Bemessung und Bewehrung von Stahlbetonbauteilen mit Hilfe von Fachwerkmodellen

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Historische Entstehung

3. Theoretische Grundlagen

4. Kraftfluss in Stahlbetonbauteilen
4.1 Spannungsfelder in ungerissenem Beton
4.2 Kraftfluss in gerissenem Beton
4.2.1 Stabwerkmodelle und ihre Elemente
4.2.1.1 Zugstreben
4.2.1.2 Betondruckstreben
4.2.1.3 Knoten
4.2.2 Kraftfluss als Grundlage für die Bemessung

5. Plastizitätstheorie
5.1 Grenzwertsätze
5.1.1 Statische Grenzwertsätze
5.1.2 Kinematische Grenzwertsätze

6. Bemessung mittels Stabwerkmodellen
6.1 Diskontinuitätsbereiche
6.1.1 B-Bereiche
6.1.2 D-Bereiche
6.2 Abgrenzen der D-Bereiche
6.3 Methodik des Bemessens mit Stabwerkmodellen
6.4 Entwurf von Stabwerkmodellen
6.4.1 Modellierungsstrategie
6.4.2 Modellfindung mittels Lastpfadmethode
6.4.3 Orientierung des Stabwerkmodells an der Elastizitätstheorie
6.4.4 Grenzen in der Orientierung nach Elastizitätstheorie
6.4.5 Optimierung von Stabwerkmodellen
6.5 Statische Modelle
6.5.1 Kinematische Modelle
6.5.2 Statisch bestimmte Modelle
6.5.3 Statisch unbestimmte Modelle
6.6 Typische Stabwerkmodelle und Lasteinteilungen
6.6.1 Konzentrierte Lasteinleitung
6.6.2 Typische Modelle für B-Bereiche
6.6.2.1 Standard-FachwerkmodellBl
6.622 Das Modell B2
6.6.2.3 Das Modell B3
6.6.2.4 Das Fachwerkmodell B4
6.6.2.5 Das Fachwerkmodell B5
6.6.2.6 Das Modell B6
6.6.3 Typische Modelle für D-Bereiche
6.6.3.1 Zentrische Einzellast: Bereich Dl
6.6.3.2 Exzentrische Einzellast: Bereich D2
6.6.3.3 Konstante Streckenlast: Bereich D5
6.6.3.4 Konzentrierte Einzellast: Bereich D7
6.6.3.5 Belastungen auf Balken: Bereich Dil
6.6.3.6 Einzellast aufKonsole: Bereich D12
6.7 Nachweis von Stabwerkmodellen
6.7.1 Bemessen der Stäbe
6.7.2 Bewehrte Zugstäbe
6.7.3 Unbewehrte Zugstäbe
6.7.4 Betondruckstäbe
6.8 Druckspannungsfelder
6.9 Bemessung der Knoten
6.9.1 Druckknoten
6.9.2 Druck-Zug-Knoten
6.9.3 Umlenkung der Bewehrung

7. Stabwerkmodelle nach DIN 1045-1 und Eurocode 2
7.1 Stabwerkmodelle nach DIN 1045-1
7.1.1 Druck-undZugstrebenfestigkeitnach DIN 1045-1
7.1.2 Druck- und Zugstrebenfestigkeit nach DAfStb-Heft 525
7.1.3 Bemessen der Knoten nachDIN 1045-1
7.1.4 Bemessen der Knoten nach DAfStb-Heft 525
7.2 Stabwerkmodelle nach DIN EN 1992-1-1
7.2.1 Druckstrebenfestigkeit nach DIN EN 1992-1-1 u. DAfStb-Heft 600
7.2.2 Zugstrebenfestigkeit nach DIN EN 1992-1-1 u. DAfStb-Heft 600
7.2.3 Bemessen der Knoten nach DIN EN 1992-1-1 u. DAfStb-Heft 600

8. Bemessung von wandartigen Trägern
8.1 Näherungsverfahren nach DAfStb-Heft 240
8.2 Bemessung mit Hilfe von FEM
8.3 Bemessung mit Hilfe von Stabwerkmodellen
8.3.1 Knotennachweise
8.3.2 Stabwerkmodelle für Einfeldträger
8.3.3 Berechnungsbeispiel eines Einfeldträgers
8.3.4 Vergleich von Berechnungen eines wandartigen Trägers
8.3.5 Stabwerkmodelle für Mehrfeldträger
8.3.6 Berechnungsbeispiel eines Mehrfeldträgers mit Stabwerkmodell
8.4 Bemessung eines wandartigen Trägers mit Auskragung und Öffnung

9. Bemessung von Rahmenecken und Rahmenknoten
9.1 Bemessung nach Hegger/Roeser
9.2 Rahmenecke mit negativem Moment
9.2.1 Bewehren nach DIN EN 1992-1-1 (EC2)
9.2.2 Berechnungsbeispiel einer Rahmenecke mit negativem Moment
9.2.3 Berechnungsbespiel einer Rahmenecke mit negativem Moment
9.3 Rahmenecke mit positivem Moment
9.3.1 Bewehren nach DIN EN 1992-1-1 (EC2)
9.3.2 Berechnungsbeispiel einer Rahmenecke mit positivem Moment
9.3.3 Berechnungsbeispiel einer Rahmenecke mit positivem Moment
9.4 Rahmenendknoten
9.4.1 Bewehrungsführung eines Rahmens nach DIN EN 1992-1-1 (EC2)
9.4.2 Berechnungsbeispiel eines Rahmenendknotens
9.4.3 Berechnungsbeispiel eines Rahmenendknotens
9.5 Rahmeninnenknoten
9.5.1 Bewehrungsführung eines Rahmeninnenknotens nach DIN EN 1992-1-1 (EC2)
9.5.2 Konstruktive Durchbildung eines Rahmeninnenknotens

10. Bemessung von Stahlbetonkonsolen
10.1 Bemessung nach DAfStb-Heft 525 / Heft 600
10.2 Berechnungsbespiel nach DAfStb-Heft 600
10.3 Berechnungsbespiel nach DAfStb-Heft 600
10.4 Bemessung nach Schlaich/Schäfer
10.5 Berechnungsbeispiel nach Schlaich/Schäfer
10.6 Bemessung nach Reineck
10.7 Berechnungsbeispiel nach Reineck
10.8 Bemessung nach Fingerloos/Stenzel
10.9 Gegenüberstellung der verschiedenen Verfahren
10.10 Berechnungsbeispiel einer gedrungenen Konsole nach DAfStb-Heft 525 und nach EC2.
10.11 Berechnungsbeispiel einer schlanken Konsole nach DAfStb-Heft 525 und nach EC 2
10.12 Konsolenbemessung mit Hilfe von EDV

11. Bemessung von ausgeklingten Trägerenden
11.1 Tragverhalten
11.2 Ausgeklinkte Träger nach DIN 1045-1 und DIN EN 1992-1-1
11.3 Bemessung
11.4 Beispiel für lotrechte Bewehrung nach Schlaich/Fingerloos
11.5 Beispiel für kombinierte Bewehrung nach Schlaich/Fingerloos
11.6 Beispiel und konstruktive Durchbildung nach EC2
11.7 Trägerbemessung mit Hilfe von EDV

12. Balken mit Öffnungen
12.1 Träger mit kleinen Öffnungen
12.2 Träger mit großen Öffnungen
12.3 Berechnungsbeispiel mit konstruktiver Durchbildung

Ehrenwörtliche Erklärung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung la-b Spannungsfelder - Trajektorien- und Hauptspannungsbilder am Beispiel eines Trägers mit hochgesetztem Auflager (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 127)

Abbildung 2a-c Hauptspannungstrajektorien bei linear elastischem (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Abbildung 3 Zusammenfassung von Spannungsfeldem zu Resultierenden (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1

Abbildung 4 a-d: Flaschenförmiges, seitlich begrenztes Druckfeld (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Abbildung 5 a-c: Werkstoffgesetze (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Abbildung 6: Ein Rahmentragwerk, das zum überwiegenden Teil aus B-Bereichen besteht. Sein statisches System und der Verlauf der Biegemomente (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 344)

Abbildung 7 a-c: Diskontinuitätsbereiche in Tragwerken - Anwendung des Prinzips von Saint-Venant (nach Schlaich und Schäfer 2001) (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Abbildung 8: Spannungstrajektorien in einem B-Bereich und in derNähe von Diskontinuitäten (D- Bereichen) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 344)

Abbildung 9: Aufteilung von Tragwerken in ihre B- und D-Bereiche mit dem Prinzip von De Saint- Venant (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 345)

Abbildung 10: Das Prinzip von De Saint-Venant (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 345)

Abbildung 11 a-d: Anwendung der Lastpfadmethode beim Modellieren (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing Schäfer, Seite 347)

Abbildung 12 a-c: Anwendung der Lastpfadmethode beim Auftreten einer U-Schleife (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof Dr.-Ing. Schäfer, Seite 348)

Abbildung 13: Orientierung des Stabwerkmodells an der Elastizitätstheorie. Linear-elastische Spannungstrajektorien, linear-elastische Spannungsverteilung im Mittelschnitt und daran orientiertes Stabwerkmodell (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.- Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 348)

Abbildung 14 a-c Anwendung der Lastpfadmethode mit Ermittlung der Lage der Umlenkstäbe T3 und CI aus den elastischen Spannungsverteilungen (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 349)

Abbildung 15 a-d Versuch an einem wandartigen Träger nach Leonhardt u. Walther (1966) und zugehörige Stabwerkmodelle für den Gebrauchs- und Bruchzustand - Veränderung des Hebelarms (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 139)

Abbildung 16 a-c Wandartiger Träger - Aufhängebewehrung neben der Aussparung nur aus dem Stabwerkmodell ersichtlich (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 139)

Abbildung 17 a-b Konsequente Modellierung von Druckknoten (vgl. Reineck 2005)

Abbildung 18 a-c Stabwerkmodelle für wandartige Träger - Anwendung des Prinzips vom Minimum der Formänderungsenergie

Abbildung 19 a-c Zwei Modelle für den gleichen Lastfall (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 350)

Abbildung 20 Statisch unbestimmtes Stabwerkmodell. 1+2 sind statisch bestimmte Modelle mit unterschiedlicher Lastabtragung (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 351)

Abbildung 21 а-e Typischer BereichBl (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 352)

Abbildung 22 a-c Typischer Bereich B2 (ohne diagonale Druckspannungen auf die anschließenden Bereiche) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 354)

Abbildung 23 a-c Typischer Bereich B3 (ohne diagonale Druckspannungen auf den links anschließenden Bereich) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 354)

Abbildung 24 a-d Typischer Bereich B4 (für relativ kleine Momente) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing Schäfer, Seite 354)

Abbildung 25 a-c Typischer Bereich B5 (für profilierte Querschnitte mit Längsdruck) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof Dr.-Ing. Schäfer, Seite 354)

Abbildung 26 а-e Typischer Bereich B6 (für Rechteckquerschnitt bei Längsdruckkraft mit geringer Exzentrizität) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 355)

Abbildung 27 a-d Einleitung einer konzentrierten Einzellast-Standardfall schlanke Scheibe (b/h < 1,6) (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 148)

Abbildung 28 Verlauf und Größe der Spaltzugspannungen oy in der Lastachse für verschiedene Verhältnisse b/a (nach Jyengar I960) (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2 Auflage, Seite 149)

Abbildung 29 a-c Exzentrische Lasteinleitung (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2 Auflage, Seite 151)

Abbildung 30 a-c Lasteinleitung durch zwei Einzellasten (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 151)

Abbildung 31 а-e Bereich D5 (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 358)

Abbildung 32 a-h Bereich D7 (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 359)

Abbildung 33 a-c Bereich Dil (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 361)

Abbildung 34 a-b Bereich D12 (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 362)

Abbildung 35 а-e Typische Beispiele für Spannungsfelder und Knoten in D-Bereichen (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof Dr.-Ing. Schäfer, Seite 365)

Abbildung 36 a-b Umlagerung von inneren Kräften bei der Rissbildung in einem unbewehrten Druckfeld (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 367)

Abbildung 37 a-c Typen von Druckspannungsfeldem (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2 Auflage, Seite 141)

Abbildung 38 Kontinuität von Druckspannungsfeldern am Übergang zw. B- und D-Bereichen (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 142)

Abbildung 39 Druckknoten (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 143)

Abbildung 40 a-b Druck-Zug-Knoten - Knoten mit Verankerung von Bewehrung (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 144)

Abbildung 41 a-b Möglichkeiten der Verankerung von Bewehrung (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 144)

Abbildung 42 a-b Knoten mit Umlenkung von Bewehrung (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 146)

Abbildung 43 Querzugkräfte Ftd in einem Druckfeld mit Einschnürung zu konzentrierten Knoten an beiden Enden (DAfStb Heft 525: Erläuterungen zu DIN 1045-1)

Abbildung 44 Sogenannte „verschmierte Knoten“ in Stabwerkmodellen

Abbildung 45 Knotenbereich für den Nachweis von Druckknoten

Abbildung 46 Knotenbereich für den Nachweis von Druck-Zug-Knoten

Abbildung 47 Knoten mit Umlenkung von Bewehrung

Abbildung 48 Lasteinleitung im Auflagerbereich bei direkter Auflagerung (DAfStb Heft 525: Erläuterungen zu DIN 1045-1)

Abbildung 49 Druckstrebenbreite bei einer Umlenkung unter beliebigem Winkel, wenn die Druckstrebe nicht in der Winkelhalbierenden verläuft

Abbildung 50 Bemessungswert der Festigkeit von Betonstreben ohne Querzug (DAfStb Heft 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 51 Bemessungswert der Festigkeit von Betonstreben mit Querzug (DAfStb Heft 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 52 Parameter zur Bestimmung der Querzugkräfte in einem Druckfeld mit verteilter Bewehrung (DAfStb Heit 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 53 Druckknoten ohne Verankerung von Zugstreben (DAfStb Heft 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 54 Druck-Zug-Knoten mit Bewehrung in einer Richtung (DAfStb Heft 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 55 Druck-Zug-Knoten mit Bewehrung in zwei Richtungen (DAfStb Heft 600: Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2))

Abbildung 56 Spannungsverläufe bei unterschiedlichen Biegeschlankheiten h/Wfund linear elastischem Materialverhalten

Abbildung 57 Abgrenzung von wandartigen Trägern gegenüber Balken

Abbildung 58 Ausbildung der Hauptbewehrung

Abbildung 59 Verteilung der Hauptbewehrung für die Zugkraft ZS über den Stützen mehrfeldriger wandartiger Trägem

Abbildung 60 Verteilung der Hauptbewehrung für die Zugkraft Zf, Zf, Zs-und Zr bei durchlaufenden wandartigen Trägem unter Einzellasten am oberen Rand (gezeigt für das Beispiel h/l=2)

Abbildung 61 Verteilung der Hauptbewehrung für die Zugkraft Zs über dem Auflager einer Kragscheibe

Abbildung 62 Darstellung Konstruktionsgrundsätze wandartiger Träger

Abbildung 63 Bewehrung im Bereich von Auflagerlisenen

Abbildung 64 Verteilung und Ausbildung der Stützbewehrung

Abbildung 65 Aufhängebewehrung

Abbildung 66 Verbügelung freier Ränder

Abbildung 67 Singuläre Bereiche einer Scheibe mit Öffnung (Günter Rombach: Anwendung der Finite-Elemente-Methode im Betonbau, 2. Auflage)

Abbildung 68 Tragverhalten verschiedener einfeldriger wandartiger Träger

Abbildung 69 D5- und D6- Bereich mit bezogenen inneren Hebelarm und Stabkräften nach [Grasser/Thielen-91]

Abbildung 70 D7-Bereich

Abbildung 71 D9-Bereich

Abbildung 72 Hauptmembrankräfte - Lastfall 1: Belastung q = 20 kN/m am oberen Rand

Abbildung 73 Hauptmembrankräfte - Lastfall 2: Belastung q = 20 kN/m am unteren Rand

Abbildung 74 Hauptmembrankräfte - Lastfall 3: Belastung F = 96 kN am oberen Rand

Abbildung 75 Hauptmembrankräfte - Lastfall 4: Belastung F = 96 kN am unteren Rand

Abbildung 76 Innere Kräfte im Feld und über der Stütze

Abbildung 77 а-e Einfeldträgersystem mit Bereich D5

Abbildung 78 Bewehrung einer über mehrere Felder durchlaufenden Wandscheibe

Abbildung 79 Momentenverlauf bei Einwirkung einer Horizontallast auf einen unausgesteiften Rahmen

Abbildung 80 Stabwerkmodelle für Rahmenecken mit negativem Moment

Abbildung 81 Biegerollendurchmesser

Abbildung 82 Bewehrungsführung in der Rahmenecke

Abbildung 83 Rahmenecken- Zug außen (Bewehren nach DIN EN 1992-1-1 (EC2), Klaus Beer,3. vollst. aktual. Aufl. 2012, Seite 191)

Abbildung 84 Stabwerkmodell für Rahmenecken mit positivem Moment

Abbildung 85 a-b Bewehrungsführung einer Rahmenecke mit positivem Moment

Abbildung 86 Bewehrungsführung in Rahmenecken bei positivem Moment; Schrägzulage (nach [DIN 1045-88])

Abbildung 87 Kräfteverlauf und Stabwerkmodell eines Rahmenendknotens

Abbildung 88 Bewehrungsführung im Rahmenendknoten

Abbildung 89 Stabwerkmodell und Bewehrungsführung in Rahmeninnenknoten unter beidseitiger neg Beanspruchung (unverschieblicher Rahmen)

Abbildung 90 Stabwerkmodell und Bewehrungsführung in Rahmeninnenknoten unter antimetrischer Belastung

Abbildung 91 Ausführungsmöglichkeiten für Konsolen und ausgeklingte Träger

Abbildung 92 Stabwerkmodelle für Konsolen

Abbildung 93 Stabwerkmodelle für Konsolen mit unterschiedlichen Schlankheiten und zugehörigen Bewehrungen

Abbildung 94 Beanspruchung in einer Konsole mit oben angreifender Last

Abbildung 95 Sinnvolle Bewehrungsführung einer von oben belasteten Konsole

Abbildung 96 Abmessungen von Stabwerkmodell und Knoten der von oben belasteten Konsole

Abbildung 97 Konsole mit zusätzlicher Horizontallast

Abbildung 98 Modell nach Heft 600, oben: ac/hc < 0,5; unten: ac/hc > 0,5

Abbildung 99 Bewehrungsführung für Konsolen mit den Bedingungen nach DAfStb-H525 / H600

Abbildung 100 Stabwerkmodelle für Konsolen

Abbildung 101 Empfohlene Bewehrungsführung bei Konsolen

Abbildung 102 Empfohlene Bewehrungsaufteilung bei Konsolen in Abhängigkeit von der Schlankheit ac/hc

Abbildung 103 Rissbilderundunterschiedliche Vorschläge für Stabwerkmodelle

Abbildung 104 Bewehrungsführung undunterschiedliche Tragmodelle

Abbildung 105 105 Modell mit vertikalen Zugstreben und fächerförmigen Druckstreben

Abbildung 106 Stabwerkmodell bei großen Öffnungen

1. Einleitung

Für die Bemessung von Konsolen und hochgezogenen Auflagern werden im Fertigteilbau Stabwerkmodelle verwendet. In diesen Diskontinuitätsbereichen gelten die Voraussetzungen der Biegetheorie und der Bemessungsverfahren für die Biegung und Querkraft der Normen nicht mehr, so dass die Ingenieure in der Praxis einfache Fachwerk- und Stabwerkmodelle benutzen. Die Methode der Stabwerkmodelle wurde in mehreren Jahrgängen des Betonkalenders vorgestellt und mit vielen Beispielen erläutert. In Kapitel vier wird deshalb nur kurz die wesentlichen Grundgedanken zusammengefasst und eine Übersicht über die Elemente der Stabwerkmodelle dargestellt. In Kapitel sechs werden die Modellierung der B- und D- Bereiche behandelt, weil dies eine wesentliche Voraussetzung zum Verständnis der Beispiele in den nachfolgenden Kapiteln ist. Dabei wird auf die besonders auf die Darstellung der Druckspannungsfelder für die Druckstäbe eingegangen, denn dadurch werden wichtige Hinweise zur Modellierung gegeben, wie zum Beispiel die Ausdehnung der Zugfelder und somit die Verteilung der Bewehrungen. Im nächsten Kapitel werden die Unterschiede der Stabwerkmodelle nach DIN 1045-1 und Eurocode 2 vorgestellt. Im achten Kapitel wird die Bemessung von wandartigen Trägem in Betracht genommen. Dabei wird näher auf Näherungsverfahren nach DAfStb-Heft 240, Bemessung mit Hilfe von FEM und Bemessung mit Hilfe von Stabwerkmodellen eingegangen. In Kapitel neun werden die Bemessung von Rahmenecken und Rahmenknoten detailliert vorgestellt. Die Bemessung der Konsole wird im zehnten Kapitel behandelt, dabei wird die Schlankheit der Konsole aufgezeigt. Bei einigen Beispielen werden auch die Unterschiede zu anderen Bemessungsvorschlägen ausgeführt. Im nächsten Kapitel werden zunächst die verschiedenen Vorschläge für Stabwerkmodelle zur Bemessung ausgeklinkter Trägerenden erläutert. Hierbei werden einige Varianten der Modellierung und Bewehrungsführung beschrieben. Das letzte Kapitel befasst sich mit der Modellierung von Trägem mit kleinen und großen Öffnungen, bei denen noch ein Fachwerk möglich ist, wobei Stabwerkmodelle für senkrechte und geneigte Bügel dargestellt werden.

2. Historische Entstehung

Der Grundgedanke der Bemessung von Konstruktionsbeton wurde von Schlaich (1984) vorgestellt, und nachfolgend haben ihn Schlaich et al. (1987) sowie Schlaich und Schäfer in den Beiträgen im Beton-Kalender 1984 sowie in verschiedenen Jahrgängen danach bis 2001 weiter ausgeführt.

Als einfaches Modell des Kraftflusses in Balken mit gerissener Zugzone wurde schon 1899 von W. Ritter ein Fachwerk vorgeschlagen, das seit E. Mörsch die Grundlage der Bemessung von Balken bildet und später von Rüsch Kupfer und Leonhardt verfeinert wurde. Mit zahlreichen Beispielen haben Bay, Franz, Kupfer, Leonhardt und Thürlimann gezeigt, dass fachwerkartige Kraftflussmodelle nutzbringend auf wandartige Träger und Konsolen angewandt werden können.

3. Theoretische Grundlagen

Für die Bemessung von Konstruktionsbeton wird ein Modell, bestehend aus Druck- und Zugstäben, verbunden durch Knoten, gebildet. Es wird dann nachgewiesen, dass in den Elementen des Modells die Tragfähigkeitsgrenzen nicht überschritten werden. Damit erfüllt dieses Bemessungskonzept den 1. Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie. Allerdings bedeutet dies nicht, dass der Beton immer „plastifiziert“, also dessen Festigkeitsgrenzen immer erreicht werden, denn das ist bei Druckstäben und Knoten häufig nicht der Fall. Aus diesem Grunde können Stabwerkmodelle auch für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit verwendet werden. Die Elemente des Stabwerkmodells sind die Stäbe und die Knoten. Mit diesen Elementen erfolgt die Modellierung eines gesamten Tragwerks oder eines Tragwerkbereiches, so dass Lastabtragung im Bauteil lückenlos verfolgt werden kann.

Die Einleitung der Tragwerke in B- und D-Bereiche wird von Schlaich und Schäfer (2001) im Kapitel sechs ausführlich beschrieben. In B-Bereichen gilt die Bemoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte, und somit beziehen sich die bisher überwiegend in den Normen behandelten klassischen Bemessungsmethoden für Biegung und Querkraft nur auf B-Bereiche. In den Diskontinuitätsbereichen (D-Bereichen) treten nichtlineare Dehnungsverteilungen auf, so dass die o.a. klassischen Bemessungsmethoden für Biegung und Querkraft nicht mehr gelten.

4. Kraftfluss in Stahlbetonbauteilen

4.1 Spannungsfelder in ungerissenem Beton

Der Kraftfluss in ungerissenem Beton kann durch die Verteilung der Hauptspannungen innerhalb des Tragwerks veranschaulicht werden. Hauptspannungen σ1, σ2 und σ3 eignen sich schon deshalb, weil sie dem tatsächlichen Tragverhalten von Beton, d.h. der Abtragung von Lasten über Druck- und Zugkräfte entsprechen. Schubspannungen τ sind dagegen Hilfswerte, deren Größe von der Wahl des Koordinatensystems abhängt und die nicht mit realen Tragwirkungen des Baustoffs Beton entsprechen. Die Hauptspannungen können auf Grundlage der Elastizitätstheorie ermittelt werden, da ungerissener Beton vereinfachend als ideal­elastisches Material angesehen werden kann.

Die Tragwerkselemente sind dreidimensionale Körper. Sie können aber auch als zweidimensionale Elemente betrachtet werden, da sie häufig in der Dickenrichtung keine oder kaum Spannungsvariationen aufweisen.

Die Hauptspannungen lassen sich bei Scheiben durch Trajektorien- oder Hauptspannungsbilder darstellen.

Abbildung la-b Spannungsfelder - Trajektorien- und Hauptspannungsbilder am Beispiel eines Trägers mit hochgesetztem Auflager (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 127)

In jedem Punkt verlaufen Trajektorien tangential zur Richtung der Hauptspannungen und schneiden sich im rechten Winkel. Der Abstand zwischen den einzelnen Trajektorien beschreibt die Spannungsintensität.

Bei Hauptspannungen wird die Richtung durch Vektoren gekennzeichnet und die Größe der Spannungen wird durch die Länge des Vektors ausgedrückt.

Auf der nächsten Seite zeigen die Abb. 2 für einige Tragwerksbereiche, dass sich im Innern des Bauteils ausgehend von den Einleitungspunkten der Lasten Druck- und Zugspannungsfelder ausbreiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2a-c Hauptspannungstrajektorien bei linear elastischem (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 128)

In der Nähe von Lasteinteilungen, Lagern, einspringenden Ecken und Querschnittssprüngen also bei Diskontinuitäten entstehen Spannungskonzentrationen, die ein unregelmäßiges Hauptspannungsbild zeigen. Die Bereiche mit regelmäßigem Verlauf der Hauptspannungen existieren zwischen den Diskontinuitäten.

Der Balken nach Abb. 2a weist in einem Störbereich ein unregelmäßiges Trajektorienmuster auf. Im anschließenden Bereich vergleichmäßigt es sich deutlich.

Auf den Abbildungen wird es deutlich, dass ein Tragwerk stets bestrebt ist, Kräfte auf kürzestem Weg von der Lasteinteilung zum Lager zu transportieren. Wenn die Abtragung von Kräften auf direktem Weg erfolgt, so minimiert sich der Tragwerksverformung.

Der Kraftfluss lässt sich einfacher darstellen, wenn die Spannungsfelder zu Resultierenden zusammengefasst werden. Dadurch entsteht ein fachwerkartiges Netz von Druck- und Zugspannungsresultierenden, die in bestimmten Knotenbereichen ihre Richtung ändern.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 Zusammenfassung von Spannungsfeldern zu Resultierenden (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 128)

4.2 Kraftfluss in gerissenem Beton

Der Beton weist im Vergleich zur Druckfestigkeit nur sehr geringe Zugfestigkeit auf. Somit können die Zugspannungen schon bei kleinen Belastungen zur Rissbildung führen. Durch Auftreten eines Risses fallen die Zugspannungsfelder bzw. die idealisierten Zugstäbe aus. Das Fachwerk erfüllt nicht mehr die Gleichgewichtsbedingungen, d.h. es verliert seine Tragfähigkeit und wird in der Regel kinematisch. Die Tragfähigkeit kann durch die erforderliche Bewehrung, die frei werdende Zugkräfte übernimmt, hergestellt werden.

4.2.1 Stabwerkmodelle und ihre Elemente

Der Kraftfluss kann in gerissenen Betonbauteilen durch Stabwerkmodelle abgebildet werden. Die Elemente der Stabwerke sind:

- Zugstreben
- Druckstreben
- Knoten.

4.2.1.1 Zugstreben

Zugstreben sind in der Regel Bewehrungsstränge, die zwischen zwei Knoten gerade verlaufen. Betonzugstreben sind nur zu vertreten, wenn die Spannungen in den Zugspannungsfeldem deutlich unterhalb der effektiven Betonzugfestigkeit bleiben.

4.2.1.2 Betondruckstreben

Betondruckstreben haben dagegen komplexe ebene oder räumliche Spannungsfelder. Die in Abb. 4b wiedergegebenen Hauptspannungsverläufe einer einzelnen Druckstrebe zeigen, dass durch die Ausbreitung der Spannungen zusätzliche Querzugspannungen entstehen. Die Abbn. 4c und d geben die Spannungsfelder bzw. das daraus abgeleitete, verfeinerte Stabwerkmodelle wieder. Die einfache Druckstrebe kann also weiter in Zug- und Druckstreben untergliedert werden. Mit Stabwerkmodellen ist daher eine genauere Betrachtung möglich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4 a-d: Flaschenförmiges, seitlich begrenztes Druckfeld (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 129)

4.2.1.3 Knoten

Da den Streben nur Längskräfte zugewiesen werden, sind die Knoten im statischen Sinn ideale Gelenke. In der Regel handelt es sich bei Knoten um hoch beanspruchte Regionen eines Tragwerks. Es werden von Knoten zwei Typen unterschieden:

- konzentrierte Knoten
- kontinuierliche Knoten.

Knoten CD in den Abbn. 4c und d ist ein typisches Beispiel eines konzentrierten Knotens. Bei dieser Konten handelt es sich um lokal eng begrenzte Tragwerksbereiche z.B. an Einleitungsstellen konzentrierter Kräfte. Diese Typen von Knoten stellen die kritischen Regionen eines Tragwerks dar.

Kontinuierliche Knotend) in den Abbn. 4c und d treten dagegen dort auf, wo die Richtungsänderung breiter Druckfelder über einen größeren Bereich des Tragwerks erfolgen kann. Bei kontinuierlichen Knoten kann Bewehrung auf größerer Breite verteilt werden.

4.2.2 Kraftfluss als Grundlage für die Bemessung

Die fachwerkartige Tragstruktur kann als Instrument für die Bemessung von Bauteilen im Grenzzustand der Tragfähigkeit herangezogen werden. Dabei wird die Bemessungsaufgabe zunächst auf das geometrische Konstruieren z.B. eines Stabwerks zurückgefährt. Zu Beginn wird mit einer maßstäblichen Zeichnung des Bauteils empfohlen. Bemessung von Bauteilen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit bedeutet, die Abmessungen des Betonquerschnitts sowie die Bewehrungsmenge so festzulegen, dass der Bemessungswert des Bauteilwiderstandes gleich oder größer als der Bemessungswert der Einwirkungen ist.

Ed< Rd

Stabwerkmodelle können im GZT genutzt werden, wenn die Tragfähigkeit aller Elemente nachgewiesen wird; im Einzelnen:

- Bewehrte Zugstreben: Nachweis ausreichender Bewehrungsmenge mit As > Ftd //yd
- Druckstreben: Nachweis ausreichender Tragfähigkeit mit σοά_ < ffRdjmax
- Konzentrierte Knoten: Nachweis ausreichender Tragfähigkeit mit CTcd < ¿bRd.max
- Knoten, in denen Bewehrung verankert wird: Verankerungsnachweis des

Bewehrungsstranges.

Im Übrigen ist gerade bei der Anwendung von Spannungsfeldem und Stabwerkmodellen die konstruktive Durchbildung des Bauteils, insbesondere Bewehrungsanordnung, -umlenkung und -Verankerung.

5. Plastizitätstheorie

Die Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Tragwerken besteht aus drei grundlegenden Bausteinen:

1. Gleichgewicht,

z.B. Gleichgewicht zwischen Lasten und inneren Kräften oder Spannungen,

2. Kinematik,

z.B. die Kopplung innerer Verzerrungsgrößen an äußere Weggrößen sowie

3. Werkstoffgesetze,

die Gleichgewicht und Kinematik verknüpfen, d.h. Spannungen mit Verzerrungen in Beziehung setzen.

Im Rahmen der Plastizitätstheorie werden dagegen starr-plastische Werkstoffgesetze mit unbegrenzter plastischer Verformbarkeit vorausgesetzt. Nach dem Überschreiten der Fließgrenze können uneingeschränkt Verformungen ohne Spannungszuwachs aufgenommen werden. Da sie damit die Verformungen, die bis zum Erreichen der Fließgrenze eintreten, um ein Vielfaches übersteigen, können letztere vernachlässigt werden. Damit werden in der Plastizitätstheorie Spannungen und Verzerrungen entkoppelt Abb.5c.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5 a-c: Werkstoffgesetze (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 131)

Beton ist per se ein spröder Werkstoff mit geringer, zudem mit der Betonfestigkeit abnehmender plastischer Verformbarkeit; die Annahme starr-plastischen Materialsverhalten erscheint zunächst kaum mit der Realität vereinbar. Dagegen ist der bewehrter Beton als Verbundbaustoff durchaus in der Lage erhebliche plastische Verformungen aufzunehmen. Grundsätzlich erfordert die begrenzte Verformbarkeit von Beton aber Einschränkungen in der Anwendung der Plastizitätstheorie, z.B. im Hinblick auf die effektive Betondruckfestigkeit oder die Orientierung von Druckspannungsfeldem für Stabwerkmodelle.

5.1 Grenzwertsätze

Verfahren der Plastizitätstheorie werden aus den beiden elementaren Grenzwertsätzen abgeleitet:

- Statischer (unterer) Grenzwertsatz

Jeder Kräfte- oder Spannungszustand, der statisch zulässig ist und die Fließbedingung nicht verletzt, beschreibt eine untere Grenze der Traglast.

- Kinematischer (oberer) Grenzwertsatz

Ein Belastungssystem, das mit einem kinematisch zulässigen Bewegungsmechanismus ein Gleichgewichtssystem bildet, beschreibt eine obere Grenze der Traglast.

5.1.1 Statische Grenzwertsätze

Der statischer Grenzwertsatz bedeutet, dass jeder beliebige Kräfte- oder Spannungszustand innerhalb eines Tragwerkes, der:

- mit den äußeren Kräften (= statische Randbedingungen) im Gleichgewicht steht und auch an jedem Punkt im Inneren des Tragwerks, d.h. insbesondere an den Knoten des Stabwerkes alle Gleichgewichtsbedingungen erfüllt, und - an keiner Stelle die Festigkeit des Materials überschreitet (Einhaltung der Fließbedingungen), ein möglicher Kräftezustand ist, der entweder dem tatsächlichen Zustand bei Erreichen der Grenztragfähigkeit des Tragwerks entspricht oder zumindest einen Zustand beschreibt, der noch unterhalb der Traglast liegt, d.h. Tragreserven aufweist.

Für eine gegebene Belastung, im Sinne des statischen Grenzwertsatzes, muss ein Stabwerk oder Spannungsfeld gefünden werden, das sowohl im Inneren als auch mit den angreifenden Kräften im Gleichgewicht steht. Die Querschnittsabmessungen sowie die Bewehrungsmenge sind so zu wählen, dass an keiner Stelle die effektive Betondruckfestigkeit oder die Festigkeit der Bewehrung überschritten wird.

5.1.2 Kinematische Grenzwertsätze

Ein Tragwerk bildet durch die Entstehung plastischer Zonen (Gelenke) einen kinematischen Mechanismus. Die Traglast des Systems kann z.B. durch die Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit bei bekannter Tragfähigkeit in den Gelenken ermittelt werden.

Der kinematische Grenzwertsatz wird primär zur Schnittgrößenermittlung in statisch unbestimmten Systemen und zur Traglastermittlung oder im Entwurf bereits vorliegenden Tragwerken angewandt.

6. Bemessung mittels Stabwerkmodellen

6.1 Diskontinuitätsbereiche

Stabwerkmodelle oder Spannungsfelder können generell für die Bemessung aller Tragwerksbereiche verwendet werden. In den Tragwerksebenen gibt es zwei Arten von Bereichen, die sich unterscheiden, die auch getrennt voneinander behandelt werden können. Diese zwei Arten sind die B-Bereiche und die D-Bereiche. Bei den B-Bereichen ist die elementare Technische Biegelehre näherungsweise erfüllt. Die erlauben eine schnelle, häufig wirtschaftlichere und eine automatisierte Bemessung durch Programme. Bei den D-Bereichen, die einzeln zu behandeln sind, können nicht mehr die Anwendung der Technischen Biegelehre vertreten werden. In Schlaich und Schäfer (2001) wird darauf verwiesen, dass ungenügend bemessene und konstruktiv schlecht gelöste D-Bereiche häufig Schäden verursachen.

6.1.1 B-Bereiche

In B-Bereichen (B steht z.B. für Bernoulli, Balken oder Biegelehre) wird die Anwendbarkeit der klassischen Biegetheorie vorausgesetzt. Die technische Biegelehre gilt nur in den ungestörten Bereichen schlanker Biegeträger, in denen keine Kräfte eingeleitet werden. Dort verlaufen die Hauptspannungstrajektorien regelmäßig und kreuzen die Nulllinie unter 45°. Solange der Beton ungerissen bleibt und die Hooke’schen Stoffgesetze gelten, werden die Beanspruchungen nach der Technischen Biegelehre mit Hilfe von Querschnittswerten z.B. Fläche, Flächenträgheitsmoment, etc. berechnet. Bei gerissenen Stahlbetonquerschnitten, d.h. wenn die Zugspannungen die Betonzugfestigkeit überschreiten, gilt die lineare Dehnungsverteilung unverändert, allerdings treten das Fachwerkmodell oder eines der anderen Standardabmessungsverfahren des Stahlbetonbaus an die Stelle der Technischen Biegelehre.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Ein Rahmentragwerk, das zum überwiegenden Teil aus B-Bereichen besteht. Sein statisches System und der Verlauf der Biegemomente (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 344)

6.1.2 D-Bereiche

D-Bereiche (D für Diskontinuität) weisen im Allgemeinen eine ausgeprägt nichtlineare Verteilung der Dehnungen auf. Es handelt sich um die Bereiche mit plötzlichen Änderungen der Tragwerksform (geometrische Diskontinuität Abb.7a) oder um Bereiche mit konzentrierten Belastungen (statische Diskontinuität Abb.7b). Beispiele für geometrische Diskontinuitäten sind Querschnittssprünge, Rahmenecken, Knicke und Aussparungen. Statische Diskontinuitäten entstehen beispielsweise durch Einzellasten, Auflagerkräfte und Spannkraftverankerungen Abb. 7b und c.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7 a-c: Diskontinuitätsbereiche in Tragwerken - Anwendung des Prinzips von Saint-Venant (nach Schlaich und Schäfer 2001) (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier:

Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 133)

Häufig treten geometrische und statische Diskontinuitäten kombiniert auf (Abb. 7c). Scheiben und wandartige Träger bestehen aus einem einzigen D-Bereich, weil diese Scheibentragwerke im Allgemeinen nichtlinear verteilte Dehnungen aufweisen.

Die Ausdehnung von D-Bereichen kann mit Hilfe des Prinzips von Saint-Venant abgeschätzt werden. Danach wirken die nichtlinearen Spannungen aus Diskontinuitäten im Allgemeinen nur in einem Bereich, dessen Größe etwa dem größten Abstand zwischen den Gleichgewichtskräften, die eine Diskontinuität abbilden, entspricht.

Bei Balken reichen die Gleichgewichtskräfte in der Regel über die Querschnittshöhe, damit erstreckt sich der D-Bereich über eine Länge 1 ~ h. Eine exakte Bestimmung des D-Bereichs ist überflüssig, da Stabwerkmodelle auch über diese Regionen hinaus anwendbar sind. Tragwerke, die nur aus D-Bereichen bestehen bzw. einen zusammenhängenden D-Bereich darstellen, werden direkt modelliert, nachdem die Auflagerkräfte ermittelt sind.

Solange die D-Bereiche ungerissen sind, kann die Ermittlung der Spannungsverteilung linear elastisch (FEM) erfolgen. Erfolgt aber infolge von Rissbildung eine Umlagerung der Zugkräfte auf die Bewehrung, dann bietet sich eine Modellierung mit Hilfe eines Stabwerks an, insbesondere wenn es um Konstruktionsdetails wie z.B. Bewehrungsverankerungen geht.

6.2 Abgrenzen der D-Bereiche

In B-Bereichen verlaufen Spannungen und Spannungstrajektorien ziemlich gleichmäßig im Vergleich zu ihrem unruhigen Muster nahe an Diskontinuitäten Abb. 8

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8: Spannungstrajektorien in einem B-Bereich und in der Nähe von Diskontinuitäten (D- Bereichen) (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 344)

Spannungsspitzen nehmen mit dem Abstand vom Ursprung der Spannungskonzentration schnell ab. Dieses Verhalten erlaubt die Identifizierung der B- und D-Bereiche eines Tragwerks. Um näherungsweise die Grenzlinien zwischen B- und D-Bereichen zu finden, wird folgende Methode vorgeschlagen, die von elastischem Verhalten ausgeht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9: Aufteilung von Tragwerken in ihre B- und D-Bereiche mit dem Prinzip von De Saint-Venant (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 345)

Man denkt sich dazu, wie in Abb.9 an Bespielen gezeigt, den wirklichen Beanspruchungszustand (a) zerlegt in zwei Zustände (b) und (c):

In Bespielen bezeichnet:

(a) Tragwerk mit wirklichen Lasten;
(b) Lasten und Auflagerreaktionen, die mit der Bemoulli-Hypothese übereinstimmen;
(c) im Gleichgewicht stehender Spannungszustand mit B- und D-Bereichen

Die Randbedingungen und die Lasteinteilungen sind im Beanspruchungszustand (b) so idealisiert, dass die Technische Biegelehre im ganzen Tragwerk gilt. Diese setzt z.B. voraus, dass die Auflagerkräfte und Lasten in Balken mit rechteckigem Querschnitt durch parabolisch verteilte Schubspannungen eingeleitet werden und dass die Längskräfte als linear verteilte Spannungen aufgebracht werden. Das Tragwerk (b) besteht dann völlig aus einem oder mehreren B-Bereichen. Seine Schnittgrößen sind gleich denen im gegebenen Tragwerk (a) und stehen mit dessen Lasten und Lagerkräften im Gleichgewicht. Die Spannungen befriedigen aber nicht die wirklichen Randbedingungen und können auch auf den beiden Seiten eines (gedachten) Schnittes bei einer Querschnittsdiskontinuität unterschiedlich sein Abb. 9c.

Der Beanspruchungszustand (c) entsteht aus Gleichgewichtsgruppen von Kräften, welche so zu wählen sind, dass sie mit (b) überlagert - die tatsächlichen Randbedingungen von (a) erfüllen und die Unverträglichkeiten der Kräfte (b) an Querschnittssprüngen beseitigen.

Nach dem Prinzip von De Saint-Venant Abb. 10 kann angenommen werden, dass die nichtlinearen Spannungen in einer Entfernung ungefähr gleich dem größten Abstand zwischen den Gleichgewichtskräften vemachlässigbar klein sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10: Das Prinzip von De Saint-Venant (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 345)

Dieser Abstand ergibt die Ausdehnung des zugehörigen D-Bereichs Abb. 9 (c) (in den Abbildungen gerastert). Er ist bei Balken fast immer gleich der Querschnittshöhe an der Diskontinuitätsstelle.

Es sei darauf hingewiesen, dass gerissene Betonbauteile unterschiedliche Steifigkeiten in unterschiedlichen Richtungen aufweisen, was die Ausdehnung der D-Bereiche beeinflussen kann.

Die Aufteilung eines Tragwerks in B- und D-Bereiche ist bereits von beachtlichem Nutzen für das Verständnis der inneren Kräfte des Tragwerks. Sie verdeutlicht auch, dass einfache l/h Regel bei der Einteilung der Tragwerke in Balken, wandartige Träger, kurze, lange Konsolen usw. dem Tragverhalten nicht gerecht werden können. Dazu muss außer der Geometrie auch die Belastung berücksichtigt werden.

Auch Platten bestehen aus B-Bereichen, in denen die inneren Kräfte leicht aus den Schnittgrößen abgeleitet werden können, und aus D-Bereichen, die noch weitere Untersuchungen erfordern.

6.3 Methodik des Bemessens mit Stabwerkmodellen

Die Anwendung von Stabwerkmodellen ist in der Praxis häufig auf Diskontinuitätsbereiche begrenzt. Die B-Bereiche lassen sich mit Standard-Bemessungsverfahren rechnen, aber bei D- Bereichen ist es erforderlich ein eigenes Stabwerkmodell zu entwickeln oder bekannte Modelle an die besonderen Verhältnisse des betrachteten Tragwerksbereichs anzupassen. Dieser Abschnitt soll deshalb zeigen, wie man für denjeweiligen Fall selbständig ein Stabwerkmodell entwickelt, das den inneren Kraftfluss so wirklichkeitsnah erfasst, dass an dem Modell ersatzweise das wirkliche Tragwerk ausreichend genau nachgewiesen werden kann. Dabei empfiehlt es sich, in folgenden Schritten vorzugehen:

1. Festlegung der Geometrie, Belastung und Auflagerbedingungen des Gesamttragwerks. Dabei müssen unter Umständen Annahmen getroffen werden, z.B. über die statisch erforderlichen Abmessungen, die später überprüft und nötigenfalls korrigiert werden.
2. Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Schnittgrößenverteilungen. Dies kann bei statisch unbestimmten Systemen z.B. auf Grundlage der Elastizitätstheorie erfolgen.
3. Abgrenzung zwischen D- und B-Bereichen des Tragwerks.
4. Bemessen der B-Bereiche. Sofern das Tragwerk über B-Bereiche verfügt, werden diese mit Hilfe der Standard-Bemessungsverfahren durch die Anwendung von Stabwerkmodellen bemessen.
5. Festlegung der statischen Randbedingungen der D-Bereiche. Hierzu zählt neben den Lasten und Auflagerkräften, die unmittelbar auf den D-Bereich wirken, auch die Festlegung der Spannungen bzw. Kräfte im Schnitt zwischen D- und B-Bereich. Die Randspannungen und -kräfte müssen mit der Bemessung der B-Bereiche konsistent sein, d.h. aus deren Bemessung übernommen werden.
6. Überprüfung des Gleichgewichts der einzelnen D-Bereiche. Die aus dem Tragwerk herausgetrennten D-Bereiche müssen- dem Schnittprinzip gehorchend - für sich im Gleichgewicht sein.
7. Untergliederung des D-Bereichs- soweit erforderliche - in einzelne, zueinander senkrechte oder ggf. parallele Ebenen. Dabei müssen an den Verknüpfungspunkten der einzelnen Ebenen Kontinuitätsbedingungen - z.B. entsprechende Auflager oder Kräfte - eingefügt werden.
8. Entwicklung eines geeigneten Stabwerkmodells
9. Berechnung der Stabkräfte
10. Bemessung der Zugstreben
11. Nachweis der Druckstreben
12. Nachweis der Knoten
13. Ergänzende konstruktive Durchbildung

Die Entwicklung eines Stabwerkmodells sowie die Bestimmung der Strebenkräfte ist naturgemäß nicht völlig unabhängig von den Nachweisen der einzelnen Elemente sowie der konstruktiven Durchbildung. Die erforderlichen Abmessungen der Knoten, die sich aus der Begrenzung der Druckspannungen ergibt, wie auch die konstruktiven Erfordernisse bei der Anordnung von Bewehrungsstäben - z.B. der Abstand zwischen zwei Lagen, die erforderlichen Verankerungslängen und mögliche Biegeradien - beeinflussen die Geometrie des Stabwerkmodells.

6.4 Entwurf von Stabwerkmodellen

6.4.1 Modellierungsstrategie

Der zentrale Gedanke der Bemessung mit Stabwerkmodelle ist, dass durch die Anordnung der Bewehrung in einem Bauteil der innere Kraftfluss in fast beliebiger Weise vorgegeben werden kann. In anderen Worten: Das innere Tragsystem wird durch die Bemessung festgelegt, nicht umgekehrt.

Dies bedeutet, dass ausgehend von den Spannungsfeldem eines ungerissenen Bauteils mit einsetzender Rissbildung Umlagerungen der Kräfte - insbesondere der Zugkräfte zu den Bewehrungsstängen - stattfinden müssen, bis sich spätestens mit Erreichen der Traglast der vorgegebene Tragmechanismus einstellt. Umlagerungen können allerdings nur durch Verformungen des Bauteils bzw. einzelner Bereiche ermöglicht werden.

Für ideal-plastische Materialien kann, dem unteren Grenzwertsatz entsprechend, jedes beliebige Tragsystem - d.h. Stabwerkmodell - gewählt werden, da ausreichendes Verformungsvermögen vorausgesetzt wird. Bewehrter Beton weist dem gegenüber allerdings eine begrenzte Verformbarkeit auf. So kann die Verformbarkeit in einzelnen Tragwerksbereichen bereits erschöpft sein, bevor sich der gewünschte innere

Spannungszustand einstellt. Im äußersten Fall führt dies zu einem Tragwerksversagen noch bevor die Bemessungslast erreicht wird.

In Konsequenz muss für bewehrte Betonbauteile sichergestellt werden, dass die erforderlichen Umlagerungen der Kräfte klein und damit die Verformungen begrenzt bleiben: anders gesagt muss die Verträglichkeit der Verformungen gewährleistet sein. Dies wird in erster Linie durch eine geschickte Wahl des Stabwerkmodells erreicht.

Neben der Sicherstellung der Tragfähigkeit müssen aber auch Anforderungen an die Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit - vor allem die Begrenzung von Rissbreiten und Verformungen - erfüllt werden. Stabwerkmodelle basieren auf dem statischen Traglastsatz der Plastizitätstheorie und setzen für die Bemessung im GZT brauchbar, aber zunächst nicht für Nachweise auf Gebrauchslastniveau geeignet.

Nach Schlaich und Schäfer sollte daher die Wahl des Stabwerkmodells unmittelbar an die Spannungsfelder des ungerissenen Bauteils, d.h. nach linearer Elastizitätstheorie angelehnt sein. Damit wird sichergestellt, dass Umlagerungen und erforderliche Verformungen bis zum Erreichen des vorgegebenen Tragwerksystems klein bleiben. Gleichzeitig ist ein befriedigendes Verhalten auf Gebrauchslastniveau zu erwarten. Die Modellierungsstrategie erlaubt zudem, Nachweise zur Rissbreitenbegrenzung mit demselben Modell zu führen.

Sowohl DIN 1045-1 als auch EN 1992-1-1 sehen die Orientierung von Stabwerkmodellen an der Spannungsverteilung nach linearer Elastizitätstheorie vor.

6.4.2 Modellfindung mittels Lastpfadmethode

Für das Modellieren der D-Bereiche mit Hilfe der Lastpfadmethode wird im Folgenden das Vorgehen anhand einiger Beispiele erläutert:

In Abb. 11 sei der D-Bereich am oberen Rand mit der unsymmetrischen, linear verteilten Belastung p (aus dem angrenzenden B-Bereich) belastet.

Die Abtragung der Lasten durch die Scheibe hindurch zu den Lagern ist analog zu einer Partikelströmung, wie Fonseca bewiesen hat (Abb. 11b). Die Lasten werden bereichsweise zu Resultierenden zusammengefasst und deren Weg von der „Quelle“ (Lastangriff) durch das Tragwerk bis zur „Mündung“ im Lager als Lastpfade bezeichnet. Der Lastanteil eines Lastpfades bleibt auf diesem Weg konstant (analog zur Kontinuitätsbedingung bei Strömungen). Die Ähnlichkeit des Kraftflusses mit Strömungsbildem ist für das Modellieren eine wichtige Hilfe.

Die Belastungsfläche wird also so aufgeteilt, dass die zugehörigen resultierenden Lasten auf der Oberseite des Tragwerkes ihre gleich großen Gegenkräfte auf der gegenüberliegenden Seite des Tragwerkes finden. Wie Abb. 11c zeigt, verbinden die Lastpfade die gegenüberliegenden Kräfte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 11 a-d: Anwendung der Lastpfadmethode beim Modellieren (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 347)

a) Geometrie und Belastung
b) Kraftfluss für eine ähnliche Belastung nach [3.46]
c) Lastpfade der zueinander gehörenden Kräfte und die zum Gleichgewicht erforderlichen Umlenkkräfte Z und D
d) Stabwerkmodelle

Die Lastpfade können sich nicht kreuzen. Sie beginnen und enden in den Schwerpunkten der entsprechenden Spannungsflächen. Dort haben sie die Richtung der aufgebrachten Lasten bzw. Auflagerkräfte. Dazwischen nehmen die Lastpfade einen möglichst kurzen stromlinienförmigen Verlauf. Da konzentrierte Kräfte das Bestreben haben, sich in der Scheibe möglichst schnell auszubreiten, streben die von den Lagern ausgehenden Lastpfade zunächst ins Scheibeninnere hinein und weisen in der Nähe des Lagers die größten Krümmungen auf.

Es wurde bisjetzt nur das Gleichgewicht in Richtung der aufgebrachten Lasten berücksichtigt. Jedoch entstehen durch die Krümmungen der Lastpfade Umlenkkräfte C, die der Einfachheit halber horizontal gezeichnet werden. Die Umlenkkräfte der beiden Lastpfade müssen miteinander im Gleichgewicht stehen, da an der Scheibe keine horizontalen Lasten angreifen. Nun werden auch die Umlenkkräfte zu Resultierenden zusammengefasst. Diese wirken wegen des horizontalen Gleichgewichts für beide Lastpfade jeweils in derselben Wirkungslinie.

Schließlich werden die Lastpfade zu Polygonzügen idealisiert, deren Knicke in den Schnittpunkten mit den Resultierenden der Umlenkkräfte liegen (Abb. 11 d).

Damit hat man ein Modell des Tragwerkes entwickelt, das die wesentlichen Ströme des Kraftflusses wiedergibt und das Tragverhalten verdeutlicht. Dabei repräsentieren die Einzelstäbe gekrümmte ebene oder räumliche „Spannungsfelder“ mit der hauptsächlichen Tragrichtung in Richtung der Stabachse. Die Knotenpunkte der Stäbe sind keine Gelenke, sondern in Wirklichkeit ganze Bereiche, in denen innere Kräfte (Spannungen) umgelenkt oder eingeleitet bzw. verankert werden.

Im folgenden Beispiel, ein D-Bereich mit Last F an der Ecke (Abb. 12a), geht man wie beim vorherigen Beispiel vor und sucht sich den Anteil der Spannungen am unteren Rande des D- Bereichs, der mit der Last F in vertikalem Gleichgewicht steht (Abb. 12b).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 12 a-c: Anwendung der Lastpfadmethode beim Auftreten einer U-Schleife (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 348)

a) Geometrie und Belastung
b) Lastpfade und Umlenkkräfte
c) Stabwerkmodell

Am unteren Rand bleiben nach Abtrennen dieses Spannungsanteils zwei Spannungsbereiche mit den Resultierenden Bi und B2 übrig. Bi und B2sind zwar gleich groß, jedoch sind sie entgegengesetzt gerichtet. Ihr Lastpfad tritt bei Bi in den D-Bereich hinein, kehrt darin die Richtung um und tritt bei B2 wieder heraus. Diese „U-Schleife“ mit ihren Umlenkungen wird benötigt, um die Umlenkkräfte der eigentlichen Last F auf ihrem Weg durch den D-Bereich ins Gleichgewicht zu setzen. Die Idealisierung der Lastpfade durch Polygonzüge und ihre Verbindung durch die Umlenkkräfte liefert wieder das fertige Stabwerkmodell des Kraftflusses (Abb. 12c).

6.4.3 Orientierung des Stabwerkmodells an der Elastizitätstheorie

Die Lage der Knickpunkte der Lastresultierenden oder die Lage der Umlenkkraftresultierenden in den oben beschriebenen Beispielen wurde aufgrund des Verlaufs der Lastpfade gewählt oder geschätzt. Wenn man die Spannungsverteilung im D-Bereich kennt, z.B. aus einer FEM- Berechnung (Abb. 13), kann man diese beim Modellieren verwerten, indem

a) der Verlauf der Lastpfade an den Hauptspannungsrichtungen orientiert wird,

b) die Lage von Umlenkkraftresultierenden aus den Spannungsverteilungen in einzelnen Schnitten berechnet wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 13: Orientierung des Stabwerkmodells an der Elastizitätstheorie. Linear-elastische Spannungstrajektorien, linear-elastische Spannungsverteilung im Mittelschnitt und daran orientiertes Stabwerkmodell (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 348)

So kann man z.B. den Randabstand zi der horizontalen Druckkraft C in Abb. 13 aus dem Schwerpunkt der Druckspannungsflächen in einem Vertikalschnitt x = 1/2 berechnen. Der Randabstand Z2 der horizontalen Zugspannungsresultierenden T lässt sich analog festlegen. Allerdings liefern andere Vertikalschnitte etwas abweichende Lagen der Spannungsresultierenden, so dass immer noch ein Entscheidungsspielraum für die Lage der Stäbe im Modell verbleibt.

Die Kombination einer linear-elastischen FEM-Berechnung und der Lastpfad-Methode ist ein sehr gutes Mittel zur Entwicklung von Stabwerkmodellen für komplizierte Fälle. Abb. 14 zeigt die Ermittlung der senkrechten Druck- und Zugstäbe durch die Lastpfad-Methode, wie sie in den obigen Beispielen erklärt wurde: Das Tragwerk wird in einen B-Bereich und in einen D-

Bereich aufgeteilt. Auf das untere Ende des D-Bereichs wirken die Spannungen p, die aus den Schnittgrößen M = F · e und N = -F des angrenzenden B-Bereichs abgeleitet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 14 a-c Anwendung der Lastpfadmethode mit Ermittlung der Lage der Umlenkstäbe T3 und CI aus den elastischen Spannungsverteilungen (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 349)

a) linear-elastische Spannungstrajektorien
b) linear-elastische Spannungsverteilunge
c) Stabwerkmodell

Diese Spannungen werden zu vier Resultierenden zusammengefasst: Den beiden Druckkräften Сз + C4 = F und den verbleibenden gleich großen Kräften T2 und C2 (Abb. 14c). Dabei sind Сз und C4 die Komponenten von F auf der rechten bzw. linken Seite der senkrechten Ebene, die durch F festgelegt ist. Die entgegengesetzt gerichteten Kräfte T2 und C2 bilden wie in Abb. 12 eine U-Schleife. Durch das seitliche Versetzen der Lastkomponenten in die gegebenen Positionen werden Querspannungen erzeugt. Die entsprechenden horizontalen Druck- und Zugstäbe werden in den Schwerpunkten der Spannungsflächen angeordnet, die für wichtige Schnitte aus einer linear-elastischen Berechnung entnommen werden (Abb. 14b). Ihre Knoten mit den senkrechten Druckstäben bestimmen auch die Lage der diagonalen Druckstäbe (Abb. 14c). Ohne zunächst die gekrümmten Lastpfade zeichnen zu müssen, erhält man so gleich das polygonale Stabwerkmodell.

6.4.4 Grenzen in der Orientierung nach Elastizitätstheorie

Die Orientierung der Stabwerkmodelle an den Ergebnissender Elastizitätstheorie dient primär dem Zweck, die Verträglichkeit der Verformungen sicherzustellen und erforderliche

Umlagerungen klein zu halten. Dessen ungeachtet sind Umlagerungen als Folge der Rissbildungen gewissem Umfang möglich.

Dies wird z. B. in der Bemessung von biegebeanspruchten Balken im Rahmen der Standardbemessung für B-Bereiche genutzt: Wegen der geringen Dehnsteifigkeit der Bewehrung im Vergleich zur ungerissenen Zugzone verschiebt sich die Dehnungsnulllinie im Zuge der Rissbildung zum gedrückten Rand hin und bewirkt eine Einschnürung der Druckzone. Der Hebelarmzwischen den Druck- und Zugspannungsresultierenden beträgt für den ungerissenen Querschnitt z =2/3h, für gerissene Querschnitte steigt er auf z =0,8hund darüber hinaus an. Eine Bemessung mit dem Hebelarm des ungerissenen Querschnitts, d. h. nach Elastizitätstheorie, führt daher zu erheblich mehr Bewehrung, als zur Sicherstellung der Tragfähigkeit notwendig wäre.

Ein weiteres, bereits klassisch zu nennen des Beispiel für die Grenzen der Modellierung nach Ergebnissen linear-elastischer Berechnungen ist der in Abb. 15 wiedergegebene Versuch an einemwandartigen Einfeldträger nach Leonhardt u. Walther (1966). Wird der Druckgurt in den Schwerpunkt des Druckspannungsfeldes nach E-Theorie gelegt, beträgt der Abstand vom unteren Rand ca. 0,7h. Der innere Hebelarm ergibt sich damit zu ca. 0,6h (Abb. 15b und c). Mit diesem Modell sind allerdings nur ca. 40% der tatsächlich erreichten Bruchlast zu erklären.

Im Versuch konnte beobachtet werden, dass kurz vor dem Versagen der Scheibe Risse weit an den oberen Rand vorgedrungen waren, der Druckgurt also deutlich stärker am oberen Rand konzentriert war. Die für den Traglastzustand eher zutreffende Verteilung der Spannungsfelder bzw. der Resultierenden mit vergrößertem Hebelarm ist in Abb. 15d wiedergegeben.

Die geprüfte Scheibe wies also ausreichend Verformungsfähigkeit auf, um erhebliche Umlagerungender Druckkräfte zu ermöglichen. Das innere Tragsystem entwickelt sich folglich mit zunehmen der Lasthöhe vom Modell nach Abb. 15c zu dem nach Abb. 15d (Schlaich u. Schäfer 2001).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 15 a-d Versuch an einem wandartigen Träger nach Leonhardt u. Walther (1966) und zugehörige Stabwerkmodelle für den Gebrauchs- und Bruchzustand - Veränderung des Hebelarms (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 139)

Dass die direkte Übernahme der Zugspannungsfelder und -kräfte nach Elastizitätstheorie in den Stabwerkmodellen manchen Fällen nicht ausreicht, um die Tragfähigkeit sicherzustellen, zeigt das abschließende Beispiel nach Abb. 16. Das Stabwerkmodell zeigt, dass rechts neben der Öffnung eine nicht unerhebliche Menge an Aufhängebewehrung erforderlich wird, während die Berechnung nach Elastizitätstheoriedort sogar geringe Druckspannungen ausweist (vgl. Rombach 2000). Es sei angemerkt, dass das abgebildete Stabwerkmodell noch durch ein weiteres Subsystemmit einer schrägen Zugstrebe, die den Hauptzugspannungen an der rechten oberen Ecke der Aussparung folgt, ergänzt werden sollte (vgl. Schlaich u. Schäfer 2001).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 16 a-c Wandartiger Träger - Aufhängebewehrung neben der Aussparung nur aus dem Stabwerkmodell ersichtlich (Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier: Bemessung im konstruktiven Betonbau nach DIN 1045-1 (Fassung 2008) und DIN EN 1991-1 (Eurocode 2), 2. Auflage, Seite 139)

Normregelung nach DIN 1045-1

Zum Entwurf von Stabwerkmodellen finden sich in DIN 1045-1, 10.6.1 drei grundlegende

Prinzipien:

- Stabwerkmodelle bestehen aus Betondruckstreben, Zugstreben und verbindenden Knoten,
- die Strebenkräfte müssen unter Wahrung des Gleichgewichts für die Einwirkungen im GZT ermittelt werden und
- die Zugstreben müssen nach Lage und Richtung mit der zugeordneten Bewehrung übereinstimmen.

Ergänzt werden die Prinzipien durch eine Reihe von Anwendungsregeln:

- Stabwerkmodelle und insbesondere Lage und Richtung wichtiger Druckstreben sind nach der Spannungsverteilung gemäß linearer Elastizitätstheorie zu orientieren.
- Stabwerke dürfen kinematisch sein, wenn die Geometrie auf die Lastkonfiguration abgestimmt ist.
- Für die Berechnung der Strebenkräfte bei statisch unbestimmten Modellen dürfen die Steifigkeiten der Streben näherungsweise berücksichtigt werden. Alternativ kann das Stabwerk durch die Wahl von Strebenkräften in Anlehnung an die Kräfte einer Berechnung nach E-Theorie auf ein statisch bestimmtes Modell zurückgeführt werden.

- Ergebnisse aus mehreren Stabwerkmodellen dürfen nur dann überlagert werden, wenn die Modelle fürjede Einwirkung im Wesentlichen übereinstimmen.

Normregelung nach EN 1992-1-1

EN 1992-1-1, 5.6.4 enthält zu den Prinzipien nach DIN 1045-1 identische Regeln für den Entwurf von Stabwerkmodellen. Eine Orientierung vor allem wichtiger Streben an der Elastizitätstheorie, d.h. eine näherungsweise Sicherstellung der Verträglichkeit der Verformungen wird dagegen nur explizit gefordert, wenn das Modell für Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit wie z.B. für Spannungs- oder Rissbreitennachweise verwendet werden soll.

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] DIN EN 1992-1-1 - Ergänzungen

Die DIN 1045-1 enthaltenen Anwendungsregeln werdenin NAzuEN 1992-1-1 ergänzt.

6.4.5 Optimierung von Stabwerkmodellen

Der Entwurf von Stabwerkmodellen sollte einigen elementaren Regeln folgen, die im Wesentlichen stahlbetontypisches Verhalten reflektieren (vgl. Schlaich u. Schäfer 2001):

1. Die Anordnung der Bewehrung sollte baupraktischen Gesichtspunkten folgen; d. h. vorzugsweisegerade Stäbe sollten parallel und senkrecht zu den Bauteilkanten angeordnet werden. Die Bewehrung sollte, soweit möglich, nah am Rand des Bauteils platziert werden, um eine effektive Kontrolleder Rissbreiten zu gewährleisten. Die Zugstreben des Stabwerkmodells müssen naturgemäß den Hauptbewehrungssträngen im Bauteil entsprechen.

Für die Betrachtung größerer Tragwerksbereiche ist es ausreichend, Bewehrungsscharen aus mehreren Betonstahlstäben durch einen idealisierten Zugstab in deren Schwerlinie abzubilden. Dagegen empfiehlt es sich, bei der Untersuchung von Detailsund Knoten zumindest einzelne Bewehrungslagenexplizit zu berücksichtigen.

Die Ausrichtung von Bewehrungssträngen nach den Hauptzugspannungsrichtungen einer elastischen Berechnung (sog. Trajektorienbewehrung) ergibt selten eine praktikable Bewehrungsführung. Gleichzeitig sollte Bewehrung so angeordnet werden, dass mehrere Lastfälle damit abgedeckt werden können; dies ist mit Trajektorienbewehrung ebenfalls selten möglich.

2. Hochbeanspruchte Druckstreben sollten mit den Druckfeldem nach Elastizitätstheorie übereinstimmen, um erforderlich Umlagerungen zu minimieren.

3. Die Winkel, mit denen Zug- und Druckstreben in Knoten aufeinander treffen, sollten zwischen 30° und 60° liegen. Deutlich flachere oder steilere Druckfeldwinkel sind i. d. R. unrealistisch undverletzen die Verträglichkeit.

4. Knoten, an denen drei Druckstreben Zusammentreffen {Druckknoten), sollten konsequent nach Abb. 17b modelliert werden, um die Lage des Resultierenden-Schnittpunktes und damit die Geometrie des Stabwerkes korrekt wiederzugeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 17 a-b Konsequente Modellierung von Druckknoten (vgl. Reineck 2005)

5. Unter mehreren möglichen Stabwerkmodellen sollte dasjenige bevorzugt werden, welches die geringsten Umlagerungen der inneren Kräfte, d. h. die geringsten Verformungen erfordert. Für dieses Modell nimmt die Formänderungsarbeit, also die bis zum Erreichen des Fließzustandes geleistete elastische Arbeit, ein Minimum an (vgl. Kupfer 1964).

Es ist zweckmäßig, auch die Stabwerkmodelle unter diesem Gesichtspunkt auszuwählen. Da sich die Zugstäbe (Bewehrung) stärker verformen als Betondruckstäbe, ist ein Modell mit wenigen, kurzen Zugstäben realistischer als eines mit vielen oder langen Zugstäben. Man kann dafür das Produkt aus Stablängen 1¡ und Stabkräften T¡ als ein vereinfachtes Kriterium zur statischen Optimierung heranziehen:

YJi · li = Minimum

Wenn ausnahmsweise auch Druckstäbe auf größere Länge nicht nur in den Knoten sehr hoch beansprucht werden und dadurch ähnlich große mittlere Dehnungen wie die Bewehrung erhalten, sollten sie in ein besseres Kriterium näherungsweise einbezogen werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beschränkung auf eine Summation nur über die Zugstreben basiert auf der Annahme, dass die wesentlichen Verformungsanteile durch die gerade fließende Bewehrung entstehen, während Stauchungen der Betondruckstreben vemachlässigbar sind. Von dieser Vereinfachung sollte bei hoch beanspruchten Druckstreben großer Länge kein Gebrauch gemacht werden (s. Abb. 18b). Ein Stabwerkmodell mit wenigen kurzen Zugstreben ist stets günstiger als eines mit vielen langen. Dieses objektive Kriterium führt vor Augen, dass für das Modell nach Abb. 18c ein gegenüber den Modellen nach den Abbn. 18a und b deutlich ungünstigeres Verhalten zu erwarten ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 18 a-c Stabwerkmodelle für wandartige Träger - Anwendung des Prinzips vom Minimum der Formänderungsenergie

6. Im ersten Schritt sollte ein möglichst einfaches Modell entworfen werden, das die wichtigsten Lastpfade abbildet. Teilbereiche können anschließend durch Subsysteme einer verfeinerten Betrachtung zugänglich gemacht werden.

7. Die Bauteilränder und -Oberflächen, die nicht ohne hindurch eine Zugstrebe im Stabwerkmodellvertreten sind, müssen konstruktiv mit Bewehrung- am besten orthogonalen Bewehrungsnetzen- versehen werden, um auftretende Risse in ihrer Breite zu begrenzen. Hierbei sind die Regeln zur Mindestbewehrung zu beachten.

Selbst objektive Kriterien zur Wahl günstiger Modelle führen nie zu eindeutigen Lösungen. Dies bedeutet erheblichen Gestaltungsspielraum in der Bemessung und erfordert gleichzeitig Gespür des Anwenders für das Tragverhalten von bewehrtem Beton.

6.5 Statische Modelle

Abb. 19 zeigt, wie ein Lastfall mit zwei unterschiedlichen Modellen gelöst wurde. Das Modell in Abb. 19a wurde mit der Lastpfad-Methode entwickelt und hängt mit den Schnittgrößen der D-Bereiche zusammen. Die Zugstäbe Ti und T2 erfordern geneigte Bewehrung, das aus baupraktischer Sicht unerwünscht ist. Deshalb wurde in Abb. 19c eine Anordnung der Zugstäbe gewählt, die durch ein rechtwinkliges Bewehrungsnetz mit Bewehrungsstäben parallel zu den Bauteilrändem abgedeckt werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 19 a-c Zwei Modelle für den gleichen Lastfall (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 350)

a) Aufteilung der Spannungsdiagramme, Lastpfade und Festlegung des Knotens 1 mit Hilfe der Querkraft- und Momentenlinie
b) Zugehöriges Stabwerkmodell mit schrägen Zugstäben Ti und T2
c) Variante dazu mit orthogonaler Bewehrung

6.5.1 Kinematische Modelle

Häufig sind die sich ergebenden Modelle kinematisch. Das heißt jedoch nicht, dass das Tragwerk instabil ist, denn kleinste Bewegungen der viereckigen Stabwerksmaschen würden sofort diagonale Druckkräfte im Beton wecken, die das Tragwerk stabilisieren. Es können so viele Diagonalstäbe im Modell hinzugefägt werden, bis es formal statisch bestimmt ist. Diese „Nullstäbe“ erhalten keine nennenswerten Kräfte und beeinflussen den Kraftfluss nicht. Allerdings gelten kinematische Modelle nur für einen Lastfall. Daher muss die Geometrie eines kinematischen Modells dem speziellen Lastfall angepasst sein. Sie wird in den meisten Fällen durch die Gleichgewichtsbedingungen bestimmt, nachdem nur einige wenige Druck- und Zugstäbe gewählt sind. Somit sind Modellieren und Statik der Stabwerke bei kinematischen Modellen miteinander gekoppelt.

6.5.2 Statisch bestimmte Modelle

Statisch bestimmte Modelle können dagegen geometrisch festgelegt und hinterher mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Ein solches verkraftet auch unterschiedliche Laststellungen, wobei es aber naturgemäß die unterschiedlichen inneren Kraftflüsse nicht gleich gut repräsentieren kann.

6.5.3 Statisch unbestimmte Modelle

Bestehende Tragwerke sind innerlich hochgradig statisch unbestimmte Systeme; manchmal kann ein befriedigendes Tragverhalten, vor allem auf Gebrauchslastniveau, nur durch statisch unbestimmte Stabwerkmodelleerreicht werden. Klassisches Beispiel ist die mit einer Einzellast beanspruchte Scheibe nach Abb. 18. Da sich die Stabkräfte nicht mehr allein aus Gleichgewichtsbedingungenberechnen lassen, sind zusätzliche Bedingungen erforderlich. Hier gibt es drei Möglichkeiten:

1. Zerlegung in mehrere, hinsichtlich Lage und Richtung von Druck- und Zugstreben aufeinander abgestimmter, statisch bestimmte Stabwerke, denenjeweils ein Teil der gesamten Last zugewiesen wird.
2. Reduktion auf statisch bestimmte Systeme durch die Vorgabe einzelner Stabkräfte
3. Berechnung als statisch unbestimmtes Stabwerküber Gleichgewichts- und Verformungsbedingungen, nachdem die einzelnen Streben mit Stabsteifigkeiten belegt wurden.

Die erste Möglichkeit fußt unmittelbar auf der Plastizitätstheorie; ausreichende Verformungsfähigkeit vorausgesetzt, kann die Aufteilung der Lastweitgehend frei erfolgen. Für bewehrten Betonsollte, um breite Risse und schädliche Verformungen zu vermeiden, die Aufteilung zumindest an die Steifigkeitsverhältnisse zwischen den einzelnen Stabwerken angelehnt werden; die Steifigkeiten der Streben sind hierfür zumindest grob zu schätzen (vgl. Möglichkeit 3).

In Abb. 20 werden zwei statisch bestimmte Stabwerke überlagert. Da die Druckstreben des Teilmodells 1 die deutlich steiferen Lastpfade darstellen, wird der größte Anteil der Lasten über dieses Modell aufgenommen; auf Teilmodell 2 entfällt wegen der geringeren Dehnsteifigkeit der Rückhängebewehrung nur ein kleiner Teil der Last. Umgekehrt gilt: Wenn der Lastanteil, der zunächst über Zugstreben nach oben gehängt wird, zu klein angenommen und in der Folge die Rückhängebewehrung zu schwach ausgelegt wird, entstehen unmittelbar hinter dem Einleitungspunkt der Last klaffende Risse.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 20 Statisch unbestimmtes Stabwerkmodell. 1 + 2 sind statisch bestimmte Modelle mit unterschiedlicher Lastabtragung (Betonkalender 2001, Teil 2, Artikel: „Konstruieren im Stahlbetonbau“, Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Schlaich, Prof. Dr.-Ing. Schäfer, Seite 351)

Der zweite mögliche Weg für die Berechnung statisch unbestimmter Stabwerkmodelle entspricht der Reduktion des Systems auf ein statisch bestimmtes Stabwerk durch die Vorgabe einer entsprechenden Anzahl an Stabkräften, z. B. durch Vorgabe des Bewehrungsquerschnittes einzelner Zugstreben. Diese Kräfte können entweder geeignet geschätzt oder einer Berechnung des Bauteils nach linearer Elastizitätstheorie (FE-Berechnung einer Scheibe) entnommen werden. Hierzu sind die Spannungen der jeweils betroffenen Spannungsfelder in geeigneten Schnitten aufzusummieren. Da hierbei das spezifische Verhalten von Stahlbeton, d. h. die Veränderung der Steifigkeit durch Rissbildung, nicht berücksichtigt wird, ist eine ggf. unwirtschaftliche Einschätzung insbesondere der Zugstrebenkräfte möglich.

Der dritte Weg zur Berechnung statisch unbestimmter Stabwerke basiert darauf, dass vorab die Steifigkeiten der Streben ermittelt werden. Dies erfordert für Druckstäbe die Festlegung effektiver Querschnitte. Für die Steifigkeit von Zugstreben sollte die Mitwirkung des Betons erfasst werden. Auf Basis der angenommenen Steifigkeiten lassen sich die Stabkräfte mit Hilfe üblicher baustatischer Verfahren z.B. über einfache Stabstatikprogramme ermitteln.

6.6 Typische Stabwerkmodelle und Lasteinteilungen

Im Folgenden werden Stabwerkmodelle für sich wiederholende, typische Diskontinuitätsbereiche von Tragwerken vorgestellt. Der begrenzte Umfangdeckt nicht die volle Bandbreite der möglichen Probleme ab, vielmehr sollten die Beispiele als Einstieg in das Entwerfen eigener, den jeweiligen Randbedingungen im Allgemeinen besserangepasster Stabwerkmodelle angesehen werden.

6.6.1 Konzentrierte Lasteinleitung

Die Einleitung konzentrierter Kräfte oder Lasten in ein Betonbauteil, z. B. Lasten aus Stützen, Auflagern oder Spanngliedverankerungen, stellt ein häufig wiederkehrendes Problem der Bemessung dar. In vielen Fällen wird eine räumliche Ausbreitung der Spannungen möglich sein, allerdings soll zunächst - der Modellierungsstrategie für Stabwerke folgend - nur eine Schnittebene betrachtet werden.

6.6.2 Typische Modelle für B-Bereiche 6.6.2.1 Standard-Fachwerkmodell Bl

Die Standard-Fachwerkmodelle Bl Abb. 21 eignen sich für gerissene B-Bereiche mit Biegemoment, Normalkraft und Querkraft, wenn die Momentenbeanspruchung so überwiegt, dass sichjeweils ein Druck- und Zuggurt ausbilden kann.

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