Das Black-Scholes-Merton Optionspreismodell bei Devisenoptionsgeschäften

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Analyse des Devisenoptionsmarktes
2.1 Funktionsweise von Devisenoptionen
2.2 Anwendungsbereich von Devisenoptionen

3 Black-Scholes-Merton-Modell für Devisenoptionen
3.1 Grundlagen des allgemeinen Modells
3.2 Die Erweiterung für Devisenoptionen durch Garman & Kohlhagen

4 Empirische Untersuchungen
4.1 Verteilung der Devisenkurse
4.2 Volatilität der Devisenkurse
4.3 Risikoloser Zinssatz

Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2.1: Monatliche Entwicklung des EUR/USD-Wechselkurses (oben) sowie logarithmierte Wechselkursveränderungen des EUR/USD- Wechselkurses (unten) von Januar 1999 bis Mai 2015 (in Mengennotierung)

Abbildung 2.2: Tatsächlich realisierter Wechselkurs in Abhängigkeit zur Spot Exchange Rate im Mai 2016

Abbildung 2.3: Gewinn bzw. Verlust beider Spekulationsstrategien bei einem Basispreis von 0,91 € pro Dollar

Abbildung 3.1: Die Lognormalverteilung des Basiswertes

Abbildung 4.1: Histogramm und Parameter der Verteilung der monatlichen Devisenkursänderungen von Januar 1999 bis Mai 2015

Abbildung 4.2: Tägliche Entwicklung des EUR/USD-Wechselkurses (oben) sowie logarithmierte Wechselkursveränderungen des EUR/USD-Wechselkurses (unten) von Juni 2013 bis Mai 2015 (in Mengennotierung)

Abbildung 4.3: Histogramm und Parameter der Verteilung der täglichen Devisenkursänderungen von Juni 2013 bis Mai 2015

Abbildung 4.4: Prozentsatz der Tage an denen die täglichen Schwankungen der Wechselkurse über einer, zwei, , sechs Standardabw. liegen

Abbildung 4.5: Die Entwicklung (oben) sowie die Schwankungen (unten) des 3- Monats-EURIBOR und des 1-Jahres-EURIBOR von Januar 1999 bis Mai 2015

1 Einleitung

Das Black-Scholes-Modell bzw. Black-Scholes-Merton-Modell wurde in den frühen 70er Jahren von den renommierten Wirtschaftswissenschaftlern Fischer Black und Myron Scholes, sowie unter separater Beteiligung von Robert Merton, etabliert. Es gilt als Mei- lenstein der Finanzwirtschaft, da es, trotz seiner restriktiven Annahmen, eine auch heute noch breit genutzte Methodik zur Bewertung von Optionen liefert. Wenig überraschend erhielten Merton und Scholes 1997, zwei Jahre nachdem Black leider verstorben war, für ihr Bewertungsmodell den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Basierend auf der Black-Scholes-Merton-Bewertungsformel entwickelten Garman & Kohlhagen einige Jahre später den wohl bekanntesten Ansatz zur Bewertung von Optionen auf Devisen, indem sie eine Erweiterung durch Samuelson & Merton nutzen, welche Dividenden aus- schüttende Aktien in die Bewertung einschloss. Zeitgleich entstand unabhängig davon durch Bigger & Hull ein sehr ähnliches Modell.

Dem Black-Scholes-Merton-Modell bzw. dem Garman-Kohlhagen-Modell für Devisenoptionen, die in den wesentlichen mathematischen Grundlagen bzw. Annahmen identisch sind, unterliegen eine Reihe von restriktiven Annahmen. Ziel dieser Abhandlung soll es sein, durch eine geeignete empirische Überprüfung, Aussagen über die Zuverlässigkeit der Annahmen für die Realität zu treffen. Damit sei allerdings nicht gesagt, dass ebendiese Annahmen den Anspruch erheben würden, die Realität perfekt abzubilden. Letztlich ist ein Modell in jedem Fall nur eine Vereinfachung der Wirklichkeit. Die empirischen Resultate sollen also keinesfalls das Modell angreifen, sondern vielmehr Möglichkeiten aufzeigen, es für bestimmte Zwecke zu erweitern.

Zunächst werden wir in Kapitel 2 die Funktionsweise und Anwendungsgebiete von De- visenoptionen untersuchen, um einen groben Überblick über den Devisenoptionsmarkt zu erlangen. In Kapitel 3 beginnt nun der eigentlichen Teil der Seminararbeit, wobei der theoretische Hintergrund des Modells bzw. die Herleitung grob skizziert wird, um eine Intuition des Ansatzes zu erhalten. Anschließend wird die Bewertungsformel nach Garman & Kohlhagen für Devisenoptionen vorgestellt, welche eine theoretische Abschät- zung der Prämie bzw. des Preises von europäischen Devisenoptionen anbietet. Im letzten Kapitel werden wir schließlich die Resultate der empirischen Befunde mit den Annahmen des Modells vergleichen.

2 Analyse des Devisenoptionsmarktes

Was sind Devisenoptionen und wie funktionieren sie? Wer profitiert von Devisenopti- onsgeschäften? Dieses Kapitel soll Antworten auf etwaige Fragen geben, da ein Verständ- nis der Materie des Devisenoptionsmarktes für eine Auseinandersetzung mit dem Garman/Kohlhagen-Modell unumgänglich ist. In Kapitel 2.1 werden Devisenoptionen zunächst definiert, um in Kapitel 2.2 genauer auf deren Nutzungsmöglichkeiten eingehen zu können. Gleichzeitig werden wir uns das Entstehen von Wechselkursen bzw. von An- gebot und Nachfrage an Devisenmärkten kurz und bündig vor Augen führen.

2.1 Funktionsweise von Devisenoptionen

Mit einer Devisenoption oder Währungsoption wird das Recht erworben, in Zukunft eine Währung zu einem festgelegten Basispreis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Das Underlying wird durch den zugrundeliegenden Wechselkurs determi- niert. Beispielsweise kann ein Kontrakt abgeschlossen werden, der dem Optionsinhaber das Recht gibt, zum Fälligkeitsdatum (europäische Option) oder innerhalb einer vorgege- benen Laufzeit (amerikanische Option) 30.000 $ zu einem Wechselkurs von 1,1 $ je € zu kaufen bzw. zu verkaufen. Dafür zahlt der Inhaber eine Prämie an den Stillhalter, welcher verpflichtet ist, die Währung zu liefern bzw. entgegenzunehmen. Abzugrenzen ist die Devisenoption von Devisenforwards bzw. börsengehandelten Devisenfutures und Devi- senswaps. Erstere stellen eine Vereinbarung zweier Geschäftspartner dar, zu einem fest- gelegten Termin zwei Währungen zu tauschen, wobei der Wechselkurs bereits bei Ge- schäftsschluss festgelegt wird (Forward Exchange Rate). Dabei wird keine Prämie fällig, jedoch kann im Gegensatz zur Option nicht von einer positiven Kursentwicklung profi- tiert werden. Ein Devisenswap besteht aus einem Devisenkassageschäft und einem Devi- sentermingeschäft. Hierbei werden zuerst zwei Währungen zum aktuellen Devisenkassa- kurs (Spot Exchange Rate) getauscht und zu einem späteren Zeitpunkt wieder zurückge- tauscht.

2.2 Anwendungsbereich von Devisenoptionen

Gerade vor dem Hintergrund der stetig zunehmenden Globalisierung sind sowohl private als auch institutionelle Marktteilnehmer zunehmend auf Fremdwährungen angewiesen. Die einzelnen Währungen unterliegen jedoch starken Schwankungen, wie es sich etwa anhand von Abbildung 2.1 für den EUR/USD-Wechselkurs (Mengennotierung) zeigen lässt, was Devisentermingeschäfte für viele Akteure unabdingbar macht und die Chance mit sich bringt, an zukünftigen Wechselkursänderungen profitieren zu können. Der Um- tauschkurs hängt dabei vom Angebot und der Nachfrage nach den jeweiligen Währungen ab.¹,² Beispielsweise benötigen Unternehmen Devisen, um Güter zu importieren, während Investoren ausländische Anleihen erwerben möchten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Monatliche Entwicklung des EUR/USD-Wechselkurses (oben) sowie logarithmierte Wech- selkursveränderungen des EUR/USD-Wechselkurses (unten) von Januar 1999 bis Mai 2015 (in Mengen- notierung).³

Derartige Transaktionen werden zumeist über Geschäftsbanken abgewickelt, die als Fi- nanzintermediäre zwischen den einzelnen Akteuren des Tauschgeschäftes agieren, jedoch auch durch den gemeinsamen Interbankenhandel wesentlich auf die Wechselkurse ein- wirken. Andere Finanzinstitute, wie beispielsweise Pensionskassen oder Hedge-Fonds spielen hier ebenso eine bedeutende Rolle. Vor allem aber wird eine Währung durch die Handlungen von Zentralbanken bestimmt, wie es das erst jüngst von der europäischen Zentralbank durchgeführte Anleihenkaufprogramm verdeutlichte, das zu einem massiven Kurseinbruch des Euros führte. Eine weitere wesentliche Antriebskraft der Wechselkurse spiegelt sich in den Zinssätzen der jeweiligen Währungen wider.⁴ Steigt der Zins in einem Land A, wohingegen er in einem anderen Land B stagniert, so ergibt sich unweigerlich eine erhöhte Nachfrage nach der Währung des Landes A, da ein rational handelnder Marktteilnehmer stets versuchen wird, die Möglichkeit einer höheren Rendite wahrzu- nehmen.

Devisenoptionen werden größtenteils außerbörslich bzw. am Over-the-Counter-Markt (OTC) gehandelt. In wesentlich geringerem Umfang findet auch ein Börsenhandel statt, etwa über die Philadelphia Stock Exchange (PHLX).⁵

Die Nutzung von Devisenoptionsgeschäften lässt sich gemäß der verschiedenen Transak- tionsmotive in drei Händlerkategorien unterteilen. Namentlich wird hier zwischen „Hed- gern“ bzw. Kurssicherern, Spekulanten und Arbitrageuren unterschieden.⁶,⁷ Beim Hedging verfolgt der Optionsinhaber das Ziel, sich gegen etwaige Wechselkursrisiken abzusichern. Ein Beispiel: Möchte ein amerikanisches Unternehmen im kommenden Jahr (Mai 2016) ein bestimmtes Gut (etwa aus Deutschland) importieren, fürchtet aber eine Aufwertung des Euros, kann es sich mit einer Long Position im Euro absichern. Ange- nommen, im Mai 2015 liegt die Forward Exchange Rate bei 1,1 $ pro Euro und ebendiese sei nun der Basispreis einer europäischen Call-Option mit einer Prämie von 0,05 $ pro Stück. Betreibt das Unternehmen kein Hedging, trägt es das volle Kursrisiko und muss zur dann gegebenen Spot Exchange Rate tauschen. Im Falle eines Forward-Kontraktes wird der Tausch unabhängig vom aktuellen Wechselkurs mit der vereinbarten Forward- Rate durchgeführt, während das Unternehmen mit einer Call-Option sich lediglich das Recht sichert zum vereinbarten Basispreis zu kaufen. Liegt der Wechselkurs beispiels- weise bei 0,9 $ pro Euro ist das Unternehmen im Gegensatz zum Forward (oder Future) jedoch nicht dazu verpflichtet (vgl. Abbildung 2.2).

[...]

¹ Vgl. Berk, J., DeMarzo P., Corporate Finance, 2014, S. 999 f.

² Vgl. Krugman, P., Obstfeld, M., Melitz, M., International Economics, 2012, S. 324 f.

³ Vgl. European Central Bank, Data, 2015.

⁴ Vgl. Krugman, P., Obstfeld, M., Melitz, M., International Economics, 2012, S. 332 ff.

⁵ Vgl. Hull, J., Derivatives, 2009, S. 319.

⁶ Vgl. Hiller, C., Devisenoptionen, 1996, S. 89 ff.

⁷ Vgl. Hull, J., Derivatives, 2009, S. 9 ff.