Assetpreise: Traditionelle Theorie versus Behavioral Finance

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Traditionelles Assetpricing
1.1 Markteffizienzhypothese
1.2 Rationale Assetpricingmodelle
1.3 Stochastischer Diskontfaktor
1.3.1 Faktorstruktur des SDF in einperiodigen Modellen
1.3.2 Net-Present-Value (NPV)
1.3.3 Intertemporale Asset-Pricing-Modelle

2 Asset-Pricing Puzzles
2.1 CAPM-Anomalien
2.2 Anomalien intertemporaler Asset-Pricing-Modelle

3 Behavioral Finance
3.1 Evidenz für Fehlbewertungen
3.2 Limits-of-Arbitrage
3.3 Verhaltensanomalien
3.4 Prospect - Theorie
3.5 Behavioral-Modelle als Alternative

Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Ehrenwörtliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Investitionsmöglichkeiten

Abbildung 2: Multi-Faktor-Portfolioanalyse

Abbildung 3: Kumulierte Renditen des Markt-, HML- und SMB- Portfolios

Abbildung 4: Allokation in Aktien bei unterschiedlichen Investitionshorizonten

Abbildung 5: Identisch gewichtete Renditen des Internet Index, S&P 500 und Nasdaq-Composite

Abbildung 6: Typische Fonds-Mittelflüsse als eine Funktion aus vergangenen Renditen

Abbildung 7: Endogener Crash

Abbildung 8: Wertfunktion versus Nutzenfunktion

Abbildung 9: Gewichte π in Abhängigkeit von

Einleitungg

Rationale Asset-Pricing-Modelle sollten den fundamentalen Zusammenhang zwischen den realen Risiken einer Volkswirtschaft und den Assetrenditen erklären können. Tat-sächlich gelingt es den rationalen Standard-Modellen weder die Kapitalmarktentwick-lungen zu beschreiben, noch zuverlässige Prognosen zu generieren. Im Wesentlichen stellen sich die Aktienrenditen auf der Makroebene als zu hoch und zu variabel heraus, als dass sie über ein rationales Modell erklärt werden könnten. Zudem scheinen Ak-tienrenditen auf der Mikroebene vorhersehbar zu sein. Eine Vielzahl von Studien be-legt, dass bestimmte firmenspezifische Charakteristika, sowie die Aktienrenditen der Vergangenheit, gute Indikatoren für die zukünftigen Assetpreise sind.¹ Üblicherweise setzen rationale Modelle risikoaverse Agenten, die neue Informationen korrekt ver-arbeiten und eindeutige Konsumpräferenzen haben, voraus. Der Agent beurteilt Inves-titionen nach den von Neumann-Morgenstern (VNM) Axiomen. Neuere rationale Mo-delle lösen sich ein wenig von den strengen VNM-Axiomen. Mittels alternativer Nutzen-funktionen (z.B. Epstein-Zin-Nutzen) oder durch die Einbeziehung der Habit-Bildung in die Nutzenfunktion können diese Modelle die Aktienprämie besser erklären.² Hingegen sehen die Protagonisten der Behavioral Finance eine ganz andere Herausforderung im Asset-Pricing. Nach ihnen sollten Asset-Pricing-Modelle untersuchen wie die erwartete Rendite vom Risiko und von der Investorenfehlbewertung abhängt. Der Investor wird nun nicht mehr als Homo-Oeconomicus, sondern stattdessen als beschränkt rationaler Agent, dem auch Entscheidungsfehler unterlaufen, gesehen. Makroökonomisch rele-vant sind irrationale Entscheidungen auf individueller Ebene allerdings nur, wenn die Investoreneinschätzungen miteinander korreliert sind. Damit die Fehlbewertung im Markt persistent bleibt, müsste zudem die Arbitrage limitiert sein.³

Kapitel 1 der Arbeit stellt die traditionelle Asset-Pricing-Theorie vor. In Kapitel 2 werden anschließend die Schwächen traditioneller Modelle bei der Erklärung und Beschreib-ung der realen Kapitalmarktentwicklungen aufgezeigt. Ebenfalls werden in dem Ab-schnitt rationale Lösungsansätze für die Anomalien präsentiert. Schließlich diskutiert Kapitel 3 wie die Behavioral Finance diese Anomalien, über begrenzt rationales Inves-torenverhalten und Arbitragebeschränkungen, zu erklären versucht.

1 Traditionelles Assetpricing

1.1 Markteffizienzhypothese

Kapitalmärkte haben in erster Linie die Aufgabe für eine effiziente Allokation des Ka-pitalstocks in einer Volkswirtschaft zu sorgen. In diesem idealen Markt müssen Preise akkurate Signale zur Ressourcenallokation liefern. Das heißt, Unternehmen treffen ihre Produktions-Investitions-Entscheidung und Investoren können zwischen Unterneh-mensbeteiligungen in Form von Wertpapieren wählen. Den auf einem solchen Markt entstandenen Preis nennt man effizient, denn er spiegelt jederzeit alle verfügbaren Informationen wider. Vor ca. 30 Jahren entstand die Markteffizienzhypothese (MEH) und sie gehört bis heute zu den ganz großen Errungenschaften im Bereich der mo-dernen Finance. In jüngster Zeit sieht sich die MEH allerdings einer zunehmenden Zahl von Angriffen ausgesetzt. Natürlich – die extreme Form der Markteffizienz – ohne Transaktions- und Informationskosten ist sicherlich falsch. Ernsthafte Versuche gar das Fundament der MEH auszuheben, werden vonseiten der Behavioral Finance unter-nommen. Da die Nullhypothese „der Markt ist effizient“ sehr allgemein und daher in dieser Form nicht testbar ist, muss die Markteffizienz zusammen mit einer weiteren Hypothese getestet werden. Die hierzu formulierte zweite Hypothese unterstellt, dass der gleichgewichtige Preis eine Funktion des Risikos ist. Das Risiko wird anhand eines Assetpricingmodells modelliert. Diese kombinierten Hypothesen sind ein allgegenwär-tiges Problem, welches es den Vertretern der Behavioral Finance fast unmöglich macht die MEH zu verwerfen, denn schließlich kann auch das unterstellte Assetpricingmodell fehlerhaft sein.⁴

Allgemein lassen sich Theorien zum gleichgewichtigen Preis folgendermaßen dar-stellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1)

Die linke Seite von (1) zeigt den gleichgewichtigen erwarteten Preis des Wertpapiers j zum Zeitpunkt t +1 auf Basis der Information Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Auf der rechten Seite der Gleichung steht die erwartete gleichgewichtige Rendite auf Basis der Information Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten multipliziert mit dem Preis p des Assets j zum Zeitpunkt t. (1) besagt, dass die Information Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zur Bestimmung der gleichgewichtigen erwarteten Rendite voll genutzt wird. Deshalb spiegelt der Preis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten vollständig Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wider.⁵ Werden die aufeinander folgenden Ren-diten zusätzlich als von einander unabhängig und identisch verteilt angenommen, so dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt (Random-Walk), dann führt (1) zu⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . (2)

Während bei einem reinen Random-Walk die Verteilung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten unabhängig von der Information in t ist, unterstellt das „fair game“ Markteffizienz Modell (2) nur die Unab-hängigkeit der erwarteten Verteilung von der verfügbaren Information Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Fama (1970) testete die Markteffizienz im Hinblick auf das „fair game“-Modell. Er kam auf hinreich-ende Evidenz für einen effizienten Markt. Spekulanten lassen sich daher auf ein „faires Spiel“ ein und müssen folglich mit einem Null-Gewinn rechnen. Ein mechanisches Han-delssystem kann in einem solchen Umfeld keinen höheren erwarteten Gewinn als eine einfache buy-and-hold-Strategie erzielen.

Natürlich gilt die MEH für eine ideale, friktionslose Modellwelt. Unter der Abwesenheit von Transaktionskosten, die für jeden kostenlose Verfügbarkeit aller erhältlichen In-formationen, sowie die Übereinstimmung aller über die Auswirkung der Informationen in t auf den aktuellen Preis, ist es keinem Investor möglich abnormal hohe Gewinne zu erzielen. Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist es offensichtlich, dass der Preis alle verfügbaren Informationen enthält. Der umgekehrte Schluss ist aber nicht möglich. Ein Markt kann ebenso unter hohen Transaktionskosten effizient funktionieren.⁷ Grossman und Stiglitz (1980) widerlegten Fama und zeigten, dass ein Markt vollkommen zusam-menbrechen würde, wenn die MEH gültig wäre und es Transaktionskosten gäbe. Schließlich würde sich dann jeder informierte Händler denken, dass er die gleichen Er-gebnisse auch ohne kostenpflichtige Informationsdienste erzielen könnte. Folglich würde er die Zahlungen für Informationsdienste einstellen. Handeln alle informierten Händler auf diese Art, so entsteht kein Gleichgewicht. Sind auf der anderen Seite die Informationskosten niedrig, so existiert zwar ein Gleichgewicht, jedoch führen wahr-scheinlich die fast homogenen Kurseinschätzungen der Händler zu einem äußerst dün-nen Markt. Drei Formen der Markteffizienz lassen sich voneinander abgrenzen. (i) schwache Markteffizienz: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthält Informationen über vergangene Preise. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist überdurchschnittlichen, risikoadjustierte Gewinne auf Basis von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zu erzielen. (ii) mittelstrenge Markteffizienz: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthält alle öffentlich verfügbaren Informationen und (iii) strenge Markteffizienz: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthält alle vorhandenen Informationen, insbesondere auch Insiderinformationen. Durch diese drei Abstufungen wird die MEH an die reale, friktionsbehaftete Welt angepasst. Statistische Tests sind nun leichter als mit der extremen Nullhypothese „Preise reflektieren alle verfügbaren Informationen“, durchführbar.⁸

Weiterhin setzt die MEH voraus, dass Preise nicht auf Non-Informationen reagieren. Insbesondere sollte der Aktienkurs -vorausgesetzt die Erwartungen des Investors zum zukünftigen Unternehmenswert sind unverändert- nicht auf große Kauf- oder Verkaufs-orders reagieren. Würde eine Verkaufsorder zu einem fallenden Aktienpreis führen, dann könnte der Käufer einen abnormalen zukünftigen Gewinn erwarten. Dies würde dem „fair game“-Prinzip und damit auch der MEH widersprechen. Das heißt, die Argu-mentation, dass der Aktienkurs nach einer großen Verkaufsorder fallen muss, um da-durch über den Kursabschlag weitere Investoren zum Kauf zu bewegen (Preis-Druck-Hypothese (PDH)), gilt nicht auf einem effizienten Kapitalmarkt. Denn durch den Ab-schlag könnte der Käufer erwarten, in Zukunft einen abnormalen Gewinn in diesem Wertpapier zu realisieren. Im Gegensatz zur fallenden Nachfragekurve der PDH ist nach der Substitutionshypothese (SH) eine horizontale Nachfragekurve für ein Asset gegeben. Da der Investor sein Portfolio unter vielen Assets aufteilen kann, ist jedes Wertpapier ein potentieller Portfolioaufnahmekandidat. Deshalb „konkurrieren“ die Wertpapiere untereinander um die Portfolioaufnahme. Ein erwarteter abnormaler Er-trag in einem Asset würde den Investoren schnell auffallen. Denn sind auf dem Markt ähnliche Wertpapiere vorhanden, die in jedem Zustand der Welt vergleichbare Cash-Flows generieren, dann würden Arbitrageure⁹ die zu billige Aktie kaufen und gleich-zeitig ein Substitut verkaufen. Dadurch gleicht sich der relative Preis der Wertpapiere an. Ein großer Blockhandel sollte nach der SH daher keine Auswirkungen auf den Ak-tienpreis haben. Scholes (1972) zeigte dies mit Hilfe einer Event Studie, in der er den Kurseinfluss von Blocktrades an der New York Stock Exchange im Zeitraum von 1947- 65 untersuchte.

Drei Argumente machen die MEH zu einem stabilen Theoriegebäude. Zum einen fußt die MEH auf der Annahme, dass die Investoren rational handeln und somit Wert-papiere rational bewerten. Das heißt Anleger bewerten Investitionen anhand des Net-Present-Value (NPV). Der NPV entspricht den diskontierten erwarteten zukünftigen Cash-Flows – also dem Fundamentalwert der Aktie. Auf den NPV wird in Kapitel 1.3.2 ausführlicher eingegangen. Sollten nicht alle Anleger rational sein, gilt trotzdem in vie-len Szenarien die MEH. Dieser zweite Punkt setzt darauf, dass irrationale Investoren am Markt zufällig handeln und damit ihre Handelsstrategien untereinander unkorreliert sind. Black (1986) nennt Investoren, die nicht auf Grund von Informationen handeln, „Noise-Trader“. Folglich hat ein solcher Markt ein beachtliches Handelsvolumen. Die Kurse bewegen sich trotz der irrationalen Investoren nahe ihrem fundamentalen Wert. Aber sogar unter der Annahme korrelierter Handelsstrategien der Noise-Trader muss die MEH nicht zwingend verworfen werden. Rationale Arbitrageure würden sich nicht die Chancen aus einer überbewerteten Aktie entgehen lassen. Da sie mit anderen Ar-bitrageuren im Wettbewerb um die höchsten Erträge stehen, werden sie sehr schnell das überbewertete Papier verkaufen und gleichzeitig ein ähnliches, aber unterbe-wertetes Substitut kaufen. Dadurch bewegen sich die Kurse rasch in die Nähe ihres fundamentalen Wertes. Die Anlage-Strategie der rationalen Anleger wird durch eine hohe Rendite entlohnt. Nimmt man unterdessen an, dass die irrationalen Investoren überbewertete Assets kaufen und Unterbewertete verkaufen, dann müssten die Noise-Trader geringere Gewinne als die Arbitrageure hinnehmen. Dies führt zum Vermögens-verlust der irrationalen Investoren, so dass sie langfristig aus dem Markt ausscheiden und damit auch ihren Einfluss auf die Assetpreise verlieren.¹⁰

1.2 Rationale Assetpricingmodelle

Bereits im Kapitel 1.1 wurde gezeigt, dass die MEH nicht für sich alleine testbar ist. Vielmehr muss in einer unsicheren Welt auch das Risiko modelliert werden. Dies kann auf die verschiedensten Weisen geschehen. Beispielsweise könnte man unterstellen, dass der erwartete Ertrag eine lineare Funktion des Risikos ist. Die Eigenschaften des Risikos geben die Struktur des stochastischen Diskontfaktors (SDF)¹¹ vor. Aus der Summierung der mit dem SDF gewichteten zukünftigen Cash Flows ergibt sich der Marktpreis des Assets. Die grundlegende Assetpricinggleichung lässt sich wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (3)

wobei auf der linken Seite der Gleichung der PreisAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten des Assets i zum Zeitpunkt t steht. In der Klammer rechts ist das Produkt aus der zufälligen Auszahlung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten des Assets i zum Zeitpunkt t + 1 mit dem stochastischen Diskontfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gegeben. Aus dem Klammerausdruck ist nun der mathematisch bedingte Erwartungswert auf Basis der Informationen in t zu bilden. Unübersehbar sind die Parallelen der Gleichung (3) zu Gleichung (1).¹²

Agenten bewerten einen Zahlungsstrom aber nicht anhand seines Preises, sondern vielmehr über seinen Nutzen. Schon Daniel Bernoulli (1954, S. 23 ff.) hielt dieses Prin-zip in seinem bekannten Aufsatz „Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis“ fest. Ein Vermögenszuwachs führt immer zu einem größeren Nutzen (positiver Grenz-nutzen: U’(C)> 0). Der Nutzenzuwachs wird mit zunehmenden Vermögen allerdings immer geringer (abnehmender Grenznutzen: U’’(C)< 0). Bernoulli (S. 25) formulierte seine Idee folgendermaßen: „…any increase in wealth, no matter how insignificant, will always result in an increase in utility which is inversely proportionate to the quantity of goods already possessed”. Unter die Gruppe der Güter fällt alles was zur Bedürfnisbe-friedigung dient. Der Konsum dieser Güter wird mit C bezeichnet. Bei abnehmendem Grenznutzen ist der Nutzen aus einer Einheit Vermögenszuwachs immer geringer als der Disnutzen aus einem Verlust in gleicher Höhe. Bernoulli verdeutlichte diese Er-kenntnis anhand eines fairen Spiels, mit einer 50-50 Chance zu gewinnen oder zu ver-lieren, auf welches sich zwei Männer mit je 100 Dukaten einlassen. Jeder der Beiden setzt nun 50 Dukaten, so dass jeder die gleiche Chance darauf hat, mit 50 oder mit 150 Dukaten nach Hause zu gehen. Würde eine rationale Person ein solches Spiel wa-gen? Zwar beträgt der mathematische Erwartungswert 100 und gleicht damit der Aus-gangssumme, da aber der Einbußen von 50 Dukaten des Verlierers zu einem Nutzen-verlust führt, der den Nutzengewinn der anderen Seite übersteigt, lässt sich kein ratio- naler Mensch für ein solches Spiel begeistern. Ein „fair game“ im mathematischen Sin-ne ist dem Nutzen nach ein Verliererspiel. Wohlgemerkt stellt das Beispiel eine Verein-fachung dar. Es wurde unterstellt, dass beide Spieler gleich wohlhabend sind. Diese Annahme musste getroffen werden, da der Nutzen eines Gewinns oder Verlusts von der Höhe des Vermögens abhängt.¹³ Agenten, die Verlustspiele im Sinne von Nutzen-verlust meiden, nennt man risikoavers. Rationale Asset-Pricing-Modelle setzen grund-sätzlich risikoaverse Agenten voraus.¹⁴ Wenn ein risikoaverser Agent sich zwischen ein-em sicheren Geschenk und einem Spiel mit einem entsprechenden Erwartungswert entscheiden müsste, dann würde er immer das Geschenk dem Spiel vorziehen. Aller-dings würde er sich ab einem bestimmten Erwartungswert für den Ausgang des Spiels gegen das Geschenk entscheiden. Dieser kritische Erwartungswert wird Sicherheits-äquivalent genannt und ist ein Maß für die Risikoaversion des Agenten.¹⁵

Erst zur Mitte des 20. Jahrhunderts entstand aus Arbeiten von von Neumann, Morgen-stern (VNM) und Savage die moderne Erwartungsnutzen - Theorie. Im Wesentlichen fußt die Theorie auf folgenden vier Annahmen. Aufhebung: Da nur ein Zustand aktuell realisiert werden kann, müssen die Ausgänge der Optionen in jedem Zustand separat bewertet werden. Daher sollte die Wahl zwischen Optionen nur von Zuständen mit ver-schiedenen Ausgängen abhängen. Transitivität: Es muss möglich sein jeder Option einen Wert zuzuweisen, der unabhängig von den anderen Optionen ist. Dominanz: Ist eine Option in einem Zustand besser als eine andere und in allen anderen Zuständen mindestens genauso gut, dann sollte die dominante Option gewählt werden. Invarianz: Die unterschiedliche Präsentation des gleichen Entscheidungsproblems sollte zu der gleichen Präferenz führen.¹⁶ Während die Nutzentheorie von Bernoulli noch davon aus-geht, dass jedes Individuum ganz unabhängig von dem was die anderen tun könnten seine Entscheidung trifft, baut der VNM-Nutzen auf spieltheoretische Überlegungen auf. Nach VNM liegt die wahre Quelle von Unsicherheit in den Absichten der anderen. Die Optimalitätsbedingung für die Nutzenfunktion ist durch eine Eulergleichung ge-geben. Angenommen der Agent k hat die zeitseparierbare Nutzenfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und es ist ihm zudem möglich das Asset i frei zu handeln, so ist die Bedingung erster Ordnung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (4)

wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Diskontierungsfaktor ist. In einem optimalen Plan müssen die Grenz-kosten einer heute gekauften zusätzlichen Einheit des Assets i (linke Seite), dem er-warteten Grenzgewinn der zusätzlichen morgigen Auszahlung (rechte Seite) gleichen.¹⁷

1.3 Stochastischer Diskontfaktor

Der große Vorteil des SDF liegt in seiner universalen Einsatzfähigkeit. Er kann zu Anal-ysen von linearen und nicht-linearen Assetpricingmodellen, wie auch für Pricingmodelle von Derivaten eingesetzt werden. Jagannathan und Wang (2002) verglichen die klass-ische Beta-Methode mit der SDF-Methode. Sie zeigten anhand einer Monte Carlo Sim-ulation, dass die Universalität der SDF-Methode nicht durch einen Effizienzverlust oder eine geringere Trennschärfe bei der Schätzung der Risikoprämie (= überschüssige Rendite der risikobehafteten Anlage zur risikolosen Anlage) erkauft wird. Bei linearen Faktormodellen sind die Beta- und SDF-Methode asymptotisch gleich präzise. Damit ist die allgemeine SDF-Methode der Beta-Methode vorzuziehen. Dadurch widerlegten sie die Arbeit von Kan und Zhou (1999) welche hervorgehoben hatten, dass die SDF-Methode unzuverlässig sei und Spezifikationstests eine zu geringe Trennschärfe hät-ten, um Fehlspezifikationen des Modells aufzuspüren. Nach Jagannathan und Wang (2002) machten Kan und Zhou (1999) den Fehler anzunehmen, dass die Parameter der Risikoprämien in beiden Methoden identisch sind. Tatsächlich unterscheiden sich diese erheblich und machen somit einen direkten Vergleich unzulässig.

Für den SDF gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (5)

und damit lässt sich durch das Einsetzen von (5) in (3), Gleichung (4) erklären. Nach (5) ist der SDF Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (morgen), durch das Verhältnis aus dem diskontierten Grenznutz-en (morgen) zum Grenznutzen (heute) determiniert. Anders gesagt gibt er an auf wie viel aktuellen Konsum Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten man zu verzichten bereit ist, wenn der zukünftige Konsum Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten um eine Einheit steigt. Daher ist der SDF als intertemporale Grenzrate der Sub-stitution interpretierbar.¹⁸ In einem einperiodigen Modell, wie zum Beispiel dem Capital-Asset-Pricing-Modell (CAPM), wird der Agent unmittelbar die gesamten Auszahlungen des Assets zum Zeitpunkt t +1 verkonsumieren. Ist außerdem die Nutzenfunktion U quadratisch und damit der Grenznutzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten linear, dann hängt der SDF Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten im CAPM-Gleichgewicht linear vom Ergebnis des Marktporfolios ab.¹⁹ Das CAPM wird in Kapitel 1.3.1 genauer vorstellen. Sollte der Markt vollständig sein (Individuen haben die Möglichkeit sich gegen jeden denkbaren Verlust abzusichern), so gibt es nur einen einzigen möglichen SDF.²⁰

Der auf Basis der Information in t bedingte Erwartungswert des SDF ist gleich dem re-alen Preis eines kurzfristigen, risikolosen Assets. Der Zusammenhang wird von der fol-genden Gleichung gezeigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (6)

Plant das Individuum eine hohe Dringlichkeit von Konsum morgen (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist groß), muss dies mit einem niedrigen risikolosen Realzins Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einhergehen.²¹ Die erwartete Renditedifferenz aus dem Asset i zur risikolosen Anlage f (Risikoprämie) ist durch das Negative der Kovarianz des SDF mit der Risikoprämie (Risikomaß) im Verhältnis zum erwarteten SDF (Preis eines risikolosen Assets) determiniert. Sie genügt damit der Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (7)

Bereits (5) zeigte, dass je schlechter der Umweltzustand morgen im Vergleich zu heute ist – das heißt, je höher der Nutzengewinn durch eine infinitesimal kleine zusätzliche Einheit an Konsum C in t +1 im Verhältnis zum Zeitpunkt t ist – desto größer ist der SDF Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Aus (6) folgt dann direkt ein höherer Preis der risikolosen Anlage, oder gleichbedeutend eine niedrigere risikolose Rendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Geht diese Entwicklung gleichzeitig mit einem Sinken der Überschussrendite der risikoreichen Anlage einher, führt dies zu einem negativen Kovarianz-Term (siehe (7)). Mit dem vorangestellten Minus multipliziert, wird der Zähler positiv. Teilt man diesen noch durch den Preis der risikolosen Anlage, dann ergibt sich eine hohe Risikoprämie. Die im Gleichgewicht ho-he Risikoprämie muss den Investor dafür entschädigen, dass das risikoreiche Asset in einer Situation, in der ein Vermögenszuwachs einen hohen Grenznutzen hat, nur nie-drig rentiert.²²

1.3.1 Faktorstruktur des SDF in einperiodigen Modellen

Die Struktur des SDF ist durch ein bestimmtes Assetpricingmodell determiniert. Das Modell trifft gewisse Annahmen über den Zusammenhang von Risiken mit dem Ertrag. Man kann die Risiken sehr unterschiedlich definieren. Viele einperiodige Methoden wie beispielsweise das CAPM, erklären die erwartete Überschussrendite eines Assets durch dessen Kovarianz mit den Renditen anderer Assets. Zwar kann dadurch viel-leicht die Schwankung der Risikoprämie beschrieben werden, aber eine fundierte Er-klärung für die Variation wird nicht gegeben. In einperiodigen Modellen lassen sich die Renditen sehr einfach durch die Basisgleichung (3) beschreiben.

Die Grundlage für das CAPM bildet die Portfoliotheorie. Diese von Markowitz in den 50er Jahren entwickelte Theorie setzt risikoaverse Investoren und normalverteilte Ren-diten voraus. Die Anleger treffen ihre Investitionsentscheidungen nur anhand von Er-wartungswert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Varianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltender Portfoliorendite. Ziel ist die Bestimmung eines Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten effizienten Portfolios. Ein Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten effizientes Portfolio e muss entweder bei ge-gebener erwarteter Portfoliorendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die Varianz der Portfoliorendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten minimieren oder bei gegebener Varianz die Portfoliorendite maximieren. Der Investor trifft seine Entscheidung für eine Periode.²³ Das Risiko des Portfolios e kann durch seine Varianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (8)

gemessen werden. Die Varianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich nach (8) aus der Summe der mit den Portfolioanteilen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) gewichteten Kovarianzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zwischen den Renditen der Assets i (für i = 1, 2,…, n) und der Rendite des Portfolios e. Das heißt, je unkorrelierter die Assetrenditen mit der Portfoliorendite sind, desto niedriger ist das Portfoliorisiko und je mehr Assets das Portfolio umfasst, desto größer wird der Einfluss der Kovarianzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (= Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) zwischen den Wertpapierrenditen von i und j, währ-end der Einfluss der Einzelvarianzen sinkt. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist der Korrelationskoeffizient der Wert-papierrenditen i und j. ²⁴ Das bedeutet, dass letztlich das unsystematische Risiko kom-plett durch Diversifikation eliminierbar ist. Neu ist das Diversifikationsprinzip nicht, denn bereits Bernoulli (1954, S. 30) schrieb „This is the rule that it is advisable to divide goods which are exposed to some danger in several portions rather than to risk them all together“. Nach konservativen Schätzungen sollte ein optimal diversifiziertes Portfolio mindestens unter 120 Aktien aufgeteilt sein.²⁵ Die praktische Anwendung der Portfoliotheorie in Form der Bestimmung des Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten effizienten Portfolios ist allerdings äußerst komplex. Will ein Analystenteam eine Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Analyse für 200 Wertpapiere durchführen, so benötigt es neben 200 erwarteten Renditen und 200 Varianzen auch noch 19900 Kovarianzen. Der Schätzaufwand der Kovarianzen würde jedoch in keinem Verhältnis zum erwarteten Nutzen stehen. Es wurde dringend ein Modell für die Kovarianz-Struktur benötigt.²⁶ Die Lösung kam durch das Single-Index Modell, das als Risikomaß den Beta-Faktor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (9)

einführte. Dieser gibt das Kovarianzrisiko des Assets i im Portfolio e im Verhältnis zum Durchschnitt der Kovarianzrisiken aller Assets (dem Portfoliorisiko) an. Bei gegebenen Erwartungswerten der Renditen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und gegebenen Kovarianzen, stellt der Investor das Portfolio e aus den Assets i zusammen. Er wählt die Portfoliogewichte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Assets i so aus, damit die Betas Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (10)

genügen. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist die erwartete Portfoliorendite und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist die erwartete Rendite eines Assets dessen Rendite mit der Rendite von e unkorreliert ist. Dadurch entsteht das Portfolio e, welches bei gegebenem erwartetem Portfolioertrag die Portfoliovarianz minimiert. Zusätzlich zu den Markowitz-Annahmen sind für das CAPM weitere Prämis- sen zu treffen. Vorausgesetzt wird, dass Investoren die gleichen Einschätzungen hin-sichtlich der Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen haben (homogene Erwar-tungen). Der Anleger muss auch die Möglichkeit der jederzeitigen Ordererteilung haben. Hierfür ist ein freier Kapitalmarktzugang nötig. Hinzu kommt, dass die Geldanla-ge wie auch die Geldaufnahme für jedermann zum risikolosen Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten durchführ-bar ist. In Abbildung 1 ist der Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Standard-

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Investitionsmöglichkeiten

abweichung der Portfoliorendite durch die Effizienzlinie abc dargestellt. Nur die Portfo-lios des oberen Asts (ab b) sind effizient. Alle Investoren haben die gleiche Ein-schätzung zum aus risikobehafteten Assets bestehenden Tangentialportfolio T und kombinieren dieses entweder mit Kreditvergabe zum risikolosen Zins (Punkte oberhalb von T auf der Linie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) oder mit Geldaufnahme zum risikolosen Zins (Punkte unter-halb von T auf der Linie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Das Tangentialportfolio T muss das Marktportfolio M sein. Damit können die Gleichungen (9) und (10) grundsätzlich beibehalten werden. Lediglich der alte Index e muss dem Index für das Marktportfolio M weichen und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist durch die Rendite eines risikolosen Assets Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zu ersetzen, so dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (11)

ist. Nach (11) setzt sich die erwartete Rendite eines risikobehafteten Assets i aus dem risikolosen Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten plus der Marktrisikoprämie multipliziert mit dem Betarisiko des im Marktportfolio Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthaltene Asset i zusammen. Die erwartete Rendite des Assets i ist also proportional zu seinem Beta. Nach dem CAPM wird der Investor nur für das eingegangene systematische Risiko entschädigt.²⁷

Gegenüber dem CAPM kommt die Arbitrage-Pricing-Theory ²⁸ (APT) mit einer weit ge-ringeren Anzahl restriktiver Annahmen aus. Zwar waren die zahlreichen Voraussetz-ungen des Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-Modells schon früh in der Kritik, aber das CAPM erfreute sich wei-terhin, insbesondere wegen seinem einfachen linearen Zusammenhang, einer hohen Beliebtheit. Die APT unterstellt, dass das renditegenerierende Modell den Entscheidern bekannt ist. Die Renditen gehorchen dem Prozess

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (12)

und es gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mit anderen Worten kann die zufällige Rendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aus der Rendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten plus den Produkten aus den Faktorladungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit den Faktoren Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten plus der Zufallsvariablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erklärt werden. Die Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten´s sind miteinander stochastisch un-korreliert und haben einen Erwartungswert von Null. Vernachlässigt man die Störgröße Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, so zeigt sich, dass die Renditen in einem zweidimensionalen Raum liegen. Aufge-spannt wird dieser von einem Vektor mit den Elementen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zusammen mit dem kon-stanten Vektor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Index Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten steht für die unterschiedlichen Weltzustände. Ebenfalls wird im Gegensatz zur Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten- Methode keine Normalverteilung der Zufalls-variablen vorausgesetzt. Der Einfachheit halber ist die Gleichung (12) in der Matrix-schreibweise angegeben. Nun erfolgt die Konstruktion eines Arbitrageportfolios η für welches per Definition kein Vermögen gebunden wird. Es ist daher ηe = 0. Zusätzlich muss das Portfolio sehr gut diversifiziert sein, denn dadurch ermöglicht das Gesetz der Großen Zahlen die Vernachlässigung des Störterms. Die Annahme, dass die Assetren-diten in einem zweidimensionalen Raum liegen ist daher gerechtfertigt. (12) lässt sich nun in

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (13)

umschreiben. Angenommen das Arbitrageportfolio η soll kein systematisches Risiko enthalten, so dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt, dann folgt aus (13) unmittelbar, dass die Zufallsrendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten approximativ der sicheren Rendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entspricht. Um große ungleichgewichtige Positionen zu vermeiden muss Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sein und damit wird unter der Voraussetzung, dass alle bereits erwähnten Annahmen erfüllt sind, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten durch die Vektoren Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aufgespannt. Die Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (14)

zeigt dies. Gibt es ein risikoloses Investment, so entspricht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der risikolosen Rendite. Andernfalls steht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die Rendite aller Zero-Beta Portfolios. Ist als Zero-Beta Port-folio das Marktportfolio von Interesse, so wandelt sich (14) zu (11). In diesem Spezial-fall gleichen sich CAPM und APT. Trotzdem sind die Methoden sehr unterschiedlich, denn (14) hält auch im Ungleichgewicht und außerdem muss das Marktportfolio nicht mehr identifiziert werden. Es ist unwichtig geworden. Ein Nachteil der bis hierhin vorge-stellten APT könnte aber in der unterstellten konstanten absoluten Risikoaversion der Agenten liegen. Schließlich ist es typisch, dass mit zunehmender Anzahl der Assets gleichzeitig das Vermögen steigt, so dass wahrscheinlich die Risikoaversion einiger Akteure zunimmt. Daraus würde resultieren, dass Gleichung (14) nicht notwendiger-weise halten muss. Um mögliche Probleme zu vermeiden werden die Agenten folgend als einseitig begrenzt relativ risikoavers angenommen. Die Nutzenfunktion dieser Agenten lässt sich durch eine monoton steigende, konvexe Funktion darstellen. Daraus folgt direkt, dass der neu vorgestellte Agenten-Typ (Typ-B-Agent) immer weniger risikoavers als einige Agenten mit konstanter relativer Risikoaversion ist. Aber es sind noch weitere Annahmen zu treffen. Unter anderem muss mindestens ein Asset mit be-grenzter Verbindlichkeit existieren. Das heißt eine Obergrenze limitiert den Betrag für den der Agent haftbar ist. Zudem muss es mindestens einen nicht asymptotisch ver-nachlässigbaren Typ-B-Agent geben, der glaubt, dass die Renditen durch (12) gener-iert werden. Asymptotisch vernachlässigbar wäre ein Agent, wenn bei einer Zunahme der Assetanzahl, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt und damit der Anteil seines persönlichen Ver-mögens Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten am Gesamtvermögen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gegen Null gehen würde. Vorausgesetzt wird zu-dem die Homogenität der Erwartungen E, und die Risikoaversion aller Agenten. Des Weiteren muss die aggregierte Nachfrage für jedes Asset Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten positiv sein. Dadurch wird sichergestellt, dass die Volkswirtschaft als ein Ganzes das Asset zu halten wünscht. Und zu guter Letzt ist die Sequenz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als einseitig begrenzt mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten angenommen. Aus den eben genannten Voraussetzungen folgt das Hauptresultat

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (15)

das bedeutet, dass sich die Summe der quadrierten Abweichungen von der Preisre-lation mit zunehmender Assetzahl gegen eine Grenze bewegt. Die Aussagen von (15) lassen sich auch wie folgt darstellen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (16)

Die Risikoprämie des Assets Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entspricht der betagewichteten Summe aus den Faktor-risikoprämien. Oder (16) in Form des SDF geschrieben führt zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (17)

mit dem Negativen der Kovarianz der Überschussrenditen mit dem SDF

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (18)

Hier ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die bedingte Kovarianz der Assetrendite i mit dem k’ ten Faktoren, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist die bedingte Varianz des k ’ten Faktors und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist der „Preis des Risikos“ des k ’ten Faktors. Vergleichbar mit (16) folgt aus (18), dass sich die Risikoprämie eines jeden Assets aus der Summe der Assetbetas mit dem entsprechenden Faktor mal dem Risikopreis des Faktors, darstellen lässt.²⁹ Trotz des generalisierten Modells bleiben einige Schwachstellen der APT erhalten. So fehlen Aussagen zu Anzahl und Gestalt der Faktoren Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten des renditegenerierenden Prozesses. Und auch wenn beispielsweise alle Agenten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten den Zinssatz für langfristige Staatsanleihen wählen würden, könn-ten sie dennoch ganz unterschiedliche Vorstellungen über die Verteilung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ha-ben, ohne dass sie die Arbitragebedingung (16) verletzen.³⁰

Im Unterschied zur traditionellen Portfoliotheorie ist für den Agenten in einer „Multi-faktorwelt“ neben dem Erwartungswert und der Varianz der Rendite seines Portfolios noch ein dritter Faktor von Interesse. Da der Wunsch des Investors ein bestimmtes Portfolio zu halten, auch von dessen zu erwartender Entwicklung während einer Re-zession abhängt, wird als letzter Faktor ein Rezessions-Faktor hinzugefügt. Dieser be-sagt, falls der Agent während einer Rezession einen höheren Ertrag seines Portfolios bevorzugt– beispielsweise als Versicherung gegen den Verlust von Arbeitseinkommen- muss er dies mit einer etwas höheren Varianz oder mit einem leicht geringeren Erwar-tungswert der Rendite bezahlen. Das Multifaktormodell³¹ ist in Abbildung 2 veranschau-

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licht. Im Vergleich zur traditionellen Portfoliotheorie wurde aus der Effizienzlinie ein Effizienztrichter. Der Tangentialpunkt mit der Indifferenzoberfläche markiert das für den Investor, im Hinblick auf Erwartungswert, Varianz und Rezessionsempfindlichkeit, optimale Portfolio (vgl. linkes Schaubild). Durch Einführen eines risikolosen Assets wandelt sich die Kapitalmarktlinie zu einem zweiten Trichter (siehe rechte Grafik). Die beiden Trichter berühren sich an der gekennzeichneten Linie, auf der zwei weitere Punkte hervorgehoben sind. Sie stehen für das Marktportfolio und das zusätzliche multifaktor-effiziente Portfolio. Durch Kombinationen aus risikoloser Rendite, dem Marktportfolio und dem zusätzlichen multi-faktor-effizienten Portfolio können alle multifaktor-effizienten Portfolios erreicht werden. Es ist üblich für das dritte Portfolio ein Nullkosten-Portfolio zu wählen (hierzu mehr in Kapitel 2.1). Entscheidend ist, dass der Anleger nun nicht mehr das Ziel hat, das Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-effiziente Portfolio zu finden, denn stattdessen interessiert er sich jetzt für das multifaktor-effiziente Portfolio.³²

1.3.2 Net-Present-Value (NPV)

Erstrecken sich die Auszahlungen des Assets über mehrere Perioden, so ist Asset-pricinggleichung (3) ungenügend. Als Lösungsansatz wird zunächst ein einfaches Modell für den fairen Wert einer Aktie mit Auszahlungen in mehreren Perioden (NPV mit konstantem Diskontfaktor) vorgestellt. Die anschließende Modellerweiterung (NPV mit zeitvariablem Diskontfaktor) bildet die Grundlage für intertemporale-Asset-Pricing- Modelle (IAPM). IAPM können zum Beispiel Investment-Based- oder Consumption-Based-Asset-Pricing Modelle sein. Der Vorteil dieser Modelle liegt in der Erklärung der erwarteten Rendite mit Hilfe seiner Kovarianz zu ökonomischen Risiken.³³

Das NPV-Modell mit konstantem Diskontfaktor setzt voraus, dass der reale Preis einer Aktie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten über

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determiniert ist. In anderen Worten gesagt heißt dies, dass der diskontierte mathe-matisch bedingte Erwatungswert der Summe aus dem Preis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten am Ende der Periode t und der Dividendenzahlung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten während der Periode t, den fairen aktuellen Preis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eines Assets widerspiegelt. Der reale Zins r wird als konstant angenommen. Unter der zusätzlichen Annahme, dass für einen unendlichen Zeitraum Zahlungen geleistet werden (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und der erwartete diskontierte zukünftige Preis gegen Null strebt (Transversalitätsbedingung), führt ein zukunftsgerichtetes Auflösen der Gleichung (19) zu der Gegenwartswert-Lösung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Gegenwartswert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird durch

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beschrieben. Nach (20) resultiert der fundamentale Wert eines Assets aus dem Gegenwartswert der für unendlich erwarteten Dividendenzahlungen. Durch Aufheben der Transversalitätsbedingung lässt sich (19) noch auf eine andere Art lösen. Ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine Sequenz von Zufallsvariablen, die

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erfüllt, dann wird Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zu einer Lösung von (19). Der reale Preis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einer Ak-tie ist gleich der Summe aus dem Gegenwartswert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und dem Bubble-Term Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten drückt die Möglichkeit aus, dass die erwarteten zukünftigen Preise für immer um den realen Zinssatz r anwachsen.³⁴ Einige wichtige Gründe sprechen allerdings gegen die Bubble-Lösung. So zeigten Diba und Grossmann (1988), dass eine rationale Blase in einer Aktie nur entstehen kann, wenn die Blase bereits mit dem ersten Handelstag der Aktie startete. Auch ist es theoretisch unmöglich, dass nach einem Platzen der Blase nochmals im selben Asset eine Blase entsteht. Zudem wird die Möglichkeit einer Bubble-Entstehung durch die Bedingungen zum allgemeinen Gleichgewicht begrenzt.³⁵

Die Annahme eines konstanten Diskontfaktors des vorigen Abschnitts wird nun zugun-sten der realistischeren Annahme eines im Zeitablauf schwankenden Diskontfaktors aufgegeben. Alle Variablen in (22) sind logarithmierte Größen und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist ein Linearisierungsfaktor. Aus zwei Gründen kann die Rendite von der erwarteten Rendite abweichen. Die Gleichung

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gibt den Zusammenhang wider. Term eins der rechten Seite beinhaltet, dass gestie-gene Erwartungen für zukünftige Dividendenzahlungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit einem aktuellen Ka-pitalgewinn einhergehen, während auf der anderen Seite höher erwartete zukünftige Renditen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erst durch einen gegenwärtigen Kapitalverlust ermöglicht werden (siehe zweiter Term).³⁶ Aber wodurch werden die im Zeitablauf schwankenden realen Renditen determiniert? Zur Erklärung dienen intertemporale Assetpricingmodelle, wie zum Beispiel das Consumption-Based-Capital-Asset-Pricing-Model (CCAPM) oder das Investment-Based-Capital-Asset-Pricing-Model (ICAPM).

1.3.3 Intertemporale Asset-Pricing-Modelle

Im CCAPM maximiert der repräsentative Agent die zeitseparierbare Power-Utility-Funktion über den aggregierten Konsum Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

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wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Koeffizient der relativen Risikoaversion ist. Ein Vorteil der genannten Nu-tzenfunktion liegt in der Eigenschaft der Skaleninvarianz. Diese besagt –vorausgesetzt die Verteilung der Renditen ist konstant – so wirkt sich ein Anstieg im aggregierten Ver-mögen einer Volkswirtschaft nicht auf die Risikoprämie aus. Sie bleibt im Zeitablauf konstant. Da das Vermögen und der Konsum in vielen Nationen in den letzten 200 Jahren kontinuierlich zu nahm und gleichzeitig die Risikoprämie aber konstant blieb, ist die Skaleninvarianz eine realistische Annahme. Durch Ableiten von (23) nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhält man den Grenznutzen mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Nach dem Einsetzen von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in (5) wird der SDF nun durch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erklärt. Aus der Annahme, dass der aggregierte Konsum bedingt lognormalverteilt ist, folgt die bedingte Lognormalverteilung des SDF. Unter diesen Voraussetzungen und mit Berücksichtigung der allgemeinen Eigenschaf-ten des SDF, gilt für den logarithmierten risikolosen Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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¹ Vgl. z. B. Banz (1981), De Bondt und Thaler (1985), Chan (1988), Chopra u. a. (1992).

² Vgl. Constantinides (2002).

³ Vgl. Hirshleifer (2001).

⁴ Vgl. Fama (1998), S. 283 f.

⁵ Vgl. Fama (1970), S. 384.

⁶ Es wurde eine im Zeitablauf konstante erwartete Rendite des Wertpapiers j unterstellt.

⁷ Vgl. Fama (1970), S. 386 f.

⁸ Vgl. Fama (1970), S. 388.

⁹ Arbitrageure sind Investoren, die Wertpapiere rational bewerten.

¹⁰ Vgl. Shleifer (2001), S. 2 ff.

¹¹ Der SDF ist, wie die Bezeichnung verrät, eine Zufallsgröße.

¹² Vgl. Campbell (2000), S. 3.

¹³ Vgl. Bernoulli (1738), S. 29.

¹⁴ Rationale Asset-Pricing-Modelle unterstellen zudem, dass Agenten gegenüber kleinen Risiken neutral eingestellt sind.

¹⁵ Vgl. Bernstein (1998), S. 113.

¹⁶ Vgl. von Neumann und Morgenstern (1944), Savage (1954), Luce und Krantz (1971), Arrow (1982). Zitiert bei: Tversky und Kahneman (1986).

¹⁷ Vgl. Campbell (2000), S.3.

¹⁸ Vgl. Campbell (2000), S. 3.

¹⁹ Vgl. Campbell (2000), S. 27.

²⁰ Vgl. Cochrane (1991), Mace (1991).

²¹ In t ist nur der Nominalzins bekannt. Da die Inflationsraten der Industrienationen ist in der Regel niedrig sind, bleiben die Auswirkungen der fehlenden Inflationsberücksichtigung gering.

²² Vgl. Campbell (2000), S. 5 f.

²³ Vgl. Fama (2003), S. 2.

²⁴ Vgl. Rubinstein (2002), S. 1042 f.

²⁵ Vgl. Statman (2000), S. 8.

²⁶ Vgl. Fabozzi, Gupta und Markowitz (2002), S. 17 f.

²⁷ Vgl. Fama (2003), S. 2 ff.

²⁸ Vgl. Ross (1976)

²⁹ Vgl. Campbell (2000), S. 12 f.

³⁰ Vgl. Ross (1976).

³¹ Das Multifaktormodell ist ein intertemporales Assetpricingmodell, das auf Mertons (1973) ICAPM fußt. Da die Überlegungen hinter dem Multifaktormodell auf dem CAPM und insbesondere der APT aufbauen ordne ich es deshalb dem Kapitel 1.3.1 zu.

³² Vgl. Cochrane (1999a), S. 5 ff.

³³ Vgl. Cochrane (1996), S. 573.

³⁴ Vgl. Froot und Obstfeld (1991), S. 1191 f.

³⁵ Vgl. Campbell (2000), S. 19.

³⁶ Vgl. Campbell (2000), S. 20 f.