Forscherstunde im Mathematikunterricht: Die Zahlenmauer

Inhalt

1. Stellung der Unterrichtsstunde - Entwickeln einer Sequenz

2 Vorüberlegungen
2.1 Fachliche Vorüberlegungen
2.2 Pädagogische Vorüberlegungen

4. Stundenplanung
4.1 Didaktische Begründungen
4.2 Lernintentionen
4.3 Artikulation
4.4 Tafelbild

5. Resumée

6. Literaturverzeichnis

7. Anhang.

1. Stellung der Unterrichtsstunde - Entwickeln einer Sequenz

Die Unterrichtsstunde „Wir erforschen die Zahlenmauer“ dreht sich primär um die Hintergründe beim Ausrechnen und nicht um das Rechnen selbst. Wie der Name schon sagt, handelt es sich folglich um eine Forscherstunde. Diese ist nicht in eine bestimmte Sequenz des Mathematikunterrichts dieser zweiten Schulklasse eingebaut. Es war mein Wunsch im Rahmen dieses studienbegleitenden Praktikums einmal etwas Neues auszuprobieren, das weder ich, doch die Schülerinnen und Schüler¹ vorher kannten. Die Lehrkraft Frau N. hat das Stundenthema als eine Art Versuch aufgenommen und sich weder in vorherigen Stunden darauf bezogen, noch in nachfolgenden Stunden darauf aufgebaut.

Genau genommen sind Forscherstunden als Sequenz aufzubauen, in denen man am besten jeweils doppelstündig in Blöcken vorgeht. Auf mein Stundenthema bezogen, hätte man mit der Wiederholung der Zahlenmauer als zum Teil komplexe Rechenaufgabe einsteigen können. Darauf folgend die Forscheraufgabe der Anzahl der Variationsmöglichkeiten der Grundsteine stellen können und danach auf Besonderheiten bei der Zusammensetzung des Decksteins eingehen können. Da es sich hierbei aber lediglich um einen Unterrichtsversuch handelt und nur eine Unterrichtsstunde zur Verfügung steht, weicht dieses Schema von der möglichen Unterrichtssequenz ab.

Im Lehrplan 2000 könnte man das Stundenthema teils der Kombinatorik zuweisen. Die Schüler müssen die Anzahl der möglichen Variation von drei unterschiedlichen Grundsteinen herausfinden. Kombinatorik ist für die zweite Jahrgangsstufe ein „Sternchenthema“ weshalb die Durchnahme des Inhalts auf freiwillige Basis für die Lehrkraft besteht. Hier wird im Lehrplan auch festgehalten, dass leistungsschwächere Kinder nur einige Möglichkeiten durch Probieren finden müssen, wohingegen von Leistungsstärkeren erwartet wird, dass sie durch Handeln und Zeichnen auf alle Möglichkeiten kommen. Hierbei sollte auch erwähnt werden, dass eine systematische Vorgehensweise entwickelt werden sollte.²

Des Weiteren wird im Lehrplan aus dem Jahr 2000 schon Wert darauf gelegt, dass die gefundenen Lösungswege von Schülern dargestellt und beschrieben werden. Wenn möglich sind hier auch schon Begründungen der Vorgehensweise verlangt. Dieses Finden von unterschiedlichen Lösungswegen und vor allem auch das Präsentieren derer vor der Klasse, stehen bei Forscheraufgaben im Mittelpunkt.

Diese Kapitel stehen im Lehrplan 2000 erst am Ende der zweiten Jahrgangsstufe im Fachprofil Mathematik. Im neuen Lehrplan Plus, der erst im September 2014 in Kraft treten wird, wird der zuletzt genannte Punkt unter der prozessbezogenen Kompetenz namens Probleme lösen zusammengefasst. Das Erreichen verschiedener Kompetenzen im Mathematikunterricht wird nun in den Vordergrund gestellt.

„Probleme zu lösen lernen die Schülerinnen und Schüler, wenn sie ihre bereits vorhandenen mathematischen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung herausfordernder oder unbekannter Aufgaben anwenden und dabei Lösungsstrategien entwickeln und nutzen. Dabei müssen sie auch in der Lage sein (…) Lösungen plausibel darzustellen.“³

Zudem wird in der im Folgenden vorgestellten Forscherstunde das Argumentieren gefördert. Die Schüler erkennen mathematische Zusammenhänge und suchen Begründungen für ihre im Rahmen ihrer Möglichkeiten entwickelten Lösungswege. Diese werden im Anschluss alleine oder auch in Gruppen ihren Mitschülern erklärt. Das Kommunizieren wird also gleichermaßen angeregt, da sich die Zweitklässler in Gruppen über ihre gewonnenen Entdeckungen und Wege austauschen und dadurch auch versuchen, ihre Ergebnisse den anderen nachvollziehbar zu beschreiben. Schließlich verwenden die Schüler hierbei geeignete Darstellungen, in der Aufgabe der Zahlenmauern die Punktedarstellung, wodurch die Kompetenz des Darstellens angesprochen wird. Das allgemeine Darstellen einer Aufgabe dient der verständnisbasierten mathematischen Bildung. Es kann den leistungsschwächeren Schülern beim Lösen und Verstehen der Aufgabe helfen und gleichzeitig können stärkere Kinder dadurch zeigen, dass sie ihre Ergebnisse verstanden haben.

In Forscheraufgaben werden mehrere prozessbezogene Kompetenzen gleichermaßen gefordert, worauf ich allerdings im Kapitel 4.2 näher eingehen werde.

2 Vorüberlegungen

2.1 Fachliche Vorüberlegungen

Was sind Forscheraufgaben?

Immer wieder wird gefordert, dass man die Schüler an ihrem aktuellen Lernstand abholt und von dort ausgehend individuell fördert. Jedoch ist es für eine Lehrkraft schwer möglich den Lernstand jedes einzelnen Schülers umfassend zu diagnostizieren, und jedem Kind dauerhaft seinen Möglichkeiten entsprechend angepasste Aufgaben zu stellen. Eine mögliche Lösung um diese Situation optimal zu meistern sind Forscheraufgaben. Diese Aufgabenform kann unterschiedlich stark geöffnet sein. Grundlegend ist aber, dass den Schülern überlassen wird, wie sie vorgehen und der Lösungsweg lediglich durch Hilfestellungen des Lehrers begleitet wird. Zudem ist die Darstellungsform der Ergebnisse frei wählbar. Es werden Zahl- oder Aufgabenbeziehungen untersucht und Zusammenhänge und Auffälligkeiten entdeckt.^{4 5}

Im Allgemeinen soll das flexible Denken geschult werden. Durch indirektes Anwenden mathematischer Gesetze (Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz), spezifischer Aufgabenformen (Umkehraufgaben, Tauschaufgabe…) und vielen anderen Teilschritten, wird die Mathematik umfassend und vernetzt betrachtet. Folglich kommt das Prinzip des operativen Denkens zum Einsatz.⁶

Ich - Du - Wir - Phase

Eine oft beschriebene Vorgehensweise beim Behandeln von Forscheraufgaben im Unterricht stellt die Ich - Du - Wir - Phase dar. Dies bedeutet, dass man vorerst jeden Schüler alleine für sich rechnen lässt. Hier soll der Einzelne sich individuell entfalten können und unterschiedliche selbstgewählte Rechenwege erproben. Schwächere Schüler können hier schon die offensichtlichen Ergebnisse erkennen, wohingegen leistungsstärkere Schüler bereits weiterdenkend arbeiten können. Somit wird die natürliche Differenzierung unterstützt.

Daraufhin folgt die Du - Phase. Nun bilden sich kleinere Schülergruppen, die untereinander ihre Ergebnisse austauschen. Hier können Leistungsschwächere von ihren Mitschülern unterstützt werden und dabei ihre Meinungen miteinbringen. Die Leistungsstärkeren lernen hier vertieft die prozessbezogene Kompetenz des Argumentierens, indem sie ihren Mitschülern ihre Erkenntnisse vorstellen und versuchen den gewählten Rechenweg nachvollziehbar darzustellen.

Anschließend können die Gruppen in der Wir - Phase ihre Ergebnisse der ganzen Klasse präsentieren. Jetzt liegt zudem ein Schwerpunkt auf mehreren prozessbezogenen Kompetenzen. Die Schüler stellen argumentativ ihren Rechenweg zur Lösung des Problems dar.

Die einzelnen Phasen müssen nicht nach dem Schema nacheinander bearbeitet werden. Man kann beispielsweise einzelne Schüler in der Ich - Phase lassen oder direkt mit der Du - Phase einsteigen.

Die Zahlenmauer

Es gibt konkrete Realisierungen der Forscheraufgaben, eine davon ist die Zahlenmauer. Das Aufgabenformat der Zahlenmauer birgt viele Teilinhalte der Mathematik. In der Literatur ist sie oft unter anderen Bezeichnungen, wie Rechenpyramide, Rechenmauer oder Ziegelmauer zu finden. Wir betrachten im folgenden Zahlenmauern mit drei Grundsteinen. Je nach gewünschtem Schwierigkeitsgrad kann die Anzahl der Grundsteine beliebig erweitert werden.

Grundlegend kann man sagen, dass bei n Grundsteinen (n ist also eine natürliche Zahl) die Zahlenmauer ½*n(n+1) Steine enthält. Für n=2, 3, 4, 5, … ist die Anzahl der Steine also 3, 6, 10, 15… . Diese Folge ist auch als Folge der Dreieckszahlen bekannt. Wir beginnen bei n gleich zwei, da eine Zahlenmauer mit nur einem Grundstein keine weiteren Steine besitzt, demnach handelt es sich dann nicht wirklich um eine Mauer, somit wird diese meist als entartete Rechenmauer bezeichnet.⁷

Eine einfache Zahlenmauer setzt sich aus drei Grundsteinen, zwei darauf sitzenden Steinen und einem Deckstein zusammen, also insgesamt aus drei Etagen. Immer zwei nebeneinanderstehende Zahlen addiert ergeben die Zahl darüber. In der folgenden Abbildung von Dr. Angela Bezold wird das Berechnen der einzelnen Zahlen verdeutlicht⁸:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Grundlegend ist folglich die Addition und - beispielsweise beim Fehlen der Grundsteine - die Subtraktion. Somit wird unter anderem die Reversibilität der beiden Grundrechenarten bewusst gemacht. Denn addiere ich die beiden Grundsteine G1 und G2, so erhalte ich B1. Fehlt mit allerdings G1, dann kann ich B1 minus G2 rechnen. Des Weiteren wenden die Kinder, oft unterbewusst, bei diesem Aufgabenformat das Kommutativgesetz bezüglich der Addition an.

Je nach dem, wie man die Forscherfragen stellt, kann man viele verschiedene Besonderheiten der Zahlenmauer entdecken. Hierbei kann zwischen gezielten und offenen, freien Forscherfragen unterschieden werden. Gezielt gestellt wäre beispielsweise die Frage nach den Auswirkungen der Erhöhung des mittleren Grundsteins (G2) um 10. „Welche Besonderheiten entdeckst du?“⁹, wäre hingegen ein Beispiel für eine sehr offen gestellte Forscherfrage. Für das Erkennen bestimmter Schemata und mathematischer Beziehungen ist es von Bedeutung Rechenmauern mit gleichen Grundsteinen zu verwenden. So kann den Schülern beim Vergleichen auffallen, dass Zahlenmauern mit gleichem mittleren (G2) und nur vertauschten äußeren Grundsteinen (G1, G3) den gleichen Deckstein besitzen. Hier kann als mathematischer Hintergrund das Kommutativ- und das Assoziativgesetz genannt werden, denn (G3+G2)+(G2+G1) entspricht (G1+G2)+(G2+G3) was wiederum den Deckstein ergibt. Insgesamt gibt es mit drei

Anordnungen der gleiche Stein in der Mitte steht, gibt es nur drei unterschiedliche Decksteine. Daraus ergibt sich auch schon eine nächste Frage nach dem Zusammenhang der Grundsteine mit der Größe des Decksteins. Entdeckt werden kann nun, dass der größte mittlere Grundstein den größten Deckstein ergibt und andersherum. Kinder, die bereits verstanden haben, wie sich der Deckstein genau zusammensetzt, vertiefen somit ihre Erkenntnis und andere wiederum gehen einen Schritt näher auf das Entdecken der genauen Bestandteile des Decksteins zu. Im nächsten Schritt soll die bei vielen bereits gewonnene Erkenntnis auch allgemein dargestellt werden können. Als Material können hier farbige Pappkreise dienen, die jeweils für einen der Mittelsteine stehen. Nun wird auch den schwächeren Schülern deutlich, dass der mittlere Grundstein zweimal im Deckstein enthalten ist, was bestenfalls durch die leistungsstärkeren Mitschülern erklärt wird.

Für Experten ist es möglich noch spezifische oder weiterführende Fragen zu stellen. Somit werden diese Schüler weiterhin gefordert und können sich individuell noch weiterentwickeln. In dem Aufgabenformat der Zahlenmauer kann zum Beispiel nach möglichen Grundsteinen, die alle gleich groß sein sollen, zu einem gewissen, festgelegten Deckstein gefragt werden.¹⁰

Weiterführend kann man Zahlenmauern betrachten mit aufeinanderfolgenden Grundsteinen. Da kann man erkennen, dass die zweite Stufe aus nur ungeraden Zahlen besteht und die darauffolgende Ebene aus der Viererfolge kommt. Bei mehrstöckigen Zahlenmauern geht es nun weiter mit Achterfolgen. Das ergibt sich daraus, dass ich bei den Grundsteinen immer eine gerade Zahl mit einer ungeraden addiere. Folgende selbsterstellte Abbildung soll die mathematischen Hintergründe deutlicher machen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Diese Aufgabenstellung eignet sich nun eher für ältere Schüler ab der dritten oder vierten Klasse.

[...]

¹ Im Folgenden werden zur Vereinfachung nur noch maskuline Formen (Schüler, Zweitklässler, Lehrer) verwendet.

² Vgl. Lehrplan für die bayerische Grundschule (2000), Kapitel III, Fachlehrpläne, Mathematik, Jahrgangsstufe 1/2. S.102.

³ http://www.lehrplanplus.bayern.de/fachprofil/grundschule/mathematik, aufgerufen am 29.05.2014. 4

⁴ Vgl. Sundermann, B./Selter, Ch.: Mit Eigenproduktionen individualisieren. In: Christiani, R (Hrsg.): Jahrgangsübergreifend unterrichten. Berlin 2005, S.125f. und 133.

⁵ Vgl. Nührenbörger, M./Verboom, L.: Mathematikunterricht in heterogenen Klassen im Kontext gemeinsamer Lernsituationen, Modul G 8: Eigenständig lernen - Gemeinsam lernen. Aus SINUSTransfer Grundschule Mathematik. Kiel 2005, S.9.

⁶ Vgl. Padberg, F: Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. München 2007. S.94f.

⁷ Vgl. Schwarz, W.: Didaktik der Arithmetik in Primarstufe und Orientierungsstufe, Fachdidaktischer Hintergrund und Materialien für den Unterricht in den Klassen 1 bis 6. Wuppertal 1999. 172ff.

⁸ PowerPointPräsentation des Begleitseminars

⁹ Vgl. Bezold, A.: Förderung von Argumentationskompetenzen durch selbstdifferenzierende Lernangebote. Eine Studie im Mathematikunterricht der Grundschule. Hamburg 2009. S.113. Grundsteinen sechs Möglichkeiten diese anzuordnen und da bei immer zwei

¹⁰ Vgl. Bezold, A.: Förderung von Argumentationskompetenzen durch selbstdifferenzierende Lernangebote. Eine Studie im Mathematikunterricht der Grundschule. Hamburg 2009. S.112 - 116.