Statistische Versuchsplanung (DoE) für Ingenieure und Techniker

Inhalt

Einleitung

Was ist DoE

Zu diesem Buch

Zum entsprechenden Seminar

1. Beschreibende Statistik
1.1 Einführung
Phasen einer statistischen Analyse
1.2 Auswahl von Proben
1.2.1 Zufällige Auswahl von Einheiten
1.2.2 Bewusst bzw. geplante Auswahl von Einheiten
1.2.3 Klumpenstichprobe
1.3 Messung von Median und Mittelwert
1.3.1 Der Mittelwert
1.3.2 Der Median
1.4 Messung der Varianz
1.4.1 Die Range
1.4.2 Die Standard Abweichung
1.4.3 Freiheitsgrade
1.4.4 Kalkulation der Standard Abweichung
1.5 Normal Verteilung
1.5.1 Prüfung auf Normal Verteilung

2. Beschreibende Statistik
2.1 Einführung
2.2 Die Verteilung des Mittelwertes der Stichprobe
2.3 Statistische Hypothesen- und Parametertests
2.3.1 Planung und Durchführung
2.3.2 Die Standardabweichungσ ist bekannt
2.3.3 Die Standardabweichungσ ist unbekannt
2.3.4 Fehlermöglichkeiten
2.4 Hypothesentest für zwei Mittelwerte
2.4.1 Zwei unabhängige Stichproben σ1 und σ1 bekannt
2.4.2 Zwei unabhängige Stichproben σ1 und σ1 unbekannt, eventuell gleich
2.4.3 Zwei unabhängige Stichproben σ1 und σ1 unbekannt und ungleich

3. Konzeptionelles zu DoE
3.1 Definition, Scope und Motivation
3.2 Experiment - Definition
3.3 Identifizieren von Variablen und Responses
3.4 Typen von Variablen
3.5 Typen von Responses
3.6 Wechselwirkungen
3.6.1 Interpretation von Wechselwirkungen
3.7 Typen von Experimenten ( Versuchstypen )
3.8 Wahl der Faktorenstufen
3.8.1 Qualitative Faktorenstufen
3.8.2 Quantitative Faktorenstufen
3.9 Blockbildung
3.10 Randomisierung
3.11 Stufen des Versuchsablaufes
3.11.1 Ursachen - Wirkung Diagramm
3.11.2 Dokumentation des Prozesses
3.11.3 Detaillierte Problembeschreibung
3.11.4 Festlegung des Versuchsplanes
3.11.5 Festlegung des Stichprobenumfangs, der Blockbildung und der Randomisierung
3.11.6 Durchführung des Versuches
3.11.7 Statistische Analyse der Messdaten aus dem Versuch
3.11.8 Interpretation der statistischen Analyse
3.11.9 Durchführung eines Testexperiments
3.11.10 Dokumentieren des durchgeführten Versuches
3.12 Gründe warum Versuche in die „Hose“ gehen

4. Varianzanalyse ( ANOVA )
4.1 Anwendung
4.2 Einführung
4.3 Einfache Varianzanalyse
4.3.1 Vorgehensweise
4.3.2 Modell der einfachen Varianzanalyse
4.4 Zweifaktorielle Varianzanalyse
4.4.1 Vorgehensweise
4.5 Weiteres zur Varianzanalyse
4.5.1 Multifartorielle Varianzanalyse
4.5.2 Mehrere Faktoren - ungleiche Anzahl Messungen
4.6 Kovarianzanalyse
4.6.1 Einführung
4.6.2 Vorgehensweise
4.7 Schlussbetrachtungen zur Varianzanalyse

5. Regression und Regressionsanalyse
5.1 Einführung
5.2 Regression und Modellbildung
5.3. Daten zusammentragen
5.3.1 Zugreifen auf schon existente Daten ( hystorische Daten )
5.3.2 Daten durch reine Beobachtungen
5.3.3 Daten über „designed experiment“
5.4 Rolle von Computern
5.5 Anwendung der Regression / Regressionsanalyse
5.6 Einfache Lineare Regression
5.6.1 Das Modell
5.6.2 Die Least Squares Methode
5.6.3 Hypothesentest für die Parameter ɴ0 und ɴ1
5.7 Multiple Lineare Regression
5.7.1 Einführung
5.7.2 Schätzen der Modellparameter
5.8 Beispiele zur Linearen Regression
5.8.1 Beispiel
5.8.2 Beispiel

6. RSM ( Response Surface Methode )
6.1 Einführung
6.2 Methode des steilsten Anstiegs
6.3 Analyse des Response Surface mit Modell zweiter Ordnung
6.3.1 Lage des stationären Punktes
6.3.2 Charakterisierung der Response- Oberfläche
6.3.3 Untersuchung mehrerer Responses
6.4 Versuch - Designs
6.4.1 Experimentelle Designs für Modelle erster Ordnung
6.4.2 Experimentelle Designs für Modelle zweiter Ordnung
6.5 Beispiele zu RSM
6.5.1 Beispiele1
6.5.2 Beispiele 2
6.6 Experimente mit Mischungen ( Experiments with Mixtures )
6.6.1 Einführung
6.6.3 Mischungsmodelle mathematische Modelle - eine Zusammenfassung
6.6.2 Versuchspläne für Mischungen
Standard Simplex Design
Simplex - Centroid Design
Simplex - Axial Design
Mischungspläne mit Begrenzung
Einführung von Pseudokomponenten
Simplex-Screening-Versuchspläne
Kombinierte Versuchspläne
Beispiel

7. Faktorielle - Versuchspläne ( Factorial Designs )
7.1 Einführung
7.2 Vollfaktorielle Versuchspläne
7.2.1 Interpretation von Interaktionen
7.2.2 k Faktoren auf je zwei Level
7.3 Screening - Versuchspläne
7.3.1 Fraktionelle faktorielle Versuchspläne
7.3.2 Blockbildung des 2⁴-¹ Versuchsplans
7.3.3 Fraktionell faktorielle 2k-p Versuchspläne
7.3.4 Auflösung
7.4. Plackett - Burman Versuchspläne
7.4.1 Plackett - Burman Versuchspläne der Auflösung ( III )
7.4.2 Konstruktion eines Plackett - Burman Versuchsplans

8. Robust Design ( Taguchi / Shainin - Philosophie)
8.1 Einführung
8.2 Grundlegendes zu Quality - Engineering
8.2.1 Qualitätsverluste Ein Beispiel aus [B. Klein 2007, S.16]
8.2.2 Qualitätsfunktion
8.2.3 prozessbezogener Qualitätsverlust
8.3 Taguchi Versuchspläne Beispiel aus [W. Kleppmann 2013, S.171]

9. Optimal Designs
9.1 Einführung
9.2 D-optimale Versuchspläne
2.2.1 Vor- und Nachteile
9.3 Modell
9.3.1 Potential Terms
9.3.2 Versuchspunkte
Einbeziehung von Versuchspunkten
Einschränkung des Versuchsgebiets
Anzahl erforderlicher Versuche
9.4. Erstellung D-optimaler Pläne
9.4.1 Suchalgorithmen

A1 Matrizenrechnung

Literaturverzeichnis

Sachverzeichnis

Einleitung

All Ihre Produktions- und Fertigungsprozesse sind stabil, die Abläufe aufeinander abgestimmt und optimal. Die Qualität Ihrer Produkte ist konstant und jedes Teil verlässt den Prozess so wie spezifiziert und vom Kunden gewünscht.

Sie haben somit keine Verschwendung.

Ihre einzige Verschwendung besteht dann darin, dieses Buch gekauft zu haben

Was ist DoE ?

Experimente und Tests spielen heute in Technik, Produktentwicklung und Ökonomie eine bedeutende Rolle. Das Ziel ist die Optimierung der Prozesse oder Prozessabläufe und deren Stabilisierung.

Der klassische Approach ist dabei die sequenzielle Untersuchung der verschiedenen Einflussvariablen auf die zu optimierende (n) Zielgrösse(n).

Diese sogenannte one - variable - at - a - time hat gewaltige Nachteile und ist nicht selten ungeeignet. Prozesse haben in der Regel mehrere Einflussgrössen. Hier wird diese Methode zeitaufwändig. Bestehen zwischen den Einflussgrössen irgendwelche Wechselwirkungen, so ist die Methode gänzlich ungeeignet, sie führt zu falschen Erkenntnissen.

Hier setzt DoE ein. Mit DoE ist es möglich mehrere Einflussvariablen gleichzeitig zu analysieren und so mit wesentlich geringerem Zeit- und Ressourcenaufwand zu den gewünschten Resultaten zu gelangen.

Kaum eine andere Methode ist so universell in allen Ingenieur- Disziplinen einsetzbar wie DoE. Die Methode ist heute weit verbreitet und findet breit gefächerte Anwendung in sämtlichen Branchen.

Hier die Vorteile in Kürze:

Vorteile schnelle und effektive Anwendung zur Untersuchung von komplexen Systemen und Zusammenhängen

weltweit standardisierte Vorgehensweise, insbesondere in der Darstellung der Ergebnisse Grundbegriffe wie Faktor, Effekt oder Wechselwirkung sind das Vokabular der DoE

Reduktion der Versuche zur Optimierung von Prozessen im Gegensatz zu herkömmlichen Vorgehensweisen

Erlaubt die gleichzeitige Änderung der Einflussgrössen

Zu diesem Buch

Keine Sorge, Sie halten kein Mathematik- oder Statistikbuch in Händen. Dennoch ist es unabdingbar einige Grundlagen der Statistik zu verstehen. So befassen sich die ersten beiden Kapitel mit diesen Grundlagen. Dabei beschränkt sich der Umfang auf die Statistik, welche für das Verständnis von DoE notwendig erscheint. Bei entsprechenden Vorkenntnissen ist es natürlich möglich diese Kapitel zu übergehen und mit Kapitel 3, der Statistischen Versuchsplanung zu beginnen.

Ergänzend zu diesem Buch ist eine Zusammenstellung von DoE - Beispielen aus den verschiedensten Branchen erhältlich. Darin werden die verschiedensten Problemstellungen abgehandelt, sowie deren Lösung mit Hilfe der Software Minitab® und Design Expert® aufgezeigt.

Zum entsprechenden Seminar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die meisten Bücher und Seminare zur Statistischen Versuchsplanung und Auswertung konzentrieren sich auf die Ausführung der Statistik und sind von daher für den Praktiker oft zu theoretisch orientiert und unverständlich. Dieses Seminar soll diesem Umstand Rechnung tragen. Es gilt dem Praktiker der Versuchsplanung und Auswertung.

Aufbau

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Seminar gliedert sich in mehrere Abschnitte

In zwei Teilen werden die zur statistischen Versuchsplanung unabdingbaren Kenntnisse der Statistik vermittelt.

Die eigentliche Statistische Versuchsplanung bildet das Kernstück dieses Seminars

Alle in der Theorie erworbenen Kenntnisse werden unmittelbar an reellen Beispielen aus der Praxis mit Hilfe von Design Expert (TM) umgesetzt.

Die aktuellen Termine und

Anmeldungsformulare für die sieben Abschnitte des Seminars entnehmen Sie bitte aus dem Terminkalender.

Es versteht sich, dass die verschiedenen Abschnitte auch einzeln besucht werden können.

Beschreibende Statistik [18][24]

( Descriptive Statistics )

1.1 Einführung

Die Statistik lässt sich in zwei Gebiete, die beschreibende und die induktive Statistik gliedern. In der beschreibenden

Statistik werden die für die jeweilige Problemstellung interessierenden bzw. notwendigen Daten in ihrer Gesamtheit gesammelt und aufgearbeitet. Die hierbei gesammelten Daten beziehen sich ausschliesslich auf die sogenannte Grundgesamtheit. Unterlaufen bei der Datenerhebung keine Rechenfehler, so ist das Ergebnis mit keinen Unsicherheiten belastet.

Hingegen baut die induktive Statistik auf der Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Die Analyse der Daten wird nicht aus der gesamten Grundgesamtheit vollzogen, sondern anhand von Stichproben. Es wird auf Grund der aus den Stichproben gewonnenen Daten auf die Gesamtheit geschlossen.

Phasen einer statistischen Analyse

Generell lässt sich jede statistische Analyse in fünf Phasen unterteilen, die Planung, die Datengewinnung, die Datenanalyse und letztlich die Interpretation der Daten.

Planung

Eine gewissenhafte, mit Sorgfalt durchgeführte Planung seht am Anfang jeder Datenanalyse und ist von grosser Bedeutung. Nur eine genaue Beschreibung der anstehenden Problematik bzw. Fragestellung führt zu eine zielorientierten Beschaffung der notwendigen Informationen.

Von der Planung hängt die Qualität der gesamten Analyse ab. Nur eine sorgsam durchgeführte Planung kann zu einer brauchbaren Schlussfolgerungen führen.

Datengewinnung

Nach der genauen Formulierung der Frage - bzw. Problemstellung muss der Aufgabe der Datenerhebung nachgegangen werden. Dabei ist zu unterscheiden, ob auf schon existierende Daten zurückgegriffen werden kann, oder ob neue Daten zu erheben sind.

Es stellt sich die Frage, ob Daten durch Befragung, Beobachtung oder Messungen gewonnen werden können. Bei der Wahl der Datensammlung stehen Qualität, Zeit-bedarf und Kosten der Datenerhebung im Vordergrund.

Aufbereitung der gewonnen Daten

Liegen die erhobenen Daten vor, müssen diese, in eine für die bevorstehende Analyse geeignete Form gebracht werden.

Es erfolgt eine Zusammenfassung in Tabellen und Schaubildern.

Datenanalyse

In der Datenanalyse, dem Kernstück der Statistik werden die aufbereiteten Daten nach geeigneten statistischen Verfahren untersucht. Dazu gehören die Berechnung statistischer Kennzahlen, wie Mittelwerte, Varianzen usw.

Interpretation der Ergebnisse

Den Schluss bildet die Interpretation der aus der Datenanalyse gewonnen Erkenntnissen. In der beschreibenden Statistik ist die eigentliche statistische Analyse damit abgeschlossen. Es wurde die Grundgesamtheit erfasst. In der schliessenden Statistik beziehen sich die aus der Datenanalyse gefundenen Resultate nur auf die Stichprobe. Es muss hier noch ein Rückschluss auf die Grundgesamtheit angeschlossen werden. Es wirken Zufallseinflüsse auf das Ergebnis ein, die sich jedoch mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung quantifizieren lassen. Aussagen können nur mit einer gewissen, aber quantifizierbaren Unsicherheit getroffen werden.

1.2 Auswahl von Proben

Wie schon weiter oben erwähnt kann zwischen Total- und Teilerhebung sprich Stich-probe(n) unterschieden werden. Bei der Teilerhebung durch Stichproben versucht man mit Hilfe statistischer Methoden zu einer Aussage über die Gesamtheit zu kommen. Dazu ist unabdingbar, dass die Probe die Gesamtheit möglichst gut repräsentiert.

Die Stichproben- Erfassung lässt sich in zwei Teile gliedern

Zufällige Auswahl von Einheiten

Bewusst bzw. geplante Auswahl von Einheiten

1.2.1 Zufällige Auswahl von Einheiten

Wurde für eine Stichprobenauswahl entschieden, so bereitet die Auswahl der Stichproben aus der Grundgesamtheit mehr Schwierigkeiten als man anfänglich vielleicht glaubt. Eine Auswahl „aufs Geratewohl“ erscheint am Anfang als am sinnvollsten.

Entscheidend für die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Schlussfolgerung von Stichproben auf die Grundgesamtheit ist die Auswahl der Proben nach dem Zufallsprinzip.

Definition ( vereinfacht und nicht der mathematischen Statistik entnommen )

Werden die Einheiten der Probe durch Zufallsauswahl, z.B. durch Zufallsgenerator bestimmt, so bezeichnet man dies als Zufallsstichprobe. Jede Einheit der Grundgesamtheit muss eine zu beziffernde Wahrscheinlichkeit haben, in die Stichprobe zu gelangen.

Nur bei einer zufälligen Auswahl der Einheiten lässt sich der sogenannte Stichprobenfehler mit Hilfe statistischer Methoden erfassen und bewerten.

Dies ist wohl der Hauptgrund dafür, dass in der Praxis fast ausschliesslich Zufallsstichproben zur Anwendung kommen. Im Folgenden soll immer, wenn von Stichproben die Rede ist, davon ausgegangen werden, dass es sich um Zufallsstichproben handelt.

1.2.2 Bewusst bzw. geplante Auswahl von Einheiten

Bei einer bewusst bzw. geplanten Stichprobenauswahl erfolgt die Selektion nach bestimmten, vorgegebenen Regeln. So werden beispielsweise aus einer Produktion konsequent jedes fünfte produzierte Teil entnommen. Dieses Vorgehen wird auch als Schlussziffernverfahren bezeichnet. Es ist mit dem Lotteriespiel vergleichbar. Wichtig erscheint dabei, dass die Regeln so gewählt werden, dass das Verfahren möglichst nahe an das der Zufallsstichprobe kommt.

Die bewusst bzw. geplante Auswahl von Einheiten ist nicht selten mit viel Subjektivität verbunden, während bei der zufälligen Auswahl, wie der Name schon sagt, die Auswahl rein zufällig geschieht.

Nur bei einer zufälligen Auswahl der Einheiten lässt sich der sogenannte Stichprobenfehler mit Hilfe statistischer Methoden erfassen und bewerten. Bei einer geplanten Auswahl ist dies nicht möglich. Dies schliesst jedoch nicht aus, dass auch mit einer geplanten Stichprobenauswahl brauchbare Ergebnisse erzielt werden können.

1.2.3 Klumpenstichprobe

Hier geht man davon aus, dass die Grundgesamtheit in Teilmengen bzw. in sogenannte Klumpen zerlegt werden kann. Diese sollten wenigstens ein grobes Abbild der Grundgesamtheit darstellen. So bilden beispielsweise Industriebetriebe Klumpen der Industrie.

Es werden nicht die einzelnen Stichproben- Einheiten durch Zufallsauswahl bestimmt, sondern durch einige Klumpen. Klumpenstichproben werden überwiegend aus organisatorischen und finanziellen Gründen eingesetzt.

1.3 Messung von Median und Mittelwert

1.3.1 Der Mittelwert

Will man eine Menge von Daten (Zahlen) in komprimierter Form d.h. in einer einzigen Zahl darbringen, so wählt man einen Mittelwert. Dieser Wert liegt zwischen den Extrem Werten. Er dient sehr oft als Vergleichsmassstab zwischen zwei Messreihen am selben Objekt.

Man unterscheidet:

die errechneten Mittelwerte und

die natürlichen Mittelwerte

Zu den errechneten Mittelwerten gehören das einfache, das gewogene arithmetische Mittel und das geometrische Mittel. Den errechneten Mittelwerten ist eigen, dass die Daten nicht zu ordnen sind. Sie lassen sich alle zahlenmässig genau bestimmen.

Zum natürlichen Mittelwert gehören: der dichteste Wert und der Zentralwert.

Hier müssen die Zahlenreihen zunächst in aufsteigender oder abfallender Folge geordnet werden. Arithmetischer Mittelwert

Der arithmetische Mittelwert ist wohl der Wert, der am meisten eingesetzt wird. Er wird allgemein als Durchschnitt bezeichnet. Dieser Wert ist ein rein theoretischer Wert, er braucht nicht gemessen worden sein. Er wird auch innerhalb Six Sigma sehr häufig benutzt um Vergleiche anzustellen und Daten zu interpretieren.

Berechnung des arithmetischen Mittelwertes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird die Summe aus allen Messwerten gebildet und diese durch die Anzahl an durchgeführten Messungen dividiert.

Ein Beispiel soll die Berechnung verdeutlichen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergibt sich die Anzahl der Daten zu n = 6 und die Summe der Daten zu 39.733 Einh. entsprechend

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Datenreihen in welchen einzelne Daten stark von den übrigen abweichen, kann der berechnete arithmetische Mittelwert mehr oder weniger verfälscht werden.

gewichtetes arithmetisches Mittel

Kommt den einzelnen Werten einer Datenreihe nicht die gleiche Gewichtung (Bedeutung) zu, so führt der reine arithmetische Mittelwert zu falschen Ergebnissen. Es kommt dann der gewichtete arithmetische Mittelwert zum Einsatz.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3.2 Der Median

Der Median ist der Wert bei dem die eine Hälfte der Messwerte unterhalb von diesem und die andere Hälfte oberhalb liegt. Bei einer geraden Anzahl von Daten wird der Median aus dem Mittelwert der beiden mittleren Daten bestimmt.

Beispiel:

5, 7, 9, 11, 12, 15, 16, 18, 21, 23 Median = 12+15 / 2 = 13.5

Der Median wird immer dann angewendet, wenn die Messwerte Ausreisser beinhalten. Der arithmetische Mittelwert würde hier zu einer Verfälschung führen.

Von Ausreissern spricht man immer dann, wenn ein oder mehrere Messwerte nicht in die erwartete Messreihe passen, oder allgemein nicht den Erwartungen entsprechen.

[...]