Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen zur Volatilität und deren Schätzung
2.1 Erwartete Volatilität im Black-Scholes-Model
2.2 Verfahren zur Schätzung der erwarteten Volatilität aus historischen Daten
2.2.1 Begriffsbestimmung - historische Volatilität
2.2.2 Einfache Standardabweichung
2.2.3 Simple Moving Average (SMA)
2.2.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
2.2.5 Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)
2.2.6 Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH)
2.3 Implizite Volatilität aus Optionspreisen als Alternative
3 Empirische Untersuchung zu verschiedenen Schätzern der Volatilität
4 Zusammenfassung
5 Literaturverzeichnis
Anhang
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Stetige Tagesrenditen vom 23.11.1995 bis 17.11.2015 für die Daimler AG
Abbildung 2: Stetige Tagesrenditen vom 23.11.1995 bis 17.11.2015 für den DAX
Abbildung 3: Schätzung der Volatilität für den gesamten Zeitraum – Daimler AG
Abbildung 4: Schätzung der Volatilität für den gesamten Zeitraum – DAX
Abbildung 5: Schätzung der Volatilität für Phase mit geringer Volatilität – Daimler AG
Abbildung 6: Schätzung der Volatilität für Phase mit geringer Volatilität – DAX
Abbildung 7: Schätzung der Volatilität für Phase mit hoher Volatilität – Daimler AG
Abbildung 8: Schätzung der Volatilität für Phase mit hoher Volatilität – DAX
Abbildung 9: Einfluss des Parameters λ im EWMA-Modell – DaimlerAG
Abbildung 10: Einfluss des Parameters λ im EWMA-Modell – DAX
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Volatilität als einfache Standardabweichung für die Daimler AG in Abhängigkeit vom Datenzeitpunkt und der Länge des Datenzeitraums
Tabelle 2: Volatilität als einfache Standardabweichung für den DAX in Abhängigkeit vom Datenzeitpunkt und der Länge des Datenzeitraums
Tabelle 3: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – Daimler AG – Strike 70 EUR
Tabelle 4: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – Daimler AG – Strike 78 EUR
Tabelle 5: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – Daimler AG – Strike 86 EUR
Tabelle 6: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – DAX – Strike 10000 EUR
Tabelle 7: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – DAX – Strike 10950 EUR
Tabelle 8: Mit Black-Scholes-Modell berechnete Optionspreise für unterschiedlich geschätzte Volatilitäten – DAX – Strike 12000 EUR
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Der Handel mit Derivaten hat trotz Finanzkrisen an Bedeutung zuge-nommen. Derivate sind einsetzbar zur Absicherung von Risiken, Spekulation auf eine Preisentwicklung und Arbitrage. Eine Gruppe von Derivaten sind Optionen, bedingte Derivate mit einem Wahlrecht. Die Basis zur Bewertung von Optionen bilden Optionspreismodelle, darunter das Black-Scholes-Model. Alle Eingangsparameter für dieses Modell sind leicht bestimmbar, außer der Volatilität, der Schwankungsintensität des Basiswerts. Die Volatilität muss möglichst genau geschätzt werden um eine exakte Bewertung der Optionen zu ermöglichen. Eine Möglichkeit besteht in der Schätzung der Volatilität auf der Grundlage von Vergangenheitsdaten. Die Beschreibung von Verfahren zur Bestimmung dieser historischen Volatilität ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Im Black-Scholes-Model wird unterstellt, dass die Volatilität konstant ist. Es lässt sich jedoch Hetero-skedastizität beobachten. Demzufolge müssen Eigenschaften der Volatilität, wie Volatilitäts-Cluster und Mean Reversion bei der Schätzung der Volatilität berücksichtigt werden. Im Kapitel 2 wird zunächst das Black-Scholes-Model beschrieben und der Begriff der Volatilität eingeführt. Verfahren zur Bestimmung der historischen Volatilität werden vorgestellt. In Kapitel 3 werden auf der Grundlage der historischen stetigen Renditen zweier Basiswerte die Volatilitäten gemäß von im Kapitel 2 vorgestellten Verfahren geschätzt. Auf der Grundlage dieser Schätzwerte werden mit dem Black-Scholes-Modell die Optionspreise von realen, an der European Exchange (EUREX) gehandelten Optionen für die Basiswerte vorausberechnet und mit tatsächlich beobachteten Optionspreisen verglichen. Schlussfolgerungen für die Anwendung der o. g. Modelle sollen gezogen werden.
2 Theoretische Grundlagen zur Volatilität und deren Schätzung
2.1 Erwartete Volatilität im Black-Scholes-Model
Das Black-Scholes-Model ermöglicht die Berechnung des Werts einer Call-Option europäischen Typs auf dividendenlose Aktien. Anknüpfend an die Random-Walk-Theorie, die die Kursverläufe von Aktien als Zufallsprozess sieht, wird hinsichtlich der erwarteten zukünftigen Aktienkursverläufe unter-stellt, dass sie einer geometrischen Brown‘schen Bewegung folgen:[1]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Driftrate und die Volatilität werden als bekannt und konstant über der Zeit angenommen. Die zweite, stochastische Komponente beschreibt die zu-fälligen Schwankungen des Aktienkurses. Weitere Annahmen sind: keine Transaktionskosten, kontinuierlicher Handel sowie konstanter, risikofreier und für alle Laufzeiten gleicher Zinssatz. Weil Veränderungen des Options-preises von den Veränderungen des Aktienkurses abhängen, ergibt sich das folgende Black-Scholes-Modell für die Optionspreisberechnung:[2]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Preis einer Put-Option lässt sich über den Callpreis durch Verwendung der Put-Call-Parität errechnen.[3] Das Black-Scholes-Modell ist einfach in der Anwendung. Die Ergebnisse zeigen aber aufgrund der Vereinfachungen in den Modellannahmen Inkonsistenzen zu real gehandelten Optionen.
Bedeutung der Volatilität:
Alle Eingangsparameter außer der Volatilität können direkt am Markt beob-achtet werden. Eine möglichst genaue Schätzung der Volatilität ist für die Berechnung des theoretischen Optionspreises wichtig, da sie als einzige Maßzahl für die Risikohöhen der Basiswerte verwendet wird und außerdem einen großen Einfluss auf den Optionspreis besitzt.[4] Bemerkenswert in Bezug auf die vorliegende Arbeit ist die Annahme einer während der Rest-laufzeit der Option konstanten, erwarteten Volatilität.[5]
2.2 Verfahren zur Schätzung der erwarteten Volatilität aus historischen Daten
2.2.1 Begriffsbestimmung - historische Volatilität
Ausgangspunkt der Bestimmung der historischen Volatilität ist die historische Zeitreihe des betrachteten Basiswerts. Als Rendite einer Geldanlage in diesen Basiswert einer abgelaufenen Periode wird das über einen bestimmten Zeitraum erzielte Anlageergebnis in Relation zum eingesetzten Anlagebetrag bezeichnet.[6] Hier werden als Periode ein Handelstag und als Periodenrendite die stetige Rendite des Basiswertes während des Tages n, das logarithmierte Preisverhältnis, definiert:[7]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Verwendung stetiger Vergangenheitsrenditen bringt Vorteile, da sie verglichen mit den einfachen Renditen eher als normalverteilt angesehen werden können.[8] Die Streuung der Kursveränderungen des Basiswertes wird allgemein als Volatilität bezeichnet.[9] Die Schwankungen der Renditen um ihren Mittelwert werden beschrieben. Indem u. a. neu eintreffende Infor-mationen zur Bewertung zukünftiger Erträge die Preise und Renditen der betrachteten Basiswerte beeinflussen, ist eine fundamental begründete Volatilität Ausdruck effizienter Finanzmärkte.[10] Die zukünftige Volatilität des Basiswertes kann nicht gemessen, sondern muss geschätzt werden. Fol-gende grundlegende Vorgehensweisen bei der Schätzung können unter-schieden werden: die historische Volatilität und implizite Volatilität, ermittelt aus aktuellen Optionspreisen. Die Berechnung der historischen Volatilität beruht auf der Zeitreihe der Renditen des Basiswertes, es erfolgt eine Schätzung der Volatilität auf der Grundlage von Vergangenheitsdaten. Es zeigt sich, dass die Volatilität von Aktien und Indizes nicht konstant ist, es lässt sich Heteroskedastizität beobachten.[11] Dies wurde schon von Mandelbrot (1963) und Fama (1965) beschrieben.[12]
Als wesentliche Eigenschaften der Volatilität können aufgeführt werden:
Volatilitäts-Cluster
Dabei handelt es sich um Häufungen von extremen Renditeänderungen – für eine gewisse, zufällige Zeit bleiben Intervalle mit hoher Volatilität und mit niedriger Volatilität bestehen.[13] Die quadrierten täglichen Renditen sind autokorreliert.[14] Nach großen Preisänderungen folgen wieder große Ände-rungen und nach einer Beruhigung der Volatilität auf niedrigem Niveau folgen kleine Preisänderungen den vorhergehenden kleinen Preisänderungen.[15] Grund könnte die Tendenz zur Hysterie an Aktienmärkten sein.
Mean Reversion
Bei der „Mittelwertumkehr“ schwanken die Renditeänderungen wie einem Trend folgend um ein mittleres Niveau.[16] Dabei strebt die Volatilität nach Extremwerten wieder zu ihrem langfristigen Durchschnitt hin.
Leverage-Effekt
Es hat sich erwiesen, dass Aktienkursrenditen und Volatilität negativ korre-liert sind.[17] Negative Renditen (entsprechen Kursrückgängen) verursachen steigende Volatilitäten und umgekehrt. Ein Grund könnte die Erhöhung des Unternehmensrisikos bei sinkendem Eigenkapitalanteil sein.
2.2.2 Einfache Standardabweichung
Die Berechnung der Volatilität basiert auf den stetigen Renditen der betrachteten Zeitreihe. Die Renditen dürfen als Stichprobe aufgefasst werden, da sie unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen sind.[18] Die Annahme der Normalverteilung der Renditen erlaubt es die Rendite-verteilung durch die Kennzahlen Mittelwert und Standardabweichung (hier: Volatilität) zu beschreiben.[19] Als erwartungstreuer Schätzer für die Volatilität am Tag n, geschätzt am Ende des Tages n-1, wird die Standardabweichung als Wurzel aus der Stichprobenvarianz verwendet:[20]
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Die historischen Kurse können als Zufallsstichprobe aufgefasst werden, deshalb ist der Nenner um 1 zu vermindern (m-1) um aus der Stichprobe einen Schätzwert zu ermitteln. Wegen der Additionseigenschaften der stetigen Renditen kann das arithmetische Mittel bestimmt werden:[21]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Da der Mittelwert der Aktienrenditen sich in Abhängigkeit von Zeitpunkt und Länge des Datenzeitraums zwar ändert, aber gegen 0 geht, kann die Volatilität auch nur mit den quadrierten Renditen berechnet werden:[22]
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Wenn die Formeln (6) und (8) auf Tagesrenditen angewandt werden, erhält man die Tagesvolatilität σTag (hier: σn). Zur besseren Vergleichbarkeit werden die Tagesvolatilitäten in Jahresvolatilitäten σJahr annualisiert.[23]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Parameter t stellt den Börsenhandelszeitraum mit 250 Börsenhandels-tagen im Jahr dar. Es hat sich empirisch herausgestellt hat, dass der Prozess der Generierung der Rendite eher während der Handelstage als der Nicht-Handelstage erfolgt.[24] Als ein Maß der Genauigkeit kann die Standard-abweichung der Jahresvolatilität definiert werden:[25]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei Anwendung der einfachen Standardabweichung wird konstante Volatilität unterstellt.[26] Da die Streuung der Renditen nicht konstant ist, kann die Volatilität, berechnet mit der einfachen Standardabweichung, je nach Marktzustand, abhängig von der Länge des Datenzeitraums und der Wahl des Datenzeitraums/Datenzeitpunkts unterschiedliche Werte annehmen.[27] Aufgrund dieses heteroskedastischen Verhaltens der Volatilität müssen andere Methoden angewendet werden, um die Volatilität aus Vergangen-heitsdaten adäquat zu schätzen (Modelle in den Kapiteln 2.2.3 bis 2.2.6).
2.2.3 Simple Moving Average (SMA)
Das Modell des einfachen gleitenden Durchschnitts, „Simple Moving Aver-age“ (SMA), versucht durch eine gleitende Volatilitätsberechnung die zeitlich veränderliche Volatilität besser zu erfassen. Wie in Kapitel 2.2.2 gezeigt, bewirken Änderungen der Wahl des Datenzeitpunkts schwankende Schätz-werte für die Volatilität. Der Datenzeitpunkt sollte möglichst aktuell sein um die Volatilität für den aktuellen vorliegenden Marktzustand zu schätzen. Auch die Wahl der Länge des Datenzeitraums hat Einfluss auf die geschätzte Volatilität. Bei zumindest schwach stationären Zeitreihen würde die Anwendung aller zur Verfügung stehenden historischen Aktienkurse zur bestmöglichen Schätzung führen, da der Schätzer dann gegen den tatsächlichen Wert tendiert.[28] Dies erlaubt aber nicht die Schätzung der aktuellen Volatilität. Deshalb wird die Länge des Datenzeitraums verkürzt und die mit den Gleichungen in Kapitel 2.2.2 definierte Standardabweichung rollierend berechnet.[29] Der zeitlich am weitesten entfernte Renditewert wird aus der Rechnung herausgenommen und die jeweils aktuelle Rendite hinzugenommen. Problem: alle Renditewerte werden gleich gewichtet und vergangene starke Renditeänderungen werden gleichwertig berücksichtigt.
2.2.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
Das Modell der exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitte, „Exponentially Weighted Moving Average“ (EWMA), erlaubt die Berück-sichtigung von Volatilitäts-Clustern.[30] Im Gegensatz zum SMA werden durch Einführung von zeitabhängigen Gewichtungsfaktoren weiter zurückliegende Renditen geringer gewichtet als zeitnahe Renditen. Dies erlaubt eine bessere Schätzung der aktuellen Volatilität. Das EWMA-Modell kann formell geschrieben werden:[31]
[...]
[1] Vergl. Hull (2012), S. 366 und S. 394.
[2] Vergl. Black/Myron Scholes (1973), S. 644.
[3] Vergl. Galitz (1995), S. 217.
[4] Vergl. Hauck (1991), S. 96; Steiner/Bruns/Stöckl (2012), S. 362–365.
[5] Vergl. Black/Myron Scholes (1973), S. 640.
[6] Vergl. Prexl (2010), S. 307.
[7] Vergl. Hull (2012), S. 622.
[8] Vergl. Steiner/Bruns/Stöckl (2012), S. 57; Galitz (1995), S. 206.
[9] Vergl. Prexl (2010), S. 332.
[10] Vergl. Schäffer (2012), S. 61.
[11] Vergl. Spremann/Scheurle (2010), S. 123.
[12] Vergl. Fama (1965), S. 34–105; Mandelbrot (1963), S. 394–419.
[13] Vergl. Spremann/Scheurle (2010), S 124; Francq/ZakoÉian (2010), S. 9.
[14] Vergl. Cuthbertson/Nitzsche (2003), S. 658.
[15] Vergl. Mandelbrot (1963), S. 418.
[16] Vergl. Prexl (2010), S. 357.
[17] Vergl. Francq/ZakoÉian (2010), S. 10.
[18] Vergl. Spremann (2008), S.87 f.
[19] Vergl. Steiner/Bruns/Stöckl (2012), S. 55; Prexl (2010), S. 338 f.
[20] Vergl. Hull (2012), S. 622; Prexl (2010), S. 359.
[21] Vergl. Hull (2012), S. 622; Wiedemann (2013b), S. 25.
[22] Vergl. Cuthbertson/Nitzsche (2003), S. 661; der Nenner beträgt hier nur „m“.
[23] Vergl. Wiedemann (2013a), S. 446.
[24] Vergl. French/Roll (1986), S. 23; French (1980), S 67-69.
[25] Vergl. Cuthbertson/Nitzsche (2003). S. 258; Hull (2012), S. 388.
[26] Vergl. Wiedemann (2013b), S. 27.
[27] Vergl. Prexl (2010), S. 354.
[28] Vergl. Wiedemann (2013a), S. 446 f.
[29] Vergl. Prexl (2010), S. 358 f.
[30] Vergl. Wiedemann (2013b), S. 29.
[31] Vergl. Cuthbertson/Nitzsche (2003), S. 663.