Mit Elementen des dialogischen Lernens nach Gallin und Ruf zum Laplace-Modell

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mathematik und Sprache
2.1 Der didaktische Ort der Sprache im Mathematikunterricht
2.2 Die Verbalisierungskompetenz im Mathematikunterricht
2.2.1 Definition und Abgrenzung
2.2.2 Förderung
2.3 Das Konzept des dialogischen Lernens in Grundzügen
2.3.1 Die Kernidee
2.3.2 Der Auftrag
2.3.3 Das Lerntagebuch
2.3.4 Rückmeldung und Beurteilung durch die Lehrperson
2.4 Folgerungen für das Unterrichtsvorhaben

3 Planung der Unterrichtsreihe
3.1 Die Lerngruppe
3.1.1 Allgemeine Voraussetzungen
3.1.2 Spezielle Voraussetzungen
3.2 Sachstrukturanalyse
3.2.1 Das Laplace-Modell im Unterricht
3.3 Angestrebter Kompetenzzuwachs
3.3.1 Fachkompetenz
3.3.2 Aspekte der Verbalisierungskompetenz
3.3.3 Erfassung von Aspekten der Verbalisierungskompetenz
3.4 Aufbau der Unterrichtsreihe
3.4.1 Erläuterung der Planung
3.4.2 Die Kernidee
3.4.3 Der erste Auftrag
3.4.4 Der zweite Auftrag
3.4.5 Erarbeitung von Summenregel und Laplace-Modell
3.4.6 Die Nutzung des Laplace-Modells

4 Durchführung und Analyse ausgewählter Unterrichtsabschnitte
4.1 Der erste Auftrag
4.1.1 Analyse und Reflexion inhaltlicher Aspekte der Bearbeitung
4.1.2 Analyse und Reflexion weiterer Aspekte der Bearbeitung
4.1.3 Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses (3. Stunde)
4.1.4 Die Formulierung der Summenregel (6. Stunde)
4.2 Der zweite Auftrag
4.2.1 Analyse und Reflexion inhaltlicher Aspekte der Bearbeitung
4.2.2 Analyse und Reflexion weiterer Aspekte der Bearbeitung
4.2.3 Die Erarbeitung des Laplace-Modells (8. Stunde)

5 Auswertung
5.1 Kompetenzorientierte Auswertung
5.2 Erwartungshorizont und Auswertung der Klassenarbeit
5.3 Auswertung des Fragebogens

6 Gesamtreflexion

7 Literaturverzeichnis

8 Anhang

9 Planungsübersicht

1 Einleitung

„Je mehr wir sprechen können, desto mehr sehen wir, und je mehr wir sehen können, desto mehr verstehen wir.“ (Hußmann 2003, S. 61 – Saint-Exupéry 2001)

Ein Test zu den Kongruenzsätzen, den ich im vergangenen September in einer 8. Klasse schrieb, war der Auslöser folgender Überlegungen: Wie kann es sein, dass fast alle SchülerInnen der Klasse ein über die 3 Seitenlängen definiertes Dreieck einwandfrei konstruierten, während nur etwa die Hälfte aller SchülerInnen die Aussage des Kongruenzsatzes „Seite-Seite-Seite“, der dieser Konstruktion zugrunde liegt, erklären konnte? Anscheinend war einigen SchülerInnen die wesentliche Aussage des Kongruenzsatzes – nämlich die Eindeutigkeit der Konstruktion unter der Voraussetzung bestimmter Angaben – schlicht entgangen. Eine weitere Ursache für diesen Missstand sehe ich in einem Mangel an Ausdrucksvermögen.

Ein geeignetes Mittel, um einerseits dem gedankenlosen Hantieren mit Formeln und Verfahren zu begegnen und andererseits die Sprachkompetenz der SchülerInnen zu fördern, ist das Schreiben von Lerntagebüchern.

Die Schweizer Gymnasiallehrer Peter Gallin (Mathematik) und Urs Ruf (Deutsch) haben auf dem Gebiet der Lerntagebücher „Pionierarbeit“ geleistet (Hußmann 2003, S. 79). Gallin und Ruf entwickelten ihr Konzept des dialogischen Lernens für den Mathematik- und Deutschunterricht mit dem Ziel, den als defizitär empfundenen schulischen Rahmenbedingungen eine praxisorientierte Alternative entgegenzusetzen (Gallin/Ruf I, S. 7ff.).¹ Das dialogische Lernen ist, wie die beiden Schweizer Didaktiker wiederholt betonen, keine Methode unter vielen, die man nach Bedarf und Zielvorstellung auswählt, sondern eine Grundhaltung, die den ganzen Unterricht prägt. Ein zentrales Merkmal dieser Grundhaltung ist das Verhältnis der Lehrperson zu den SchülerInnen: Es ist nicht das eines Belehrenden gegenüber Weniger-Wissenden, sondern das eines interessierten Zuhörers, der jeden Einzelnen ermuntert zu erzählen,² „wie er es macht“, und Hilfe zur Selbsthilfe leistet, statt die standardisierte Lösung vorzugeben. Die Bereitschaft der SchülerInnen, ihre Überlegungen offenzulegen, setzt Vertrauen in ein wohlwollendes und fachkundiges Gegenüber voraus. Aus diesem Lehrer-Schüler-Verhältnis ergeben sich Konsequenzen für alle Bereiche des Unterrichts, die sich auch in den 4 Instrumenten des dialogischen Lernens widerspiegeln: 1. Orientierung des Unterrichts an Kernideen, 2. Stellen von Aufträgen, die zum Forschen anregen, 3. Führen eines Lerntagebuchs,³ in dem die SchülerInnen Spuren ihres Lernprozesses hinterlassen und 4. Nutzbarmachen der individuellen Entdeckungen für den Fortgang des Unterrichts (Rückmeldung).

In der vorliegenden Arbeit geht es um die Umsetzung des dialogischen Lernens in der Klasse 8b des Carl-Friedrich-von-Siemens-Gymnasiums. Das dafür zugrunde liegende Stoffgebiet ist das Laplace-Modell und – auf dem Weg zu dessen Erarbeitung – die Summenregel. Die zentrale Fragestellung dabei ist: „Inwieweit sind die zentralen Elemente des dialogischen Lernens zur Förderung der Verbalisierungskompetenz geeignet?“⁴ Vor diesem Hintergrund ergeben sich folgende Leitfragen: 1. Inwieweit sind die SchülerInnen der Klasse 8b dazu zu bewegen, sich schriftlich mit mathematischen Fragestellungen auseinanderzusetzen? 2. Welche Aspekte des dialogischen Lernens fördern dabei die intrinsische bzw. extrinsische Motivation? 3. Spricht das Konzept des dialogischen Lernens gleichermaßen leistungsschwache wie leistungsstarke SchülerInnen an?

2 Mathematik und Sprache

2.1 Der didaktische Ort der Sprache im Mathematikunterricht

Die falsche Dichotomie zwischen Sprache und Mathematik, die sich bis in die Wissenschaft hineinziehe, sei aus vielfältigen Gründen unhaltbar, so Leuders in der Einleitung zum Kapitel Mathematik kommunizieren seines Standardwerks „Mathematikdidaktik“. Denn: Sprachliche Aushandlungsprozesse bedingen erst das Entstehen von Mathematik – Mathematik ohne Sprache sei „sinnentleerte Mathematik“ (vgl. Leuders, S. 59). Nicht nur beim sinnvollen Lernen von Mathematik, sondern als grundlegende Fähigkeit zur Erschließung der Welt rückt die Sprachkompetenz des Menschen in eine Schlüsselposition und gehört zu den fachübergreifenden Zielen des Mathematikunterrichts (vgl. Zech 2002, S. 55).

Bruner konstatiert drei Darstellungsebenen (Repräsentationsmodi), auf denen sich dem Menschen die Umwelt erschließt: die enaktive, die ikonische und die symbolische Darstellung, wobei sich letztere aufgliedert in die verbale Darstellung und die Darstellung mittels des mathematischen Zeichensystems.⁵ Während nach Bruner zu Beginn des Lernprozesses die enaktive Darstellung dominieren soll, ergeben sich in den folgenden Stadien des Lernens Akzentverschiebungen über die ikonische zur symbolischen Darstellung. Die sprachliche Darstellung ist dabei zugleich Endstufe und Ziel in einem nach Abstraktionsstufen gegliederten Lernprozess (vgl. Zech 2002, S. 104ff.).

In Bezug auf Bruners Theorie der Darstellungsebenen wurde jedoch festgestellt, dass SchülerInnen vielfach den als Grundlage des Wissensaufbaus geltenden Zusammenhang zwischen den Stufen des Abstraktionsprozesses nicht erkennen, sondern die Arbeit auf den verschiedenen Stufen als getrennte, voneinander isoliert bleibende Wissensinhalte wahrnehmen (vgl. Maier/Schweiger, S. 87). Dieses Untersuchungsergebnis nehmen Maier/Schweiger zum Anlass, eine „Neubestimmung des didaktischen Ortes der Sprache“ zu unternehmen:

„Die sprachliche Darstellung in ihrer verbalen wie schriftlichen Form darf nicht als isolierte Stufe gesehen und behandelt werden, sondern muss sich von Beginn des Lernprozesses an mit den Darstellungen in konkreten und zeichnerischen Modellen verbinden.“ (ebd.)

Auch nach Bruner kommt der „wechselseitigen Beziehung und damit letztlich der wechselseitigen Stützung der Darstellungsweisen“ entscheidende Bedeutung zu, wobei er der Sprache eine Leitfunktion innerhalb der intellektuellen Entwicklung für Handlung, Wahrnehmung und Denken zuweist: „Die Denkentwicklung ist nach Bruner als eine immer bessere Koordination zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiligung der Sprache) zu verstehen“ (vgl. Zech 2002, S. 105). Die sprachliche Darstellung mathematischer Sachverhalte ist also nicht nur die Endstufe im Lern- und Abstraktionsprozess, sondern sie wird zum Medium des Lernens.

Auch Ausubel u.a. (1980) weisen der Sprache im Mathematikunterricht eine tragende Rolle zu: Nicht nur aufgrund ihrer kommunikativen Funktion, sondern insbesondere aufgrund ihrer integrierenden, das Denken fördernde aktiven Funktion erleichtere Sprache das „sinnvolle Lernen“ ganz erheblich. Dabei betonen Ausubel u.a. die Vorrangstellung der Umgangssprache bei der Formulierung von Vorerfahrungen und Lernergebnissen gegenüber der Fachsprache, weil jene besser in der kognitiven Struktur der SchülerInnen verankert ist (vgl. Zech 2002, S. 128ff.).⁶

2.2 Die Verbalisierungskompetenz im Mathematikunterricht

2.2.1 Definition und Abgrenzung

Maier/Schweiger konstatieren, dass SchülerInnen über die Anforderungen an die mündliche Sprachproduktion im Rahmen eines gemeinsam erarbeitenden Unterrichts hinaus auch „ausführlich über die in einer häuslichen oder schulischen Alleinarbeit oder in unterrichtlicher Partner- und Gruppenarbeit unternommenen Aktivitäten, über dabei gewonnene Erkenntnisse, angewendeten Lösungsverfahren oder gefundenen Lösungen“ in schriftlicher Form berichten können müssen. Und weiter: „Ihr ‚schriftlicher Ausdruck’ im Fach Mathematik darf nicht auf das Niederschreiben normierter Verfahrensprotokolle beschränkt bleiben“, sondern er müsse eigenständig formulierte Texte einschließen (vgl. Maier/Schweiger, S. 166). Die SchülerInnen sollen nicht nur fachsprachliche Termini in mathematikhaltigen Texten verstehen, sondern sich auch ihrem Alter und ihrem kognitiven Entwicklungsstand angemessen in eigenen Sprachprodukten des fachsprachlichen Registers bedienen können (vgl. ebd., S. 168).⁷

Durch die in den Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik verankerte Kompetenzorientierung (vgl. KMK, S. 6ff.) wird der Bedeutung der Sprachkompetenz als fachlich verankertes und fachübergreifendes Bildungsziel Rechnung getragen. Die in der Unterrichtsreihe zu fördernde Verbalisierungskompetenz kann in Anlehnung an Maier/Schweiger demnach als Teilkompetenz der prozessbezogenen Kompetenz des mathematischen Kommunizierens aufgefasst werden. Diese wird im RLP folgendermaßen umschrieben:

„Die Kommunikation über mathematische Zusammenhänge bzw. mit mathematischen Mitteln umfasst zunächst das verständige Lesen mathematischer Texte sowie das verstehende Zuhören. Auf der Seite des Sprechers gilt es, mathematische Zusammenhänge sowohl in natürlicher Sprache als auch unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache adressatengerecht zu verbalisieren. Ebenso gehört zum mathematischen Kommunizieren das Dokumentieren und Präsentieren von Überlegungen und Lösungswegen unter Nutzung geeigneter Medien. Die Sprache ist das zentrale Verständigungsmittel beim kooperativen Arbeiten an mathematischen Problemen und bei der Aushandlung mathematischer Begriffe.“ (RLP, S. 11)

In Anlehnung an die (mathematische) Kommunikationskompetenz wird die Verbalisierungskompetenz im Rahmen dieser Arbeit definiert als Fähigkeit, Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse – in natürlicher Sprache und auch fachsprachenadäquat – zu dokumentieren und verständlich darzustellen.

Wie aus dieser Definition hervorgeht, beziehe ich mich auf die „aktive Komponente“ (vgl. Blum u.a., S. 20) der Kompetenz des mathematischen Kommunizierens, wobei der Schwerpunkt auf der schriftlichen Verbalisierungskompetenz liegt (zur Begründung vgl. Kapitel 2.2.2). Gegenüber der Kompetenz des mathematischen Kommunizierens umfasst die Verbalisierungskompetenz also ausschließlich die Produktion (mit eigenen Worten, fachsprachenadäquat) verständlicher mathematikhaltiger Texte, wohingegen Rezeption und (mündliche) Präsentation in den Hintergrund treten. Dass die Förderung der Verbalisierungskompetenz auch positive Auswirkungen auf die Fähigkeit zur Rezeption mathematikhaltiger Texte und Äußerungen bzw. die Präsentation von Überlegungen und Lösungswegen hat (und umgekehrt), versteht sich von selbst.⁸

Hinsichtlich des Anforderungsniveaus werden folgende Dimensionen (D) unterschieden:

- Umfang der selbstständigen Dokumentation (D1)
- Verständlichkeit der Darstellung (D2)
- Umfang der Verwendung von Fachbegriffen (D3)

Leiß/Blum folgend unterscheide ich 3 Anforderungsbereiche (AB):

AB I: Die SchülerInnen können einfache mathematische Sachverhalte darlegen.
AB II: Die SchülerInnen können Lösungswege, Überlegungen und Ergebnisse verständlich und i.d.R. in mehreren Schritten darlegen.
AB III: Die SchülerInnen können eine kohärente und vollständige Darstellung eines komplexen Lösungs- und Argumentationsprozesses entwickeln.

2.2.2 Förderung

Die so definierte Verbalisierungskompetenz kann zugleich gefördert und diagnostiziert werden, indem die SchülerInnen zur Sprachproduktion angeregt werden.⁹

Von SchülerInnen verfasste, mathematikhaltige Texte nennen Maier/Schweiger „textliche Eigenproduktionen“. Diese sind dadurch charakterisiert, dass sie über das Notieren von Lösungsschritten und Ergebnissen mathematischer Aufgaben hinausgehen, indem die SchülerInnen „etwa unter Einbeziehung alltagssprachlicher Formulierungen die Problemstellung bzw. das Lösungsziel, die Lösungsschritte – evtl. auch der erfolgreichen Bearbeitung vorausgegangene Umwege und Irrwege – sowie das Ergebnis ausführlich beschreiben sowie Lösungsschritte erläutern und begründen“. Die „persönlichen Beziehungen“ der SchülerInnen zum mathematischen Inhalt und der Umgang mit ihnen können ebenfalls angesprochen werden (vgl. Maier/Schweiger, S. 183ff.).¹⁰

Gegenüber dem Sprechen bietet das selbstständige schriftliche Formulieren den Vorteil, dass es den Prozess der sprachlichen Äußerung verlangsamt und somit dem Lernenden Zeit lässt, „seine Beobachtungen zu strukturieren, seine Gedanken zu sammeln und zu ordnen sowie sorgfältig und überlegt darzustellen“: Sprachmittel können bewusst ausgewählt werden und auch der Gebrauch von fachsprachlichen Termini, die noch nicht in den aktiven Wortschatz des Lernenden übergegangen sind, kann erprobt werden. Mehr noch als die mündliche Sprachproduktion gibt die textliche Eigenproduktion dem Lernenden die Gelegenheit, „sein Wissen, sein Verstehen und seine Argumente der Bewährung auszusetzen, um sie gegebenenfalls zu überprüfen und zu modifizieren“. Mathematische Sachverhalte müssen in besonderer Weise analysiert und verstehend durchdrungen werden, wenn sie schriftlich dargestellt werden (vgl. ebd., S. 187).

Auch Gallin und Ruf messen in ihren Ausführungen zum dialogischen Unterrichtskonzept der Schriftlichkeit eine besondere Bedeutung bei:

„Der Gebrauch der schriftlichen Sprache hat im Projekt eine zentrale Rolle gespielt. Beim Schreiben verlangsamen und klären sich Gefühle und Gedanken, nehmen Gestalt an und fordern zur Stellungnahme heraus. Wer schreibt, übernimmt in besonderer Weise Verantwortung für seine Position und öffnet sich der Kritik.“ (Gallin/Ruf I, S. 55)

Über die Verlangsamung der Denkbewegung und die Positionierung gegenüber dem Thema hinaus sei die Aufforderung zum Gebrauch der schriftlichen Sprache ein wirksames Mittel, um – insbesondere im Fach Mathematik – dem „Übel des verständnislosen Hantierens mit Algorithmen“ zu begegnen (vgl. Gallin/Ruf I, S. 63).¹¹

Ein geeignetes Medium, um textliche Eigenproduktionen zu fördern, ist nach einhelliger Meinung das Schreiben von Lerntagebüchern, das als regelmäßige Aktivität im Unterricht etabliert wird.¹²

2.3 Das Konzept des dialogischen Lernens in Grundzügen

2.3.1 Die Kernidee

Ausgangspunkt des Lernprozesses ist die Kernidee. Eine Kernidee umfasst „all das, was unserem Tun Antrieb und Richtung gibt“, d.h. die meist unbewussten Vorstellungen, welche die Triebfeder menschlichen Handelns sind. Eine Kernidee gibt dem Schulstoff ein Gesicht, macht ihn zu einem „attraktiven und herausfordernden Gegenüber für die Lernenden“; sie gibt den Blick frei auf die Gesamtheit eines Stoffgebiets, weckt die Neugier der Lernenden, bietet Raum für authentische Begegnungen und fordert zur singulären Standortbestimmung auf (vgl. Gallin/Ruf I, S. 45 und S. 59).

Bei der Entwicklung einer Kernidee gilt es zunächst, mein persönliches Interesse an dem zu vermittelnden Stoff, die Bedeutung, die er für mich hat, aufzuspüren (biographischer Aspekt), denn:

„Spüren die Schülerinnen und Schüler bei ihrer Begegnung mit einem neuen Thema nicht in erster Linie die unerreichbare Überlegenheit ihrer Lehrkraft, sondern die singuläre Betroffenheit einer Person, sind auch sie zu einer persönlichen Antwort eingeladen.“ (ebd., S. 60)

Durch die „singuläre Betroffenheit“ der Lehrperson fühlen sich die SchülerInnen herausgefordert, ihr eigenes Verhältnis zum Stoff zu klären, sich gegenüber dem Stoffgebiet zu positionieren, d.h. ihre eigenen Kernideen zu entwickeln (Wirkungsaspekt). Dies ist insofern von Bedeutung, als dass der Schulstoff die Person nur dann „berühren, sie durchdringen und verändern“ kann, wenn sie zunächst ihre Position gegenüber dem Stoff und der Lehrperson bewusst einnimmt und von hieraus den Dialog sucht. Hat die Kernidee im Lernenden Fuß gefasst, hat der Stoff also eine persönliche Bedeutung für ihn gewonnen, erachtet er die Beschäftigung mit ihm als sinnvoll und braucht sich bei der Frage nach dem Wozu? nicht auf die ferne Zukunft vertrösten zu lassen. (vgl. ebd., S. 61ff.).¹³ Außerdem sind Kernideen charakterisiert durch den Sachaspekt: Sie stellen ein Stoffgebiet in vagen Umrissen vor, rücken eine provozierende Eigenheit in den Vordergrund und laden zu einem partnerschaftlichen Dialog ein (vgl. Gallin/Ruf II, S. 29).¹⁴

2.3.2 Der Auftrag

Nachdem die Aufmerksamkeit der SchülerInnen auf die Sache gelenkt worden ist, soll der Auftrag sie in eine „fruchtbare und anhaltende Auseinandersetzung mit dem Stoff“ führen. Ein Auftrag im Sinne des dialogischen Lernens sollte 3 Merkmale aufweisen, um SchülerInnen mit sehr unterschiedlichen Voraussetzungen zu eigenständigem Lernen zu führen (vgl. ebd., S. 49): Der 1. Teil des Auftrags muss einen Einstieg in die Arbeit anbieten, der für alle erfüllbar ist und auf unterschiedlichen Niveaus zu interessanten Lösungen führen kann (Ermutigung zur singulären Produktion). Der zweite Teil „zielt ins Herz der Sache“: Er ist die so genannte „Rampe“, die die leistungsstärksten SchülerInnen zu Höchstleistungen herausfordert (Herausforderung durch ein anspruchsvolles Gegenüber). Das 3. Merkmal eines guten Auftrags ist seine Offenheit:

„Nur offene Aufträge, Aufträge also, zu denen viele Lösungen denkbar sind, ermöglichen kreative Eigentätigkeit und fordern Stärkere und Schwächere gleichermaßen heraus.“ (Spannung für die anwesenden Lernpartner) (ebd.)

2.3.3 Das Lerntagebuch

Das Lerntagebuch ist der Ort, an dem sich die Lernenden schriftlich mit dem Auftrag auseinandersetzen. Es gilt, das in einer ihnen (noch) fremd anmutenden Sprache formulierte Problem in ihre eigene Sprechweise umzuwandeln und mit persönlichen Erlebnissen und Erfahrungen in Verbindung zu bringen.

Die SchülerInnen dokumentieren im Lerntagebuch chronologisch, wie sich die Auseinandersetzung mit dem Stoff und den Lernpartnern abgespielt hat; die Einträge müssen so ausformuliert werden, dass sowohl Lernpartner wie auch die Lehrperson darin zurechtfinden können - „Stichwörter und zusammenhanglose Kritzeleien genügen nicht“. Außerdem sollen sich die Lernenden unzensiert über ihre Gedanken und Ideen auslassen, denn im Lerntagebuch gelten „die lokalen Normen des internen Sprachgebrauchs“ (vgl. Gallin/Ruf II, S. 90).¹⁵

Der letztgenannte Aspekt ist im Hinblick auf die Förderung der Verbalisierungs-kompetenz wie auch im Hinblick auf sinnvolles Lernen im Allgemeinen sehr bedeutsam: Verstehen ist an Sprache gebunden. Wenn die SchülerInnen etwas selbst verstehen können sollen, setzt dies voraus, dass sie ihre eigene Sprache benutzen dürfen. Möchte man verstehensorientiert unterrichten, so dürfen die textlichen Eigenproduktionen der SchülerInnen nicht an globalen, externen Normen gemessen werden, sondern an den lokalen Normen des internen Sprachgebrauchs (vgl. Gallin/Ruf I, S. 63ff.).¹⁶

Die Nutzung des internen Sprachgebrauchs wird beim dialogischen Lernen jedoch nicht nur zugelassen, sondern als Medium der Produktivität und Kreativität bewusst gefördert, indem die SchülerInnen zum Festhalten flüchtiger Gedanken, Empfindungen, unfertiger Ideen und vagen Vermutungen aufgefordert werden (vgl. Merkblatt: Anhang, S. 50). Schriftlichkeit steht hier im Dienst einer übergeordneten Problemstellung und Intention: Man schreibt, um etwas festzuhalten, zu bearbeiten, zu klären oder mitzuteilen, nicht um zu beweisen, dass man fehlerfrei schreiben kann (vgl. Gallin/Ruf II, S. 93ff.).¹⁷

Während SchülerInnen die geeigneten Normen des internen Sprachgebrauchs „intuitiv sehr schnell“ erfassen, muss die Lehrperson diese für jeden Lernenden neu konstituieren. Dabei ist jeweils der variierende Gebrauchszusammenhang maßgebend.

2.3.4 Rückmeldung und Beurteilung durch die Lehrperson

Das dialogische Lernen sieht als nächsten Schritt des Lernens auf eigenen Wegen die Rückmeldung vor. Da die SchülerInnen bei der Bearbeitung des Auftrags noch nicht über reguläre Begriffe und Verfahren verfügen, dürfen ihre Leistungen nicht an einer externen Norm, sondern müssen an dem individuellen Leistungsvermögen des einzelnen Schülers gemessen werden. Eine Rückmeldung, die den Lernenden „mit einem angemessenen singulären Maßstab“ konfrontiert, und ihm zeigt, „wo er steht und in welche Richtung er sich entwickeln könnte“, wird sowohl der Sache als auch dem Lernenden gerecht (vgl. Gallin/Ruf I, S. 58).

Als wohlwollender und sachkundiger Gesprächspartner reagiert die Lehrperson in einer persönlichen, nicht neutralen Weise auf den Lerntagebuchtext, indem sie Ich-Botschaften formuliert und ihre Meinung als eine von vielen möglichen zu erkennen gibt. Eine Rückmeldung soll Gelungenes verstärken, indem sie das Potential von interessanten Versuchen und fruchtbaren Irrtümern freilegt, indem sie bewusst macht, was gelungen ist, und somit den produktiven Kräften des Lernenden Richtung und Ziel gibt. Schließlich sollen Rückmeldungen konkret sein, d.h. sie stellen Brauchbares, das sich im kreativen Prozess undeutlich ankündigt, heraus und lassen anderes unkommentiert stehen (vgl. Gallin/Ruf II, S. 147ff.).

Neben dieser persönlichen, verstärkenden und konkreten Rückmeldung sieht das dialogische Unterrichtskonzept eine Beurteilung durch „Häklein“ vor, die grob andeutet, wie die Lehrperson die erbrachte Leistung einschätzt. Die Vergabe der Häkchen orientiert sich nicht nur an den singulären Spuren im Lerntagebuch, sondern auch an den altersgemäßen Lernzielen: Ein Häkchen wird gesetzt, wenn der Lerntagebucheintrag darauf schließen lässt, dass sich der Lernende intensiv genug mit dem Thema befasst hat und eine „genügende Leistung“ erbracht hat, bzw. wenn er auf einem guten Weg ist, die vorgegebenen Lernziele zu erreichen. Ein durchgestrichenes Häkchen signalisiert dem Lernenden, dass er diese Minimalanforderungen nicht erfüllt hat und sich intensiver mit der Thematik auseinandersetzen muss. 2 Häkchen vergibt die Lehrperson, wenn sie z.B. einen interessanten Einfall, eine eigenständige Einschätzung oder einen mutigen Versuch würdigen möchte. Fließend ist der Übergang zu 3 Häkchen, die bei einem so genannten „Wurf“ vergeben werden: Dies kann z.B. eine originelle Idee, ein unerwarteter Durchblick oder ein ungewöhnliches Problem-bewusstsein sein (vgl. Gallin/Ruf II, S. 150ff.).

2.4 Folgerungen für das Unterrichtsvorhaben

Aus den bisherigen Ausführungen geht hervor, dass das dialogische Lernen mindestens in zweifacher Hinsicht zur Förderung der Verbalisierungskompetenz beiträgt:

(1) In Bezug auf das Schreiben von Lerntagebüchern wurde der Beitrag zur Kompetenzförderung bereits in den vorangegangenen Kapiteln erläutert. Die zu bearbeitenden Aufträge müssen dabei so gestaltet sein, dass sich leistungsstarke wie leistungsschwache SchülerInnen zu sachbezogener Tätigkeit herausgefordert fühlen.

(2) Der erste und wichtigste Schritt zur Herausforderung textlicher Eigenproduktionen ist jedoch die Motivation und das Angesprochen-Sein der SchülerInnen. So hebt z.B. Zech hervor: Die „überragende Bedeutung der Motivation für das Lernen liegt bekanntlich darin, dass [sie] einesteils wesentliche Voraussetzung für fast alles Lernen, insbesondere für kognitives Verstehen ist (ich verstehe nur, wenn ich verstehen will).“ (Zech 2005, S. 40).¹⁸ Während im herkömmlichen Unterricht die Bereitschaft zu lernen oft mit der Ankündigung der nächsten Klassenarbeit erzeugt wird, zielt das dialogische Lernen auf die intrinsische Motivation der SchülerInnen: Ziel des Unterrichtens mit Kernideen ist es, die SchülerInnen über die singuläre Betroffenheit der Lehrperson zu einer eigenen Standortbestimmung aufzufordern: Nicht das Abrufen eingeübter Schemata, sondern die authentische Begegnung zwischen dem Lernenden und dem Schulstoff steht im Vordergrund. Bevor die Lösung in den Fokus genommen wird, sind die SchülerInnen dazu eingeladen, sich ohne Erwartungsdruck auf die Sache einzulassen, Denkblockaden und Widerstände zu benennen, ihre innere Bewegung zu dokumentieren und somit eine persönliche Beziehung zum Stoff aufzubauen. Diese singuläre Standortbestimmung motiviert – insbesondere bei leistungsschwachen SchülerInnen – auch die fachliche Auseinandersetzung mit dem Schulstoff.

Die Motivation der SchülerInnen zur schriftlichen Auseinandersetzung mit Mathematik wird darüber hinaus durch folgende Unterrichtsarrangements begünstigt:

- Die Lehrperson orientiert sich an den Fragen und Interessen der Lernenden.
- Unterrichtssituationen, in denen die SchülerInnen miteinander über die Sache ins Gespräch kommen, werden zugelassen und gezielt gefördert.
- Im Unterricht wird auf Begriffe und Sachverhalte zurückgegriffen, die den SchülerInnen aus dem Alltag oder dem vorangegangenen Unterricht vertraut sind (vgl. Zech 2002, S. 132f.).
- Die Schülerbeiträge werden nicht an normierten Erwartungen gemessen.
- Die Lehrperson begegnet den SchülerInnen und ihren Texten als wohlwollendes und sachkundiges Gegenüber.
- Ausgewählte textliche Eigenproduktionen werden für alle zugänglich gemacht, so dass die SchülerInnen nicht nur für sich selbst, sondern auch für andere schreiben (vgl. Kapitel 3.4.5).
- Die Lehrperson korrigiert nicht produkt-, sondern prozessorientiert – die Individualnorm ist von größerer Bedeutung als die Fachnorm.
- Die Lehrperson verstärkt in ihrer Rückmeldung Gelungenes und legt das Potential von fruchtbaren Irrtümern frei.
- Die Lehrperson würdigt besonders mutige, originelle oder ungewöhnlich gute Einfälle durch die Vergabe von 2 bzw. 3 Häkchen.

Auf einen weiteren wichtigen Aspekt sei an dieser Stelle hingewiesen:

„Die Sprache des Verstehen-Wollens sei lange Zeit die Umgangssprache als Weg zur Erfindung der Fachsprache aus sachlicher Notwendigkeit. […] Auf Verlust der Umgangssprache […] kann kein ernsthaftes Lernen aufbauen.“ (Wagenschein, S. 15f.)

Die Bedeutung einer verständlichen Unterrichtssprache für die Sprachförderung und auch für einen „verständnisorientierten Mathematikunterricht“ im Allgemeinen wird von verschiedenen Autoren hervorgehoben (vgl. z.B. Spanhel; Zech 2005, S. 16ff). Folgende „Faustregeln“ sollten in Bezug auf grammatikalisch-stilistische Gesichtspunkte beachtet werden: eher kurze als lange zusammengesetzte Worte verwenden, Satzverschach-telungen vermeiden, Sätze möglichst aktivisch formulieren, unnötige Verneinungen vermeiden, Nominalisierungen durch Nebensätze ersetzen. Im Hinblick auf Wortwahl und Verwendung von Fachtermini empfiehlt Zech die Verwendung möglichst gebräuchlicher Worte und einer bildhaften, anschaulichen Sprache (vgl. ebd., S. 36ff.).

3 Planung der Unterrichtsreihe

3.1 Die Lerngruppe

3.1.1 Allgemeine Voraussetzungen

Die Klasse 8b des Carl-Friedrich-von-Siemens-Gymnasiums besteht im 1. Schulhalbjahr 2007/08 aus 23 SchülerInnen: 12 Jungen und 11 Mädchen. Seit dem 2. Schulhalbjahr 2006/07 unterrichte ich die Lerngruppe eigenständig im Fach Mathematik. Darüber hinaus hatte ich Gelegenheit, die SchülerInnen bei Hospitationen und angeleitetem Unterricht auch im Fach Deutsch kennen zu lernen. Gemeinsam mit dem Klassenlehrer führte ich in der Klasse im 7. und 8. Schuljahr im Rahmen des PSE-Projekts (Pädagogische Schulentwicklung) ein Methodentraining durch. Dabei zeigte sich, dass die SchülerInnen offen gegenüber neuen Methoden sind, was eine wichtige Voraussetzung für diese Unterrichtsreihe ist. Im Zusammenhang mit dem Thema Kommunikation wurde zudem deutlich, dass in Bezug auf die Förderung der Ausdrucksfähigkeit der SchülerInnen durchaus Bedarf besteht.

Die Arbeitsatmosphäre in der Lerngruppe ist angenehm: Der Umgang der SchülerInnen miteinander sowie mit den Lehrpersonen ist von Freundlichkeit und gegenseitigem Respekt geprägt. Die SchülerInnen sind durch abwechslungsreichen Unterricht gut zu motivieren und im Allgemeinen um gute mündliche Mitarbeit bemüht.

Abgesehen von wenigen Ausnahmen ist die Klasse eher als leistungsschwach einzustufen. In Bezug auf die Förderung der Verbalisierungskompetenz ist von Bedeutung, dass 9 von 23 SchülerInnen im 7. Schuljahr am Förderunterricht Deutsch als Zweitsprache (DaZ) teilgenommen haben.¹⁹ Diese SchülerInnen, aber auch einige andere, ringen oft um einen passenden Ausdruck oder um eine angemessene Formulierung, wenn sie aufgefordert sind, einen mathematischen Sachverhalt in eigenen Worten wiederzugeben. Diesem Umstand begegne ich, indem ich die SchülerInnen immer wieder auffordere, sich auf die Wortmeldungen der Mitschüler zu beziehen, nicht nur auf die Lehrperson. Außerdem werden im Unterricht möglichst viele Anlässe zur Kommunikation der SchülerInnen untereinander geschaffen. So wurde z.B. das Ich-Du-Wir-Prinzip eingeführt, die von den SchülerInnen gut angenommen wurde und auch im Rahmen dieser Unterrichtsreihe zum Einsatz kommt (vgl. Kapitel 3.4.4).²⁰

3.1.2 Spezielle Voraussetzungen

Die SchülerInnen sind zu Beginn der Unterrichtsreihe mit dem Begriff der empirischen Wahrscheinlichkeit vertraut: Sie können relative Häufigkeiten anhand von vorliegendem Datenmaterial ermitteln, dieses ggf. selbst erheben und so einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit bestimmen. In diesem Zusammenhang wurden die Zahlenformate der Dezimal-, Prozent- und Bruchzahlen wiederholt, was eine wichtige Voraussetzung für die Unterrichtsreihe darstellt. Während Biehler die „Kombination dieser Themen [als] eine der großen Hürden der Schulmathematik“ kennzeichnet (Biehler, S. 33), stellte ich fest, dass diese Lerngruppe im Umgang mit diesen Zahlenformaten generell sicher ist.

Die Begriffe Zufallsexperiment, Ergebnis und Ergebnismenge wurden den fachdidaktischen Hinweisen entsprechend eingeführt und deren Bedeutung für die SchülerInnen nachvollziehbar verankert (vgl. Niederdrenk-Felgner).²¹

Während die Lerngruppe sehr engagiert Zufallsreihen durchführte, um die empirische Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, blieb doch ein gewisses Unbehagen dem Sachverhalt gegenüber, dass man für die Wahrscheinlichkeit, mit der z.B. eine Reißzwecke auf den Kopf fällt, keinen genauen Wert erhielt, sondern nur einen Schätzwert. Ein Schüler (Ali) fragte, ob man die Wahrscheinlichkeit bei manchen Zufallsgeräten nicht auch berechnen könne. Dieser Gedanke verdiente Anerkennung, wurde mit der Bitte um etwas Geduld zurückgestellt und wird von mir in der Kernidee wieder aufgegriffen.

Das Konzept des dialogischen Lernens wurde den SchülerInnen zu Beginn der Unterrichtsreihe Voraussagen von Wahrscheinlichkeiten mit relativen Häufigkeiten anhand von Auszügen aus Reisetagebüchern vorgestellt.²² Einerseits fanden einige SchülerInnen diesen sehr persönlichen und umgangssprachlichen Umgang mit Mathematik zunächst befremdlich, andererseits wurde bei vielen SchülerInnen doch die Neugierde geweckt. Gemeinsam mit der Lerngruppe wurden Sinnhaftigkeit und Nutzen eines solchen Umgangs mit Mathematik erörtert, wobei sich die meisten SchülerInnen sehr aufgeschlossen und interessiert zeigten. Wesentliche Aspekte, die die SchülerInnen bei Einträgen ins Lerntagebuch beachten sollen, wurden anhand der Reisetagebuch-Auszüge und eines Merkblatts zur Bearbeitung der Aufträge (siehe Anhang, S. 50) erarbeitet und in Form einer Mind-Map festgehalten.

Im Vorfeld der Examensreihe bearbeiteten die SchülerInnen 2 Aufträge im Lerntagebuch, wobei im Zuge der Bearbeitung Unklarheiten bezüglich der Form und Herangehensweise geklärt werden konnten.

Eine erste Evaluation der Arbeitsweise mit dem Lerntagebuch erfolgte nach der Bearbeitung des 2. Auftrags. Jede/r SchülerIn erhielt anschließend von mir eine schriftliche Rückmeldung, die die SchülerInnen in ihrer positiven Einstellung gegenüber dem Konzept des dialogischen Lernens unterstützen bzw. ihnen einen besseren Zugang zu den Ideen des Lernens auf eigenen Wegen eröffnen sollte.

3.2 Sachstrukturanalyse

Das im Rahmen der Unterrichtsreihe zu erarbeitende Laplace-Modell ist Bestandteil der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die – zusammen mit der beschreibenden und beurteilenden Statistik – dem Wissenschaftsbereich der Stochastik zugeordnet wird.

Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung vollzog sich einerseits im Zusammenhang mit der Erforschung von Glücksspielen, andererseits im Kontext der Analyse statistischer Verhältnisse. Beide Stränge entwickelten sich zunächst nahezu unabhängig voneinander und erst Jakob Bernoulli (1655-1705) führte sie in seinem 1713 postum erschienenen Werk Ars conjectandi zusammen (vgl. Hauser, S. 9f.). Während zahlreiche Zeugnisse belegen, dass unser heutiges stochastisches Denken bereits in der Antike seinen Ursprung genommen hat, entstand die eigentliche Wahrscheinlichkeitsrechnung erst in der frühen Neuzeit: In seinen Ars conjectandi machte Bernoulli als erster auf die theoretische und praktische Wichtigkeit der „Mutmassungskunst“ aufmerksam, indem er definiert: „irgendein Ding vermuten, heisst soviel als seine Wahrscheinlichkeit messen“. Als „Vermutungs- oder Mutmassungskunst“ bezeichnet er demzufolge „die Kunst, die Wahrscheinlichkeit der Dinge zu messen und zwar zu dem Zwecke, dass wir bei unseren Handlungen stets das auswählen und befolgen können, was uns besser, trefflicher, sicherer und ratsamer erscheint“ (zitiert nach Ineichen, S. 1f.).

Der Begriff der Wahrscheinlichkeit weist von der Antike und dem Mittelalter ausgehend bis heute 2 voneinander verschiedene Bedeutungsausprägungen auf: Die im Rahmen der Schulmathematik relevante aleatorische Wahrscheinlichkeit wird bei der Beschreibung von Glücksspielen oder allgemein von Zufallsexperimenten und bei zufälligen Ziehungen aus Populationen verwendet. Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff umfasst sowohl die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Symmetriebetrachtungen bei gleichmöglichen Fällen, als auch die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten mittels relativer Häufigkeiten nach oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments. Die epistemische Wahrscheinlichkeit hingegen drückt den Grad des Vertrauens bzw. der Glaubwürdigkeit einer Aussage, die Zuverlässigkeit einer Vorhersage oder die Bereitschaft zu wetten aus (vgl. ebd., S. 6ff).²³

Abraham de Moivre (1667-1754) legte seiner Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung als erster explizit den aleatorischen Wahrscheinlichkeits-begriff zugrunde (vgl. ebd., S. 3f.). Auf der Grundlage von Moivres Berechnung der Wahrscheinlichkeit definierte Pierre Simon de Laplace (1749-1827) in seiner Théorie analytique des probabilités schließlich die Wahrscheinlichkeit selbst:

„…que la probabilité est [!] la rapport du nombre des cas qui lui sont favorables au nombre de tous les cas possibles, lorsque rien ne porte à croire que l´un de ces cas doit arriver plutôt que les autres, ce qui les rend pour nous également possibles.“²⁴ (zitiert nach Ineichen, S. 4)

Die Wahrscheinlichkeit (eines Ereignisses) wird also definiert als der Quotient aus der Anzahl der günstigen Ergebnisse und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse, sofern alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgrund der Autorität von Laplace erfreute sich seine Definition jahrzehntelanger Geltung und wird oft auch als „klassische Definition der Wahrscheinlichkeit“ gekennzeichnet (vgl. Ineichen, S. 4). Zufallsexperimente, bei denen die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, bei denen also eine Gleichverteilung vorliegt, werden Laplace zu Ehren als Laplace-Experimente bezeichnet.

3.2.1 Das Laplace-Modell im Unterricht

Die spannenden Kindheitstage der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind in zahlreichen wissenschaftlichen Abhandlungen und Briefwechseln, insbesondere z.B. zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat (1654), dokumentiert (vgl. Hauser/Kaiser/Nöbauer) und bieten einen motivierenden Einstieg in das Thema. Aufgrund des großen Interesses der SchülerInnen an einer historischen Einordnung und Personifizierung der mathematischen Sachverhalte greife ich auch biographische Aspekte des Namensgebers des Laplace-Modells in meiner Kernidee auf (vgl. Kapitel 3.4.2).

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¹ Gallin/Ruf (II) betonen, dass sich das dialogische Prinzip auch auf andere Fächer übertragen lässt, wobei den Nachweis für diese Behauptung die Lehrkräfte der betreffenden Fächer bringen müssten (vgl. ebd., S.7). Die Grundannahmen zu Lernprozessen, auf die Gallin/Ruf ihre „interaktive Didaktik“ aufbauen, stimmen mit den jüngsten Entwicklungen der fachdidaktischen, psychologischen und pädagogischen Forschung überein und werden durch Forschungsergebnisse abgesichert (vgl. Gallin/Hußmann, S. 1).

² Gallin/Ruf erläutern, wieso dem Erzählen gegenüber dem Erklären grundsätzlich der Vorzug zu geben ist (Gallin/Ruf I, S. 152-185): Erklärungen üben letztlich einen Zwang auf den Rezipienten aus – er wird unter Druck gesetzt, das Erklärte einzusehen und zu verstehen, während Erzählungen den Zuhörer frei lassen.

³ Gallin/Ruf sprechen vom Reisetagebuch; ich verwende im Folgenden die Bezeichnung Lerntagebuch.

⁴ Zur Definition der Verbalisierungskompetenz im Rahmen dieser Arbeit vgl. Kapitel 2.2.1.

⁵ Auf der enaktiven Ebene wird der Sachverhalt durch eigene Handlungen mit konkretem Material erfasst, auf ikonischer Ebene durch Bilder, Zeichnungen oder Graphiken. Auf symbolischer Ebene wird ein Sachverhalt über das gesprochene oder geschriebene Wort bzw. über die mathematische Symbolsprache vermittelt (vgl. Bruner 1974).

⁶ Unter der kognitiven Struktur verstehen Ausubel u.a. Inhalt und Anordnung der kognitiven Repräsentationen einer Person. Die wichtigste Bedingung sinnvollen Lernens auf Seiten der Lernenden sei die Qualität deren kognitiver Struktur, welche durch die Vielfalt der „subsuming concepts“ sowie deren Klarheit und Struktur bestimmt ist. Der Versuch, neu zu lernende Bedeutungen in der schon bestehenden kognitiven Struktur an möglichst klaren und stabilen allgemeinen Vorstellungen zu verankern, sei als „entscheidende Lehrermaßnahme“ zu kennzeichnen: Dies umfasst zum einen die Anknüpfung an Vorerfahrungen der SchülerInnen, auch an (außerschulische) Alltagserfahrungen. Zum anderen soll an das Sprachrepertoire der Lernenden, in dem sich ihr Alltagswissen repräsentiert, angeschlossen werden. Im Vergleich zu Bruner tritt bei Ausubel u.a. also nicht so sehr eine bestimmte Darstellungsebene, sondern „eine möglichst vertraute Sprach- und Erfahrungsebene in den Vordergrund“ (vgl. Zech 2002, S. 130). Diesen Erkenntnissen trägt das Konzept des dialogischen Lernens Rechnung (vgl. Kapitel 2.3).

⁷ Zu den Charakteristika mathematischer Fachsprache vgl. Hußmann 2003, S. 60ff. Zu den Zielen der Förderung fachsprachlicher Kompetenz sowie zur Diskussion, inwieweit die Fachsprache zu einem eigenständigen Lehrinhalt des Mathematikunterrichts werden soll, vgl. Maier/Schweiger, S. 170ff.

⁸ Von der Kompetenz des Argumentierens ist die des mathematischen Kommunizierens insofern abzugrenzen, als dass bei letzterer ein externer Adressat entscheidend ist (vgl. Leiß/Blum, S. 48f.).

⁹ Nach Kaufhold (2006) ist die Bestimmung von Kompetenz „nur in Situationen möglich, in denen sie tatsächlich gefordert ist und zur Anwendung kommen kann“ (Kaufhold, S. 24).

¹⁰ Maier/Schweiger stellen eine Liste von Textsorten bereit, die SchülerInnen produzieren können (vgl. ebd., S. 184f.). Diese und weitere Textsorten finden sich auch bei Gallin/Ruf (vgl. Gallin/Ruf II, S. 94).

¹¹ Zu den positiven Folgen in Bezug auf die Persönlichkeitsentwicklung der Lernenden, die die Aufforderung zur ausführlichen Darlegung der Gedanken mit sich bringt, vgl. Gallin/Ruf II, S. 56.

¹² Maier/Schweiger verweisen in Bezug auf textliche Eigenproduktionen auf Kasper/Lipowsky (1997), Wittmann (1996), Waywood (1992), Miller (1992), Skypek (1981) und Gallin/Ruf (1993) (vgl. S. 184ff.).

¹³ Die Didaktik der Kernideen unterscheidet sich in diesem Punkt maßgeblich von der „segmentierenden Didaktik“, welche das Stoffgebiet „in Einzelteile zerlegt […], die dann nach dem Prinzip Vom Einfachen zum Schwierigen additiv aneinander gereiht und häppchenweise verabreicht werden“. Wie diese Einzelteile zusammenhängen, sich zu einem Ganzen fügen, das faszinieren kann, erkennt der Lernende (bestenfalls) erst, wenn ihm das letzte Segment vermittelt worden ist (vgl. Gallin/Ruf I, S. 62).

¹⁴ Kernideen werden so zur Schnittstelle zwischen der Welt des Regulären und der des Singulären, wobei die Autoren unter der Welt des Regulären die des standardisierten, normierten Wissens verstehen, während die Welt des Singulären die persönlichen, individuellen Gedanken und Gefühle umfasst (vgl. Gallin/Ruf I, S. 24). Der Schritt vom Singulären zum Regulären vollzieht sich beim dialogischen Lernen zwar langsamer und umständlicher als in einem vermittelnden Unterricht, in dem das Reguläre meist sofort präsent ist, aber so, dass das Reguläre nie als etwas Fremdes, Beängstigendes erlebt wird, sondern immer in enger Verbindung zur eigenen singulären Welt steht.

¹⁵ Darüber hinaus soll eine klare Struktur der Einträge (Datum, Auftrag, persönliche Auseinandersetzung mit dem Thema, Rückmeldung) eingehalten werden (vgl. Gallin/Ruf I, S. 64).

¹⁶ Auch Maier/Schweiger (vgl. S. 185) betonen, dass die sprachliche Formulierung textlicher Eigen-produktionen nicht durch das Befolgen vorgegebener Darstellungsnormen geprägt sein darf, sondern dass die SchülerInnen sich eigenständig der ihnen aktiv verfügbaren Sprachmitteln bedienen müssen.

¹⁷ Dem internen Sprachgebrauch wird in der Schule normalerweise kaum ein Wert beigemessen: Notizen, Entwürfe, „Gekritzel“, die dem fertigen Endprodukt vorausgehen, finden im Kontext Schule keine Beachtung, sondern werden „bloß geduldet, oft verpönt, manchmal sogar verboten“ (Gallin/Ruf II, S. 93).

¹⁸ Die Bedeutung der Motivation für den Kompetenzerwerb wird auch bei Weinert (2001) deutlich: Er definiert Kompetenzen als „die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen sowie die damit verbundenen […] Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können“. Nicht nur die Fähigkeit, sondern auch die Bereitschaft, diese Fähigkeit entsprechend zu nutzen, ist also Bestandteil der Kompetenz. Diese Bereitschaft zur Nutzung einer Kompetenz kann im schulischen Rahmen am besten über die Motivation der SchülerInnen erzeugt werden.

¹⁹ Dass im 8. Schuljahr nur noch 4 dieser SchülerInnen die DaZ-Förderung erhalten haben, hängt damit zusammen, dass für alle 8. Klassen nur noch eine DaZ-Klasse eingerichtet werden konnte.

²⁰ Grundlage dieser und der vorherigen Unterrichtsreihe ist das Kapitel 2 des Schulbuchs Neue Wege 8.

²¹ Didaktische und methodische Hinweise zum „Begriffslehren“ gibt auch Vollrath (1984).

²² Die Reisetagebuch-Auszüge habe ich entnommen aus Gallin/Ruf I, S. 73 und S. 179f.

²³ Es kann davon ausgegangen werden, dass letztgenannter Wahrscheinlichkeitsbegriff auch in der kognitiven Struktur der SchülerInnen verankert ist, bevor sie im Rahmen des Mathematikunterrichts mit stochastischen Fragestellungen konfrontiert werden. An dieses intuitive Vorverständnis der SchülerInnen wurde angeknüpft, so dass sie die Bedeutungsdifferenzen zwischen den umgangssprachlichen Begrifflichkeiten (Wahrscheinlich scheint morgen die Sonne) und dem mathematischen Fachbegriff, bei dem jedem Elementarereignis ein Wert p aus dem Intervall [0; 1] zugeordnet wird, erfasst haben. Damit wurde Büchters Forderung Rechnung getragen, der vorsieht, dass die SchülerInnen alle 3 Dimensionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs kennen lernen: die Laplace-Wahrscheinlichkeit, die statistische bzw. empirische Wahrscheinlichkeit und die „subjektive Wahrscheinlichkeit“ (vgl. Büchter, S. 10f.).

²⁴ „… dass die Wahrscheinlichkeit die Beziehung ist, zwischen der Anzahl der Fälle, die ihr günstig sind, und der Anzahl aller möglichen Fälle, wenn nichts einen dazu veranlasst zu denken, dass einer dieser Fälle eher eintreten muss als die anderen; das ist es, was sie [die Fälle] für uns gleich möglich macht.“