Elfmeterschießen. Eine spieltheoretische Untersuchung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Formelverzeichnis

1. Bedeutung des Elfmeterschießens und die Anwendung in den wissenschaftlichen Forschungen

2. Entscheidungsvarianten im Elfmeterschießen
2.1 Simultane und nicht simultane Entscheidungen
2.2 Probability Matching
2.3 Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
2.3.1 Definition zum Nash-Gleichgewicht
2.3.2 Anwendung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien am Elfmeterschießen

3. Verhaltensweisen und Eigenschaften von Torhüter und Torschützen
3.1 Torhüterverhalten
3.1.1 Optimale gegen tatsächliche Entscheidung
3.1.2 Stellungspiel des Torhüter
3.2 Fähigkeiten und Eigenschaften der Torschützen
3.2.1 Rechtsfuß gegen Linksfuß
3.2.2 Spielerqualität und andere Einflussfaktoren

4.Strategieimplementierung und zukünftige Forschung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Tatsächliche Verteilung im Elfmeterschießen

Abbildung 2: Torhüterverhalten nach "probability matching“

Abbildung 3: Auszahlungsmatrix

Abbildung 4: Auszahlungsmatrix für das Elfmeterschießen

Abbildung 5 :Abgewehrte Bälle vom Torhüter

Abbildung 6: Vorausgesagte Verteilung durch MSNE

Abbildung 7: Abwehrchancen des Torhüters

Abbildung 8: Schussverteilung von Rechts- und Linksfüßern

Abbildung 9: Entscheidungsverteilung vom Torhüter

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Bedeutung des Elfmeterschießens und die Anwendung in den wissenschaftlichen Forschungen

Das Elfmeterschießen bot schon immer Brisanz, Spannung, Glück und Trauer zugleich. Neben dem Elfmeter im Spiel, verursacht durch bestimmte Vergehen, ist vor allem das Elfmeterschießen nach der Verlängerung von großer Bedeutung und entscheidet über Weiterkommen oder Ausscheiden im Turnier. Aufgrund steigender Gehälter und Sponsorenverträge sowie einem großen medialen Auflauf, wird der Druck auf beide Akteure im Elfmeterschießen immer größer. Torhüter und Torschützen haben somit einen großen Anreiz ihr bestes zu geben und den Ball ins Tor zu schießen, bzw. den Ball daran zu hindern.

Neben der offensichtlichen Bedeutung von Elfmetern, die über den Ausgang von Spielen und sogar Turnieren entscheiden können (zum Beispiel die Weltmeisterschaften 1990 und 2006),^[1] steht das Elfmeterschießen im Fokus wissenschaftlicher Forschung.^[2] Neben Studien über die biomechanischen,^[3] kognitiven und motivationalen,^[4] sowie situativen Einflussfaktoren,^[5] findet das Elfmeterschießen auch in vielen ökonomischen Arbeiten Anwendung. Zum einen dient die Elfmeterforschung zur Überprüfung grundwissenschaftlicher Theorien,^[6] angewandt unter realen Begebenheiten, zum anderen können Einflussfaktoren bestimmt werden, die die allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Elfmeterschießen verändern und somit von Bedeutung für Torhüter und Torschützen sein können.

Diese Arbeit beschäftigt sich im ersten Teil mit verschiedenen Annahmen, die das Entscheidungsverhalten im Elfmeterschießen erklären. Zusätzlich wird beschrieben, ob bestimmte Einflussfaktoren das Entscheidungsverhalten der Torhüter und Torschützen beeinflussen können. Geprüft werden soll, welche Annahme das Entscheidungsverhalten des Torhüters und Torschützen am genauesten erklärt. Neben dem Nash-Gleichgewicht, werden simultane und nicht simultane Annahmen geprüft sowie das „probability matching“. Darüber hinaus soll analysiert werden, ob der Torhüter seine Erfolgswahrscheinlichkeit steigern kann, wenn er Kenntnisse über verschiedene Eigenschaften und Fähigkeiten der Torschützen hat. Dabei wird vor allem auf den Schussfuß, sowie die Spielerqualität näher eingegangen. Schlussfolgernd daraus soll dargelegt werden, welches Verhalten für den Torhüter optimal ist. Diese Arbeit beweist, dass die Spieler allgemein rational nach dem spieltheoretischem Konzept handeln. Sie zeigt aber auch, warum sich Torhüter nicht optimal verhalten, um so ihre Erfolgswahrscheinlichkeit erhöhen.

2. Entscheidungsvarianten im Elfmeterschießen

Es gibt einige theoretische Ansätze, das grundsätzliche Entscheidungsverhalten der Elfmeterschützen sowie der Torhüter zu erklären. Welche Theorie dabei am akkuratesten ist, lässt sich aufzeigen, indem die vorausgesagte Verteilung der Annahme, mit der gemeinsamen tatsächlichen Verteilung im Elfmeterschießen (Abbildung 1) verglichen wird. Abbildung 1 repräsentiert ein 3×3 Spiel zwischen Torhüter und Elfmeterschützen aus 286 Elfmetern, welche aus verschiedenen Spielen sowie unterschiedlichen nationalen Ligen gesammelt wurden. Im Gegensatz zu anderen vorangegangen Studien, welche auf ein vereinfachtes 2×2 Spiel zurückgreifen,^[7] setzen Azar und Bar-Eli auf eine Analyse die neun mögliche Strategiekombinationen aufzeigt (3×3).^[8] Neben dem Unterschied der größeren Anzahl an Kombinationen (9 statt 4), verändern sich die Ergebnisse auch durch den Unterschied der Entscheidung des Torhüters stehenzubleiben (Mitte), oder sich für eine Ecke (links oder rechts) zu entscheiden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 : Tatsächliche Verteilung im Elfmeterschießen

Quelle: Azar und Bar-Eli 2011, S. 3595.

Im folgenden Teil werden nun verschiedene Annahmen zum Torhüter- und Torschützenverhalten erläutert und deren vorausgesagte Verteilung mit der Verteilung in Abbildung 1 verglichen. Für den weiteren Verlauf im Teil 2 der Arbeit werden die Entscheidungen vom Torhüter (j) und vom Torschützen (i) mit 1, 2 und 3 bezeichnet (1=links; 2=Mitte; 3=rechts), ausgehend von der Torhüterperspektive. Die Messung erfolgt durch den Betrag der Summen der tatsächlichen Erscheinung der besagten Kombination , minus der vorausgesagten Erscheinung einer Kombination ( ). Neben dem absoluten Unterschied (AD), erfolgt eine weitere Messung zum Quadratischen Unterschied ( )^[9]. Die Annahme, die den geringsten Wert für AD und SD aufweist, beschreibt das Torhüter- und Torschützenverhalten am exaktesten.

2.1 Simultane und nicht simultane Entscheidungen

Eine grundsätzliche Annahme, um das Elfmeterverhalten beider Akteure zu erklären, beschäftigt sich mit der simultanen und nicht simultanen Spielweise. Bei der simultanen Spielweise agieren beide Akteure zeitgleich, ohne auf eine eventuelle Aktion des anderen passend zu reagieren, um so ein eventuell besseres Resultat zu erzielen. Die nicht simultane Spielweise hingegen, kann im Elfmeterschießen zwei Ausprägungen haben.

Die erste Annahme einer nicht simultanen Spielweise beschäftigt sich mit der Reaktion des Torhüters auf die Richtung des Balles, nachdem dieser vom Torschützen geschossen wurde. In diesem Fall wählt der Torhüter immer die Richtung in die der Ball fliegt, um so seinen Nutzen zu maximieren. Voraussetzung hierfür ist, dass beide Akteure versuchen, das bestmögliche Resultat für sich zu erzielen (mehr dazu in Punkt 2.3). In Bezug auf die gemeinsame Verteilung in Abbildung 1, wählt der Torhüter 92-mal die Option 1, 82-mal die Option 2 sowie 112-mal die Option 3. Die gemessenen AD- und SD-Werte ergeben 326 sowie 15614.^[10] Dieser erste Richtwert dient dazu, die anderen Annahmen mit der ersten zu vergleichen. Da die Voraussagen im Vergleich zur tatsächlichen Verteilung sehr große Unterschiede aufweisen, ist zu vermuten, dass die anderen Annahmen ein genaueres Entscheidungsverhalten erklären können.

Die zweite Alternative einer nicht simultanen Spielweise befasst sich mit der umgekehrten Situation. Der Torschütze wartet auf eine Aktion des Torhüters und reagiert daraufhin mit einem Schuss in die gegenüberliegende Ecke. Bleibt der Torhüter stehen, ist der Schütze indifferent gegenüber Option 1 und 3. Resultierend aus Abbildung 1, wählt der Torschütze 141-mal die Option 3, 127-mal die Option 1 sowie 18-mal die Option 1 oder 3. Der AD-Wert ergibt in diesem Fall 390 und der SD-Wert 26332.^[11] Verglichen mit Alternative 1 ist die genaueste Annahme einer nicht simultanen Spielweise die, in dem der Torhüter auf die Ballrichtung reagiert.

Eine andere Vermutung zum Entscheidungsverhalten beim Elfmeterschießen ist die simultane Spielweise. In diesem Szenario reagieren weder Torhüter noch Torschütze auf die Aktion des anderen und wählen stattdessen zufällig ihre Optionen 1, 2 und 3 aus. Schlussfolgernd aus dieser Annahme wird in Bezug auf Abbildung 1, jede der neun Kombinationen gleich oft gewählt (zum Beispiel ; ). Die AD- und SD-Messungen ergeben 156,2 und 3585,6.^[12] Im Vergleich zu den nicht simultanen Spielweisen, erklärt die simultane zufällige Spielweise das tatsächliche Entscheidungsverhalten im Elfmeterschießen genauer. Bezogen auf die Praktikabilität der Annahmen scheint der theoretische Vergleich als sinnvoll. Torhüter warten in den meisten Fällen nicht mit ihrer Aktion bis der Ball geschossen wurde, da dieser im Durchschnitt nur 0,2-0,3 Sekunden vom Elfmeterpunkt bis ins Tor braucht. Allein die Durchschnittliche Reaktionszeit eines Menschen beträgt 0,2 Sekunden, sodass die Erfolgsaussichten den Ball abzuwehren sehr gering sind.^[13] Auch das Szenario des reagierenden Torschützen erscheint eher realitätsfern, da die Torhüter nicht in dem Maße früher ihre Entscheidung treffen. Somit kann der Torschütze seine Entscheidung auch nicht konkret danach ausrichten. Folglich beschreibt die simultane zufällige Auswahl das Verhalten noch am besten. Zu prüfen ist, ob es noch genauere Annahmen zum Entscheidungsverhalten gibt.

2.2 Probability Matching

Eine weitere Annahme zum Elfmeterverhalten stellt das sogenannte „probability matching“ (PM) dar. Das PM ist ein experimentelles Phänomen, welches Beweise für adaptives Lernen aufweist. Dieses dynamisch basierte Modell erscheint auch in der ökonomischen Gleichgewichtstheorie.^[14] Vereinfachend zusammengefasst befasst sich PM mit dem individuellen Lernprozess von Personen in einer bestimmten Umwelt. Es beweist, dass Menschen, die eine verschiedene Anzahl von Möglichkeiten haben, jede einzelne Möglichkeit mit der Wahrscheinlichkeit auswählen, die der bestmöglichen Antwort gleicht. Am Beispiel eines Würfelspieles, lässt sich diese Erscheinung genauer darstellen. Ein Würfel hat vier grüne Seiten und zwei rote Seiten. Es wird 6-mal gewürfelt. Bei jeder richtigen Antwort bekommt der Spieler einen Euro. Bezogen auf eine nutzenmaximierende Strategie muss der Spieler 6-mal die Farbe grün wählen, da die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 66,66% und somit höher als bei rot liegt. Viele Personen wählen jedoch 4-mal grün und 2-mal rot.^[15] Dieses PM Verhalten wird öfter beobachtet als die nutzenmaximierende Strategie, obwohl dies nicht ohne weiteres mit bekannten psychologischen Modellen, hinsichtlich des Entscheidungsverhaltens, einhergeht.^[16]

Dieses Phänomen kann auch auf das Elfmeterschießen übertragen werden. Bezogen auf Abbildung 1 müsste der Torhüter um seinen Nutzen zu maximieren immer nach rechts springen, da der Torschütze mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,2% die Option 3 wählt. Diese ist somit höher als die Option 1 und 2 (warum er dieses Verhalten nicht wählt wird im Punkt 2.3 genauer erläutert). Nach PM variiert seine Entscheidung, bezogen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung. PM lässt sich auf den Torhüter, den Torschützen sowie auf beide Akteure gleichzeitig anwenden. Da sich diese Arbeit hauptsächlich mit dem Torhüterverhalten beschäftig, wird dieses Verhalten nun genauer erläutert. Der Torhüter wählt bei dieser Annahme die Option 1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit mit der auch der Torschütze die Option 1 wählt. Dasselbe gilt für die Optionen 2 und 3. Da der Torschütze mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 32.2% Option 1 wählt (Abbildung 1), wählt der Torhüter bei den gesamten 92 Schüssen rund 29.59-mal die richtige Option 1 (92×32.2%). Die vorausgesagte Verteilung für die Annahme, dass der Torhüter sich nach PM verhält, ist in Abbildung 2 dargelegt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 : Torhüterverhalten nach "probability matching“

Quelle: Azar und Bar-Eli 2011, S. 3598.

Die Messungen der totalen Differenz (AD) und der quadratischen Differenz (SD) ergeben die Werte 130,2 und 2597,4. Die Werte für die PM-Annahme beim Torschützen lauten 164,0 und 4361,7. Bei gleichzeitiger PM-Entscheidung ergeben die Messungen 185,0 und 5856,6.^[17] Das PM-Verhalten des Torhüters erklärt die Entscheidungen im Elfmeterschießen somit genauer als die bisherigen nicht simultanen Annahmen und die zufällig simultane Annahme. Darüber hinaus bietet es auch einen akkurateren Blick auf die tatsächliche Verteilung, als die beiden anderen Annahmen bezüglich des „probability matching“. Das die Annahme des PM die Torhüter- und Torschützenentscheidungen genauer erklärt als die nutzenmaximierende Strategie liegt auf der Hand. Kaum ein Torhüter entscheidet sich immer für die gleiche Ecke oder im Nutzenmaximum für die Mitte, obwohl diese Entscheidung, rein statistisch gesehen, die beste Erfolgschance bietet (3.1.1 beschreibt die Gründe dafür). Dasselbe gilt auch in den meisten Fällen für den Torschützen, wobei im Punkt 3.2 Ausnahmen und Besonderheiten dazu mehr erläutert werden. Ob die tatsächliche Elfmeterentscheidung noch genauer erklärt werden kann als mit dem „probability matching“, wird im nächsten Punkt dargestellt.

2.3 Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Bevor das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (MSNE) im Punkt 2.3.2 im Elfmeterschießen angewendet wird, muss definiert werden, was ein Nash-Gleichgewicht ist.

2.3.1 Definition zum Nash-Gleichgewicht

Das Nash-Gleichgewicht ist eine Strategie der Spieltheorie. Die Spieltheorie beschäftigt sich mit Ursachen und Interpretationen strategischer Beziehungen. Ein Nash-Gleichgewicht liegt immer dann vor, wenn jeder Akteur eine optimale Antwort auf die Strategie des anderen wählt und keinen Anreiz hat davon abzuweichen. Solch ein Spiel wird mit Hilfe einer Auszahlungsmatrix, wie in Abbildung 3, dargestellt.^[18]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 : Auszahlungsmatrix

In Anlehnung an: Varian (2011), S. 581.

Wählt Spieler A oben, wählt daraufhin Spieler B links, da dies einen größeren Nutzen (1) als rechts (0) hat. Das gleiche gilt, wenn Spieler B rechts wählt, worauf Spieler A mit unten antworten wird. Abbildung 3 zeigt ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, welches in diesem Fall zwei Gleichgewichte (oben links und unten rechts) aufweist. Ein Problem des Konzeptes liegt darin, dass es Spiele gibt, die kein Nash-Gleichgewicht dieser Art aufweisen können^[19]. In diesem Fall kommt es zu einem Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (MSNE).

Im Gegensatz zur reinen Strategie, wo jeder Akteur bei seiner Entscheidung bleibt, bietet das MSNE eine variable zufällige Auslegung der Strategie. Jeder Alternative wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet und jene wird mit dieser Wahrscheinlichkeit in die Strategie implementiert und ausgespielt. Der Vorteil ist, dass es immer ein Gleichgewicht in gemischten Strategien gibt, während das in der reinen Strategie nicht immer der Fall ist.^[20] Durch diese Eigenschaft, sowie einer gewissen Plausibilität, ist das MSNE ein beliebtes Gleichgewichtskonzept, welches sowohl in der Theorie, als auch in der angewandten Ökonomie, im Management und anderen Fachrichtungen, wie auch im Fußball angewendet wird.^[21] Auf ein Beispiel zum MSNE wird verzichtet, da die gemischte Strategie im nächsten Punkt anhand des Elfmeterschießens detailliert dargestellt wird.

2.3.2 Anwendung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien am Elfmeterschießen

Das ein MSNE gespielt wird, findet oft nur beweis in Labor Experimenten mit kontrollierten Störgrößen.^[22] Um ein MSNE in einer realen Umgebung feststellen zu können, benötigt es ein Modell, welches die reale Situation abstrakt darstellen kann. Solch ein Vorgehen findet auf die meisten realen Situationen nur sehr schwer bis gar keine Anwendung, da diese zu komplex sind und eine Vielzahl von Variablen aufweisen. Daher ist der Unterschied zwischen der vorhergesagten Verteilung und der tatsächlichen Verteilung zu groß. Die Spielsituation des Elfmeterschießens eignet sich hingegen besonders für eine spieltheoretische Analyse. Dieses Szenario lässt sich Abstrakt darstellen, da es nur 2 agierende Akteure gibt und die gegebene Situation in allen Fällen die gleiche ist. Es gibt den Torschützen und den Torhüter sowie den Elfmeterpunkt mit einem Abstand von 11 Metern. Die Absichten der Akteure sind es, den Ball ins Tor zu schießen (Torschütze) oder den Ball abzuwehren (Torhüter). Da ein Elfmetertor wie jedes andere Tor zählt und in einem Spiel durchschnittlich nur rund 2,5 Tore fallen, haben beide Akteure die Intention ihren bestmöglichen Nutzen zu erreichen.^[23] Desweitern geht es im professionellen Fußball um sehr viel Geld, Verträge und Prestige; Dinge, die unterstützend zur nutzenmaximierenden Intention wirken.

Es ist zu prüfen, ob das Verhalten im Elfmeterschießen, durch das MSNE besser erklärt werden kann, als durch die vorherigen beschrieben Annahmen. Das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien wird nicht untersucht, weil sich keiner der beiden Akteure für eine der drei Optionen stetig festlegt, auf die der andere Akteur sich einstellen und einen Vorteil daraus ziehen kann. Um die vorhergesagte Verteilung zu bestimmen, wird eine Auszahlungsmatrix (Abbildung 4) benötigt. Die Auszahlung für den Torschützen ist einfach erklärt. Trifft dieser, erhält er einen Nutzen von 1, trifft er nicht, beläuft sich sein Nutzen auf 0. Beim Torhüter muss berücksichtig werden, dass er selbst bei richtiger Wahl der Optionen 1-3 den Ball nicht immer hält. Abbildung 5 in Verbindung mit Abbildung 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Torhüter den Ball abwehren kann, wenn er die richtige Option wählt (für A11=16/54). Dieser Betrag wird dem Torschützen in seiner Auszahlung abgezogen (Abbildung 4 für links, links =1-(16/54)). Da es sich um ein Nullsummenspiel handelt, entweder gewinnt der Torhüter oder der Torschütze, muss die Summe der Auszahlung für eine Kombination immer Null ergeben. Die beiden Akteure haben somit gegenläufige Interessen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4 : Auszahlungsmatrix für das Elfmeterschießen

Quelle: Azar und Bar-Eli 2011, S. 3595

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5 :Abgewehrte Bälle vom Torhüter

Quelle: Azar und Bar-Eli 2011, S. 3595

Wenn es sich um eine Spielsituation im MSNE handeln soll, muss die Bedingung gelten, dass Torhüter sowie Torschütze indifferent zwischen allen positiv möglichen Wahrscheinlichkeiten sind. Für den Torschützen gilt dies, wenn:

Wobei p die Wahrscheinlichkeit repräsentiert, dass Torhüter die Option 1 wählt und q für die Wahrscheinlichkeit der Option 2 steht. Für den Torhüter muss gelten:

Wobei die Wahrscheinlichkeit repräsentiert, dass Torschütze die Option 1 wählt und für die Wahrscheinlichkeit der Option 2 steht.

Löst man die Gleichungen auf, ergibt sich: p=0,411; q=0,110 sowie =0,344; =0,203. Um die vorausgesagte Verteilung nach MSNE in Abbildung 6 zu erhalten, muss jede der 4 Variablen miteinander multipliziert werden und das erhaltene Produkt wiederum multipliziert werden mit der Nummer der beobachteten Elfmeter (i) (Beispiel für links; links = ). Da es sich um gerundete Ergebnisse handelt, weichen die Ergebnisse zur Abbildung 6 minimal ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6 : Vorausgesagte Verteilung durch MSNE

Quelle: Azar und Bar-Eli 2011, S. 3596

Nach Messungen mit den AD- und SD-Kriterien erhält man die Werte 75,2 und 817,0.^[24] Im Vergleich zu den anderen Annahmen, erklärt das MSNE somit das Elfmeterschießen am genauesten.

Schlussfolgernd lässt sich erkennen, dass sich die Akteure im Elfmeterschießen eher simultan entscheiden und nicht auf eine Aktion des anderen Spielers warten. Desweitern erklärt die simultane Entscheidung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien das Entscheidungsverhalten genauer als die simultanen Entscheidungen des „probability matching“, sowie der zufälligen Entscheidungsauswahl. Bezogen auf das Torhüterverhalten lässt sich schlussfolgern, dass dieses auch am besten durch das MSNE erklärt werden kann. Eine Erhöhung seiner Erfolgschancen kann jedoch nicht abgeleitet werden. Im Punkt 3 wird nun auf spezifische Eigenschaften und Verhaltensweisen der Torhüter sowie der Torschützen eingegangen und es wird analysiert, auf welche Faktoren der Torhüter sich fokussieren muss, um seine Erfolgsquote zu erhöhen.

3. Verhaltensweisen und Eigenschaften von Torhüter und Torschützen

Nach bisheriger Analyse gelingt es dem Torhüter nur zu rund 15% (vgl. Abbildung 1 mit Abbildung 5 = 42/286; nicht inbegriffen sind die rund 8% der Elfmeter die das Tor verfehlen, oder Pfosten oder Latte getroffen haben) den Ball abzuwehren.^[25] Zu prüfen ist, ob er seine Erfolgswahrscheinlichkeit durch eigene Fähigkeiten und Verhaltensweisen sowie Beobachtung und Reaktion der Fähigkeiten und Eigenschaften des Torschützen, beeinflussen und erhöhen kann. Hierbei konzentriert sich Punkt 3 auf das Torhüterverhalten. Im darauffolgenden Punkt werden die Eigenschaften des Torschützen näher beschrieben, die Einfluss auf das Entscheidungsverhalten im Elfmeterschießen nehmen können. Aufbauend darauf können wir die gewonnen Informationen in eine Torhüterstrategie implementieren um so seine Erfolgschancen zu erhöhen.

[...]

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^[1] Vgl. FIFA (2014), fifa.com.

^[2] Vgl. Palacios-Huerta (2003), S. 397 f.

^[3] Vgl. Lees et al. (2010), S. 809.

^[4] Vgl. Memmet et al. (2013), S. 213 ff.

^[5] Vgl. Froese (2012), S. 1.

^[6] Vgl. Nash (1950), S. 50 f.

^[7] Vgl. Palacios-Huerta (2003), S. 398.

^[8] Vgl. Azar/Bar-Eli (2011), S. 3595.

^[9] Vgl. ebd. , S. 3596.

^[10] Vgl. Azar/Bar-Eli (2011), S. 3597.

^[11] Vgl. ebd. , S. 3597.

^[12] Vgl. ebd. , S. 3598.

^[13] Vgl. Springer Gabler Vertrag (2014).

^[14] Vgl. Vulkan (2000), S. 107 ff.

^[15] Vgl. Koehler/James (2009), S. 124 f.

^[16] Vgl. Kahneman/Tversky (1979), 263 f.

^[17] Vgl. Azar/Bar-Eli (2011), S. 3598 f.

^[18] Vgl. Varian (2011), S. 580 f.

^[19] Vgl. ebd. (2011), S. 583 ff.

^[20] Vgl. Nash (1950), S. 50 ff.

^[21] Vgl. Prokopovycha/Yannelis (2014), S. 90 f.

^[22] Vgl. McCabe et al. (2000).

^[23] Vgl. Buzzacchi/Pedrini (2014), S. 1074.

^[24] Vgl. Azar/Bar-Eli (2011), S. 3597.

^[25] Vgl. Bar-Eli et al. (2007), S. 9.