Empirische Erkundungen zum Wechseln von Lösungsanläufen beim Bearbeiten mathematischer Probleme

Inhalt

I Theorie
1 Einleitung
2 Problemlösen: Prozess und Kompetenz
2.1 Was ist Problemlösen?
2.1.1 Problemlösen im allgemeinen Sinn
2.1.2 Mathematisches Problemlösen
2.2 Problemlösen im mathematikdidaktischen Kontext
2.2.1 Problemlösekompetenz
2.2.2 Ansatzpunkte und Maßnahmen zur Förderung der Problemlösekompetenz – eine Bestandsaufnahme
3 Wechsel von Lösungsanläufen bzw. Lösungsansätzen
3.1 Merkmale des Wechsels von Lösungsanläufen bzw. Lösungsansätzen
3.2 Wechselanlässe
3.3 Wechselinhalte
4 Forschungsdefizite & Forschungsbedarf

II Studie
5 Empirische Erkundungen zum Wechsel von Lösungsansätzen beim mathematischen Problemlösen: eine Studie aus dem Jahr 2010
5.1 Rahmenbedingungen und Methodologie
5.1.1 Auswahl der Probanden
5.1.2 Auswahl der Probleme
5.1.3 Methodologie
5.2 Teilausschnitt der Studie
5.2.1 Die Probanden
5.2.2 Das Problem
6 Analyse der Bearbeitungsprozesse
6.1 Zur Darstellung und Analyse der Bearbeitungsverläufe unter besonderer Berücksichtigung des Wechsels von Lösungsanläufen
6.2 Beschreibung und Analyse der Bearbeitungsprozesse
6.2.1.a Beschreibung der Bearbeitung von Versuchsperson 1
6.2.1.b Analyse der Bearbeitung von Versuchsperson 1
6.2.2.a Beschreibung der Bearbeitung von Versuchsperson 2
6.2.2.b Analyse der Bearbeitung von Versuchsperson 2
6.2.3.a Beschreibung der Bearbeitung von Versuchsperson 11
6.2.3.b Analyse der Bearbeitung von Versuchsperson 11
6.2.4.a Beschreibung der Bearbeitung von Versuchsperson 13
6.2.4.b Analyse der Bearbeitung von Versuchsperson 13
6.2.5.a Beschreibung der Bearbeitung von Versuchsperson 14
6.2.5.b Analyse der Bearbeitung von Versuchsperson 14
7 Zusammenfassung der Befunde
7.1 Auswertung der Bearbeitungsprozesse bezüglich des globalen Wechselverhaltens
7.2 Zur „Qualität“ des Wechselverhaltens im Hinblick auf Wechselinhalte
7.3 Wechselstrategien und Wechselverhalten
7.4 Fazit
8 Bedeutung für die Mathematikdidaktik
8.1 Versäumte Chancen
8.2 Gezielte Fördermöglichkeiten
9 Mögliche ausstehende Erkundungen
9.1 Zur Problemlösekompetenz
9.2 Zur Anwendung in der Mathematikdidaktik
10 Schlusswort
11 Anhang
11.1 Fragebogen und Auswertungen zur Ablenkung während der Videoaufzeichnungen aufgrund der Arbeitsumgebung
11.2 Fragebogen und Auswertungen zur Ablenkung während der Videoaufzeichnungen aufgrund des lauten Denkens
11. 3 Ausgewählte Video- sowie Audiotranskiption von Versuchsperson 1
12 Abbildungsverzeichnis
13 Tabellenverzeichnis
14 Literaturverzeichnis

I Theorie

1 Einleitung

„Problemlösen ist das, was man tut, wenn man nicht weiß, was man tun soll“

G. H. Wheatley^[1]

Der moderne Mensch zählt sich zu einer der “überlegensten Spezies“, die jemals die Erde bevölkert haben, wenn nicht sogar zu der Überlegensten. Zu Recht, wenn man bedenkt innerhalb welcher erdgeschichtlich knappen Verweildauer auf diesem Planeten der Mensch zu einem der höchst entwickelten Lebewesen geworden ist, und mit einer Population von ca. 7 Milliarden nahezu die ganze Welt bevölkert. Neben der physischen Evolution, die z.B. der Wechsel in den aufrechten Gang nach sich zog, ist dieser große biologische Erfolg des Homo sapiens^[2] (lat. „vernunftbegabter Mensch“) ebenfalls die Folge einer ganz besonderen Gabe: das bewusste, kognitive Lösen von Problemsituationen. Sei es das Problem, ein Mammut zu jagen und zu erlegen, eine harte Nuss zu knacken, oder ein stabiles Gebäude zu errichten – in allen Fällen erfordert die Situation eine gewisse Denkleistung, die zu einer Lösung führt.^[3]

Die Fähigkeit, Probleme zu erkennen, zu reflektieren und letztendlich zu lösen ist auch heute noch ein wichtiger Baustein in der Gesellschaft. In nahezu allen Lebensbereichen wird der Mensch vor neue Herausforderungen gestellt, die es zu bewältigen gilt. Sprechen wir also von der Fähigkeit Probleme zu lösen als Kompetenz, so kann sie wohl zu den essentiellsten Qualifikationen für die Weiterentwicklung der Menschheit gezählt werden.

Diese Tatsache im Blick, ist es nur eine logische Folge, diese Kompetenz auch an die jeweiligen nachfolgenden Generationen weiterzugeben, sie darauf hin zu trainieren und ihr Möglichkeiten zum Ausbau zu bieten. Und in welcher Umgebung ist dies sinnvoller, als in der Lehr- und Lernumgebung schlechthin, der Schule?

Wir sollten also auch, oder gerade besonders, ein didaktisches Augenmerk auf die Thematik werfen. Der schulische Kontext bietet nämlich sehr vielseitige Gelegenheiten, in die sich ein solches Training integrieren lässt. Im Fokus dieser Arbeit soll hierbei besonders der mathematikdidaktische Bereich stehen, denn gerade in diesem Bereich kam es innerhalb der vergangenen Jahrtausende wiederholt zu gewinnbringenden Neuerungen. „Das Lösen mathematischer Probleme hat auf jeden Fall über 5000 Jahre immer wieder zu wesentlichen Fortschritten geführt. Der Bedarf nach praktischem Nutzen war dabei ein wichtiges, aber nur eines von mehreren Motiven.“^[4] Oft bildeten sie die Grundlage für gesellschaftsverändernde Neuerungen. Bei der Einbettung in den mathematikdidaktischen Kontext geht es also auch darum, die Grundsteine für die Innovationen von morgen zu legen. Doch wie ist das möglich?

Die folgende Arbeit soll als Unterstützung zur Findung einer Antwort auf diese Frage dienen. Sie teilt sich dafür in zwei Bereiche auf; einen theoretischen und einen empirischen Teil. In den ersten vier Kapiteln soll zunächst eine theoretische Basis dafür gelegt werden. Diese umfasst anfänglich die Klärung einiger ausschlaggebender Begriffe, wie z.B. die Frage, was ein Problem im Sinne dieser Arbeit überhaupt ausmacht. Aufbauend darauf möchte ich einen Einblick in die bisherigen Ansätze innerhalb der Mathematikdidaktik geben und aufzeigen, in welchem Rahmen hierzu bereits Vorstöße stattgefunden haben, aber auch wo noch Forschungsbedarf besteht. Eine besondere Berücksichtigung soll hierbei ein ganz markantes Merkmal des Problemlösens darstellen: der Wechsel von verschiedenen Lösungsanläufe bzw. Lösungsansätzen innerhalb eines Problembearbeitungsprozesses. Was tut beispielsweise eine Schülerin, wenn sie an einem bestimmten Punkt „nicht weiter kommt“? Ein Umstand, der beim Lösen von Problemen eher schon fast die Regel ist. Warum kommt sie nicht weiter und was sind ihre Alternativen? Da dieses Thema in der Breite noch weitgehend unerforscht ist, möchte ich anhand einer Fallstudie aus dem Jahr 2010 im zweiten Teil der Arbeit (Kapitel 5 bis 7) untersuchen, welcher Art diese Wechsel sind und welche Auswirkungen diese Wechsel auf den gesamten Problemlöseprozess, bzw. seine Qualität haben, um schließlich in Kapitel 8 bis 10 aufzeigen, welche Konsequenzen daraus folgen können.

Der Leitgedanke dieser Arbeit lässt sich also im Speziellen in den folgenden zwei Fragestellungen manifestieren:

(1) Warum werden begonnene Lösungsanläufe abgebrochen?
(2) Welche Anregungen liefern die Befunde von (1) auch und gerade im Hinblick auf die Förderung der Problemlösekompetenz?

2 Problemlösen: Prozess und Kompetenz

2.1 Was ist Problemlösen?

Wie in der Einleitung schon angedeutet wurde, bezieht sich das Lösen von Problemen nicht nur auf den mathematischen Bereich.

„Fast täglich begegnet man Situationen und Anforderungen bzw. Aufgaben, die – zumindest umgangssprachlich – als Problem bezeichnet werden. Dies kann zu den unterschiedlichsten Gegebenheiten geschehen, zum Beispiel beim Wechsel eines defekten Reifens oder bei der Herausforderung der Wissenschaft. Diese Alltagsrelevanz ist ein Grund, aus dem das Thema Problemlösen ein wichtiger Forschungsgegenstand der Psychologie ist.“^[5]

Widmen wir uns also zunächst dem Problemlösen im Allgemeinen und im Nachfolgenden im mathematischen Sinn.

2.1.1 Problemlösen im allgemeinen Sinn

Im Gegensatz zum Autor des vorhergegangenen Zitats, möchte ich in meiner Arbeit die Begriffe Aufgabe und Problem deutlich voneinander trennen. Ich orientiere mich dabei an der Definition von Dörner, die wie folgt lautet:

„Was ein Problem ist, ist einfach zu definieren: Ein Individuum steht einem Problem gegenüber, wenn es sich in einem inneren oder äußeren Zustand befindet, den es aus irgendwelchen Gründen nicht für wünschenswert hält, aber im Moment nicht über die Mittel verfügt, um den unerwünschten Zustand in den wünschenswerten Zielzustand zu überführen.

Ein Problem ist also gekennzeichnet durch drei Komponenten:

1. Unerwünschter Anfangszustand Sα
2. Erwünschter Endzustand Sω
3. Barriere, die die Transformation von Sα in Sω im Moment verhindert.“^[6]

Der Unterschied zur Aufgabe besteht hierbei darin, dass zwar Sα und Sω ebenso vorhanden sind, jedoch keine Barriere die Transformation behindert. Es ist also schon eine Methode bekannt, wie sie zu bewältigen ist.

Die Anbringung eines Regals an eine Wand stellt beispielsweise für eine Person, die das entsprechende Handwerkszeug besitzt, oder wenigstens weiß, welches Werkzeug wie zu benutzen ist, eine leicht lösbare Aufgabe dar, da sie sich lediglich auf die Ausführung des Löseprozesses konzentrieren muss, während eine Person ohne entsprechendes Handwerkszeug, bzw. ohne die Kenntnis über dessen adäquate Nutzung, den Löseprozess erst noch kreativ mit Inhalten füllen muss.

Geht man davon aus, dass ein Problem aus drei Komponenten besteht (Anfangszustand, Transformation und Endzustand), so ergibt sich die Schwierigkeit des Lösens darin, dass die Gestaltung nicht aller dieser Komponenten bekannt ist. Dies muss aber nicht zwangsläufig die Transformation sein. Köster (1994) unterteilt in drei Problemtypen:

1. Dem problemlösenden Individuum ist der Anfangszustand und die Transformation bekannt bzw. vorgegeben. Gesucht ist der Zielzustand bzw. die Klasse daraus erzeugbarer Endzustände.
2. Gesucht wird der Anfangszustand bzw. die Klasse der Anfangszustände bei bekanntem Zielzustand und möglichen Transformationen.
3. Sind der Anfangs- und der Endzustand gegeben und die Überführung (Transformation) des einen in den anderen ist gesucht, liegt ein weiterer Problemtyp vor. Hier geht es primär um die Auswahl bzw. Ausbildung einer geeigneten Transformation.^[7] An diese Einteilung anknüpfend benennt HIEBSCH (1977) noch einen weiteren Problemtyp, den er für Erkundungsforschung relevant hält:
4. Gegeben ist lediglich der Anfangszustand. Das Ziel und mögliche Transformationen sind (noch) unbekannt.^[8]

Probleme können also aufgrund der Verortung des fehlenden Wissens über ihren Lösungsprozess gegeneinander abgegrenzt werden.

Dörner unterscheidet ebenfalls nach verschiedenen Problemtypen, allerdings macht er die in erster Linie von der Beschaffenheit der Barriere abhängig. Es ist einerseits möglich, dass die Methoden hierfür der Problemlöserin gänzlich unbekannt sind, oder sie verfügt andererseits zwar theoretisch über das notwendige Wissen, vermag dieses jedoch nicht auf geschickte Weise so zu verknüpfen, dass es zur Lösung führt. Es ist ebenso denkbar, dass einer Person der Zielzustand nicht von vornherein klar ist, dass er sich also erst als Teil des Problemlöseprozesses offenbart. Dies hat natürlich einen maßgeblichen Effekt auf die Wahl der Lösungshilfsmittel.^[9] Im außermathematischen Bereich könnte dies zum Beispiel ein Missstand in Politik und Gesellschaft ausmachen, dessen Unhaltbarkeit zwar allgegenwärtig diskutiert wird, aber noch keine vorstellbaren Alternativen existieren, nach denen man entsprechenden den Problemlöseprozess richten kann. „Bei Denk- und Problemlöseprozessen handelt es sich um sehr vielschichtige (komplexe) geistige Abläufe. Diese Komplexität ergibt sich zum einen aus der Anzahl und Verschiedenartigkeit der beteiligten kognitiven Teilprozesse und zum anderen aus der Vielfalt möglicher Problemstellungen.“^[10] Es ist also notwendig, dass zwischen verschiedenen Problemtypen unterschieden wird. Für diese Unterscheidung ist die Beschaffenheit der Barriere essentiell, welche stark subjektiv von der jeweiligen Akteurin abhängt. Wie schon erwähnt, kann sie beispielsweise darin bestehen, die Vielfalt der geeigneten Operationen, um die das Wissen schon potentiell vorhanden ist, aufgrund ihrer Vielzahl nicht sämtlich auf die Eignung untersuchen zu können. Dörner spricht in diesem Fall von einer Interpolationsbarriere. Ein Beispiel hierfür ist das Schachspiel. Die Art der Züge ist klar vorgegeben und der Schachspielerin (davon ausgehend, dass sie die Spielregeln beherrscht) bekannt. Um im Spiel erfolgreich zu sein, muss sie „nur“ die günstigste Kombination an Zügen herausfinden. Hier liegt ihre Barriere, die dem Gewinnen den Problemcharakter zuweist. Eine andere Möglichkeit der Beschaffenheit einer Barriere, ist, dass die zielbringenden Operationen erst noch gefunden werden müssen. Hier ist es für Dörner unerheblich, ob sie der Pröblemlöserin völlig unbekannt sind, oder sie sie nur nicht zum Lösen in Betracht zieht. In diesem Fall spricht er von einer Synthesebarriere^[11]. Die folgende Aufgabe stellt für die meisten bearbeitenden Menschen eine eben solche dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sie wird deshalb selten gelöst, da die Möglichkeit, die Streichhölzer auch innerhalb der schon bestehenden Quadrate zu platzieren von vornherein ausgeschlossen wird, ohne dass dies der Aufgabestellung zu entnehmen ist. Der Problemcharakter entsteht also in diesem Beispiel durch die fehlende Kenntnis über das Potential einer Operation.

Der dritte Problemtyp nach Dörner ergibt sich aus dem ebenfalls schon erwähnten Umstand, dass der Zielzustand unbekannt ist. Im Alltagsleben, sprich in vorrangig außermathematischen Situationen. Wie die der schon beschrieben Gesellschaftsumbruch, kann ein solches Problem auch für eine einzelne Person entstehen, beispielsweise Verfassen einer wissenschaftlichen Arbeit. Sicher, der Umstand, dass der Zielzustand eine fertige Arbeit beinhaltet ist der Verfasserin schon im Ausgangszustand klar, jedoch hat sie noch kein fest umrissenes Bild, sondern dies gestaltet sich erst bei fortschreitendem Bearbeitungsprozess. Dörner spricht hier von einer dialektischen Barriere. Die Dialektik äußert sich hier insofern, als dass der Zielzustand während des Lösungsprozesses, bei dem die Problemlöserin sowohl auf innere als auch auf äußere Widersprüche stößt, verändert und optimiert wird^[12].

Fasst man dieser drei Problemtypen nun zusammen, so fällt auf, dass sie sich nach bestimmten Parametern richten. Einerseits nach dem Grad der Bekanntheit von Operationen und andererseits nach dem Grad der Klarheit der Zielkriterien.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vergleicht man nun die beiden Einteilungen in Problemtypen miteinander, so lässt sich erkennen, dass sie sich durchaus ähneln, wenn auch nur unterschiedlich begründet sind. Die Unterteilung nach Köster ließe sich ähnlich in die obige Grafik einordnen. Hierbei entspräche das Problem mit einer Interpolationsbarriere in etwa der Situationen 1, bei der sowohl der Anfangszustand, als auch die Mittel bekannt sind, sowie auch der Situation 2, die Endzustand und Mittel voraussetzt (hier geschieht in gewisser Weise eine ähnliche Denkleistung, nur „anders herum“), das Problem mit einer Synthesebarriere der Situation 3, bei der Anfangs- und Endzustand bekannt sind, jedoch nicht (oder weniger) die Mittel für die Transformation, und das Problem mit einer dialektischen und einer Synthesebarriere entspräche der Situation 4, bei der lediglich der Anfangszustand gegeben ist, der Zielzustand sich aber je nach Wahl der Mittel noch verändert.

Nachdem wir nun erörtert haben, was ein Problem ist und in welche verschiedenen Problemtypen dieses sich aufteilen lässt, wollen wir uns nun näher dem Problemlöseprozess^[13] widmen. Kluwe (1979) beschreibt ihn in etwa wie folgt: Da wir den Begriff Problem von dem Begriff Aufgabe insofern abgeschärft haben, als dass in diesem Fall keine standardisierten Lösungsverfahren (Kluwe spricht hier von Algorithmen) zur Verfügung stehen, ist das Wissen, mit dem eine Problemlöserin arbeitet unvollständig, unscharf oder lücken- und fehlerhaft. „Für solche Situationen, in denen die Wissensstruktur sich als unzulänglich erweist, verfügen Menschen über mentale Operationen, die zu Denkabläufen verknüpft, das vorhandene unvollständige Wissen verwenden, um Lösungswege aufzufinden.“^[14] So beschreibt auch Dörner, dass wenn die epistemische Struktur (von griechisch episteme = Wissen) versagt, die mentalen Operationen der Problemlösestruktur in Aktion treten^[15]. Um diese näher zu verstehen, ist es sinnvoll, sich auch auf psychologischer Ebene mit den Denkprozessen und kognitiven Strukturen beim Problemlösen zu befassen.

Die epistemische Struktur umfasst eine Art Bild über den entsprechenden Realitätsbereich, in welchem sich das Problem bewegt. Sie bietet die Grundlage für ein Konstruktionsverfahren, mit welchem gearbeitet werden kann. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von heuristischen Strukturen (sog. Findungsverfahren) ^[16] . Sowohl die epistemische Struktur, als auch die heuristische Verfahrensbibliothek sind Gedächtnisstrukturen. Sie beeinflussen das Gelingen eines Problemlöseprozesses und hängen stark vom Individuum ab. Hierbei ist entscheidend, dass heuristische Strategien erst dann aktiviert werden müssen, wenn die Kapazität der epistemischen Struktur für das Bewältigen einer Schwierigkeit nicht ausreicht, wenn also aus einer Aufgabe ein Problem geworden ist.

Wenn wir von der epistemischen Struktur eines Individuums sprechen, dann beinhaltet das eine Art Datenbasis zu einem bestimmten Themenbereich, beispielsweise die Kenntnisse einer Krankenschwester zur Blutstillung. Diese setzt sich zusammen aus Informationen, die entweder im sensorischen Speicher, im Kurzzeitgedächtnis, oder im Langzeitgedächtnis gelagert sind^[17]. Diese Informationen werden durchaus strukturiert dort abgelegt und sind durch verschiedene Knotenpunkte miteinander verknüpft und bilden ein sogenanntes semantisches Netzwerk^[18]. Es ist also möglich, dass sich eine Person, bewusst an solchen Knotenpunkten orientieren kann, um eine bestimmte Information, die nicht in erster Ebene präsent ist, abzurufen. Man kennt das z.B. von sogenannten Eselsbrücken. Das Gedächtnis verknüpft etwa den Namen einer Person mit einem Gegenstand, bezüglich dessen es über gewisse Hintergrundinformationen verfügt. An diesem Knotenpunkt sind nun Person und Gegenstand dauerhaft miteinander verbunden und wenn das Gedächtnis versucht, sich an den Namen der Person zu erinnern, kann es den angrenzenden Pfad benutzen, um die Information zu finden. Dies kann sowohl bewusst, unbewusst oder auch unterbewusst geschehen. Diese Vorgehensweise funktioniert sowohl im Kurzzeit- als auch im Langzeitgedächtnis, jedoch ist die Zahl dieser verwendbaren Knoten beim Kurzzeitgedächtnis aufgrund seiner Kapazitätsbeschränkung auf durchschnittlich sieben begrenzt.

Eine Beispielsituation, an welcher man diese Knotenpunkte gut zeigen kann, ist der folgende Vorfall. Ein Mann erzählt seinem Freund vom gestrigen Abend, an dem Bexter in der Kneipe „Bei Achim“ Fred gebissen hat, welcher kurz zuvor Wilma angeschrien hatte, die an diesem Abend das erste Mal auf Katrin gestoßen ist. Für jemanden ohne Hintergrundwissen, ist es durchaus ein Problem, diese Geschichte zu verstehen und zu interpretieren. Der Freund allerdings hat zu diesem Realitätsbereich eine epistemische Struktur, ein Bild, bestehend aus Einzelinformationen und ihren Verknüpfungen. Die folgende Abbildung 3 ist eine reduzierte Darstellungsform, des Netzes an relevanten Daten.

Zu sehen sind alle involvierten Handelnden, sowie Informationen, welche der Freund über sie hat, Handlungen, sowie Orte und Gegenstände. Die Abkürzungen an den Pfaden beschreibt das Wissen über die Beziehung zwischen zwei Agenten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

So bedeutet zum Beispiel die Verknüpfungspfeile um Wilma herum, dass sie erstens eine Person ist, zweitens Ralf liebt, drittens auf Katrin trifft und viertens von Fred angeschrien wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir sehen, anhand der Datenbasis, die der Freund zu dieser Situation abrufen kann, wird die das Problem der Frage „Warum hat Bexter Fred gebissen?“ schon durchaus einfacher. Solch ein Netz findet sich meist im Langzeitgedächtnis, kann aber auch z.B. in Prüfungssituationen, im Kurzzeitgedächtnis abgespeichert werden.

Denken wir nun einmal zurück an unsere Krankenschwester. Wird sie mit einer Situation konfrontiert, in der sie das Wissen über Blutstillung parat haben muss, so wird sie wahrscheinlich einige Informationen ganz unbewusst sofort finden, während sie vielleicht andere Informationen erst bewusst suchen muss. Sie hat dafür ein bestimmtes Bild, eine Datenbasis, im Kopf, innerhalb derer sie ihre Suche einschränken wird. Etwaige Lücken, die z.B. durch einen zeitlichen Abstand zum letzten Abruf entstanden sind, wird sie auffüllen können, indem sie sich an fachlichen Knotenpunkten orientiert, etwa ihr Fachwissen über die Blutgerinnung. Sollte dies nicht der Fall sein, so reicht ihr epistemisches System nicht aus, um die Situation zu meistern und sie steht vor einem Problem.

An dieser Stelle wollen wir uns näher damit beschäftigen, welche Möglichkeiten eine Person hat, um nun zu einer Lösung zu gelangen, denn Problemlösen beinhaltet nur die Verwendung einer Datenbasis und Informationsknotenpunkten. „Die andere Instanz ist die des ´eigentlichen Denkens´. Sie arbeitet über der ersten und hat die Aufgabe, das in der Datenbasis befindliche Wissen zum Lösen von Problemen geeignet zu verwerten, insbesondere elementare Operationen zu Lösungsprogrammen zusammenzufügen.“^[19] Es soll also nun um die schon angesprochenen heuristischen Strukturen gehen, derer eine Problemlöserin sich bedienen kann, um ihr Wissensdefizit zu überbrücken.

„Eine Heuristik ist eine allgemeine Suchstrategie, die zu einer richtigen Antwort führen kann. Viele der realen Lebensprobleme (Karriere, Beziehungen etc.) sind nicht klar definiert und geradlinig zu lösen, sie haben auch keinen Algorithmus. Die Entdeckung oder die Entwicklung effektiver Heuristiken ist wichtig.“^[20]

Es handelt sich also um ein Vorgehen, um mit begrenztem Wissen (und/oder wenig Zeit) zu akzeptablen Lösungen zu kommen. Sie bezeichnet ein analytisches Vorgehen, bei dem mit begrenztem Wissen über ein System (Realitätsfeld) mit Hilfe von Mutmaßungen/Schlussfolgerungen über das System getroffen werden. Es wird also ein Verfahren zur Lösungsfindung in einer Problemsituation produziert, gewissermaßen ein gedankliches Programm für kognitive Vorgänge. Jedes Individuum verfügt über einen bestimmten Kanon von verschiedenen Heuristiken, die durch unterschiedliche Reize hervorgerufen werden und kombiniert werden können. So ein kognitiver Vorgang besteht seinerseits aus einer „Abfolge von unterscheidbaren geistigen Operationen. Solche Teilprozesse sind z.B. Veränderungsprozesse, die aus der gegebene Information neue Informationen oder Hypothesen produzieren, Prüfprozesse [und] eine Zielexplikation.“^[21] Des Weiteren sind diese Teilprozesse nicht willkürlich aneinander gereiht und die Organisation des gesamten Problemlöseprozesses erfolgt mehrschichtig^[22].

Scholz teilt ihn in drei prägnante Phasen:

1. Problem erkennen
2. Lösungsentwicklung
3. Lösungsprüfung^[23]

Brander/Kompa/Peltzer unterteilen die Phasen noch weiter in die Problemwahrnehmung und Problemformulierung, die Produktion von Ideen, die Prüfung und Bewertung der Alternativen, der Entschluss als Auswahl einer Alternative, die Durchführung der ausgewählten Handlung sowie das Erleben und Beobachten der Konsequenzen (der Handlungsausführung)^[24].

Diese Phasen folgen allerdings nicht linear aufeinander, sondern wiederholen sich in einem zyklischen Muster, welches genau dann beendet wird, wenn eine Lösung entsteht.

Diese „Abarbeitung“ von aufeinanderfolgenden Schritten kann man durchaus bewusst steuern. Je nach Problemsituation ist allerdings eine andere Auskleidung dieser Schritte notwendig. Sie kann als Basis für alle bekannten Heuristikstrategien betrachtet werden. Die simpelste Form einer solchen Strategie macht nach Dörner das Versuchs-Irrtum-Verhalten aus. Es ist noch relativ unsystematisch. Es gibt aber noch eine Reihe durchaus systematischer Strategien, die, sofern die Problemlöserin Kenntnis von ihnen hat, auch sehr bewusst und zielgerichtet zum Lösen eines Problems eingesetzt werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einige wichtige heuristische Prinzipien für das allgemeine Problemlösen werde ich im Folgenden näher erläutern.

Die Versuchs-Irrtum-Strategie:

Die Problemlöserin, wählt zur Bearbeitung des Problems eher unsystematische Lösungsmöglichkeiten und testet sie auf ihre Eignung. Allerdings werden hierbei zunächst nicht unbedingt Rückschlüsse auf die Beschaffenheit der zweiten Lösungsmöglichkeit geschlossen.

Das Ausschlussprinzip:

Die Problemlöserin kann durch gezielte Überlegungen, den Bereich aus dem die Lösung stammen könnte, insofern eingrenzen, indem sie falsche Lösungen ausschließt. Sie vermindert somit die Zahl von potentiellen Lösungsmöglichkeiten von vornherein.

Die Mittel-Ziel-Analyse:

Die Problemlöserin sucht zunächst Zwischenziele, die es zu erreichen gilt, um sie dann als Operationsmittel für den eigentlichen Problemlöseprozess zu verwenden.

Das Vereinfachen:

Die Problemlöserin blendet überflüssige Informationen aus der Problemsituation aus und reduziert den Sachverhalt auf relevante Inhalte. Sie verringert so den Aufwand ihrer Denkleistung für eigentlich unnötige Teilbereiche.

Das Analogieprinzip:

Die Problemlöserin nutzt ihr Wissen nicht nur in dem bestimmten Themenbereich, sondern auch dahingehend, als dass sie Gemeinsamkeiten mit bisher schon gelösten Problemen sucht, und analoge Lösungsmöglichkeiten in Betracht zieht.^[25]

Das Veranschaulichen:

Eine Problemsituation wird schematisch oder skizzenhaft festgehalten, um sich einen Überblick über alle relevanten Sachverhalte zu machen.

Das Vorwärtsarbeiten^[26]:

Bei Interpolationsproblemen, wo also Anfangs- und Zielzustand bekannt sind, ist die meist verwendete „Richtung“ eines Problemlöseprozesses die des Vorwärtsarbeitens. Das bedeutet, dass die Problemlöserin ausgehend von dem Ausgangszustand Operationen und Mittel heranzieht, um den Zielzustand zu erreichen.

Das Rückwärtsarbeiten23:

Andersherum ist es beim Rückwärtsarbeiten. Die Problemlöserin versucht ausgehend von dem gewünschten Zielzustand zu ermitteln, welche Schritte notwendig sind, um den Ausganszustand in ihn zu überführen.

All diese heuristischen Strategien bieten eine Möglichkeit, sich einer Problemlösung zu nähern. Dabei sind sie natürlich nicht streng getrennt voneinander einzusetzen, sondern je nach Problemlage kombinier- und ergänzbar.

Das Verknüpfen verschiedener Strategien innerhalb eines Lösungsprozesses lässt sich wie in Abb. 5 darstellen. Das sogenannte „Heuristische Rattenlabyrinth“ verdeutlicht, dass eingeschlagene Wege nicht immer zum Ziel führen, sondern an einem vorherigen „Zweig“ neu angesetzt werden muss/kann, um zur Lösung zu gelangen.

Wir haben also in diesem Kapitel nun kennengelernt, was ein Problem überhaupt ist, wie es sich von dem Begriff Aufgabe unterscheidet, welche verschiedenen Problemtypen es gibt und wie ein Problemlöseprozess beschaffen ist, bzw. sein kann. Dabei haben wir uns auf einer allgemeinen Ebene bewegt, also der Beschaffenheit der Probleme noch keine thematischen Rahmen gegeben und uns stark mit den Denkpsychologischen Vorgängen beim Problemlösen auseinandergesetzt. Schließlich haben wir auch einige mögliche heuristische Problemlösestrategien kennengelernt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im nun folgenden Kapitel wollen wir das Problemlösen unter dem speziellen Rahmen der Mathematik betrachten und bisher gewonnene Einsichten auf ihn übertragen.

2.1.2 Mathematisches Problemlösen

„Die Alltagsrelevanz ist ein Grund, aus dem das Thema Problemlösen ein wichtiger Forschungsgegenstand der Psychologie ist. Aber nicht nur in dieser wissenschaftlichen Disziplin, sondern auch in anderen Gebieten, wie der Philosophie, Informatik oder Soziologie, spielt das Problemlösen eine wichtige Rolle; insbesondere in der Mathematik und ihrer Didaktik.“^[27]

So wollen wir in diesem Kapitel die vorangegangenen Merkmale einer Problems, eines Problemlöseprozesses und auch der heuristischen Strukturen auf den mathematischen Kontext übertragen.

„Nicht wenige und vor allem auch prominente Mathematiker bzw. mathematisch tätige Personen vertreten die Meinung, dass der Umgang mit Problemen einen wesentlichen Aspekt von Mathematik (betreiben) überhaupt ausmacht und nicht selten zur Entstehung mathematischen Wissens führt.“^[28] Nun müssen wir uns aber zunächst fragen, ab wann ein Problem denn überhaupt dem mathematischen Bereich zufällt. Mathematik beinhaltet ja durchaus mehr, als das bloße Agieren mit Zahlen oder Variablen. Die Definition darüber, was Mathematik eigentlich ist, ist aber nicht eindeutig. Sucht man in der Literatur, so findet man z.B. im Duden den Eintrag:

„Ma│the│ma│tik die; - <gr.-lat.>: Wissenschaft von den Raum- und Zahlengrößen^[29]

Diese Definition mag vielleicht für jemanden, der eine grobe Vorstellung von Mathematik hat, zutreffend klingen, umfasst aber lange nicht alle Aspekte. Sucht man in der Fachliteratur, so finden sich höchstens lange Listen von Merkmalen, letztendlich bleibt sie aber eine recht unscharf abgegrenzte Disziplin. Das liegt aber auch nur in ihrer Natur, im wahrsten Sinne des Wortes, denn Mathematik kann hinter fast allen Zusammenhängen, ja sogar der Natur selbst, stehen. Ein scheinbar alltägliches Problem, wie die Frage nach dem Populationszuwachs von Hasen, hat schließlich im 13. Jahrhundert zu der Entdeckung der Fibonaccizahlen geführt. Aber: „Mathematics is not simply the famous problems that great mathematicians have worked on; all mathematics is created in the process of formulating and solving problems.“^[30] Die Mathematik beinhaltet also nicht bloß viele Probleme, sie entstand auch aus ihnen.

Die Charakterisierung eines Problems ist in der Mathematikdidaktik ziemlich ähnlich gehalten, wie in der Psychologie. Es wird teilweise auch ebenso argumentiert und von einem Problem gesprochen, wenn eine Aufgabe dem Bearbeiter beim Lösen eine Barriere entgegenstellt. Ob eine Aufgabe ein Problem darstellt, hängt von den Erfahrungen, Kenntnissen und Fähigkeiten der Problemlöserin ab.^[31] Stärker bezogen auf die Mathematik ist die Abgrenzung zum Aufgabenbegriff ebenso relevant, ein Problem besteht also erst dann, wenn seine Lösung nicht routinemäßig zu finden ist, also eine Nichtroutineaufgabe.

Gerade in der Geschichte der Mathematik sind es meist solche Probleme, die einen wissenschaftlichen Fortschritt, auch für die Mathematik selbst, bedeuten. „Die Geschichte der Mathematik ist reich an Problemen, deren Lösungsprozesse sich über Jahrhunderte erstreckten. Denken wir an die Quadratur des Kreises. Dieses, von den Griechen etwa um 430 v. Chr. aufgeworfene Problem bestand darin, mit Zirkel und Lineal aus einem Kreis ein Quadrat mit gleich großer Fläche zu konstruieren. Spätestens seit 1801 waren die Fachleute überzeugt, dass es unmöglich ist, die Konstruktion durchzuführen. Den Nachweis erbrachte LINDEMANN (1852 – 1939) hingegen erst 1882 mit dem Beweis der Transzendenz von π.“^[32]

Diese Tatsache unterstreicht auch die Relevanz, die das Problemlösen in der Mathematik erlangt, denn auch heute gibt es durchaus noch mathematische Problemsituationen, die ungelöst sind, bzw. deren Problemlöseprozess noch aktiv ist^[33].

Mathematische Problemaufgaben^[34], bzw. mathematische Probleme lassen sich ebenso typisieren, wie psychologische, jedoch bewegen wir uns hier auf einer deutlich praxisorientierteren Ebene. Es geht also darum, welche Typen Problemaufgaben einem Mathematikbetreibenden begegnen können und wie sie sich unterscheiden.

Eine Unterscheidungsmöglichkeit ist die Einteilung nach Themengebieten, bzw. nach Operationsbereichen. Pòlya unterscheidet hier zwischen Bestimmungsaufgaben und Entscheidungsaufgaben, Kratz sondert des Weiteren auch die Entdeckungsaufgaben ab.

Bestimmungsaufgaben

- Berechnen von Zahlen und Größen
- Konstruieren von Größen und Figuren
- Bestimmen verschiedener Fälle, die bei der Aufgabenlösung zu unterscheiden sind
- Beschreiben von Lösungsschritten, etwa bei einer geometrischen Konstruktion

Entscheidungsaufgaben

- Beweisen einer Behauptung
- Überprüfen der Lösung einer Bestimmungsaufgabe auf Richtigkeit und Vollständigkeit
- Überprüfen der Lückenlosigkeit von Beweisen

Entdeckungsaufgaben

- Aufstellen von Vermutungen noch unbekannter Gesetzmäßigkeiten
- Entdecken neuer Interpretationsmöglichkeiten eines vorgegebenen Sachverhalts
- Auffinden neuer Problemstellungen in einem bestimmten mathematischen Sachbereich

(vgl. Heinrich, 2004, S. 42/43)

Es gibt natürlich noch weiter Möglichkeiten, zwischen den verschiedenen mathematischen Problemsituationen zu unterscheiden, beispielsweise die Themengebiete zu verfeinern und zwischen algebraischen, geometrischen, stochastischen etc. Problemaufgaben zu differenzieren. Auch die Unterteilung in innermathematische und anwendungsbezogene Probleme ist denkbar.

Widmen wir uns nun dem Vorgang des Problemlöseprozesses im mathematischen Kontext.

„Die neuzeitliche Beschäftigung mit dem Prozess des Problemlösens aus Sicht der Mathematik beginnt am Anfang des 20. Jahrhunderts mit den introspektiven Berichten Henri Pioncaré. Diese Überlegungen wurden von mehreren Mathematikern, aber auch Psychologen und Mathematikdidaktikern aufgegriffen. Trotz ihres teilweise hohen Alters sind viele dieser Überlegungen immer noch relevant oder bilden die Grundlage für neuere Theorien und werden auch in der aktuellen Forschungsliteratur noch häufig zitiert.“^[35]

Pioncaré (1914) beschäftigte sich vornehmlich mit der Frage, warum es Menschen gibt, die mathematische Zusammenhänge problemlos verstehen, und solche, für die selbst „einfache“ Sachverhalte eine Problemsituation darstellen. Für ihn war maßgeblich, dass der mathematische Problemlöseprozess zum einen in einer bewussten Phase abspielt, in der sich die Problemlöserin mit dem Problem vertraut mache, und zum anderen in einer unbewussten Phase, in der das Unterbewusstsein die verschiedenen Kombinationen von Lösungsmöglichkeiten durchspiele. So kämen nach Pioncarés (1914) beispielsweise plötzliche Aha-Erlebnisse zustande, bei denen sich Lösungen offenbaren, während man sich aktiv nicht (mehr) mit dem Lösungsvorgang auseinandersetzt.^[36] Dies ist mit Sicherheit bei einigen Menschen der Fall, jedoch würde ich persönlich dies eher als eine Kompetenz verorten, die man durchaus auch bewusst erlernen und steuern kann (näheres dazu später in diesem Kapitel).

George Pólya, ein sehr bekannter Mathematiker und Mathematikdidaktiker, der die Geschichte des mathematischen Problemlösens maßgeblich geprägt hat und als einer ihrer Urväter gilt^[37], unterteilt in seinem populären Werk „Schule des Denkens“ (1949) den Problembearbeitungsprozess (aufgrund eigener Erfahrungen) in vier Phasen:

1. Verstehen der Aufgabe^[38]: Die klare Erfassung und Herausarbeitung der einzelnen Forderungen
2. Ausdenken eines Plans: Den Entwurf eines Gedankenganges in seinen Grundzügen
3. Ausführung eines Plans: Die tatsächliche Durchführung desselben in allen seinen Einzelheiten
4. Rückschau: Reflexion und Überprüfung des Prozesses und der Methode^[39]

(siehe hierzu Abb. 6)

Diese Phasen möchte ich im Folgenden näher erläutern.

In der ersten Phase Verstehen der Aufgabe soll die Problemlöserin zunächst die Aufgabenstellung verinnerlichen, hierzu gehören unter anderem das Wiederholen der Aufgabenstellung in eigenen Worten, sowie das Herausstellen des Gegebenen und des Gesuchten. Auch Verbildlichungen des Sachverhalts sind dieser Phase zuzuordnen.

Die zweite Phase das Ausdenken eines Plans beinhaltet nun die wichtigste Leistung der Problemlöserin und im Problemlöseprozess wohl auch die schwierigste. Hier stellt sie Überlegungen an, welche Wege oder Betrachtungsweisen am geeignetsten sind, um eine Lösung zu produzieren. So kann sie sich beispielsweise verschiedener mathematischer Heurismen bedienen und die Brauchbarkeit gegeneinander abwägen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hat sie sich für einen Plan entschieden, erfolgt in der dritten Phase Ausführung eines Plans nun die konkrete (rechnerische) Umsetzung. Hierbei stellt sich möglicherweise auch heraus, dass der angedachte Plan in seiner Umsetzung nicht zum gewünschten Ergebnis führt, die Problemlöserin kontrolliert also schon in Ansätzen das Produkt der zweiten Phase.

In der vierten und letzten Phase Rückschau reflektiert die Problemlöserin nach gefundener Lösung nun den gesamten Problemlöseprozess hinsichtlich seiner Plausibilität, seiner Korrektheit, aber auch seiner Verwendbarkeit für spätere Problemsituationen.^[40]

Dieses Vier-Phasen-Modell legt nun die Vermutung nahe, ein Problemlöseprozess verliefe stets in einer klar linearen Reihenfolge. Jedoch orientiert sich die Problemlöserin spätestens in der Rückschau erneut an der Problemstellung des Anfangs, reflektiert also erneut, ob die gefundene Lösung auch die von der Aufgabenstellung gewünschte ist. Statt streng linear verläuft also ein Problemlöseprozess eher zyklisch, was keinesfalls einen Verwurf der Pólya‘schen Einteilung darstellt, sondern eher eine Erweiterung^[41].

Wie man sieht kann nach diesem Modell ein Problemlöseprozess erstens sowohl in die eine, als auch in die andere Richtung verlaufen und zweitens kann die Rückschau sowohl auf das Problem selbst bezogen werden, als auch auf die erst Phase, also die Art und Weise der Rezeption des Problems. Es ist ferner so, dass auch die Phasen nicht eindeutig in der gegebenen Reihenfolge auftreten müssen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einige Hinweise darauf, dass auch selbst dies schon erkannt hat, finden sich auch implizit in seinen Texten:

„Wenn wir versuchen, die Lösung einer Aufgabe zu finden, werden wir den Standpunkt, von dem aus wir unsere Aufgabe betrachten, wiederholt ändern müssen.

Wir müssen immer wieder eine andere Position einnehmen. Bei Beginn der Arbeit haben wir von der Aufgabe wahrscheinlich eine ziemlich unvollständige Vorstellung; unsere Auffassung ändert sich schon, wenn wir einige Fortschritte gemacht haben; und sie ist wieder anders, wenn wir die Lösung beinahe gefunden haben.“^[42]

Im späteren Verlauf der Arbeit werden wir dieses Phänomen noch näher betrachten und auch versuchen, die Komplexität und Mehrschichtigkeit des mathematischen Problemlöseprozesses zu skizzieren.

Als letzten Teil dieses Kapitels möchte ich nun noch einige prominente mathematische heuristische Verfahren und Strategien vorstellen, da sie ja durchaus den Pool bilden, aus dem eine Problemlöserin den essentiellen Teil des Problemlöseprozesses (das Ausdenken eines Plans) gewinnen kann.

Wie schon im vorigen Kapitel festgestellt, versteht man unter Heurismus eine bestimmte kognitive Vorgehensweise oder Suchstrategie, die zu einer gewünschten Lösung führen kann.^[43] Gerade die Kenntnis von heuristischen Verfahren kann für eine Problemlöserin sehr wichtig für den Problemlöseprozess sein, da sie, wie ich schon erwähnt habe, die kritische Phase (Aufstellen eines Plans) unterstützen können. Da ich auch im praktischen Teil auf die Verwendung von Heurismen zu sprechen kommen werde, folgen hier nun einige heuristische Vorgehensweisen.

Skizze / informative Figur

Dieser Heurismus beinhaltet die Visualisierung einer Problemsituation. Dies kann zu der Zeichnung von geometrischen Figuren (oder Ergänzungen inner- sowie außerhalb) führen, aber auch von schematischen Darstellungen und Diagrammen. Diese Visualisierung ist besonders für die Orientierung innerhalb einer Problemsituation von Bedeutung.

Eine Tabelle eignet sich besonders gut dafür, gegebene oder gefundene Werte oder Zwischenlösungen geordnet abzulegen und zu systematisieren.

Je nach Problemsituation kann es helfen, den Sachverhalt algebraisch dazustellen und auch auf algebraischer Ebene zu lösen (bzw. zu beweisen) und das Ergebnis wieder auf die Ausgangssituation zu beziehen.

Wissensspeicher

Damit sind Formelsammlungen, Tafelwerken o.Ä. gemeint, mithilfe derer die Problemlöserin akute Wissenslücken füllen kann.

Lösungsgraph

Ein Lösungsgraph ist ähnlich der Skizze eine Verbildlichung der Problemsituation, jedoch hier im spezielleren Fall. Er sollte nicht nur skizzenhaft, sondern gewissenhaft angefertigt werden, um aus ihm Rückschlüsse (bzw. erste Ideen für Rückschlüsse) gewinnen zu können.

Analogieprinzip

Das Analogieprinzip beschreibt das Vergleichen der Problemsituation mit bekannten ähnlichen Problemen, deren Lösungswege eventuell auch auf das aktuelle übertragbar sind.

Rückführungsprinzip

Das Rückführungsprinzip ähnelt dem Analogieprinzip, jedoch wird hier nach Problemen gesucht die sozusagen als Vorläuferproblem für das eigentliche dienen (ein Beispiel hierfür ist das Rückführen zum Vorgang der Addition gleichnamiger Brüche, bei dem Problem ein Verfahren für die Addition ungleichnamiger Brüche zu gewinnen).

Invarianzprinzip

Beim Invarianzprinzip betrachtet die Problemlöserin Unveränderlichkeiten der gegebenen Problemsituation (oder einzelner Bestandteile).

Zerlegungsprinzip

Dieses Prinzip beinhaltet die Aufteilung des Problems in mehrere Teilprobleme, deren Lösung im Einzelnen einfacher zu finden ist und sich im Anschluss zu einer Gesamtlösung zusammenfügen lassen.

Verallgemeinern

Das Verallgemeinern bedeutet, dass ausgehend vom ursprünglichen Problem zu einer neuen Problemstellung gefunden wird, von welcher das Ausgangsproblem als Spezialisierung gesehen werden kann.

Spezialisieren

Genau umgekehrt zum Verallgemeinern wird hier zunächst eine Problemstellung entwickelt, die einen Spezialfall des ursprünglichen Problems darstellt. Ausgehend von diesem Spezialfall (oder mehrerer Spezialfälle) kann die Problemlöserin nun Vermutungen für den allgemeinen Fall entwickeln.

Systematisches Probieren

Das Systematische Probieren bedeutet das planvolle Testen von einzelnen Elementen im Problemzusammenhang, um entweder eine Idee des Sachverhaltes zu entwickeln, oder sich bereits einer Lösung zu nähern.

Vorwärtsarbeiten

Das Vorwärtsarbeiten gibt eine Suchrichtung vor. In diesem Falle geht die Problemlöserin ausgehend vom Ausgangszustand vor und versucht zum Zielzustand zu gelangen.

Rückwärtsarbeiten

Entgegengesetzt zum Vorwärtsarbeiten betrachtet die Problemlöserin hier den Zielzustand und versucht die jeweils vorherigen Schritte zu konstruieren, bis sie den Ausgangszustand erreicht hat.^[44]

Modellieren

Modellieren bedeutet, dass eine Problemsituation (in diesem Fall vornehmlich außermathematisch) auf eine mathematische Ebene transferiert wird (z.B. geometrische oder algebraisch) und innerhalb dieses Bereichs an einer Lösung gearbeitet wird, die im Anschluss wieder auf die Realsituation transferiert wird.

In dem Vier-Phasen-Modell nach (1949) ist die Verwendung solche Heurismen, wie schon erwähnt, vornehmlich den ersten beiden Phasen Verstehen des Problems und Ausdenken eines Plans zuzuordnen. „Schritt 3 [ Ausführen eins Plans ] ist frei von heuristischen Elementen; alles was hier verlangt wird, ist im Prinzip von jedem Schüler erlernbar. Im Schritt 1 [Suchen nach einem Lösungsplan] spielen heuristische Vorgehensweisen die dominierende Rolle, aber auch die Schritte 1 [Erfassen der Aufgabe] und 4 [Kontrolle und Auswertung] sind nicht frei von heuristischen Elementen.“^[45]

Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass Kenntnis über und die Verwendung von Heurismen eine zentrale Ursache für das Gelingen eines Problemlöseprozesses sein können.

Wir haben uns in diesem Kapitel nun ausgiebig mit dem Wesen des Problemlösens beschäftigt, sowohl aus psychologischer als auch aus mathematischer Sicht. Wir haben festgestellt, dass beim Problemlösen verschiedene kognitive Denkprozesse in Gang gesetzt werden, die man grob untergliedern kann in vier Phasen (Verstehen des Problems, Ausdenken eines Plans, Ausführen eines Plans und Rückblicken), welche allerdings nicht linear, sondern zyklisch verlaufen. Des Weiteren haben wir verschiedene Heurismen kennengelernt, die zur Bewältigung eines Problems hilfreich sein können.

Im folgenden Kapitel wollen wir nun das Problemlösen aus mathematikdidaktischer Sicht weiter beleuchten und ergründen, warum gerade das Problemlösen eine wichtige Kompetenz im Mathematikunterricht darstellt und welche Ansätze in der mathematikdidaktischen Forschung dazu bisher angestellt wurden.

2.2 Problemlösen im mathematikdidaktischen Kontext

„Wenn man nach den Gründen fragt, die einen Mathematikunterricht als allgemeinbildend qualifizieren und damit auch für alle legitimieren, dann wird Problemlösen zu einem Eckpfeiler in der Argumentation.“^[46]

Problemlösen ist nämlich sowohl allgegenwärtig und unabdingbar als auch im schulischen Kontext fächerübergreifend und persönlichkeitsbildend. Vier von mehreren wichtigen Gründen, sich gerade im Bezugsrahmen Bildung ausführlich mit ihm auseinanderzusetzen. Auch Heinrich merkt an: „Da das Lösen von Problemen sowohl im Alltagsleben als auch in der Wissenschaft eine große Rolle spielt, muss die Fähigkeit des Individuums zum Lösen von Problemen auch ein Bildungs- und Erziehungsziel eines jeden Unterrichts darstellen.“^[47] Und wo ließe sich das Problemlösen wohl prozessbezogener integrieren als in den Mathematikunterricht?

2.2.1 Problemlösekompetenz

Das NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) formuliert als internationales Gremium für Mathematik-Unterricht in seinen „Process Standards“ eine Forderung nach der Integration des Problemlösens in den MU.

„Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to -

- build new mathematical knowledge through problem solving
- solve problems that arise in mathematics and in other contexts
- apply and adapt a variety of appropriate strategies to solve problems
- monitor and reflect on the process of mathematical problem solving“^[48]

Auch in den bundesweiten Bildungsstandards und speziell im Kerncurriculum Niedersachsen für das Fach Mathematik wird das Problemlösen als eine der zentralen Kernkompetenzen erwähnt.

„Mathematik verbirgt sich in vielen Phänomenen der uns umgebenden Welt. Schülerinnen und Schüler werden für den mathematischen Gehalt alltäglicher Situationen und Phänomene sensibilisiert und zum Problemlösen mit Hilfe mathematischer Mittel angeleitet. […]“^[49]

„Schülerinnen und Schüler können sich zunehmend in andere einfühlen, indem sie auf Argumente und dargestellte Rechenstrategien anderer eingehen und Probleme gemeinsam lösen.“^[50]

„Schülerinnen und Schüler finden gerade dann individuelle Lösungsansätze und Lösungsstrategien, wenn sie mit Fragestellungen und problemhaltigen Situationen konfrontiert werden, für die sie noch keine festen Lösungsschemata haben.“^[51]

Ebenso ist das Problemlösen als prozessbezogene Kompetenz in sämtlichen Kerncurricula der Mathematik festgehalten. Wir haben schon eingangs darüber gesprochen, dass Problemlösen nicht nur als Vorgang (wie im vorigen Kapitel gehandhabt), sondern auch als wichtige Kompetenz^[52] zu verstehen ist. Um zu verstehen, was den Kompetenzcharakter des Problemlösens ausmacht, wollen wir zunächst die Definition einer Kompetenz an sich betrachten.

Nachdem die TIMS-Studie (Third International Mathematics and Science Study) 1995 hervorbrachte, dass deutsche Schülerinnen ein erhebliches Defizit beim Lösen mathematischer Probleme aufweisen, ist die Bedeutung dieses Themas rasant gestiegen. Doch erst nach dem sogenannten PISA-Schock aus dem Jahr 2000, bei dem überdurchschnittliche Mängel in der (allgemeinen) Bildung der Schülerinnen festgestellt wurde, hat im schulischen Bildungssektor der Bundesrepublik Deutschland ein Umdenken stattgefunden. Statt der bisherigen Input-Orientierung wurde die Vermittlung von Bildung zu einer Output-Orientierung umgestellt. Ausschlaggebend ist nun also nicht mehr, was unterrichtet werden soll, sondern was die Schülerinnen am Ende einer Unterrichtsstunde bzw. Unterrichtssequenz oder auch einem ganzen Schuljahr gelernt haben sollen - also, welche Fähigkeiten und Fertigkeiten sie erworben haben sollen. Man stellt sich also heute die Fragen: Was von dem, was wir (Lehrerinnen) unterrichten, kommt auch bei den Schülerinnen an? Was sollen sie in welchen Situation können? Daher werden Bildungsziele seit 2004 kompetenzorientiert formuliert. Auch dienen sie der Messbarkeit von Leistung.

Unter Kompetenz versteht man also „die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können.“^[53]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ansicht über die Relevanz des Problemlösens im Mathematikunterricht ist allerdings nicht neu, so Heinrich (2004). „Schon Dewey (1910) trat für eine vermehrte Pflege des Problemlösens im Unterricht ein.“^[54] Im Laufe der Zeit ist es aber weitgehend aus den Köpfen der Mathematikdidaktikerinnen verschwunden und rückte erst mit Pólya (1949) wieder in deren Blickfeld, und spielt heute, wie wir gesehen haben, eine essentielle Rolle im Rahmen mathematischer Bildung.

In welchem Rahmen dies in der aktuellen Mathematikdidaktik eine Rolle spielt, werden wir uns nun im folgenden Kapitel ansehen.

2.2.2 Ansatzpunkte und Maßnahmen zur Förderung der Problemlösekompetenz – eine Bestandsaufnahme

Wie schon erwähnt, ist das mathematische Problemlösen trotz seiner langen Karriere erst vor kurzem wieder stärker in das Blickfeld der Mathematikdidaktik gerückt. War noch in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts hauptrangig das Anwenden von Mathematik Ziel mathematischer Bildung, so liegt das Augenmerk heute stärker auf dem Verstehen und Verinnerlichen mathematischer Vorgänge und auch auf der Förderung der Selbstständigkeit von Schülerinnen. „Die Ergebnisse der TIMS^[55] - und der PISA^[56] -Studie machen deutlich, dass ein eng geführter, kleinschrittiger, fragend-entwickelnder Mathematikunterrichts die für die Förderung des problemlösenden Denkens notwendige kognitive Aktivierung der Schüler nicht zu leisten vermag.“^[57]

Im Folgenden werde ich einige wichtige Ansätze zur Förderung der Problemlösekompetenz anführen.

Seit Pólya mit seinem Werk „Schule des Denkens“ im Jahr 1949 erstmals versuchte, den Charakter eines Problemlöseprozesses zu bestimmten, reihten sich in den Folgejahrzenten einige weitere Mathematikdidaktikerinnen ein und konzentrierten sich mit ihren Untersuchungen zunächst auf die Analyse der Beschaffenheit von Problemen und deren Lösungsprozessen. Zum Beispiel entwickelte Kilpatrick (1967) ein Analyseschema für Problemlöseprozesse und fand heraus, dass eine Korrelation zwischen dem Einsatz von Heurismen und der Problemlösefähigkeit besteht. Mitte der 80er Jahre beschäftigte sich Schoenfeld (1985) mit der Frage, was denn eine „gute“ von einer „schlechten“ Problemlöserin unterscheide und stellte (hier ergänzt durch Lester, 1994) einige Merkmale auf:

- Der Wissensumfang von „guten“ Problemlöserinnen ist deutlich größer und besser vernetzt als der von „schlechten“.
- „Gute“ Problemlöserinnen können ihre Gedanken während des Problemlöseprozesses stärker auf sie strukturellen Merkmale des Problems richten als „schlechte“.
- „Gute“ Problemlöserinnen gehen reflektierter mit ihren Kompetenzen um.
- „Guten“ Problemlöserinnen gelingt es besser, ihre Problemlöseprozesse zu strukturieren und zu reflektieren als „schlechten“.
- „Gute“ Problemlöserinnen legen mehr Wert auf eine elegante Lösung eines Problems als „schlechte“.^[58]

Des Weiteren kam er zu dem Schluss, dass die Problemlösekompetenz nicht alleine von der Kenntnis über mathematische Sachverhalte und der Anwendung der „richtigen“ Heuristik abhängt, sondern dass auch affektive Variablen (z.B. die persönliche Erfahrung zum Problemlösen) eine wichtige Rolle spielen. Von Schoenfeld (1985, S. 15f) stammen in diesem Zusammenhang auch weitere Überlegungen zu den Faktoren, die sich auf das individuelle Problemlösen auswirken. Er unterteilt sie in vier Bereiche.

Resources:

- Mathematical knowledge possessed by the individual that can be brought to bear on the problem at hand
- Intuitions and informal knowledge regarding the domain
- Facts
- Algorithmic procedures
- „Routine“ nonalgorithmic procedures
- Understandings (propositional knowledge) about the agreed-upon rules for working in the domain

Heuristics:

- Strategies and techniques for making progress on unfamiliar or nonstandard problems; rules of thumb for effective problem solving, including
- Drawing figures; introducing suitable notation
- Exploiting related problems
- Reformulating problems; working backwards
- Testing and verification procedures

Control:

- Global decisions regarding the selection and implementation of resources and strategies
- Planning
- Monitoring and assessment
- Decision-making
- Conscious metacognitive acts

Belief Systems:

- One’s „mathematical world view“, the set of (not necessarily conscious) determinants of an individual’s behaviour
- About self
- About the environment
- About the topic^[59]

Unter Resources versteht er das mathematische Grundlagenwissen, auf das eine Problemlöserin zurückgreifen kann, unter Heuristics die heuristischen Vorgehensweisen, unter Control eine Art der Selbstregulation und Metakognition und unter Belief Systems das Selbstkonzept der Problemlöserin, sowie ihre Einstellung zu den das Problemlösen umgebenden Faktoren.

Daran anknüpfend erstellte Geering (1992) eine Übersicht über die verschiedenen Ebenen des Problemlösens auf, in denen die Faktoren, die das Problemlösen beeinflussen, bestimmten Kategorien zugeordnet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. Heinrich, 2004, S. 74)

[...]

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^[1] Original: "What you do when you don't know what to do". In: G. H. Wheatley: Problem solving in school mathematics. MEPS Technical Report 84.01, West Lafayette, Indiana, Purdue University, School of Mathematics and Science Center, 1984, S. 1

^[2] Duden. Das Fremdwörterbuch. 2005

^[3] Zur weiteren Vertiefung des Themas wird empfohlen: Klix, 1992 sowie Klix, 1993.

^[4] Zimmermann, 1999, S. 3

^[5] Rott, 2013, S. 5

^[6] Dörner, 1976, S.10

^[7] Köster, 1994, S. 16/17

^[8] Vgl. Heinrich, 2004, S. 30

^[9] Vgl. Dörner, 1976, S. 11

^[10] Hussy, 1993, S. 18

^[11] Dörner, 1976, S. 12

^[12] Dörner, 1976, S. 13

^[13] Der Begriff Problemlöseprozess soll hier zunächst im tatsächlichen Sinne verstanden werden. Im späteren praktischen Teil der Arbeit werde ich eher von Problembearbeitungsprozessen sprechen, da nicht immer eine Lösung gefunden wird. Im theoretischen Teil aber, wird vorerst von einem Prozess mit befriedigendem Lösungsergebnis ausgegangen.

^[14] Kluwe, 1979, S. 62

^[15] Vgl. Dörner, 1976, S. 26 - 28

^[16] Dörner, 1976, S. 27

^[17] Der sensorische Speicher enthält keine bewussten Informationen, sondern ist lediglich ein Abbild einer Reizsituation, das Kurzzeitgedächtnis kann über einen strittigen Zeitraum von einigen Minuten bis zu sieben Einheiten speichern, das Langzeitgedächtnis hingegen unbegrenzte Informationen, allerdings mit sehr geringer Einspeicherungsgeschwindigkeit. (vgl. Dörner, 1976, S. 28 + 29)

^[18] Dörner, 1976, S. 29

^[19] Heinrich, 2004, S.29

^[20] Woolfolk, 2008, S. 365

^[21] Dörner, 1976, S. 38/39

^[22] Vgl. Heinrich, 2004, S. 22

^[23] Scholz (1979, zitiert von MESSNER 1987, S. 192)

^[24] Brander/Kompa/Peltzer, 1985, S. 164

^[25] Vgl. Rott, 2013, S. 76/77 und Kluwe, 1979, S. 65 - 70

^[26] Dem Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten kommt insofern eine Besonderheit zu, als dass sie lediglich die Richtung des Problemlösevorgangs festlegen. Alle weiteren Strategien lassen sich natürlich mit diesen Richtungen kombinieren. (vgl. Rott, 2013, S. 79)

^[27] Rott, 2013, S. 5

^[28] Heinrich, 2004, S. 38

^[29] Duden, Fremdwörterbuch, S. 640

^[30] Kilpatrick, 1985, S. 3

^[31] Rott, 2013, S. 24

^[32] Heinrich, 2004, S. 39

^[33] Als Beispiel hierfür sei die Bestimmung aller Nachkommastellen der Kreiszahl Pi genannt, deren Anzahl zwar schon bei ca. 5 Billionen liegt, deren Vervollständigung aber immer noch offen ist. Im Besonderen befindet sich der Problemlöseprozess hier sogar noch in der Phase, einen geeigneten Algorithmus zu finden, also eine geeignete Operation, um den Ausgangszustand in einen Zielzustand zu überführen, welcher bei diesem Problem aber ebenfalls offen ist.

^[34] Dieser Begriff ist unserer eigentlichen Definition nach paradox. Er wird innerhalb der Mathematikdidaktik jedoch gelegentlich gebraucht. Unter Problemaufgabe ist in diesem Zusammenhang der Begriff ´Aufgabe´ lediglich als Aufforderung zur Bearbeitung eines Sachverhalts zu verstehen. Eine Problemaufgabe stellt hierbei den Spezialfall einer Problemsituation dar.

^[35] Rott, 2013, S. 47

^[36] Vgl. Pioncaré, 1914, S. 36 ff

^[37] Bruder/Collet, 2011, S. 18

^[38] Pólya meint hier mit dem Begriff Aufgabe nicht eine Aufgabe in dem Sinne, in dem wir sie definiert haben, sondern im Sinne einer Problemaufgabe.

^[39] Vgl. Heinrich, 2004, S. 45

^[40] Vgl. Rott, 2013, S. 49/50

^[41] Vgl. Heinrich, 2004, S. 46

^[42] Pólya, 1949, S. 18 f

^[43] Vgl. Woolfolk, 2008, S. 365

^[44] Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten kann selbstverständlich auch kombiniert werden, sodass von beiden Seiten an eine Lösung herangearbeitet wird.

^[45] Rott, 2013, S. 79

^[46] Bruder/Collet, 2011, S. 20

^[47] Heinrich, 2004, S.49

^[48] http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=322 (eingesehen am 02.12.14 um 15.57 Uhr)

^[49] Kerncurriculum für die Grundschule, Mathematik, Niedersachsen, 2006, S. 7

^[50] ebd., S. 8

^[51] ebd. S. 9

^[52] nicht nur um mathematischen Bereich, aber verstärkt in diesem

^[53] Möwes-Butschko, 2012, S. 6

^[54] Heinrich, 2004, S. 49

^[55] Vgl. Baumert et al., 1997

^[56] Vgl. Baumert et al., 2001

^[57] Schneeberger, 2009, S. 22

^[58] Vgl. Burchartz, 2003, S. 39

^[59] vgl. Heinrich, 2004, S. 73f