Komponente erweitert, die in Echtzeit über die Höhe des Anreizes entscheiden kann. Dadurch können die Preise bei spontanen Markt- und Nachfrageveränderungen automatisiert angepasst werden. So wird die Effektivität der Preisdifferenzierung erhöht und das Verlustrisiko durch unwirksame Anreize verringert. Hierzu sind zwei unterschiedliche Ansätze möglich. Zum einen kann die Nachfrage durch eine kapazitätsabhängige Preissteuerung unter Einbeziehung stochastischer Informationen über zukünftige Bestellungen, ebenso wie auch beim statischen Pricing, geglättet werden. Zum anderen ist auch eine Distanzminimierung der Lieferrouten durch eine geografische Bündelung der Bestellungen denkbar, welche durch gezielte Anreizsetzung auf Zeitfenster mit geringen Lieferkosten erreicht wird (vgl. Agatz et al., 2013, S. 136). Ersteren Ansatz verfolgen Asdemir et al. (2009), indem sie ein Modell vorstellen, welches spezifische Lieferpreise für unterschiedliche Zeitfenster und Kundengruppen dynamisch berechnet. Dieses Modell wird in Abschnitt 3.2 näher erläutert. Campbell und Savelsbergh (2006) verfolgen dagegen den zweitgenannten Ansatz. Die Autoren entwickeln ein Modell, welches für jede neue Bestellung auf Basis bereits angenommener Bestellungen die kostengünstigsten Zeitfenster ermittelt, um gewinnmaximierende Rabatte auf diese zu berechnen. Eine genauere Erläuterung dieses Modells erfolgt in Abschnitt 3.1. Yang et al. (2013) erweitern dieses Modell, indem sie stochastische Informationen über die Lieferkosten zukünftiger Bestellungen mit einbeziehen. Zusätzlich wird ein erweitertes Customer Choice Modell eingesetzt, welches das Kundenverhalten realistischer abbilden kann.

3 Mathematische Modellformulierung

In diesem Abschnitt werden zwei Modelle vorgestellt, die sich dem Forschungsbereich Dynamic Pricing zuordnen lassen. In den Abschnitten 3.1 und 3.2 erfolgt jeweils eine Einführung in die betrachteten Modelle, in Abschnitt 3.3 werden diese dann gegenübergestellt und auf Unterschiede und Gemeinsamkeiten untersucht.

3.1 Modellierung unter Verwendung dynamischer Rabatte

Dieser Abschnitt baut auf einem Modell von Campbell und Savelsbergh (2006) auf. Ziel des Modells ist es, Kunden durch einen finanziellen Anreiz in Form eines Rabatts auf bestimmte Lieferzeitfenster zu lenken. Dadurch sollen die Bestellungen geografisch gebündelt und somit die Lieferkosten gesenkt werden. Die Preise werden hierbei nicht, wie im Dynamic Pricing üblich, vollständig dynamisch bestimmt. Stattdessen bildet ein Fixpreis die Grundlage für den Lieferpreis eines Zeitfensters. Hinzu kommt die Möglichkeit, den Preis in einzelnen Zeitfenstern durch einen Rabatt zu verringern, welcher dynamisch berechnet wird. Dadurch können die Preise einfacher ermittelt werden, als wenn diese vollständig dynamisch bestimmt würden. Zudem stoßen Rabatte in Verbindung mit einem Fixpreis bei Kunden oft auf eine größere Akzeptanz, da die Preisermittlung transparenter dargestellt werden kann. Ein weiterer Vorteil von Rabatten besteht darin, dass die endgültige Preisgestaltung, wie z.B. das Anbieten einer kostenlosen Lieferung, der Marketingstrategie überlassen bleibt, da das Anreizsystem unabhängig davon agieren kann. Der Betrachtungsgegenstand einer Modellinstanz ist eine neu ankommende Bestellung bei beliebig vielen schon angenommenen und geplanten Bestellungen. Da Campbell und Savelsbergh (2006) zuerst ein nichtlineares Modell einführen und dieses in einem zweiten Schritt in die Form eines linearen Programms (LP) bringen, orientiert sich der Aufbau dieses Abschnittes an deren Vorgehen.

3.1.1 Einführung eines nichtlinearen Grundmodells

In Tabelle 1 werden die zur Modellformulierung benötigten Inputparameter, in der Reihenfolge des Auftretens im Formenkonstrukt, eingeführt. Der Index spezifiziert dabei die einzelnen Zeitfenster, bei Zeitfenstern läuft dieser also von bis^[1]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[2]

Tabelle 1: Bedeutung der Inputparameter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Bedeutung der Entscheidungsvariablen

Die Zielfunktion maximiert den erwarteten Gewinn des Lieferplans. Sie setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Summand quantifiziert hierbei den Gewinn aus Zeitfenstern mit Rabatten, Summand drückt den Gewinn aus allen Zeitfenstern ohne Rabatte aus. Um den erwarteten Gewinn eines Lieferzeitfensters zu erhalten, werden für alle Zeitfenster die Einfügekosten vom Umsatz der Bestellung abgezogen. Bei Zeitfenstern mit Rabatten wird zusätzlich noch die gewährte Vergünstigung abgezogen und das Ergebnis mit der modifizierten Auswahlwahrscheinlichkeit multipliziert (siehe Summand ). Um die Verschiebung der Wahrscheinlichkeiten auszugleichen, wird bei den Auswahlwahrscheinlichkeiten der Zeitfenster ohne Rabatte die Entscheidungsvariable abgezogen. Damit keine Auswahlwahrscheinlichkeit negativ wird, wird folgende Nebenbedingung festgelegt:

Somit kann maximal den Wert des geringsten aller Zeitfenster erreichen, bei denen kein Rabatt gewährt wird. Die Größe von ist darüber hinaus davon abhängig, wie stark der Kunde auf Rabatte reagiert, also dem Parameter . Diese Verbindung wird über die zweite Nebenbedingung hergestellt:

Durch eine kleine Umformung dieser Nebenbedingung erhält man die Gleichung Daran wird ersichtlich, dass an dieser Stelle sicher gestellt wird, dass im gleichen Maße steigt wie das Summenprodukt aus allen Rabatten und dem Preissensibilitätsfaktor, geteilt durch die Anzahl an Zeitfenstern, welche kein Rabatt erhalten ( ).

Abschließend wird noch eine Nebenbedingung benötigt, die sicherstellt, dass die Rabatte zum einen die gesetzte Grenze nicht überschreiten und zum anderen nicht negativ werden. Mathematisch lässt sich dieser Sachverhalt wie folgt formulieren:

3.1.2 Linearisierung des Grundmodells

Beim genaueren Betrachten des Summanden der Zielfunktion (1) fällt auf, dass dort die Entscheidungsvariable quadriert wird. Somit handelt es sich hierbei um ein nichtlineares Optimierungsmodell, welches für große Instanzen nur durch erheblichen Rechenaufwand zu lösen ist. Da aber für jede neu ankommende Bestellung eine neue Modellinstanz gelöst werden muss, ist ein nichtlineares Optimierungsmodell für die Anwendung in der Praxis kaum einsetzbar. Daher ist es sinnvoll, ein lineares Modell zu finden, welches bei wesentlich geringerem Rechenaufwand eine möglichst gute Approximation liefert. Die Linearisierung des Grundmodells erfolgt in Anlehnung an Campbell und Savelsbergh (2006). Dazu muss zuerst der nichtlineare Teil der Funktion durch Umformungen isoliert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Funktion (5) handelt es sich um eine ausmultiplizierte Form der Funktion (1). In dieser Form können konstante Summanden (grau hinterlegt) gut identifiziert werden. Diese können zur Vereinfachung vorerst weggelassen werden, da die Berechnung der Entscheidungsvariablen dadurch nicht beeinflusst wird. Somit erhalten wir folgende Funktion (6):

Damit ist der nichtlineare Term isoliert. Dieser quadratische Term wird nun für jedes durch eine abschnittsweise definierte lineare Funktion (7) ersetzt, welche über Intervalle abgebildet wird^[3]. Die unterste Intervallgrenze liegt bei , die oberste Intervallgrenze beträgt . Die Ermittlung von lässt sich der Gleichung (8) entnehmen.

Durch (8) wird sichergestellt, dass die Vergünstigung eines Zeitfensters maximal so groß wird, dass diese B nicht überschreitet und dass kein negativ wird. Durch die - Variablen können, wie in Abbildung 1 durch die roten Linien visualisiert, Linearkombinationen zwischen den Stützpunkten (rote Punkte) hergestellt werden. Grundsätzlich müssen an dieser Stelle zusätzlich für jeden Abschnitt Binärvariablen eingeführt werden, die in einer zusätzlichen Nebenbedingung sicherstellen, dass Linearkombinationen immer nur zwischen zwei benachbarten Stützpunkten hergestellt werden können. Da die zu approximierende Funktion konkav ist und eine Maximierung durchgeführt wird, kann in diesem Fall jedoch darauf verzichtet werden. In Abbildung 1 wird die quadratische Zielfunktion blau dargestellt, die lineare Approximation mit ist rot markiert.

Abbildung 1: Verlauf des Zielfunktionswerts bei einem Zeitfenster mit Rabatt^[4]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um (9) zu erhalten, wurde der nichtlineare Teil der Funktion (6) durch (7) ersetzt, außerdem wurden alle konstanten Terme der Zielfunktion wieder addiert, um die Vergleichbarkeit der Zielfunktionswerte zu gewährleisten. Die neu eingeführten Nebenbedingungen (10) und (11) sind der Linearisierung geschuldet. Die restlichen Nebenbedingungen lassen sich vom nichtlinearen Modell übernehmen.

Da festgelegt werden muss, über wie viele Abschnitte eine Approximation stattfindet, wurden in einem Experiment Approximationen unterschiedlicher Grade mit dem nichtlinearen Grundmodell verglichen. Aus diesem Experiment geht hervor, dass selbst bei einer kleinen Anzahl an Stützstellen verhältnismäßig geringe Abweichungen zustande kommen. Unter gewissen Bedingungen kann es sogar passieren, dass das Maximum der zu approximierenden Funktion ( ) mit einer kleinen Anzahl an eingesetzten linearen Funktionsabschnitten exakt getroffen wird, was dagegen mit einer Vervielfachung der Stützstellen nicht mehr gelingt. Der Grund hierfür liegt in der quadratischen Funktionsstruktur. Generell kann ein exakter Treffer nur mit einer ungeraden Anzahl an Stützstellen gelingen, wobei die genaue benötigte Anzahl von abhängig ist. Abbildung 2 zeigt, dass der ZF- Wert bei stark ansteigt und sich dann in einem periodischen Zyklus fortentwickelt, dessen Amplitude immer geringer wird. Außerdem kann man an dieser Abbildung erkennen, dass der Rechenaufwand, dargestellt durch die Anzahl der Variablen, mit der Steigerung der Stützstellen linear anwächst. Somit stellt die lineare Abbildung durch fünf Stützstellen eine sinnhafte Näherung dar, da bei einer Steigerung der Stützstellen ab diesem Zeitpunkt das Verhältnis nicht mehr rentabel ist.

3.2 Modellierung unter Verwendung dynamischer Preissetzung

Dieser Abschnitt bezieht sich auf das von Asdemir et al. (2009) vorgestellte Modell. Auf Grund der Komplexität des Modells wird an dieser Stelle nur die grundsätzliche Herangehensweise bei der Modellierung thematisiert, auf die komplette mathematische Formulierung wird bewusst verzichtet. Ziel ist es, in das Modell soweit einzuführen, damit ein Modellvergleich zum im vorigen Abschnitt vorgestellten Modell möglich wird.

Abbildung 2: Experiment zur Linearisierung^[5]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Campbell und Savelsbergh (2006) führen noch einen zusätzlichen Index ein, welcher den neu ankommenden Kunden bezeichnet. Da für jede neue Bestellung und somit für jeden Kunden aber sowieso eine neue Modellinstanz gebildet werden muss, wird an dieser Stelle zur Vereinfachung darauf verzichtet.

^[2] Die Einfügekosten werden in einem Preprocessing ermittelt, auf welches in Abschnitt 4.2 näher eingegangen wird.

^[3] Für die grundsätzliche Vorgehensweise für eine Approximation einer stetigen Funktion mit einer Variable durch eine abschnittsweise definierte lineare Funktion sei an dieser Stelle auf Nemhauser und Wolsey (1988) verwiesen.

^[4] Inputparameter:

^[5] Inputparameter: