Standortoptimierung umfasst ein weites Gebiet von Anwendungen. Die Ermittlung eines geeigneten Standorts hat eine große Bedeutung für Wirtschaft, Industrie und Technik. Bei der Standortsuche spielen viele Faktoren eine Rolle. Beispiele sind Umweltfaktoren, Lohnniveau, Infrastruktur (z. B. Autobahnanbindungen oder Flughäfen), Grundstückspreise, Bildungsangebot und klimatische Bedingungen.
Neben der Verfügbarkeit von Rohstoffen sind auch Transportkosten und die Nähe von Zulieferbetrieben wichtige Standortfaktoren. Als praktische Anwendung wäre hier die Errichtung von Paketzentren und Lagerhallen von Versandhäusern zu nennen.
Die vorliegende Arbeit befasst sich hauptsächlich mit den theoretischen Grundlagen, die notwendig für die Lösung dieser Probleme sind.
Anstoßgebend für das Thema meiner Bachelorarbeit war ein Artikel von Nam und Zǎlinescu, der sich mit einer völlig neuen Herangehensweise an das Problem der Standortoptimierung beschäftigt. Bei dieser Methodik wird keine Norm als problemspezifische Abstandsfunktion benötigt. Dies hat den Vorteil, dass Standortprobleme, auf die der geometrische Algorithmus nicht angewendet werden kann, mit der hier behandelten Vorgehensweise gelöst werden können.
Nachdem ich die Eigenschaften der nichtlinearen Zielfunktion und die Optimalitätsbedingungen des Standortproblems vorgestellt und bewiesen habe, stellte ich einen Vergleich mit den bisher bekannten Methoden an.
Des Weiteren beschäftigte ich mich mit dem Abstandsbegriff und dessen praktisch relevanten Eigenschaften.
Zur Verdeutlichung der theoretischen Ergebnisse dieser Arbeit konstruierte und löste ich abschließend ein mathematisches Beispiel.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Mathematische Grundlagen des Standortproblems
2.1 Mathematische Formulierung
2.2 Praktische Bedeutung des Abstandsbegriffs
3 Eigenschaften der Abstandsfunktion
3.1 Algebraische und topologische Eigenschaften
3.2 Lipschitz-Stetigkeit
3.3 Differenzierbarkeitseigenschaften
3.3.1 Das Fréchet Subdifferential
3.3.2 Das Mordukhovich Subdifferential
4 Optimalitätsbedingungen
5 Vergleich mit anderen Abstandsfunktionen
6 Beispielrechnung
7 Schlussbetrachtung
Zielsetzung & Themen
Die Bachelorarbeit setzt sich zum Ziel, theoretische Grundlagen und Optimalitätsbedingungen für Standortprobleme zu entwickeln, bei denen die Abstandsfunktionen nichtlinearen Charakter aufweisen. Dabei wird eine neue Herangehensweise untersucht, die keine normspezifische Abstandsfunktion voraussetzt.
- Mathematische Modellierung von Standortproblemen mit richtungsabhängigen Faktoren.
- Analyse der algebraischen, topologischen und differenzierbaren Eigenschaften der verwendeten Abstandsfunktion.
- Herleitung von Optimalitätsbedingungen für nichtkonvexe Standortprobleme unter Nutzung von Subdifferentialen.
- Vergleich der gewählten Methodik mit klassischen normbasierten Abstandsfunktionen.
- Konstruktion und Lösung eines mathematischen Beispiels zur Illustration der gewonnenen Ergebnisse.
Auszug aus dem Buch
3.1 Algebraische und topologische Eigenschaften
Dieser Abschnitt behandelt grundlegende Eigenschaften, wie den Definitionsbereich, Stetigkeit und Konvexität.
Im Vorfeld werden an dieser Stelle zwei wesentliche mathematische Begriffe erklärt, deren Definition für das Verständnis der nachfolgenden Sätze erforderlich ist.
Für einen Vektor v in R^2 und eine Menge Omega in R^2 sei ein Skalarisierungsfunktional phi_v : R^2 -> R U {+inf} definiert durch
phi_v(x,Omega) := inf{t in R | x + tv in Omega}.
Weiterhin ist der Rezessionskegel Omega_inf bezüglich einer Menge Omega in R^2 definiert durch
Omega_inf := {u in R^2 | omega + lambda*u in Omega für alle omega in Omega und für alle lambda >= 0}.
Proposition 3.1. Für den Definitionsbereich des Funktionals (1) gilt
dom T_v = Omega - cone{v}. (3)
Wenn ein Richtungsvektor v in Omega_inf gegeben ist, ergibt sich
dom T_v = Omega - {v}, (4)
epi T_v = {(x,t) in R^2 x R | t >= 0, x + tv in Omega} (5)
und
T_v(x,Omega) = max{phi_v(x,Omega), 0}. (6)
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Einleitung motiviert die Relevanz der Standortoptimierung in Wirtschaft und Technik und stellt die theoretische Herangehensweise der Arbeit dar.
2 Mathematische Grundlagen des Standortproblems: Dieses Kapitel führt das mathematische Optimierungsproblem ein und definiert die grundlegende Abstandsfunktion sowie deren praktische Bedeutung.
3 Eigenschaften der Abstandsfunktion: Hier werden tiefgreifende theoretische Analysen zu algebraischen, topologischen, Lipschitz-Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften vorgenommen.
4 Optimalitätsbedingungen: Dieses Kapitel leitet die Bedingungen für die Optimalität des Standortproblems her, wobei insbesondere das Mordukhovich-Subdifferential verwendet wird.
5 Vergleich mit anderen Abstandsfunktionen: Es wird untersucht, wie sich die gewählte Methodik gegenüber klassischen normbasierten Ansätzen verhält und wo Gemeinsamkeiten liegen.
6 Beispielrechnung: Das Kapitel illustriert die zuvor theoretisch abgeleiteten Optimalitätsbedingungen anhand eines konkreten mathematischen Beispiels in einem zweidimensionalen Vektorraum.
7 Schlussbetrachtung: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und diskutiert weitere Forschungsmöglichkeiten, etwa im Bereich der Multifacility-Location-Probleme.
Schlüsselwörter
Standortoptimierung, Abstandsfunktion, Richtungsvektoren, Nichtlineare Optimierung, Subdifferential, Fréchet Subdifferential, Mordukhovich Subdifferential, Optimalitätsbedingungen, Konvexität, Lipschitz-Stetigkeit, mathematische Modellierung, Standortproblem, Optimierung, Optimallösung, Normalenkegel.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit den theoretischen Grundlagen für Standortoptimierungsprobleme, bei denen die Entfernung zwischen Standorten durch nichtlineare Abstandsfunktionen statt durch Standardmetriken bestimmt wird.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Formulierung, der Untersuchung von Differenzierbarkeitseigenschaften mittels Subdifferentialen und der Ableitung von Optimalitätsbedingungen für diese spezielle Problemklasse.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das primäre Ziel ist es, Optimalitätsbedingungen für Standortprobleme unter nichtlinearen Abstandsfunktionen mathematisch fundiert zu erarbeiten und diese an einem konkreten Beispiel zu veranschaulichen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine rein analytische, mathematische Methode angewandt, die auf der Theorie der nichtlinearen Optimierung, der Konvexanalyse und der Verwendung von (Sub-)Differentialkalkülen (Fréchet und Mordukhovich) basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden die Eigenschaften der Abstandsfunktionen analysiert, das Subdifferential des Funktionals bestimmt und die Bedingungen für eine optimale Standortwahl unter verschiedenen mathematischen Voraussetzungen hergeleitet.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie Standortoptimierung, Subdifferential, Nichtlineare Abstandsfunktionen, Optimalitätsbedingungen und mathematische Optimierung geprägt.
Warum wird kein festes Koordinatensystem für die Richtungsvektoren vorgegeben?
Das Modell ist bewusst flexibel gestaltet, da in praktischen Anwendungen Richtungsvektoren wie Verkehrsverläufe oder geografische Gegebenheiten vorliegen, die sich von Standardnormen unterscheiden können.
Welche Rolle spielt das Mordukhovich-Subdifferential in dieser Arbeit?
Es dient als wichtiges Werkzeug, um Optimalitätsbedingungen auch in Fällen zu formulieren, in denen keine Konvexität vorliegt, und erweitert somit die Anwendbarkeit des Modells.
- Quote paper
- Sarah Lehnhardt (Author), 2013, Theoretische Grundlagen der Standortoptimierung mit nichtlinearen Abstandsfunktionen in Wirtschaft, Industrie und Technik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/306320
