Römische Amphitheater: Geometrie und Vermessung, literarische und mathematische Grundlagen


Forschungsarbeit, 2015

42 Seiten


Leseprobe

GLIEDERUNG

1. EINLEITUNG, STAND DER FORSCHUNG

2. VERMESSENE AMPHITHEATER

3. VERMESSUNGSERGEBNISSE (ELLIPSEN ODER SEQUENZ VON KREISBÖGEN?)

4. IST DIE ARENA AUCH DANN ELLIPTISCH, WENN DER THEATER-UMFANG EINE ELLIPSE IST, UND WIE VERLAUFEN DANN DIE STRAHLEN?

5. STAND DES WISSENS ZU DEN ELLIPSEN IM ALTERTUM

6. PRO UND CONTRA (ELLIPSEN ODER KREISBÖGEN, LAGE DER STRAHLEN?)

7. WIE KONNTEN DIE RÖMISCHEN AGRIMENSOREN ELLIPSEN UND STRAHLEN ABSTECKEN?

8. AUSBLICK

9. SUMMARY IN ENGLISH

10. ANHANG (MATHEMATISCHE NACHWEISE DER ABWEICHUNGEN)

11. LITERATURLISTE

12. BILDERNACHWEIS

1. EINLEITUNG, STAND DER FORSCHUNG

Die Frage, ob die Grundrisse der verschiedenen römischen Amphitheater als mathematische Ellipsen konstruiert sind, oder ob sie aus Kreisbögen unterschiedlichen Halbmessers erzeugt sind, beschäftigt seit geraumer Zeit die Fachwissenschaft. Im Vordergrund stehen dabei die konstruktiven Prinzipien des Flavischen Amphitheaters (Kolosseum) in Rom (Abb.1)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Abb. 1 Rom Kolosseum

Umfangreiche Untersuchungen aus dem Jahr 1993 stammen von Wilson Jones1. Seine Arbeit basiert auf den bis dahin vorliegenden, bzw. durch ihn selbst durchgeführten Vermessungen und kommt zu dem Ergebnis, dass der Grundriss des Kolosseums aus acht Kreisbögen zusammengesetzt sein müsse2. Seit dem Jahr 1999 liegen jedoch sehr präzise Vermessungen des Kolosseums vor3, die Anlass geben, die früheren Forschungen zu überdenken. Die Mehrzahl der Autoren, deren Arbeiten auf diesen neuen Vermessungen basieren, tendieren zwar generell zu der Annahme von Wilson Jones, legen jedoch andere Entwurfsprinzipien bzw. Parameter für die Konstruktion der Kreisbögen und deren Anzahl vor. Allerdings weisen sie mehrfach auf den Umstand hin, dass die Rechenergebnisse aus dieser Vermessung einen letztlich eindeutigen Schluss (Kreisbogenlösung oder Ellipse?) nicht zuließen4. Demgegenüber gibt es aber auch Autoren, welche die mathematische Ellipse als Grundrissprinzip des Kolosseums vertreten bzw. für plausibel halten5. Die in den bisherigen Veröffentlichungen interpretierten Vermessungsergebnisse, sowie die dort herangezogenen Grundlagen erscheinen mir jedoch für eine abschließende Beurteilung nicht ausreichend. Ich werde im Folgenden versuchen, einerseits durch eine erweiterte Analyse dieser Vermessungsergebnisse, andererseits durch eine Darstellung der Kenntnisse antiker Mathematiker über die Eigenschaften der Kegelschnitte und hier insbesondere der Ellipse, der Entscheidung der Frage: „Ellipse oder Oval aus Kreisbögen“? näher zu kommen.

Eine zweite Frage zum Grundriss der Amphitheater betrifft die Achsen (ich bevorzuge den Begriff „Strahlen“), nach denen der Verlauf der äußeren Erschließungstreppen bzw. der Substruktionsgewölbe erfolgt. Treffen sie sich, wie beim Kolosseum, auch bei den anderen Amphitheatern in wenigen diskreten Punkten oder verlaufen sie durch den Ellipsenmittelpunkt, sind sie gar mathematische „Normalen“ zu der Außenkurve (also Geraden, die rechtwinklig auf den Kurventangenten stehen) oder folgen sie Vereinfachungen, die aus der Praxis der Vermessung resultieren? Auch hierüber glaube ich in der nachfolgenden Untersuchung einige Aspekte beitragen zu können.

2. VERMESSENE AMPHITHEATER

Von den noch weitgehend aufrecht stehenden Amphitheatern , die nicht vollkommen in das Gelände eingetieft sind, sondern über mehrgeschossige Substruktionen der Cavea verfügen, wie in Rom, Verona, Arles, Nîmes, Pula und Thysdrus (El Djem), liegen mir nur für Rom und Nîmes verlässliche Grundrisse vor. Das Kolosseum wurde, wie gesagt, in den Jahren 1998/99 extrem genau vermessen und die Vermessungsdaten mittels Computer sorgfältig ausgewertet. Die Vermessungsmethoden und deren Ergebnisse wurden in ausführlicher Darstellung veröffentlicht6. Der auf diese Weise entstandene Grundrissplan ist in dieser Veröffentlichung enthalten (Abb. 5). Für das Amphitheater in Nîmes (Abb. 2) wurde im Jahr 1986 als Grundlage für den Bau einer modernen Sonnenüberdachung eine genaue Vermessung im Auftrag der Stadt Nîmes durch das Vermessungsbüro CEAUR J.C. Houssard durchgeführt, die ich verwendet habe. Zum Amphitheater in Arles gibt es einen Plan im Maßstab 1: 100 (!), der auf eine im Jahr 1957 erstellte, sehr genaue Vermessung zurückgeht, jedoch für die Peripherie nur sehr wenige Messpunkte ausweist, sodass sie für eine Lösung meiner Frage kaum verwendbar erscheint. Ich habe deshalb auf ihre Verwendung verzichtet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Abb. 2 Amphitheater Nîmes

Dieser Plan liegt mir im Maßstab 1:200 vor. Die vorliegende Arbeit bezieht sich auf diese beiden Amphitheater. Die Pläne der übrigen Bauten, die in den bisherigen Veröffentlichungen abgedruckt waren, sind wegen zu großer Ungenauigkeiten für das Vorhaben dieser Untersuchung nicht brauchbar. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die Außenbegrenzung der Amphitheater auf Geländehöhe und nicht auf Höhe der Kranzgesimse vermessen werden muss, da die Außenwände durch Erdbeben oder andere Einwirkungen aus der Senkrechten gekippt sein können.

3. VERMESSUNGSERGEBNISSE (ELLIPSEN ODER SEQUENZ VON KREISBÖGEN?)

ÄUSSERER UMFANG: ELLIPSEN ODER KREISBÖGEN?

Zwar entwickelt der römische Architekturautor Vitruv für sein halbkreisförmiges „Theatrum latinum“ die Grundrissabsteckung von innen nach außen, also beginnend bei der Orchestra7 (Abb. 29). Diese Konstruktionsweise benutzt er aber vor allem zur Gewinnung der Lage der radialen Strahlen, auf denen die Erschließungstreppen der Cavea verlaufen. Da auf diese Weise der Mittelpunkt der Kreise in der Orchestra festgelegt ist, besteht natürlich kein Hinderungsgrund, auch den kreisförmigen Verlauf der äußeren Begrenzungsmauer des Theaters um diesen Mittelpunkt abzustecken. Demgegenüber muss die Absteckung eines elliptischen oder ovalen Amphitheaters zweifelsfrei von außen nach innen erfolgen. Wollte man innen, bei der Umgrenzung der Arena beginnen, so würden sich die unvermeidlichen Vermessungsfehler nach außen hin vervielfachen. Die Frage, die zu stellen ist, heißt also: Folgt die äußere Umgrenzung des Amphitheaters (und nicht die innere der Arena) einer mathematischen Ellipse oder folgt sie einer Anzahl von Kreisen unterschiedlichen Durchmessers? Die weitere Frage ist dann eine sekundäre: Ist die Form der Umgrenzung der Arena durch die äußere Umgrenzung des Amphitheaters bereits zwingend bestimmt oder bedarf sie einer separaten Absteckung?

Kolosseum

Einer der Autoren8 kommt auf der Basis der neuen Vermessung zu einer Kreisbogenlösung für den Umfang des Kolosseums, bestehend aus 4 Kreisen, deren Mittelpunkte den Kreuzungspunkten der Strahlen entsprechen. Die Plausibilität dieser Annahme ist zu prüfen. In den 1998/99 vermessenen Grundriss des Kolosseums habe ich die Ellipse mittels affiner Abbildung9 aus dem Kreis konstruiert (Abb.3).

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Abb. 3 Kolosseum, Vermessung von 1999,

Vergleich mit der Ellipsenfigur

Die Umfassungsfigur des Amphitheaters entspricht sehr genau der so gewonnenen Ellipse im Rahmen der Zeichengenauigkeit bei Maßstab 1:400 (Ausschnitt in Abb. 4).

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Abb. 4 Ausschnitt aus Abb. 3

Sodann habe ich die genannte Kreisbogenlösung ebenfalls in den Grundriss eingezeichnet (Abb. 5)

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Abb. 5 Kolosseum, Vermessung von 1999,

Vergleich mit der Kreisbogenlösung von Docci

Die Abweichung der Umfassungsfigur des Amphitheaters gegenüber der Kreisbogenlösung beträgt beim Pfeiler, neben dem der kleine in den großen Kreisbogen übergeht, ca. 80 bis 90 cm (in Richtung der Ordinate gemessen).

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Abb. 6 Ausschnitt aus Abb. 5

Anschließend habe ich die Abweichung an dieser Stelle zwischen Ellipse und Kreisbogenlösung auch noch auf arithmetischem Wege ermittelt (Berechnung in Anhang 1). Die Abweichung beträgt genau 88 cm (vergl. Abb. 6). Sie ist allerdings an dieser Stelle nicht am größten. Eine noch deutlich größre Abweichung zwischen Ellipse und Kreisbogen besteht am übernächsten Pfeiler mit 1,60 Meter in Richtung der Ordinate gemessen. (rechtwinklig zu den beiden Kurven gemessen, sind das immerhin 91 cm!). Die Mitteilung des Vertreters Kreisbogenlösung, die Differenz zwischen Kreisbogen und Ellipse betrage nur wenige Zentimeter, ist deshalb unverständlich10. Es ist also auf Grund des mir vorliegenden Plans der Vermessung von 1998/99 unbestreitbar, dass der Außenumfang des Kolosseums als Ellipse abgesteckt worden ist und nicht etwa entsprechend einer Lösung aus Kreisbögen.

Nîmes

Auch in den Grundriss des Amphitheaters von Nîmes habe ich die Ellipse konstruiert Abb. 7)

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Abb. 7 Amphitheater Nîmes, Vergleich mit der Ellipsenfigur

Eine Abweichung der so gewonnenen Ellipse von der Umrissfigur des Amphitheaters ist (innerhalb der Messgenauigkeit bei Maßstab 1:200) nicht feststellbar (vergl. den Ausschnitt in Abb. 8)

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Abb. 8 Ausschnitt aus Abb. 7

Unter Berücksichtigung der geringeren Abmessungen des Amphitheaters von Nîmes im Vergleich zu der des Kolosseums würde sich die maximale Abweichung zwischen Ellipse und Oval aus Kreisbögen zu ca. 100 cm in Ordinatenrichtung ergeben (und zu ca. 59 cm, rechtwinklig zu den Kurven gemessen ).

Fazit

Sowohl die äußeren Umfassungswände des Kolosseums als auch die des Amphitheaters von Nîmes sind als Ellipsen abgesteckt worden.

WELCHEN GEOMETRISCHEN GESETZMÄSSIGKEITEN FOLGEN DIE „STRAHLEN“?

Unter „Strahlen“ verstehe ich, wie eingangs gesagt, die Achsen der Erschließungstreppen der Cavea, deren Verlauf annähernd identisch mit denen der Substruktionsgewölbe ist. Die Bezeichnung „Achsen“ habe ich vermieden, damit Verwechslungen mit den Ellipsenachsen ausgeschlossen sind.

Beim halbkreisförmigen, szenischen Theater sind die Strahlen Kreisdurchmesser und verlaufen rechtwinklig zu den Tangenten der Umfassungswände (sie sind sogenannte „Normalen“, vergl. Abb. 9).

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Abb. 9 Rom, Marcellustheater

Bei einem Amphitheater, dessen Umfang sich aus Kreisbögen zusammensetzt, wären die Strahlen selbstverständlich auch Durchmesser zum jeweiligen Kreismittelpunkt. Wie steht es aber bei elliptischen Amphitheatern? – Sind die Strahlen Normalen (d.h. verlaufen sie rechtwinklig zu den Tangenten der Umfassungswände), verlaufen sie durch den Ellipsenmittelpunkt oder gar durch die Ellipsenbrennpunkte (diese Möglichkeit ist aus geometrischen Gründen auszuschließen), treffen sie sich in diskreten Punkten (wie beim Kolosseum, siehe unten) oder hat man einfach nach praktischen Gesichtspunkten die Abstände der Schnittpunkte der Strahlen mit der Hauptachse durch gleichmäßige Unterteilung gewonnen?

Kolosseum

Die Strahlen verlaufen nach der Vermessung von 1998/99 eindeutig durch 4 diskrete Punkte auf der Haupt- und auf der Nebenachse11. Unter der Voraussetzung, dass der Umriss, wie gezeigt, eine Ellipse ist, sind sie damit zwar keine Normalen, ihr Verlauf nähert sich ihnen jedoch einigermaßen an.

Nîmes

Es sind hier keine diskreten Schnittpunkte der Strahlen feststellbar. Vielmehr liegt die Annahme nahe, dass man den Umfang der Arena, ebenso wie den Umfang des ganzen Amphitheaters jeweils in gleichgroße Intervalle (mit den Sehnenlängen L bzw. L´) eingeteilt hat und so die Durchstoßpunkte der Strahlen gewann (Abb. 10).

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Abb. 10 Amphitheater Nîmes, Verlauf der Strahlen

Nach den vorliegenden Grundrissen anderer Amphitheater (die in diesem Punkt möglicherweise verlässlicher sind als hinsichtlich der Kurven) gibt es einige, bei denen die Strahlen wiederum nach anderen Prinzipien konstruiert sind. Aus dem veröffentlichten Grundriss von Pozzuoli II ist zu entnehmen, dass bei diesem Amphitheater die Strahlen durch den Ellipsenmittelpunkt verlaufen. Dasselbe dürfte z.B. für das Amphitheater von Saintes gelten12.

4. IST DIE ARENA AUCH DANN ELLIPTISCH, WENN DER THEATER-UMFANG EINE ELLIPSE IST, UND WIE VERLAUFEN DANN DIE STRAHLEN?

Unter der Voraussetzung, dass die Umfassungswände des Amphitheaters der Form eine Ellipse folgen, würde die Annahme nahe liegen, dass auch die Begrenzung der Arena eine Ellipse darstellt, die der äußeren ähnlich ist, d.h. dasselbe Verhältnis zwischen Nebenachse und Hauptachse besitzt (b´/a´= b/a)13. In diesem Fall wäre aber die Breite der Cavea (des Zuschauerraums) und damit auch die Breite der einzelnen Stufen im Bereich der Hauptachse (e) größer als im Bereich der Nebenachse (e´) (Abb. 11).

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Abb. 11 Ellipsen mit gleichem Verhältnis b/a

Tatsächlich, und das ist bei den verschiedenen Amphitheatern auch im Großen und Ganzen der Fall, müssen die Stufen und damit die ganze Cavea an jeder Stelle gleich breit sein14. Es fragt sich deshalb: Kann es eine innere Ellipse geben (eben als Abgrenzung der Arena), die an jeder Stelle den gleichen Abstand von der äußeren Ellipse der Unfassungswände besitzt? Dabei müssen die Stufenbreiten rechtwinklig zu der jeweiligen Ellipsentangente gemessen werden (Abb. 12)

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Abb. 12 Kurven mit gleicher Stufenbreite

Die mathematische Frage lautet also: Wenn man von der äußeren Ellipse im allgemeinen Punkt P das Lot auf der Tangente (also die Normale) errichtet und es mit der innen liegenden Kurve (der Begrenzung der Arena) im Punkt P´ schneidet, ist dann die in P´ rechtwinklig auf der Normalen stehende Gerade für die innere Kurve ebenfalls eine Tangente?

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Abb. 13 Ist die innere Kurve auch eine Ellipse?

Dies ist, wenn man die Sache mit allgemeinen Zahlen durchrechnet, nicht der Fall: Die innere Kurve ist keine Ellipse! Dies haben allerdings einige Autoren irrtümlicherweise angenommen15. Anders herum ausgedrückt: Sofern die Abgrenzung der Arena ebenfalls eine Ellipse ist, dann können die Stufen nicht gleich breit sein, was aber gefordert war. Welche Form aber nimmt die Abgrenzung der Arena an, wenn die Stufen überall gleich breit sind? Ich habe dieses Problem mit grafischen Mitteln behandelt (Abb. 14)

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Abb. 14 Innenkurve bei gleich bleibender Stufenbreite

Wenn die Stufenbreite rechtwinklig zu den Tangenten gemessen wird und wenn die Strahlen konsequenterweise ebenfalls rechtwinklig zu den Tangenten verlaufen, so sind zunächst in der Außenellipse (z.B. in regelmäßigen Abständen) Tangenten und Normalen zu konstruieren. Die Normalen treffen sich nicht in einem oder mehreren diskreten Punkten sondern bilden gemeinsam zwischen dem rechten Ast der Hauptachse und dem unteren Teil der Nebenachse die „Umhüllende“ einer weiteren Kurve. Trägt man nun von außen, bei der Umfassungsellipse beginnend, die Stufenbreiten auf diesen Normalen ab, so entsteht eine Schar von (in grüner Farbe eingezeichneten) Kurven. Sie unterscheiden sich von der Ellipse vor allem darin, dass sie am Schnittpunkt mit der Hauptachse nicht mehr stetig zum unteren Ast verlaufen sondern dort eine unstetige Stelle besitzen: eine „Spitze“. Und zwar wird das dortige Kurvenende um so spitzwinkliger, je weiter die Kurve nach innen rückt. Die Arena (als innerste, praktisch ausgeführte Kurve) folgt also keiner Ellipse sondern einer Kurve mit zwei Spitzen. Um nun festzustellen, ob sich das in der Realität tatsächlich so verhält, ist das Kolosseum ein ungeeignetes Beispiel, weil die ehemalige Abgrenzung der Arena gegen die Cavea nicht mehr in ursprünglicher Form erhalten ist, wie auch alle Stufenreihen dort fehlen. Beim Amphitheater in Nîmes kann man die Situation jedoch sehr gut beurteilen.

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Abb. 15 Spitz zulaufende

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Abb. 16 Arenabegrenzung in Nîmes

Die ursprüngliche Abgrenzung der Arena ist dort noch vorhanden. Man erkennt den spitzwinkligen Verlauf sowohl in der Vermessung (Abb. 15) als auch im Lichtbild (Abb. 16)

Bei einem Entwurf, bei welchem die Umfassungswände des Amphitheaters einer Folge von Kreisbögen gehorchen, gäbe es diese unstetige Stelle der Arenabegrenzung nicht.

5. STAND DES WISSENS ZU DEN ELLIPSEN IM ALTERTUM

Abgesteckt wurden die Amphitheater zweifellos durch die römischen Vermessungsfachleute, die Agrimensoren16. Welches Wissen konnten diese über die mathematischen Gesetzmäßigkeiten der Ellipse (einer der drei Typen von Kegelschnitten) besitzen, um in der Lage zu sein, eine solche Figur im Gelände abzustecken? Dazu ist es zunächst wichtig, den Stand des Wissens zur Zeit der Hochblüte der antiken Geometrie zu untersuchen17.

HELLENISTISCHE EPOCHE

Die Mathematiker, auf welche sich die Zeitgenossen des ersten nachchristlichen Jahrhunderts, soweit von ihnen Schriften überliefert sind, beziehen, sind:

- Euklid (325 bis 265 v. Chr.)
- Archimedes (287 bis 212 v. Chr.)
- Apollonios v. Perge (um 262 bis um 190 v. Chr.)

Von Euklid stammen vier Bücher zu den Elementen der Kegelschnitte, die leider verloren sind. Es ist aber davon auszugehen, dass die späteren Autoren, die über die Kegelschnitte gearbeitet haben, auf diesen Schriften aufbauten und deren Inhalt als bekannt voraussetzten. Vorhanden sind die Bücher I bis XIII der „Elemente“. Im Zusammenhang mit der vorliegenden Arbeit werde ich vor allem auf einige Sätze aus dem III. Buch zurückkommen.

Archimedes ist von der derzeitigen Wissenschaft hinsichtlich seiner Arbeiten zur Kegelschnittlehre, soweit sie für das erste nachchristliche Jahrhundert (als die wichtigen Amphitheater gebaut wurden) von Bedeutung waren, unterschätzt worden. So beziehen sich die heutigen Autoren hinsichtlich der Grundlagen der Agrimensoren vor allem auf Apollonios, während z.B. Heron v. Alexandria (vermutlich im 1. nachchristlichen Jahrhundert); mit dem ich mich weiter unten noch ausführlich auseinandersetzen werde, in seiner „Vermessungslehre“ sowie in seiner „Dioptra“ als Gewährsmann zum Thema Kegelschnittlehre stets Archimedes18 erwähnt, während Apollonios in diesem Zusammenhang überhaupt nicht genannt wird.

Die Schrift „Von Konoiden und Sphäroiden“ des Archimedes enthält in Satz 4 eine wichtige Eigenschaft der Ellipse, die für die Möglichkeit der Absteckung nach rechtwinkligen Koordinaten von ausschlaggebender Bedeutung ist.

[...]


1 Wilson Jones, M., Designing Amphitheatres, in Mitteilungen des Deutschen Archäologischen Instituts, Band 100, 1993, Mainz: Ph. V. Zabern

2 ebenda, Seite 399

3 Disegnare idee immagini, n. 18/19: universita degli Studi di Roma Sapienza, 1999

4 Verschiedene Autoren meinen, die beiden Kurven differierten nur um wenige Zentimeter (z.B. Docci in Disegnare idee immagini, 1999, Seite 32)

5 Michetti, A., Possibili costruzioni delle ellissi del Colosseo, … in: Disegnare idee immagini 1999, Seite 89 bis 98 und Rubertis, R. de, Un enigma avvincente il tracciato planimetrico del Colosseo, ebenda, Seite 99 bis 106

6 Disegnare idee immagini, 1999

7 Vitruv, Zehn Bücher über Architektur, lat. und deutsch, Hrsg. C. Fensterbusch, Darmstadt: Wiss. Buchgesellschaft, 1964, Seite 229 mit der zugehörigen Abb. 11

8 Docci, M., La Forma del Colosseo; …. in: Disegnare idee immagini, 1999, Seite 25 mit Abb. 3 und 4

9 Was man unter „affiner Abbildung“ versteht, werde ich weiter unten erläutern.

10 Docci, M. (1999), Seite 32

11 ebenda, Seite 25 mit Abb. 3 und 4

12 Wilson Jones, M. (1993) Seite 396, Fig 5

13 Rubertis, R. de, Un enigma avvincente il tracciato planimetrico ellittico del Colosseo, in: Disegnare idee immagini, n. 18/19: universita degli Studi di Roma la Sapienza , 1999, Seite 100 und 1006

14 ebenda, Seite 398

15 Rubertis meint, wenn man Ellipsen mit unterschiedlichen Proportionen b/a annimmt, wäre es möglich, gleiche Stufenbreiten und gleiche Breite der Cavea zu erreichen: Rubertis (1999), Seite 100

16 Zum Aufgabenbereich der Agrimensoren vergl. Cantor, M., Die Römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmesskunst, Leipzig: B.G. Teubner , 1875 sowie Blume, F., Lachmann, K. und Rudorff, A., Die Schriften der Römischen Feldmesser, Berlin: G. Reimer, 1. Bd. Texte und Zeichnungen, 1852, 2. Bd. Erläuterungen und Indices 1852

17 Michetti hat zu Euklid und Apollonios erste Versuche angestellt (Michetti 1999, Seite 89 bis 92), die es jedoch erforderlich machen, das Thema umfassender und konkreter zu recherchieren.

18 Metrikon, erstes Buch und Dioptra, 1. Buch XXXIV und XXXV, sowie Dioptra 2. Buch, Vorrede, beide in: Herons von Alexandria Vermessungslehre und Dioptra, griechisch und deutsch von Hermann Schöne, Leipzig: B.G. Teubner, 1903

Ende der Leseprobe aus 42 Seiten

Details

Titel
Römische Amphitheater: Geometrie und Vermessung, literarische und mathematische Grundlagen
Autor
Jahr
2015
Seiten
42
Katalognummer
V294411
ISBN (eBook)
9783656934455
ISBN (Buch)
9783656934462
Dateigröße
5693 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Kolosseum, Mathematik, Vermessung, Grundriss, Ellipse, Architektur, Nimes
Arbeit zitieren
Prof. Dr. Rolf Nill (Autor), 2015, Römische Amphitheater: Geometrie und Vermessung, literarische und mathematische Grundlagen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/294411

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