Leichtverständliche Aufgaben und Lösungen zur „beschreibenden Statistik“

Inhalt

Vorwort

1. Wozu Statistik?

2. Statistik und empirische Untersuchung

3. Merkmalsarten und Skalentypen

4. Arithmetischer Mittelwert

5. Kennwerte der Streuung

6. Klassenbildung

7. Der Median

8. Quantile

9. Modalwert

10. Das geometrische Mittel

11. Grafische Darstellung von Daten

12. Häufigkeitsverteilung

13. Einschub: Konzentrationsmessung und Lorenzkurve

14. Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilung

15. Lineare Regression

16. Bestimmung der Regressionskonstanten a und b

17. Kontrollrechnung für den Korrelationskoeffizienten r

18. Bestimmtheitsmaß und Standardfehler

19. Zeitreihenanalyse und Trendermittlung

20. Gleitender Durchschnitt

21. Trendfunktion

22. Einfache Prognosetechniken

23. Trendextrapolation auf Basis eines Zeitreihenmodells

24. Die Welt ist nicht nur metrisch

25. Der Rangkorrelationskoeffizient R nach Spearman

26. Nominale Werte

27. Kontingenzkoeffizient C nach Pearson

28. Der Signifikanztest

29. Die Benford-Analyse und der Chi-Quadrat-Test.

30. Bestimmung des Stichprobenumfangs

31. Der Bericht

32. Anhänge

Register

Vorwort

Die „große Statistik“ hat – nicht völlig zu Unrecht – den Ruf, unanschaulich und bestenfalls kompliziert zu sein. Die hier vorgestellte „beschreibende Statistik“ ist es nicht. Sie ist nicht schwer zu erlernen. Beschreibende Statistik erfordert nur ein solides Grundwissen in den vier Grundrechenarten und die Bereitschaft, Zeit in Übungen zu investieren. Das erworbene Wissen reicht zum Beispiel für das Erkennen von:

- Manipulationen durch Medien,
- falschen Statistiken zur Gesundheit,
- „Märchen“ zu Polizei-Aufklärungsquoten oder der
- Wirksamkeit von Faltencreme

völlig aus. „Traue keiner Statistik, die du nicht selber gefälscht hast.“ Sollten Sie eine eigene Arbeit verfassen und darin Elemente der Statistik verwenden, steht dieses Büchlein Ihnen mit Rat und Tat beiseite und hilft, die schlimmsten Fehler zu vermeiden.

Die Motivation zu diesem Büchlein basiert auf den Erfahrungen, die ich in vielen Vorlesungen zur empirischen Sozialforschung und Statistik für den öffentlichen Dienst an der Hochschule für Polizei und Verwaltung (HfPV), Abteilung Kassel, gemacht habe. Insbesondere den mathematisch weniger vorgebildeten Studenten, die vor zwanzig oder mehr Jahren das letzte Mal die Schulbank gedrückt hatten, konnte der Zugang zur Statistik und anwendbares statistisches Grundwissen durch die hier vorgestellten Übungsaufgaben vermittelt werden. Aufgrund dieser Erfahrungen bin ich sicher, dass tatsächlich jeder geneigte Leser sich die Grundlagen der beschreibenden Statistik aneignen und davon profitieren kann.

Dieses Aufgaben- und Lösungsbuch ist eng verknüpft mit dem Buch zur Vorlesung „Deskriptive (beschreibende) Statistik im öffentlichen Dienst“, kann aber auch erfolgreich ohne dieses Werk benutzt werden, weil alle Grundlagen zum Verständnis der Lösungen zu den Aufgaben angegeben sind. Natürlich liefert das Buch zur Vorlesung mehr Hintergrundwissen und gibt ausführlichere Erläuterungen. Daher kann ich das Buch zur Begleitung dieses Aufgaben- und Lösungsbuches nur wärmstens empfehlen.

Im Januar 20126 Dr. Uwe Sliwczuk

1. Wozu Statistik?

„Ein Leben ohne Statistik ist schwimmen auf dem Trockenen“. Die Statistik begleitet uns unser Leben lang. In der Regel bemerken wir es nicht einmal. Entsprechend werden wir von denen, die Methoden der Statistik anwenden, manipuliert. Direkt in die Hände der Manipulatoren spielen die Vorurteile von Unanschaulichkeit und Kompliziertheit statistischer Methoden. Dabei zeigen gerade die Beispiele im Lehrbuch „Deskriptive (beschreibende) Statistik im öffentlichen Dienst“, und die in diesem Büchlein vorgestellten und durchgerechneten Aufgaben, dass diese Vorurteile gegenstandslos sind. Tatsächlich reicht es zum Verständnis und zur Nachvollziehbarkeit der Lösungen, die vier Grundrechenarten zu beherrschen!

Dem Lehrbuch folgend werden zu jedem Kapitel Übungsaufgaben formuliert und Beispiellösungen vorgestellt. Das soll den Lerneffekt derer, die dieses Aufgabenbüchlein parallel zum Lehrbuch verwenden, verbessern.

Manchmal sind die Lösungen nicht eindeutig. Als Beispiel sei hier die Bestimmung der „optimale Geraden“ mittels linearer Regression genannt, die sowohl bezüglich der Abweichungen von den x-Merkmalswerten als auch bezüglich der Abweichungen von den y-Merkmalswerten ermittelt werden kann. Obwohl der Fehler in beiden Fällen minimiert und gleich groß (oder klein) ist, es sich folglich tatsächlich in beiden Fällen um eine „optimale Gerade“ im Sinne der Definition handelt, sind Steigung und Achsenabschnitt der beiden „optimalen Geraden“ in der Regel unterschiedlich. Und damit sind auch die sich daraus ableitenden Merkmalswerte verschieden. Trotzdem sind beide Lösungen mathematisch korrekt. Welche „optimale Gerade“ letztlich Verwendung findet, liegt in der Intention des Anwenders. Was nichts anderes bedeutet, als dass der (subjektive) Anwender und nicht die (neutrale) Mathematik über das Ergebnis entscheidet!

In den nachfolgenden Übungsaufgaben wird – abweichend von der Praxis – aus Gründen der Übersichtlichkeit meistens von einer sehr geringen Fallzahl ausgegangen. Eventuell daraus resultierende Probleme bezüglich der Anwendbarkeit bestimmter Verfahren werden vernachlässigt.

2. Statistik und empirische Untersuchung

Statistische Auswertungen stehen in der öffentlichen Verwaltung häufig im Zusammenhang mit empirischen Untersuchungen, die entweder selbst vorgenommen werden oder bereits vorliegen. Häufig handelt es sich dabei um kleinere Erhebungen auf örtlicher oder regionaler Ebene. Über die möglichen statistischen Auswertungen wird meistens schon in der Planungsphase (bewusst oder unbewusst) entschieden.

Zur Beantwortung der nachfolgenden Übungsaufgabe müssen alle Faktoren mindestens den drei Gütekriterien entsprechen, die der Bequemlichkeit halber hier noch einmal aufgeführt werden:

Objektivität bedeutet, dass verschiedene Personen bei der Anwendung des gleichen Verfahrens zu demselben Ergebnis kommen (Beispiel: Bewertung einer Prüfungsaufgabe).

Validität bedeutet, dass das Verfahren tatsächlich den vorgesehenen Zweck erfüllt (Beispiel: Das Ergebnis einer Klausurarbeit gibt tatsächlich ein zutreffendes Bild von der Leistungsfähigkeit eines Klausurteilnehmers in dem jeweiligen Themengebiet).

Reliabilität bedeutet, dass die wiederholte Anwendung des gleichen Verfahrens auf den gleichen Gegenstand zu identischen Ergebnissen führt (Beispiel: die wiederholte Bewertung des gleichen Prüfungsteiles führt immer zu demselben Ergebnis).

A ufgabe 2.1: Wie beurteilen Sie das folgende Vorhaben?

- Der für Germanistik zuständige StOR G. einer Schule in der zentral in Deutschland gelegenen Großstadt K. möchte die kulturelle Aufgeschlossenheit der Deutschen einwandfrei ermitteln. Zu diesem Zweck hat er kurz vor der Tagesschau einen Fragebogen entworfen (je 3 geschlossene und 3 offene Fragen). Der Fragebogen soll am folgenden Tag von seinen Schülern kopiert und zu Interviewzwecken genutzt werden. 20 Schüler sollen in der Innenstadt von K. ab 10 Uhr je 20 Passanten befragen. Für den Nachmittag ist die Auswertung vorgesehen. Jeder Interviewer soll seine Ergebnisse in schriftlicher Form kurz darstellen. Am folgenden Tag soll daraus unter Leitung des Klassensprechers in der Funktion des Projektleiters ein Abschlussbericht erstellt werden.

Lösung:

Der für Germanistik zuständige StOR G.:

Darunter ist ein Lehrer zu verstehen, der in der Regel das Fach „Deutsch“ unterrichtet und dessen Studium Inhalte über die germanische Sprache mit ihren Kulturen und Literaturen vermittelt. Nichts wird bekannt über weitere Qualifikationen, die diesen Lehrer dazu befähigen könnten, die „kulturelle Aufgeschlossenheit der Deutschen“, was immer das sein mag, beurteilen zu können.

Zentral in Deutschland:

Warum ausgerechnet in einer Stadt, die zentral in Deutschland liegt, die „kulturelle Aufgeschlossenheit der Deutschen“ (die überwiegend in nichtzentral gelegenen Städten wohnen) ermittelt werden kann, ist nicht nachvollziehbar.

Großstadt K.:

Abgesehen davon, dass K. explizit genannt werden müsste (Kassel, Karlsruhe, …?), ist es zu begründen, warum nur in einer Großstadt dieses wertvolle Gut zu finden sein soll. Sehr viele Deutsche leben im ländlichen Bereich. Ist das Ergebnis der Untersuchung auf den nicht untersuchten Bereich übertragbar? Oder mit anderen Worten: Stimmt die Stichprobe? Wohl eher nicht!

Einwandfrei:

Wie genau ist dieser Begriff zu verstehen? Einwandfrei im Sinne von fehlerfrei? Mustergültig? Makellos? Dieser Begriff müsste genauer definiert werden.

Kulturelle Aufgeschlossenheit:

Dieser Begriff ist bestenfalls „schwammig“ formuliert und bedarf der exakten Definition. Wikipedia hat sich noch nicht an diesen Begriff herangetraut, und wer das versucht, versteht sofort, warum das so ist. „Aufgeschlossenheit“ kann gleichgesetzt werden mit „Freundlichkeit, Frohnatur, Güte, Wendigkeit, Fleiß u.a.m.“. „Kulturell“ hingegen steht synonym für „rituell, unpolitisch, klassisch“. Wir haben also ein Wortgebilde vor uns, das „unpolitische Güte“ bedeuten kann, aber auch „rituelle Wendigkeit“ und „klassischer Fleiß“. Worüber die armen Menschen in der Großstadt K. befragt werden, ist nicht bekannt.

Der Deutschen:

Wer ist „der Deutsche“? Dieser Begriff wird nicht definiert. Es stellt sich daher sofort die Frage nach der Eindeutigkeit. Ist „der Deutsche“ ein Mensch, der einen deutschen Pass besitzt? Muss „der Deutsche“ ein Mann sein, oder darf auch eine Frau, also „die Deutsche“, befragt werden? Ist „der Deutsche“ Jemand, der in Deutschland lebt? Oder verliert sich die „kulturelle Aufgeschlossenheit“, wenn man als „Deutscher“ im Ausland lebt? Wie lange muss der Mensch schon in Deutschland leben, um die „kulturelle Aufgeschlossenheit“ adaptiert zu haben? Fragen über Fragen.

Kurz vor der Tagesschau:

Dieser Zeitpunkt ist sicherlich sehr unglücklich gewählt. Abgesehen davon, dass unklar bleibt, ob der „Deutschlehrer“ an der Sendung interessiert ist, wird suggeriert, dass dem Lehrer das Thema der Umfrage spontan eingefallen ist. Er hat sich folglich nicht ausführlich mit dem Thema beschäftigt, hat keine Literaturrecherche gestartet, um sich über das Thema zu informieren, hat keine Hypothese formuliert, die es zu untersuchen gilt usw…

Einen Fragebogen:

Wenn man schon nicht genau weiß, was man fragen soll (kulturelle Aufgeschlossenheit…?), ist es fraglich, ob ein Fragebogen die geeignete Form der Befragung darstellt. Und wenn man sich schon (auf die Begründung wäre ich sehr gespannt gewesen) für einen Fragebogen entscheidet, ist es ausgesprochen fraglich, ob sechs Fragen zur einwandfreien Klärung der komplexen Frage nach der „Aufgeschlossenheit der Deutschen“ ausreichen, egal wie sie lauten.

Am folgenden Tag:

Der Fragebogen mit den spontan aufgestellten Fragen wird am nachfolgenden Tage von den Schülern kopiert und zu Interviewzwecken verwendet werden. Die Fragen wurden folglich nicht mehr hinterfragt.

20 Schüler:

Die Menge der Schüler erscheint für eine Klassenstärke plausibel, für die Klärung der komplexen Frage nach der „Aufgeschlossenheit der Deutschen“ ist die Fallzahl der zu erwartenden Antworten aber viel zu gering. Außerdem werden die Schüler auf die komplexe Frage nicht hinreichend geschult. Ebenso ist fraglich, ob alle Schüler mit der gleichen Motivation in die Befragung gehen. Entsprechend unterschiedlich werden Antworten notiert werden.

In der Innenstadt um 10 Uhr:

Weder der Ort der Befragung noch der Zeitpunkt erscheinen optimal gewählt. In der Innenstadt um 10 Uhr werden sich kaum „typische Deutsche“ aufhalten, sondern zum Beispiel Menschen, die beruflich nicht eingebunden sind (Arbeitslose, Hausfrauen, u.v.m.). Einen repräsentativen Durchschnitt „der Deutschen“ wird man dort nicht finden.

Dann gibt es keine Ausführungsvorschrift, welche Passanten befragt werden sollen (Mann/ Frau/ Gruppen/ Hautfarbe/…) und welche nicht (Doppelbefragung/ Betrunkene/ Kleinkinder/…). Die Schüler sind auch nicht geschult darin, Antworten auf offene Fragen zur kulturellen Aufgeschlossenheit zu interpretieren. Sie werden das notieren, was sie verstanden haben, auch wenn die Antwort möglicherweise mit der Frage wenig zu tun hat.

Nachmittags ist die Auswertung vorgesehen:

Es bleibt keine Zeit, die Befragung zu diskutieren oder sich darüber abzustimmen, welche Fragebögen ev. zu verwerfen sind. Abgesehen davon, dass diese Aufgabe mangels Hintergrundinformation sowieso nicht durchführbar wäre.

Jeder Interviewer soll seine Ergebnisse in schriftlicher Form kurz darstellen:

Diese Aufgabe ist für die Schüler nicht lösbar. Mögen die geschlossenen Fragen noch darstellbar sind, spätestens bei den offenen Fragen müssen die Schüler mangels Hintergrundinformationen passen. Aber selbst, wenn sie es versuchten: Die Aufgabe, die Ergebnisse zu kürzen, ohne den Gehalt der Information zu verfälschen, ist selbst für einen geübten Befrager nicht einfach zu lösen und damit für die Schüler unmöglich zu bewältigen.

Unter der Leitung des Klassensprechers:

Der Klassensprecher ist ebenso wenig geschult wie der Rest der Klasse und damit als Projektleiter völlig ungeeignet. Der Abschlussbericht kann folglich von ihm nicht verantwortlich verfasst werden.

Insgesamt lässt sich folgern, dass die gesamte Befragung durchgängig mit fundamentalen Mängeln behaftet ist.

Antwortsatz:

Mit Hilfe der Gütekriterien lässt sich die Umfrage wie folgt bewerten: Die Befragung der Passanten in der Innenstadt der zentral in Deutschland gelegenen Großstadt K. entspricht weder der in den „Gütekriterien formulierten“ „Objektivität“, noch der „Validität“ oder gar der „Reliabilität“. Das Ergebnis ist zu verwerfen.

3. Merkmalsarten und Skalentypen

Die nachfolgende Tabelle fasst kompakt die wesentlichen Festlegungen zusammen:

Tabelle : Merkmalsarten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgaben :

Aufgabe 3.1: Erläutern Sie am Beispiel der Ziehung der Lottozahlen die Bezeichnungen „Grundgesamtheit“ und „Stichprobe“!

Lösung: Unter „Grundgesamtheit“ wird die Zahl aller, von 1 bis 49 durchnummerierten, Bälle in der Lottotrommel verstanden.

Unter „Stichprobe“ ist dann die Ziehung von 6 Bällen aus der Grundgesamtheit zu verstehen.

Aufgabe 3.2: Eine Person ist 25 Jahre alt. Erläutern Sie an diesem Beispiel die Bezeichnungen „Einheit“, „Merkmal“ und „Merkmalswert“.

Antwort: Unter „Einheit“ wird die „Person“ verstanden; das „Merkmal“ dieser Einheit ist das „Alter“ und der „Merkmalswert“ ist „25 Jahre“.

Aufgabe 3.3: Erläutern Sie anhand der Beispiele: „Farbe, Körpergröße, dienstliche Beurteilung“ die Bezeichnungen „Quantitatives Merkmal“, „Qualitatives Merkmal“, „Nominalskala“, „Ordinalskala“, „Intervallskala“, „Verhältnisskala“.

Antwort: „Farbe“ ist ein qualitatives Merkmal und gehört zur Nominalskala.

„Körpergröße“ ist ein quantitatives Merkmal, das der Verhältnisskala zugeordnet wird.

„Dienstliche Beurteilung“ ist ein qualitatives Merkmal, der Ordinalskala zugeordnet.

Aufgabe 3.4: Nennen Sie fünf Gründe, warum für die meisten Untersuchungen eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen wird.

Antwort:

1. Häufig ist die Grundgesamtheit nicht exakt zu ermitteln (Bevölkerung; Anzahl Euronoten; Wählerstimmen u.v.m.).
2. Aus zeitlichen Gründen kann eine Grundgesamtheit nicht untersucht werden.
3. Der Aufwand ist finanziell zu hoch.
4. Das Ergebnis lohnt den Aufwand nicht.
5. Eine Stichprobe ist hinreichend genau.

Aufgabe 3.5: Was versteht man unter einer „Zufallsstichprobe“?

Antwort: Um eine Zufallsstichprobe handelt es sich, wenn jede nachfolgende Stichprobe die gleiche Ereigniswahrscheinlichkeit aufweist. Ein Beispiel ist die Ziehung der Lottozahlen „6 aus 49“. Zunächst werden sukzessive sechs Bälle aus der Lostrommel gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, genau diese Zahlen getippt zu haben, ist gleich 1 zu oder 1 zu 13.983.816. Wirft man die sechs Bälle wieder in die Lostrommel und wiederholt die Ziehung, ist die Wahrscheinlichkeit, genau die gleichen Zahlen oder eine beliebige andere Zahlenfolge zu ziehen, exakt gleich hoch. Siehe auch DIN 55 350 Teil 14.

Aufgabe 3.6: Eine Behörde hat 2000 Mitarbeiter. Sie möchten eine Befragung zur Arbeitssituation und zur Arbeitszufriedenheit durchführen. Möglich sind eine „Totalerhebung“ oder eine „Stichproben-Untersuchung“. Vergleichen Sie beide Möglichkeiten und treffen Sie eine begründete Entscheidung.

Antwort: Diese Frage kann nicht eindeutig beantwortet werden. Es gibt gute Gründe für beide Möglichkeiten.

Für eine Totalerhebung spricht, dass die genaue Zahl der Mitarbeiter bekannt ist und einen relativ kleinen Merkmalswert (2000) aufweist. Damit halten sich der zeitliche und der finanzielle Aufwand der Erhebung zur Arbeitssituation und zur Arbeitszufriedenheit in vertretbaren Grenzen. Weiter spricht für die Totalerhebung, dass diese Art der Untersuchung die genauere ist, also verlässlichere Zahlen liefern kann.

Dagegen spricht, dass es bei 2000 Mitarbeitern fast unmöglich ist, wirklich alle Mitarbeiter zu befragen. Einige sind krank, andere im Urlaub oder im Außendienst, manche sind im Ausland tätig oder weigern sich schlichtweg, an der Befragung teilzunehmen.

Für eine Stichprobenuntersuchung sprechen geringe zeitliche und finanzielle Aspekte und die prinzipielle Verfügbarkeit der zu Befragenden. Wenn die Stichprobe gut gewählt ist, sollte das Ergebnis der Stichprobenuntersuchung ausreichend genau sein, denn Arbeitssituation und Arbeitszufriedenheit sind dynamische, nicht exakt ermittelbare Merkmale, die sich sehr schnell ändern können.

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