Entwicklung eines Konzeptes zur Forderung leistungsstarker Viertklässler im Bereich „Funktionale Beziehungen“ mithilfe eines digitalen Abstandmessers

Inhaltsverzeichnis

1) Einleitung

2) Theoretischer Hintergrund
2.1. Neue Medien in der Grundschule
2.2. Daten in der Grundschule
2.4. Data Logger im Unterricht
2.4.1. Aufbau und Eigenschaften von Data Loggern
2.4.2. Empirische Forschung
2.5. Leistungsstarke Kinder im Mathematikunterricht
2.6. Forscherhefte im Mathematikunterricht

3) Erstellung und Begründung des Konzeptes
3.1. Schulische Gegebenheiten
3.1.1. Die „Knobelgruppe“
3.1.2. Der „Ranger“
3.2. Begründung durch den Lehrplan
3.3. Zielfragestellung und Ziele des entwickelten Konzeptes

4) Vorgehen bei der Entwicklung des Konzeptes
4.1. Entwicklung und Aufbau des Forscherheftes und der Unterrichtsumgebung
4.2. Geplanter Einsatz des Rangers in der Knobelgruppe

5) Durchführung des Konzeptes

6) Auswertung und Reflexion des Konzeptes
6.1. Schwerpunkt: Äußere Faktoren
6.2. Schwerpunkt: Lerngruppe
6.3. Schwerpunkt: Forscherheft
6.4. Schwerpunkt: Lehrkraft

7) Fazit und Ausblick

8) Quellennachweis
8.1. Literaturverzeichnis
8.2. Internetquellen
8.3. Abbildungsverzeichnis

9) Eidesstattliche Versicherung

10) Anhang

1) Einleitung

Neben den 2-3% der intellektuell hochbegabten Schüler^[1] sind 10-15% der Grundschulkinder ma­thematisch begabt und leistungsstark (Peter-Koop, 2002). Beide Gruppen wären bei geringer oder gar keiner Förderung innerhalb des Mathematikunterrichts oftmals unterfordert. Die Folgen von permanenter Unterforderungen können sich in Unlust und in den schlimmsten Fällen sogar in Leistungsverweigerung äußern (vgl. Käpnick, 2002).

Trotz dieser Gefahren zeigen aktuelle empirische Untersuchungen (vgl. u.a. Hrzán/Peter-Koop, 2001; Bardy/Hrzán, 2002), dass die mathematisch begabten Schüler häufig wenig schulische För­derung erfahren, da die Differenzierung innerhalb des regulären Unterrichts teils vernachlässigt wird und der Fokus der Lehrkraft verstärkter auf den leistungsschwächeren Schülern liegt als auf den leistungsstarken.

Die Schule in geht jedoch mit gutem Beispiel voran. Hier besuchen die leistungsstarken Schüler einmal pro Woche die so genannte „Knobelgruppe“, in der sie in den Kompetenzbereichen des Lehrplans für Mathematik gefordert werden. Hierzu stehen ihnen bereits einige Materialien und Aufgabenformate zur Verfügung und es wird stets nach neuen gesucht.

Für den Kompetenzbereich Daten - speziell die Funktionalen Beziehungen - wurde allerdings bislang vergeblich nach einem geeigneten Material gesucht, mit welchem die Kinder handelnd erste Erfahrungen mit grafischen Darstellungen von Funktionen machen können und welches sie zudem in besonderer Weise herausfordert. Diese Kompetenz gilt jedoch bereits in der Grundschu­le als bedeutend, da Schüler Daten in verschiedenster Form in ihrem Alltag begegnen und die Kompetenz an den weiterführenden Schulen im Bereich der Arithmetik und Algebra benötigen (siehe Kap. 3.2.). Daher wird aktuell mit Nachdruck gefordert, den Bereich Funktionale Beziehun­gen bereits in der Grundschule anzubahnen und möglichst früh zu fördern, um so eine gute Basis für die darauffolgenden Schuljahre zu schaffen (vgl. Wagner/Wörn, 2009; MSW, 2008).

Die Problematik des fehlenden Materials zu Funktionalen Beziehungen kann u.a. daraus resultie­ren, dass trotz Verankerung von jenem in den Bildungsstandards (vgl. KMK 2005: 11) dieser Kompetenzteilbereich selten bewusst und explizit behandelt wird (vgl. Ruwisch, 2011a).

An der Carl-von-Ossietzky Universität Oldenburg wurde 2007 im Rahmen einer Veranstaltung „Neue Medien“ der digitale Abstandmesser, auch „Ranger“ genannt, für die Sekundarstufe I vor­gestellt - ohne jedoch passende Aufgabenstellungen zu präsentieren. Dieser Data Logger misst die Abstände zu dem nächst gelegenem Objekt und die Zeit und stellt die Messungen in einem Koor­dinatensystem als Graphen digital dar. Auf die Funktionsweise wird in Kap. 2.4.1. eingegangen.

Da zu diesem Material allgemein und besonders in Deutschland nahezu keine Aufgaben entwi­ckelt worden sind, diese wenigen in keinem Zusammenhang stehen und nicht auf die Grundschule bezogen sind, ist das Ziel der Examensarbeit, die Möglichkeiten des Rangers bei dem Einsatz in der Grundschule zu erproben. Dies soll erreicht werden, indem ein Konzept zur Förderung leis­tungsstarker Viertklässler im Bereich Funktionaler Beziehungen entwickelt wird, bei dem ein schrittweiser Aufbau eines Verständnisses von digitaler graphischer Darstellung, verknüpft mit realer Handlung, erfolgt.

Das Konzept wird entwickelt, ausgeführt und in Ansätzen ausgewertet. In der Planung, Durchfüh­rung sowie Auswertung des Konzeptes werden einige Lehrerfünktionen angesprochen. So wird durch das Einführen und Arbeiten mit neuen Medien, nämlich dem digitalen Messgerät und der Darstellung an einem Computer, sowie durch die Einführung eines neuen Konzeptes zur Förde­rung des Funktionsverständnisses die Lehrerfunktion Innovieren angesprochen. Während der Durchführung sind die Lehrerfunktionen Unterrichten und Beraten von Bedeutung: Ziel der Auf­bereitung des Forscherheftes ist es, dass die Lehrkraft während der Bearbeitung die Rolle eines Lernbegleiters einnimmt. Hierfür ist notwendig, dass das Konzept so entwickelt und aufbereitet wird (Organisieren), dass die Schüler selbstständig tätig sein können und von sich aus lernen kön­nen. Daneben werden die Schüler durch problembezogene Aufgaben und durch das herausfor­dernde Material gefordert und motiviert. In Ansätzen wird die Lehrerfunktion Diagnostizieren durch die Einsicht in die Forscherhefte, Beobachtungen während der Durchführung, durch Lernta­gebucheinträge sowie durch die Überprüfung im abschließenden Ranger-Quiz angesprochen.

Zu Beginn der Arbeit wird der theoretische Hintergrund bezüglich der Bedeutung von neuen Me­dien in der Grundschule sowie von Daten und der damit verbundene Kompetenzbereich Funktio­nale Beziehungen beleuchtet und wichtige Begriffe definiert. Daneben werden der Aufbau und die Funktion von den digitalen Messgeräten, den Data Loggern, und in diesem Zusammenhang be­deutsame Forschungsergebnisse dargestellt. Bis heute existieren zu dem Einsatz der Data Logger nur wenige Forschungsansätze. Bezogen auf den Primarbereich sowie in der deutschsprachigen Literatur wurden sogar derzeit noch keine veröffentlicht. Daher wird vermehrt auf internationale Autoren und auf Ansätze für die Sekundarstufe I zurückgegriffen. Da sich das Konzept auf die Entwicklung eines Forscherheftes für leistungsstarke Schüler stützt, wird anschließend die theore­tische Grundlage zu jenem Material und zu der Lerngruppe kurz erläutert.

Im dritten Kapitel wird das Konzept näher ausgeführt und begründet. Hierbei wird auf die schuli­schen Gegebenheiten - die Knobelgruppe, den Ranger und das Forscherheft - eingegangen. Das Konzept wird durch den Lehrplan und die Bildungsstandards legitimiert - daher werden die für das Konzept wichtigen Aspekte angeführt. Hieraus ergeben sich die Zielfragestellung sowie weite­re Teilziele, die mit dem Konzept verfolgt werden, und an jener Stelle herausgestellt werden.

Das vierte Kapitel beinhaltet das Vorgehen und die Entwicklung des Konzeptes. Der Aufbau des Forscherheftes sowie die Konzepteinheiten gestützt durch den Lehrplan stehen hierbei im Fokus.

Um die Anwendbarkeit des entwickelten Konzeptes zu prüfen, wird jenes durchgeführt. Wichtige Beobachtungen und Geschehnisse, die sich während der Durchführung ereigneten, werden in Ka­pitel fünf beleuchtet, um im sechsten Kapitel einige Aspekte zu evaluieren und auszuwerten. Auf­grund der begrenzten Seitenzahl der Arbeit kann die Auswertung lediglich in Ansätzen erfolgen.

2) Theoretischer Hintergrund

2.1. Neue Medien in der Grundschule

Bereits der Vergleich von PISA 2000 und 2003 hat verdeutlicht, dass der regelmäßige Computer­einsatz an deutschen Schulen steigt, in jenem Zeitraum von 16% auf 21 %. Allerdings stellte sich im Vergleich zu den anderen OECD Staaten heraus, dass in keinem anderen OECD Land der Computereinsatz in der Schule geringer ist als in Deutschland. Der Einsatz neuer Medien im Un­terricht ist jedoch wichtig, um eine Medienkompetenz aufbauen zu können (vgl. Prenzel et. al, 2004; Barzel et. al, 2005). Während im Nordrhein-Westfalischem Lehrplan bislang wenig zu der Medienkompetenz zu finden ist, schreibt Niedersachsen den neuen Medien große Bedeutung zu: „Sie unterstützen die individuelle und aktive Wissensaneignung und fördern selbst gesteuertes, kooperatives und kreatives Lernen. Eine bewusste Nutzung der Medienvielfalt erfordert Strategien der Informationssuche und Informationsprüfung wie [...] das Identifizieren und Dokumentieren der Informationen sowie das Prüfen auf sachliche Richtigkeit.“ (NKM, 2006a: 10). Diese Strate­gien unterstützen die Schüler bei der Entwicklung einer Methodenkompetenz und Autonomie. Durch den Einsatz des Rangers und der Darstellung auf dem Computer kommen die Schüler mit zwei neuen Medien in Berührung. Selbstverständlich sind nicht bei jedem Thema und zu jeder Zeit neue Medien in der Schule zwangsläufig sinnvoll und es ist bedeutsam, dass Schüler und Lehrer den Einsatz zudem kritisch hinterfragen. Bezüglich des Abstandmessers und der Darstel­lung anhand eines Graphs ist die Zuhilfenahme von neuen Medien für leistungsstarke Schüler je­doch wertvoll, da so die Schüler ihre ausgeführten Handlungen in Echtzeit auf dem Graphen ver­folgen und aktiv die Verbindung von Zeit und Abstand erfahren können (näheres: siehe Kap. 2.4.).

2.2. Daten in der Grundschule

Daten umgeben Erwachsene und Kinder gleichermaßen tagtäglich in ihrer Lebenswelt. Schülern begegnen Informationen in Form von Texten, Diagrammen, Tabellen und anderen grafischen Dar­stellungen durch Tabellen an der Bushaltestelle, Preisen im Supermarkt oder Statistiken in Zeitung und Fernsehen (vgl. Eckert, 1991). Um diese Daten lesen und interpretieren zu können, sollten die Schüler eigene Erfahrungen durch selbst durchgeführte Befragungen und Experimente machen.

Einzelne funktionale Zusammenhänge kennen Kinder bereits aus ihrem Alltag. Sie entdecken beim Einkaufen die Beziehung zwischen Menge und Preis und wissen um den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit: Wenn sie eine bestimmte Strecke in einer bestimmten Zeit zurücklegen, erkennen sie, dass sie für die zweifache Strecke doppelt so viel Zeit benötigen (vgl. Eckert 1991).

Aber auch Darstellungen in Form von Graphen spielen bereits im Leben von Grundschulkindem eine Rolle. So werden sie etwa im Sachunterricht zunehmend mit Funktionsgraphen konfrontiert (vgl. Wedel-Wolff, 2005). Das Entnehmen von relevanten Informationen aus diesen Darstellungs­formen wird jedoch häufig vorausgesetzt, obwohl viele Kinder hiermit Schwierigkeiten haben. Sie müssen erst lernen, wie Größen zusammenhängen und wie dieser Zusammenhang aus graphischen Darstellungen entnommen werden kann (vgl. ebd.).

Leuders und Prediger (2005) zeigen bei einem Großteil der Schüler höherer Schulstufen grund­sätzliche Schwierigkeiten beim Umgang mit Funktionen auf. Bereits aus der PISA-Studie 2000 ging hervor, dass im Vergleich zu anderen Ländern wie Japan oder den Niederlanden deutsche Schüler bei den funktionsbezogenen PISA-Aufgaben schlecht abschneiden. So passiert es häufig, dass Schüler den Verlauf des Graphen ähnlich der visuellen Situation zeichnen. So ordneten bei PISA 36 % der Schüler einem Graphen, der Geschwindigkeit und Streckenentfernung darstellt, die Rennstrecke zu, die visuell dem Graphen besonders ähnelt (vgl. ebd, 2005: 2). Der Geschwindig­keit-Weg Graph wird somit als Bewegung in der Ebene interpretiert bzw. als fotographisches Bild von Realsituationen gesehen. Das Lesen und Interpretieren des Funktionsgraphen hat bei diesen Probanden noch nicht stattgefunden (vgl. Marxer, 2008). Diese ungenügende Leistung ist ein Pro­dukt des Mathematikunterrichts. Eine frühe Förderung, indem Funktionen mit realen Handlungen verknüpft werden, ist demnach umso bedeutsamer (vgl. Koerber, 2011)

In Mathematikbüchern des 4. Schuljahres werden Balkendiagramme und Tabellen als Darstel­lungsformen für Daten verwendet. Die Darstellung mithilfe eines Graphs wird dagegen selten be­handelt (vgl. Jansen, 2008). In Zukunft werden die Schüler jedoch in der Schule mit Funktionen und Graphen konfrontiert werden (siehe Kap. 3.2.). Ein Grundverständnis über Graphen ist also für den weiteren Mathematikunterricht unumgänglich und sollte früh angebahnt werden.

2.3. Definition

Der Begriff Funktion gilt als Kernbegriff der Mathematik, kein mathematisches Gebiet ist voll­kommen frei von jenem. Aus diesem Grunde ist es umso bedeutender, den Funktionsbegriff sorg- faltig und früh in dem Mathematikunterricht einzuführen (vgl. Schmidt, 2008).

Johann Bernoulli gab eine erste Definition des Begriffs Funktion im Jahre 1718. Er behauptete, eine „Funktion einer veränderlichen Größe (sei) eine Größe, die auf irgendeine Weise aus eben dieser veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt ist” (zit. nach Knoop, 2011: 33). Ähnlich wie u.a. Bernoulli definierte, wird gegenwärtig eine Funktion als eine spezielle Form der Abbildung gesehen, bei der die Elemente x einer Menge X auf eine bestimmte Weise den Elemen­ten y einer anderen Menge Y zugeordnet werden. Man spricht von einer eindeutigen Abbildung, wenn jedem Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird. Eine Funktion beschreibt demnach eine Zuordnung, die jeder Zahl xeD eindeutig eine Zahl yeW zuordnet, wobei D den Definitionsbereich und W den Wertebereich der Funktion bezeichnet (vgl. Müller Fonfara, 2005). Es gibt verschiedene Weisen, eine Funktion darzustellen. Neben der verbal beschriebenen und numerisch (Tabelle) oder symbolisch (Term) dargestellten wird die Funktion häufig als Diagramm oder Graph abgebildet. Die Messdaten des Rangers werden als Graph dargestellt.

In der mathematikdidaktischen Forschung (vgl. u.a. Vollrath, 1994; Wörn, 2008) bestehen drei Grundaspekte funktionalen Denkens: Der Zuordnungsaspekt, der Änderungsaspekt und der Objek­taspekt, mit denen sich Schüler im Rahmen funktionalen Denkens auseinandersetzen sollen. Durch die Ermittlung von Entfernungen zu gegebenen Zeiten wird etwa der Zuordnungsaspekt angespro­chen. Bei dem Änderungsaspekt betrachten die Schüler eine graphische Darstellung dynamisch. Der Objektaspekt beschreibt die Sicht auf die Funktion als Ganzes.

Eine funktionale Beziehung kann z.B. zwischen der Zeit und dem zurückgelegtem Weg bestehen, wenn der Weg mit der Zeit als Geschwindigkeit in Verbindung gebracht wird. „Eine erste Größe - im Beispiel die Zeit - wird also vorgegeben und unabhängig betrachtet, eine zweite - im Beispiel der zurückgelegte Weg - als (von der ersten) abhängige Größe angesehen.[...] Jedem Wert der unabhängigen Größe wird genau ein Wert der abhängigen Größe zugeordnet“ (Ruwisch, 2011b: 39). So existiert zu jedem Zeitpunkt eine zugeordnete Weglänge. Allerdings muss dies nicht um­gekehrt gelten: Es kann Längen geben, denen keine oder mehrere Zeitpunkte zugeordnet sind.

In gleicher Beziehung stehen auch die Zeit und der Abstand zum Ranger. Jedem Zeitpunkt, der in der Zeitspanne liegt, auf die sich die Messung bezieht, ist genau ein Abstand zugeordnet, wohin­gegen ein Abstand zum Ranger zu mehreren Zeitpunkten identisch sein kann. Dies passiert etwa, wenn sich ein Schüler einen Schritt von dem Ranger entfernt und wieder auf den Ranger zugeht.

Koordinatensystem:

Am häufigsten wird in der Mathematik das Kartesische Koordinatensystem verwendet (siehe Abb. 2, Anhang). Auch das Programm „Logger Lite“ des Rangers stellt die Daten in jenem dar. Es be­steht aus zwei zueinander rechtwinkligen Achsen, den Koordinatenachsen, die sich im Nullpunkt, dem Ursprung, schneiden. Hierbei wird die waagerecht dargestellte Achse als x-Achse oder Abs­zissenachse und die senkrechte als y-Achse oder als Ordinatenachse bezeichnet. Die Abstände der Einheiten an einer Achse sind gleich breit. So kann jeder Punkt mit den Koordinaten (x; y) eindeu­tig in der Ebene festgelegt werden. Schneidet die Parallele durch einen Punkt P zur y-Achse die x- Achse in Xp und die Parallele durch P zur x-Achse die y-Achse in Yp, so wird diesem Punkt P das Zahlenpaar (Xp; Yp) zugeordnet. Xp und Yp werden die Koordinaten von P genannt. Man schreibt P (Xp; Yp). Die Ebene wird durch die Koordinatenachse in vier Quadrante geteilt, welche im mathematisch positiven Umlaufsinn durchnummeriert werden (vgl. Scheid, 2004). Bei der Darstellung der Daten des Rangers ist ausschließlich der erste Quadrant von Bedeutung.

Funktionsgraph:

Die Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem wird Funktions­graph genannt. Ist f: A eine Funktion, so heißt die Paarmenge {(x,y)I xeA undy=f(x)} Graph der Funktion (vgl. Scheid 2004).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Graphen, welche die Messdaten des Rangers darstellen, sind nicht linear und es besteht keine proportionale Zuordnung, da Zeit und Abstand nicht in Abhängigkeit zueinander stehen. Erhöht sich etwa die Zeit, muss sich der Abstand nicht verändern oder nur unregelmäßig verändern. Demnach stellt der Ranger keine voneinander abhängigen Variablen dar wie es etwa bei dem Verhältnis Menge und Preis der Fall wäre. Letztere werden oftmals als proportionale Zusammenhänge in der Grundschule einge­führt. Allerdings spricht sich Ruwisch dagegen aus, ausschließlich proportionale Zusammenhänge zu betrachten, da dies im Alltag nicht gegeben sei - beim Preis gibt es zum Beispiel Mengenra­batt. Zudem bestände die Gefahr, dass „...Schüler so eine deutlich eingeschränkte Vorstellung funktionaler Beziehungen entwickeln, welche sich in der Sekundarstufe als Hürde und nicht als propädeutische Vorbereitung funktionalen Denkens erweisen könnte“ (Ruwisch, 2011a: 4f).

2.4. Data Logger im Unterricht

2.4.1. Aufbau und Eigenschaften von Data Loggern

Das vorgestellte Konzept stützt sich auf die Nutzung eines Data Loggers in der Grund­schule.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Data Logger sind digitale Messgeräte. Sie haben Sensoren, mit deren Hilfe Daten Abb·[4]: Aufbau emes Data Loggers bezüglich Abstand, Licht, Temperatur oder Geräusche etc. in Verbindung mit der Zeit gemessen werden können. Durch den Anschluss an einen Taschenrechner oder Computer werden ihre Mess­daten auf jenen übertragen und mit Hilfe einer Software als Graph in einem Koordinatensystem wiedergegeben (siehe Abb. 4). Auf der x-Achse wird die Zeit angezeigt und auf der y-Achse die jeweils andere Größe, hier der Abstand in Meter (siehe Abb. 5, Anhang).

Data Logger ermöglichen den Schülern Messungen durchzuführen, bei denen sie mit traditionellen Messweisen an ihre Grenzen stoßen würden, da Daten zu langsam oder zu schnell aufgenommen werden und aus diesem Grund ungenau sein können. Weitere Vorteile dieser gegenüber manuellen Messgeräten sind, dass die Schüler weniger Zeit mit dem Übertragen der Messdaten verbringen müssen und die Zeit sinnvoller nutzen können - etwa zum Diskutieren sowie Analysieren von Messdaten (vgl. Rogers/Wild, 1996). Daneben bieten Data Logger den Schülern eine neue Zu­gangsweise zu graphischen Darstellungen. Durch die Übertragung und Darstellung der genauen Messdaten in Echtzeit bekommen jene ein direktes visuelles Feedback und erfahren, was ihre Handlung am Graphen auslöst. Sie können so ihre Handlung und die graphische Darstellung leich­ter in Beziehung setzen, interpretieren sowie Veränderungen Vorhersagen und überprüfen.

Autoren wie Newton (2000) und Barton (1997) sind von den Vorteilen der Data Logger überzeugt und sind der Ansicht, dass diese bereits in der Grundschule eingesetzt werden sollten, da Schüler durch sie ein erstes Grundwissen über Graphen handlungsorientiert entwickeln können. Trotz der zahlreichen Vorteile jener sollten die manuellen Messungen im Unterricht nicht unterbunden wer­den. Beim manuellen Messen werden die direkten Messvorgänge leichter nachvollzogen.

Das Konzept baut auf dem Data Logger auf, der mithilfe von Ultraschallwellen Abstände von dem Gerät zum nächstgelegenen Objekt misst (siehe Abb. 7, Anhang). Dieser wird auch als „Ranger“ bezeichnet (abgeleitet vom englischen Wort „range“: Spannbreite, Entfernung (vgl.Deuter, 2003)). Da das Abstandmessgerät je nach Hersteller verschiedene Bezeichnungen hat und die Schüler mit verschiedenen Messgeräten („Go! Motion“ der Marke Vernier und „CBR 2“ von Texas Instru­ments) arbeiten, wird in dieser Arbeit sowie während der Durchführung des Konzeptes die Be­zeichnung Ranger benutzt. Das Gerät funktioniert durch Ultraschallimpulse, die ausgesandt wer­den und auf das rückkehrende Echo gewartet wird. Der gemessene Zeitabstand, der zwischen der Aussendung und dem Empfang der Wellen liegt, entspricht dem doppelten Abstand zwischen dem Ranger und dem Objekt und wird weiterverarbeitet (s. Abb.7, Anhang) (vgl. Wagner/Wörn, 2009). Auf den ersten Blick scheint der Ranger nicht an der Lebenswirklichkeit der Kinder orientiert zu sein, doch bei genauerer Betrachtung funktioniert er ähnlich wie ein Parksensor oder wie ein digi­tales Messgerät zum Ausmessen von Räumen. Wagner und Wörn haben mit Schülern einer 7. und 8. Klasse die Abstandmessgeräte erprobt und sind der Ansicht, dass sie einen „...erlebbaren und praxisorientierten Zugang zum Thema ,fUnktionales Denken‘ schaffen“ (Wagner/Wörn, 2009: 26).

Die Data Logger eignen sich nicht nur, um im Mathematikunterricht ein erstes Verständnis von Graphen aufzubauen, sondern auch, um im Fach Sachunterricht zahlreiche Experimente durchfüh­ren zu können. Auf den Ranger bezogen könnten diese physikalisch sein wie zum Beispiel die Fallgeschwindigkeit verschiedener Objekte oder die Messung verschiedener Bewegungen. Mit anderen Data Loggern könnten Experimente zur Temperatur etc. (s.o.) erfolgen. Demnach könnte mithilfe jener fächerübergreifend unterrichtet werden. Hierbei würde die Lehrerfunktion Koope­rieren angesprochen werden. Im Rahmen des entwickelten Konzeptes wird jedoch der Fokus auf die Darstellung mithilfe eines Graphs gelegt. Daher erfolgt keine Zusammenarbeit.

2.4.2. Empirische Forschung

Data Logger sind in Deutschland weitestgehend unbekannt. In Großbritannien und den USA sind sie zwar stärker verbreitet, werden jedoch auch dort leider nur unzureichend genutzt (vgl. Newton, 1997; 1999; 2000), denn laut Forschung besitzen sie großes Potential. Im folgenden Teilkapitel werden nun einige für das Konzept bedeutsame Forschungen angeführt.

In Großbritannien und den USA wurden die Auswirkungen der Daten-Logging-Methoden auf die Fähigkeit der Schüler untersucht. Allerdings gibt es wenig Veröffentlichungen, welche die Rolle der Data Logger als wirksames Werkzeug für den gegenwärtigen Mathematikunterricht untersu­chen: „Once more, we find that research is lacking in this domain“ (Arnold, 2008: 7). Doch dieje­nigen, welche die Data Logger erforschten, konnten das Potential dieses Materials belegen.

So fanden Rogers und Wild (1996) heraus, dass die Data Logger bedeutsame Eigenschaften wie die Kommunikationsfähigkeit fördern und eine hohe Anziehungskraft besitzen. Auch Barton (1997) ermittelte Vorteile der Data Logger im Unterricht. Er untersuchte die Auswirkungen von Data Logger auf die Schüler einer Middle School und fand heraus, dass durch den handelnden Einsatz von jenen Geräten den Schülern die Bedeutung von Daten näher gebracht wird und diese Vorteile für die Kinder im Gegensatz zu den manuellen Methoden aufweisen (s.u.). Neben der Förderung der inhaltlichen Kompetenzen konnte er außerdem ermitteln, dass die sozialen Interak­tionen und Selbstständigkeit der Schüler steigen und gefördert werden (vgl. Barton, 1997).

Diese Vorteile setzen jedoch das erfolgreiche Umsetzen der Data Logger im Unterricht voraus. Newton (1999) hat durch Interviews mit erfahrenen Naturwissenschaftslehrerkräften von Seconda­ry Schools präzisieren können, welche Aspekte bezüglich eines erfolgreichen Einsatzes von Data Loggern im Unterricht von Bedeutung sind. Die sinnvolle Verwendung neuer Medien sowie die Kompetenzerwartungen, Daten zu lesen, zu interpretieren und zu protokollieren, werden im briti­schen (und deutschen) Lehrplan gefordert und durch den Einsatz von Data Loggern erreicht. Ne­ben den inhaltlichen und sozialen werden zudem affektive Faktoren gefördert. Für den erfolgrei­chen Einsatz müssen Schüler und Lehrer aber das Zielverständnis, das mit den Data Loggern ver­folgt wird, kennen. Hiermit hängt zusammen, dass Lehrkräfte das Potential von Data Loggern erkennen und den Schülern dieses entsprechend vermitteln müssen, so dass diese den Sinn hinter ihnen erkennen und sinnvoll mit ihnen lernen können. Wenn die Lehrkräfte allerdings prinzipiell wenig Erfahrung mit neuen Medien haben, ist die Hürde zur Anwendung hoch. Ein Teil der Be­fragten nannte eine gefühlte Bedrohung der neuen Technologie. Daneben sind sie der Meinung, der Einsatz von Data Loggern erfordere Geschick auf organisatorischer und inhaltlicher Ebene. Aufgrund dessen werden ein Konzept, das klar und strukturiert Möglichkeiten der Verwendung aufzeigt, und eine Schulung im Umgang mit den Data Loggern gewünscht. Außerdem müssen den Lehrkräften, um mit Data Loggern effektiv arbeiten zu können, angemessene Ressourcen zur Ver­fügung stehen, damit alle Schüler effektiv arbeiten können (mehrere Geräte und Struktur).

Neben der Befragung von Lehrkräften hat Newton (1997) erfasst, wie Schüler aus 7. und 8. Klas­sen Data Logger kennenlernen. Beobachtet wurden verschiedene Experimente wie das Aufzeich­nen der Temperatur von Gas in zwei Plastikflaschen (Kohlenstoffdioxid und Luft), die durch eine Glühbirne erhitzt wurden. Nach der Einführung bestand die Aufgabe darin, in Kleingruppen die Temperatur aufzuzeichnen und zu ermitteln, was geschieht. Die Gespräche der Schüler während­dessen wurden aufgezeichnet. Außerdem führten jene nach jeder Einheit Tagebuch.

Bei der Analyse dieser Daten stellte sich heraus, dass eine Vielzahl der Schüler die aktive Beteili­gung an den Experimenten wertschätzte, wohingegen das bloße Beobachten des Verlaufs als we­nig motivierend empfunden wurde. Newton nennt in diesem Zusammenhang die Gefahr, dass ein­zelnen Schülern in einer Gruppe langweilig werden kann und sie nicht mehr mitarbeiten, wenn sie nicht aktiv an der Durchführung beteiligt sind. Die einzelnen Gruppen, denen ein Data Logger zur Verfügung steht, sollten daher nicht allzu groß ausfallen und die Schüler sollten innerhalb ihrer Gruppe gemeinsam arbeiten. Weitere Vorschläge von Newton sind, die Schüler in der Zwischen­phase ihre Ergebnisse und Beobachtungen notieren zu lassen, um die Zeit optimal zu nutzen. Eine weitere Alternative sei, gemeinsam - wenn es die Aufgabe zulässt - einen zeitgleich zu den Hand­lungen entstehenden Graphen zu analysieren. Bei dem Konzept des Rangers wäre dies u.a. der Fall, wenn ein Teammitglied einen Graphen zeichnet, ein anderes Kind anschließend versucht, den diesen Graphen nachzustellen und im Team vor und während des Bewegens überlegt wird, wie es möglichst nah an den gezeichneten Graphen herankommen kann (siehe Einheit 3, Kap. 4.2.).

Als bedeutsam sieht Newton (1997) zudem Gespräche an, die während der Bearbeitung von den Aufgaben innerhalb der Gruppen entstehen. Während des Experimentes schilderten die Schüler Veränderungen an den Graphen. Ihre Ausdruckweise vermittelte den Eindruck, die Daten seien „lebendig“. So beschrieben sie den Aufbau von Graphen mithilfe von Verben wie „hüpfen“. Newton merkt an, dass die Schülergespräche überwiegend deskriptiver Natur gewesen seien. Sei­ner Ansicht nach ist das Ziel, die Kinder zu inhaltlichen, reflektierenden Gesprächen aufzufordern. Hierbei sollte sich die Lehrkraft nicht vollständig zurückziehen, sondern mit geschickten Zwi­schenfragen sowie mit geeigneten Aufgaben (z.B. Graphen miteinander vergleichen) zu qualitati­ven Gesprächen und Interpretationen anregen. Daneben sollte sie Fragen der Schüler beantworten, Hilfen anbieten und eine beratende Rolle einnehmen. Ähnliches ermittelte Barton bereits 1997. Daneben fand Newton heraus, dass die Schüler häufig umschreibende Ausdrücke nutzten, da kei­ne allgemeinen Fachbegriffe eingeführt wurden. Um sich jedoch möglichst gut verständigen zu können, ist es notwendig einige Fachbegriffe als Basis zur genauen Verständigung vorzugeben. Diese Fachbegriffe können beispielsweise in Form eines Wortspeichers festgehalten werden. Mehrere Autoren behaupten, dass ein Zusammenhang zwischen dem Graphverständnis und der Mathematikleistung bestehe und diese Faktoren sich gegenseitig beeinflussen (u.a. Äberg- Bengtsson/Ottosson, 2006; Äberg-Bengtsson, 1998). Koerber (2003; 2011) konnte sogar nachwei­sen, dass Schüler, die Liniendiagramme in einem Trainingsprogramm nutzten, proportionale Kon­zepte und graphische Darstellungen gut verstanden und sogar ein Jahr danach bessere Ergebnisse in diesen Bereichen zeigten als diejenigen, die nicht an dem Trainingsprogramm teilnahmen.

Aber auch der handelnde Aspekt spielt eine große Rolle im Graphverständnis. Laut Brauner (2008) werden durch selbst erlebte Handlungen und Diskussionen über direkte Erfahrungen Gra­phen funktionaler Zusammenhänge optimal eingeführt. Dabei wird der Abstand zu dem Ranger in Beziehung zu der Zeit gesetzt. Das aufgebaute Grundwissen nutzen die Schüler Sekundarstufe I anschließend, um vorgegebene Graphen zu interpretieren, sich entsprechend einem Graphen zu bewegen oder anders herum das Gesehene in einem Diagramm festzuhalten. Unterstützt wird Brauners Aussage von Michelsen und Beckmann (2007), die belegen, dass Schülerexperimente eine Bereicherung für den Kompetenzaufbau von funktionalem Denken sein können.

Die zuvor angeführten Forschungen und Beobachtungen beziehen sich zum Großteil nicht direkt auf den Typ Data Logger, der Abstände misst, und nicht auf dessen Auswirkung auf das graphi­sche Verständnis und die funktionale Denkweise von Schülern eines vierten Schuljahres. Trotz­dem werden allgemeine Aspekte und Ergebnisse aus den Forschungen in dem entwickelten Kon­zept zum Ranger berücksichtigt und in der Reflexion darauf zurückgegriffen.

2.5. Leistungsstarke Kinder im Mathematikunterricht

Hauptanliegen im Mathematikunterricht ist es, alle Schüler optimal ihren Leistungen nach zu för­dern (vgl. Peter-Koop et. al., 2002). Um dies zu bewältigen findet häufig eine grobe Einteilung in die Gruppe der leistungsschwachen, der leistungsstarken sowie der „normalen“ Schüler statt.

Doch nun stellt sich die Frage: Was genau ist leistungsstark? In der Literatur gibt es keine allge­meingültige Definition zu diesem Begriff. Leistungsstark ist jedoch nicht gleichzusetzen mit dem Begriff der Hochbegabung im Allgemeinen (vgl. Bardy, 2007). Im Vergleich zu hochbegabten Kindern sind mathematisch leistungsstarke Schüler „hingegen in anderen Fähigkeitsbereichen ,nur‘ durchschnittlich begabt“ (Peter-Koop et. al., 2002: 27). Eine mathematische Begabung geht meist mit allgemeinen Persönlichkeitseigenschaften und mathematikspezifischen Merkmalen ein­her (Käpnick et al. 2005). Letztere können etwa das Strukturieren mathematischer Sachverhalte, die Fähigkeit zum Speichern dieser mithilfe mathematischer Strukturen, eine mathematische Sen­sibilität sowie die „Fähigkeit im selbstständigen Wechseln der Repräsentationsebenen und im selbstständigen Umkehren von Gedankengängen beim Bearbeiten mathematischer Aufgaben“ (ebd.: 13). Begabungsstützende allgemeine Persönlichkeitseigenschaften sind u.a. hohe geistige Aktivität, Anstrengungsbereitschaft, Freude am Problemlösen, Selbstständigkeit und Kooperati­onsfähigkeit (vgl. ebd.). Es gibt nicht den einen allgemeingültigen Test, mit dem man feststellen kann, ob ein Kind in Mathematik leistungsstark ist. Jedoch kann man dies durch Beobachtungen der oben genannten Fähigkeiten innerhalb des Unterrichts sowie in Klassenarbeiten ermitteln. Da­neben gibt es diagnostische Verfahren, mit denen man den Leistungsstand in Mathematik feststel­len kann. Hierzu zählen u.a. die Tests „Basiskurs Mathematik“ von Peter Jansen (2001) für 2. und 3. Klassen und der DEMAT 3+/4 für 3. und 4. Klassen (Gölitz et al., 2005).

Den mathematisch begabten Kindern ist i. d. R. nicht damit geholfen, indem sie eine Jahrgangsstu­fe überspringen. Auch das Überspringen im Fach Mathematik ist eine „in der Praxis schwierig zu realisierende Maßnahme“ (Peter-Koop et. al., 2002: 27). Sinnvoller ist das Enrichment-Konzept. Es bedeutet „...eine Anreicherung oder Erweiterung des regulären Curriculums durch neue Sachthemen, Lern- und Denkprozesse“ (Peter-Koop, 2002: 6). Das entwickelte Konzept folgt je­nem.

Daneben wurde laut Peter-Koop (2002) ermittelt, dass die Interaktion und der Austausch mit gleichaltrigen Klassenkameraden wichtig für die kognitive und auch soziale Entwicklung der Kin­der sei. Demnach biete es sich ihrer Ansicht nach an, den leistungsstarken Kindern Aufgaben zu stellen an, die zu Diskussionen anregen.

2.6. Forscherhefte im Mathematikunterricht

Das Forscherheft ist ein Lerndokument zu einem Thema, das innerhalb eines längeren Zeitraumes geführt wird. Das primäre Ziel eines Forscherheftes ist es, die Schüler durch Forscheraufträge zum Forschen und Entdecken anzuregen und den Lernzuwachs festzuhalten. Zudem ist es häufig chro­nologisch aufgebaut, unterliegt einer Hauptfragestellung und bietet so eine vorstrukturierte Ler­numgebung (vgl. PIK AS, 2010a). „Das Forscherheft als Schreib- und Gestaltungsmedium besitzt für Kinder einen hohen Aufforderungscharakter. [...] Mit dem Fortschreiten der Bearbeitung und der individuellen Gestaltung entwickelt sich das Heft immer mehr zu einem persönlichen Doku­ment und zu einem Produkt, mit dem sich die Kinder identifizieren“ (Anders/Oerter, 2009b: 17). Das vorgestellte Konzept beinhaltet ein Forscherheft, das chronologisch und strukturiert aufgebaut ist. Es stellt eine zielorientierte Lernumgebung her, die den Schülern ermöglicht, überwiegend selbstständig mit den Aufgaben und Material zu arbeiten und auf Basiswissen jederzeit zurück­greifen zu können. Durch die Arbeit im Team und die zur Diskussion anregenden Aufgaben wird neben den mathematischen Kompetenzen die Sozial-, Selbst- und Methodenkompetenz gestärkt (vgl. Anders et al., 2009a; PIK AS Haus 8, 2010a). Das bloße Entwickeln von Karteikarten mit Aufgaben zum Ranger würde nicht ausreichen, da so kein schrittweiser, strukturierter Aufbau er­reicht werden kann, bei dem die Kinder frei arbeiten und Wichtiges dokumentieren können.

Die zentrale Problemstellung für die Schüler ist, wie der Ranger in Verbindung mit dem Graphen funktioniert und was für Eigenschaften graphische Darstellungen besitzen. Hierunter fallen viele Teilfragen, z.B. wie und ob man bestimmte Graphen erzeugen kann und aus welchem Grunde nicht. Die Schüler werden zum Weiterforschen animiert, indem zu der zentralen Fragestellung passende weitere Teilfragen gestellt werden. „Weiterführende Explorationen geben Gelegenheit, Verständnis zu vertiefen und Erkanntes zu nutzen“ (PIK AS, 2010b: 1).

Anders als in den meisten Forscherheften werden besonders zu Beginn einführende Teilaufgaben gestellt, die das grundlegende Verständnis sicherstellen sollen (einzelne Handlungen mit der pas­senden graphischen Darstellung verknüpfen). Hierbei weisen nicht alle Aufgaben die Merkmale typischer Forscheraufgaben (offen, verschiedene Lösungswege etc.) auf. Trotz dessen sind sie problemhaltig, teils komplex, ermöglichen verschiedene Denkwege und Lösungsstrategien, regen zum Diskutieren an und lassen teils verschiedene Lösungen zu (vgl. Anders/Oerter, 2009b).

Neben individuellen Phasen ist auch das gemeinsame Lernen Hauptziel, das durch den Einsatz mit Forscherheften erreicht werden soll. Bei der Entwicklung des Forscherheftes für das Konzept soll­ten daher neben individuellen Phasen möglichst häufig Arbeitsphasen in Gruppenarbeit stattfin­den, in denen neben deskriptiven auch reflexive, komplexe Diskussionen stattfinden, bei denen die Argumentationsfähigkeit der Schüler trainiert wird (siehe Kap. 3.2.).

3) Erstellung und Begründung des Konzeptes

3.1. Schulische Gegebenheiten

3.1.1. Die „Knobelgruppe“

Die Schule weist im Bereich Mathematik ein umfangreiches Förder- und Forderan­gebot in allen Jahrgangsstufen auf. Neben der Differenzierung im alltäglichen Mathematikunter­richt werden zudem einmal pro Woche die leistungsschwachen und -starken Schüler des Jahr­gangs in einer Einzelstunde gefordert (Außendifferenzierung). Die übrigen Schüler werden wie üblich unterrichtet. Durch eine Analyse der Lernausgangslage werden die Schüler eine der drei Gruppen zugewiesen, mit dem Ziel alle optimal zu unterstützen. Hierfür wird kein diagnostischer Test genutzt. Die Mathematiknoten, die Klassenarbeiten und die diagnostische Einschätzung der Lehrkraft (durch Beobachtungen im Mathematikunterricht und der Tests) sind ausschlaggebend für die Verteilung in diese Gruppen. In die Beobachtungen werden die allgemeinen Persönlich­keitseigenschaften und die mathematikspezifischen Merkmale einbezogen (siehe Kap. 2.5.).

In der Knobelgruppe werden anspruchsvolle Aufgaben gestellt, mit dem Ziel die leistungsstarken Schüler zu fordern und somit zu stärken. Hierbei geht es jedoch nicht immer um direktes Knobeln. Die Knobelgruppe der vierten Klasse, in der das Konzept durchgeführt wurde, besteht derzeit aus sechs Schülerinnen und sieben Schülern aus den zwei unterschiedlichen Klassen.

Die Knobelgruppe gibt es für Schüler vom ersten bis vierten Schuljahr. Innerhalb der Schuljahre kann allerdings flexibel entschieden werden, dass Schüler in eine andere Gruppe wechseln kön­nen. Alle 13 Schüler der Knobelgruppe besuchen diese jedoch bereits seit der 2. Klasse.

Da das Konzept den Anspruch auf Allgemeingültigkeit hat, wird nicht detailliert auf die Lernaus­gangslage einzelner Schüler eingegangen. Allerdings werden allgemein auf die Lerngruppe zutref­fende Aussagen angeführt. Alle Schüler haben bereits Erfahrungen mit der Darstellung von Län­genmaßen, kennen verschiedene Maßeinheiten und können Größen abschätzen. Daneben sind die Kinder im Mathematikunterricht zwar mit Diagrammen wie dem Säulendiagramm in Berührung gekommen, jedoch noch nicht mit Graphen. Das Koordinatensystem ist weder im Sachunterricht noch im Mathematikunterricht in beiden Klassen bewusst eingeführt worden. Mit hoher Wahr­scheinlichkeit sind den Schülern trotzdem bereits graphische Darstellungen in ihrem Alltag be­gegnet (vgl. Kap.2.2.). Diese Erfahrungen können allerdings unterschiedlich und heterogen ausfal­len, so dass zu Beginn der Durchführung eine gemeinsame Grundlage geschaffen werden sollte. Die Schüler sind an Gruppenarbeit gewöhnt. Teilweise fällt es ihnen schwer, ihre Entdeckungen in Worte zu fassen. Deshalb unterstützen sie ein Wortspeicher und das kontinuierliche Üben von Kommunikationsfähigkeit durch problemhaltige Aufgaben und gemeinsame Gesprächsphasen. Alle Knobelkinder sind bereits in der Arbeit mit dem Forscherheft geübt, da sie im Mathematikun­terricht sowie in vorigen Unterrichtsstunden der Knobelgruppe bereits mit solchen in Berührung kommen sind. Falls das Forscherheft in einer Lerngruppe noch nicht bekannt ist, müsste vor der Arbeit mit dem Ranger u.a. auf den Aufbau und das Ziel von jenem eingegangen werden.

3.1.2. Der „Ranger“

Aus dem Schuletat wurde das Messgerät „Go!Motion“ von Vernier gekauft. Mitgeliefert wurde die Software „Logger Lite“, die es ermöglicht, die gemessenen Daten in Echtzeit in eine graphi­sche Darstellung zu transferieren (siehe Abb. 5 und 6, Anhang). Damit die 13 Knobelkinder sich intensiver mit dem Ranger auseinandersetzen können, wurden sechs baugleiche Messgeräte „CBR 2“ der Marke Texas Instruments für sechs Wochen ausgeliehen^[2]. Die Software wurde auf den Schulcomputern installiert. Die Erprobung des Konzeptes fand im Computerraum statt, um viele Computer nutzen zu können und Platz für die praktischen Erprobungen mit dem Ranger zu haben.

3.2. Begründung durch den Lehrplan

Die Bildungsstandards und der Lehrplan des Faches Mathematik im Primarbereich des Landes Nordrhein-Westfalen sind Grundvoraussetzung für den Mathematikunterricht - und somit auch für das Konzept über den Ranger. Das Medium bzw. Material fordert in Verbindung mit dem For­scherheft sowohl inhaltliche als auch prozessbezogene Kompetenzen der Schüler.

Inhaltlich lässt sich die Arbeit mit dem Ranger den Kompetenzbereichen Größen und Messen, Raum und Form, Muster und Strukturen und Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit nach den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich zuordnen.

So steht im Lehrplan unter dem Kompetenzbereich Größen und Messen, dass die Schüler mit Größen in Sachsituationen umgehen sollen, indem sie unterschiedliche Messgeräte verwenden. Durch die Ermittlung und das genaue Lesen des Abstandes vom sich zum Ranger sowie das Um­setzen von Handlungsanweisungen werden die Schüler im Bereich Längen sensibilisiert. Hierbei ist auch der Kompetenzbereich Raum und Form bedeutsam. Das räumliche Handeln, verknüpft mit dem Lesen der Darstellungen, erfordert eine Übertragung der zweidimensionalen Darstellung des Graphen in dreidimensionale Handlungen und umgekehrt. Dies erfordert eine flexible Denk­weise und basiert auf dem so genannten EIS Prinzip (siehe Kap. 4.2.). Außerdem „nutzen (die Schüler) selbstständig Bearbeitungshilfen wie Tabellen, Skizzen, Diagramme etc. zur Lösung von Sachaufgaben (z.B. zur Darstellung funktionaler Beziehungen)“ und „formulieren Sachaufgaben [...] zu vorgegebenen mathematischen Modellen (Gleichungen, Tabellen etc.)“ (MSW, 2008: 66). In der Grundschule sollen einfache funktionale Zusammenhänge angebahnt werden (vgl. Wag- ner/Wörn, 2009). Im Bereich Muster und Strukturen in den Bildungsstandards wird von den Schü­lern verlangt, am Ende der 4. Schulstufe funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben, untersu­chen und darstellen zu können (vgl. KMK, 2005).

Zuletzt wird im Kompetenzbereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit gefordert, dass die Schüler nach der vierten Klasse Daten erfassen und darstellen sollen, indem sie „in Beobachtun­gen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen“ und „aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen“ (KMK, 2005: 11).

Neben den inhaltbezogenen Kompetenzen fordert das Konzept des Rangers zudem prozessbezo­gene Kompetenzen der Schüler.

In dem Kompetenzbereich Kommunizieren werden jene gefordert, indem sie ihre Vorgehenswei­sen beschreiben, mathematische Fachbegriffe sinnvoll verwenden sowie Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam über diese reflektieren. Zudem bearbeiten die Schüler Aufgaben in ih­rem Team gemeinsam, treffen dabei Verabredungen und halten diese ein. Eng verbunden hiermit steht die Kompetenz des Argumentierens, indem die Schüler mathematische Aussagen hinterfra­gen und auf Korrektheit prüfen, mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen über mathematische Sachverhalte aufstellen, begründen, überprüfen und ggf. widerlegen. Letzteres in Verbindung mit einem konstruktiven Umgang mit Fehlern wird besonders innerhalb des Themen­gebietes der funktionalen Zusammenhänge gefördert (vgl. Wagner/Wörn, 2009).

In dem Kompetenzbereich Problemlösen wird von ihnen verlangt Ergebnisse zu überprüfen, Feh­ler zu finden und ihre verschiedenen Lösungen zu vergleichen (vgl. MSW, 2008). Zudem „über­tragen (sie ihre) Vorgehensweisen auf ähnliche Sachverhalte“ und „erfinden Aufgaben und Frage­stellungen (z. B. durch Variation oder Fortsetzung von gegebenen Aufgaben)“ (ebd.: 59).

Bei dem Kompetenzbereich Modellieren entnehmen die Schüler Sachsituationen und -aufgaben Informationen, übersetzen dieses in ein mathematisches Modell wie einem Graphen oder einer Zeichnung und lösen sie mithilfe jenem und „beziehen ihr Ergebnis wieder auf die Sachsituation und prüfen es auf Plausibilität“ (MSW, 2008: 59). Zudem finden sie „zu gegebenen mathemati­schen Modellen passende Problemstellungen und entwickeln im Rahmen von Sachsituationen eigene Fragestellungen (z.B. in Form von Gleichungen, Tabellen oder Zeichnungen)“ (ebd.: 59). Auch der Kompetenzbereich Darstellen wird in dem Konzept gefördert. Schüler „halten ihre Ar­beitsergebnisse, Vorgehensweisen und Lernerfahrungen fest (z.B. im Lerntagebuch), bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei Verabredungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung, verwenden bei der Darstellung mathematischer Sachverhalte geeignete Fachbegriffe, mathematische Zeichen und Konventionen“ und „übertragen eine Darstel­lung in eine andere“ (MSW, 2008: 60).

Die meisten der genannten Kompetenzen gelten für das gesamte Konzept des Rangers. Teilweise werden sie in Kapitel 4.1. konkret auf die Aufgaben des Forscherheftes bezogen.

Die zukünftige Bedeutung der Kompetenz „Umgang mit Funktionen“ wird dadurch deutlich, dass in den Kernlehrplänen der weiterführenden Schulen der neue Kompetenzbereich Funktionen auf­taucht. „Mit ihnen (den Funktionen) lassen sich Phänomene der Abhängigkeit und der Verände­rung von Größen erfassen und analysieren. Funktionen eignen sich für Modellierungen für eine Vielzahl von Realsituationen. Schülerinnen und Schüler entwickeln ein grundlegendes Verständ­nis von funktionalen Abhängigkeiten...“ (NKM, 2006b: 33).

Am Ende der sechsten Klasse sollen die Hauptschüler Beziehungen und Veränderungen zwischen Größen in Verbalisierungen, Tabellen und Diagrammen darstellen können, nach Klasse 8 sollen sie in der Lage sein, Zuordnungen zudem in Wertetabellen und Graphen darzustellen (vgl. MSW, 2011). Am Gymnasium wird am Ende von Klasse acht zusätzlich erwartet, dass Graphen interpre­tiert und Sachsituationen passende Graphen zugeordnet werden können (vgl. MSW, 2007).

3.3. Zielfragestellung und Ziele des entwickelten Konzeptes

Hauptziel ist, ein Konzept zu dem Ranger zu entwickeln, welches die Kompetenzen der leistungs­starken Schüler im Bereich Funktionale Beziehungen fördert. So sollen jene durch den zunächst praktischen und anschließend theoretischen Umgang mit dem Ranger die Kompetenzen aufbauen, funktionale Beziehungen in Ansätzen zu verstehen und mit ihnen arbeiten zu können. Der anwen- dungs- und handlungsorientierte Charakter soll den Schülern zu einer ersten verinnerlichten Kenntnis über den Funktionsbegriff und zu einem verständnisvollen Umgang mit Funktionen ver­helfen.

Genauer formuliert sollen die Schüler, angelehnt an die im Lehrplan geforderten Kompetenzen, ...

- den Ranger als didaktisches Material kennenlernen und sich mit ihm handelnd auseinandersetzen,
- einen Graphen verstehen, ihn lesen und in Ansätzen interpretieren können,
- Graphen miteinander vergleichen können,
- typische Merkmale von Funktionen erkennen und verstehen - etwa, dass jedem x-Wert (nur) ein y- Wert zugeordnet wird und jede Funktion so genau definiert ist,
- die erworbenen Fähigkeiten auf andere Graphen (die nicht mit dem Ranger zusammenhängen) übertragen können.

Da zu dem Ranger bislang keine empirischen Forschungen über den Aufbau von funktionalem Denken in der Grundschule durchgeführt wurden und auch grundsätzlich sehr wenig über den Aufbau von jenem im Grundschulalter bekannt ist, stellt sich also die Hauptfrage dieser Arbeit, ob und in wie weit leistungsstarke Viertklässler durch das entwickelte Konzept mit dem „Ranger “ in ihrem funktionalen Denken gefördert und herausgefordert werden.

Neben den inhaltlichen Zielen soll das entwickelte Konzept den Kriterien der Umsetzbarkeit und der Nachhaltigkeit unterliegen, indem den Lehrkräften an der Schule eine Grundla­ge zum Einsatz des Rangers geschaffen wird - mit dem Ziel, die leistungsstarken Schüler der vier­ten Klasse im Bereich der Funktionalen Beziehungen auch in den darauffolgenden Jahren zu for­dern und die Einführung der Darstellung in Form eines Graphen zu fördern. Ob dies tatsächlich umsetzbar ist, wird in Kap. 7 reflektiert.

4) Vorgehen bei der Entwicklung des Konzeptes

4.1. Entwicklung und Aufbau des Forscherheftes und der Unterrichtsumgebung

In diesem Teilkapitel wird der Aufbau des Konzeptes auf inhaltlicher und struktureller bzw. orga­nisatorischer Ebene dargestellt.

Wie bereits zuvor erwähnt, wird der Ranger mithilfe eines Forscherheftes untersucht, welches die Schüler regelmäßig bei der Bearbeitung von Aufgaben, zum Dokumentieren und zur Sicherung von Gelerntem sowie zur Selbstreflexion führen (siehe Forscherheft im Anhang). Es dient dem strukturierten Aufbau des Konzeptes sowie dem Festhalten von Ergebnissen und wichtigem Er­lernten. Zudem können die Schüler später auf bereits Erarbeitetes zurückgreifen (weitere Vorteile: siehe Kap. 2.6.). Trotz der Arbeit im Team sollen alle Schüler ihr eigenes Forscherheft führen, da jedes Kind trotz Gruppenarbeit unterschiedliche Informationen aufnimmt und auch evtl. verschie­dene Aspekte für besonders wichtig hält.

Mithilfe der Aufgaben aus dem Forscherheft soll eine multiperspektive Sicht auf den Ranger und den funktionalen graphischen Darstellungen erzielt werden. Aus diesem Grund werden verschie­dene Zugangsweisen zu den Graphen ermöglicht. So setzen sich die Schüler mit Graphen auf ver­schiedenen Ebenen auseinander und können so mit den Darstellungsweisen flexibel umgehen. Dies geschieht u.a. durch das Zeichnen von Graphen zu Geschichten, das Schreiben von Ge­schichten zu gegebenen Graphen, das Lesen, Interpretieren und das „Nachlaufen“ eines Graphen. Bewusst werden - in Anlehnung an Newtons (1997) und Peter-Koops (2002) Forschungsergebnis­se - die Schüler in Zweier- bis Dreier-Teams eingeteilt, so dass sie sich während der Bearbeitung mit ihren gleichaltrigen Klassenkameraden austauschen können. Zudem wird der Problematik der Langeweile, die entstehen kann, wenn andere Schüler an dem Ranger arbeiten, entgegengewirkt, da sie in kleinen Teams mehr Zeit haben, sich aktiv mit dem Ranger auseinanderzusetzen (siehe Kap. 2.4.2.; 2.5.). Die Arbeit im Team fördert zudem die prozessbezogenen Kompetenzen Argu­mentieren, Kommunizieren sowie Darstellen (Letzteres in Verbindung mit dem Forscherheft). Während der Einheiten führen die Schüler Lerntagebuchseiten. Diese Seiten wurden in ihr For­scherheft geheftet und dienen der Selbsteinschätzung. Neben den Beobachtungen der Lehrkraft, dem Führen des Forscherheftes und dem abschließenden Ranger Quiz kann diese für die Auswer­tung des Konzeptes und für die Lehrerkompetenz Diagnostizieren bedeutsam sein.

Newton (1999) und Barton (1997) zeigten auf, dass Lehrkräfte den Schülern Freiheiten während der Arbeit mit dem Data Logger geben sollen und somit Verantwortung abgeben (Kap 2.4.2.). Trotzdem müsse eine gemeinsame Basis geschaffen werden, damit sie selbstbewusst und sicher mit den Geräten umgehen können. Daher soll während der Durchführung des Konzeptes die Funk­tion der Lehrkraft organisatorischer sowie beratender Natur sein. Diese Rolle des Lernbegleiters soll durch das Vorbereiten und Bereitstellen der Materialien, die Struktur der Forscherhefte, Tipp­karten zu einigen Aufgaben und durch gemeinsame Reflexions- und Sicherungsphasen erreicht werden. Im Folgenden wird nun der geplante Ablauf des Konzeptes (sechs Einheiten^[3] ), dargestellt.

4.2. Geplanter Einsatz des Rangers in der Knobelgruppe

1. Einheit: Einführung in den Aufbau und die Funktion des Rangers

Da davon ausgegangen werden kann, dass die Schüler unterschiedliche quantitative und qualitati­ve Erfahrungen mit graphischen Darstellungen gemacht haben und ihnen der Ranger unbekannt ist, besteht die Notwendigkeit eines schrittweisen Aufbaus im Umgang mit dem Material. Ziel der Einstiegsphase ist es, dass die Schüler erste Erfahrungen mit dem Ranger sammeln, indem sie ihn erproben sowie die Wirkungen an der Darstellung im Koordinatensystem auf ihre Handlungen nachvollziehen. Somit wird das Gerät in den Mittelpunkt gestellt, da es laut Forschung eine hohe Anziehungskraft besitzt und motivierend auf die Schüler wirkt. Sie werden vor das Problem ge­stellt: Was macht der Ranger? Wie hängen er und die Darstellung auf dem Computer zusammen? Diese Anfangsphase wird offen gehalten. Die Kinder teilen sich selbstständig in Zweier- und Dreiergruppen auf (Gruppengröße: siehe Kap. 2.4.2) und es erfolgt zunächst eine gemeinsame Einführung in die Arbeit mit dem Forscherheft. Hier werden die symbolischen Erläuterungen, mit denen die Aufgaben versehen sind, erklärt und die Regeln im Umgang mit dem Ranger und inner­halb der Teamarbeit erläutert. Das Symbol " bedeutet, dass die Aufgaben in Gruppen gelöst werden. Bei vielen Aufgaben steht zudem das Symbol ' ^ , welches für den Austausch innerhalb des Teams steht. Das Symbol /bedeutet, dass an dieser Stelle Ergebnisse und Beobachtungen be­sonders detailliert aufzuschreiben sind. Für Aufgaben mit dem Symbolüstehen Tippkarten be­reit, die verwendet werden dürfen, wenn eine Gruppe nicht mehr weiter weiß. Diese geben keine Lösungen vor, sondern zeigen lediglich Hinweise auf. Zusatzaufgaben werden mit einem Stern gekennzeichnet. Die Quellen der Symbole sind dem Abbildungsverzeichnis zu entnehmen. Eine größere Darstellung wird im Forscherheft auf Seite 2 gezeigt (siehe Anhang 10.1.).

Darauffolgend sollen die Kinder den Ranger frei erforschen sowie sich innerhalb ihres Teams und anschließend - angeleitet durch die Lehrkraft auch die Gruppen untereinander - über ihre Entde­ckungen, Vermutungen und evtl. Begründungen austauschen. Hierfür benötigen sie zu den Prob- lemlösestrategien zusätzlich soziale Kompetenzen, um als Gruppe fungieren zu können. Sie müs­sen daneben auch mit den Gruppenmitgliedern kommunizieren und hier beispielsweise ihre ausge­stellten Hypothesen gegen andere „verteidigen“ können. In diesem Prozess spielt das Argumentie­ren eine große Rolle (siehe Kap. 3.2.).

Gegebenenfalls werden (nachdem geklärt ist, was der Ranger misst) erste Assoziationen gesam­melt, wofür dieser Ranger in der Lebenswelt der Kinder benutzt werden könnte.

Neben den inhaltlichen Entdeckungen sollen die Schüler Regeln erarbeiten, die für die Arbeit mit dem Ranger im Team notwendig sind. Falls Probleme mit der Anwendung des Rangers auftreten sollten, wird den Teams aufgetragen, Anleitungen zur Bedienung des Rangers zu gestalten, diese sich gegenseitig vorzustellen und in ihrem Forscherheft festzuhalten.

Um eine Basis zur fachgerechten verbalen Verständigung zu haben, werden anschließend gemein­sam Fachbegriffe erarbeitet und in einem Wortspeicher festgehalten. So können die Schüler auch bei den folgenden Aufgaben Beobachtungen und Begründungen allgemeingeltend formulieren.

- Die x-Achse und die y-Achse bilden gemeinsam das Koordinatensystem.
- Die x- Achse ist waagerecht und misst die Zeit in Sekunden.
- Die y-Achse ist senkrecht und misst den Abstand vom Gerät zum Objekt oder Menschen, welcher am nächsten vor dem Ranger liegt.
- Die Linie, die die Messdaten des Rangers darstellt, wird Graph genannt.
- Die Werte der x-Achse und Werte der y-Achse sind in gleich große Abstände aufgeteilt.

Bei der anschließenden Bearbeitung der Aufgabe „Was passiert, wenn...?“ sollen die Schüler vor­gegebene kurze Handlungen vor dem Ranger durchführen und den Graphen in ein einfaches Ko­ordinatensystem einzeichnen. Durch Anweisungen wie „Stelle dich 2 Meter vom Ranger entfernt auf...“ werden sie im Bereich Größen und Messen sowie Raum und Form gefördert, indem sie Längen schätzen und den erfahrbaren realen Abstand mit der graphischen Repräsentation der ein­zelnen Längen verbinden müssen (siehe Kap. 3.2.).

Hier sollen u.a. folgende Aussagen und Phänomene handlungsorientiert herausgearbeitet werden:

- Die Auswirkung der Bewegungsrichtung zum Ranger zeigt sich durch Fallen oder Steigen des Graphs (geht man näher an ihn heran, fällt der Graph, entfernt man sich, so steigt der Graph).
- Die Auswirkung von keinerlei Bewegung (gerader, waagerechter Graph).
- Die Auswirkung der Geschwindigkeit der Bewegungen auf den Graphen (steile oder flache Stei­gung, steiler oder flacher Fall des Graphs).

Diese Arbeitsphase besteht aus gelenkten Aufgaben. Sie sind jedoch bedeutsam, um ein allgemei­nes Grundverständnis aufzubauen, das die Basis für alle darauffolgenden Aufgaben darstellt.

Neben dem Aufgabentypus bekommen die Schüler zudem Gelegenheit selbst Handlungsanwei­sungen zu schreiben, diese praktisch zu erproben und den passenden Graphen aufzuzeichnen. Die­se freie Aufgabe soll die Schüler motivieren, indem sie eigenständig für sie wichtige Situationen erfinden und erproben. Im Nachhinein werden einige Situationen vorgestellt, damit die Schüler einen möglichst großen Erfahrungsschatz zu Graphen verschiedener Handlungen entwickeln.

Als Zusatz wird die Frage angeführt, was für ein Graph entstehen würde, wenn zwei Personen hintereinander vor dem Ranger stünden und die hintere nach hinten und vorne laufen würde. Diese Problemaufgabe soll noch einmal verdeutlichen, wie der Ranger (unsichtbar) misst.

2. Einheit: Basis Verknüpfung von Handlung und Graph

Die zweite Einheit beginnt mit der gemeinsamen Erstellung einer Übersicht zum Ranger mithilfe eines Plakates. Jeder Schüler schreibt auf kleine Zettel, was er bereits über den Ranger weiß und was für ihn bedeutsam ist. Diese Zettel werden zu einer gemeinsamen Mindmap zusammengefügt, welche im Laufe der Sitzungen durch weitere Zettel ergänzt werden kann. Somit bekommen die Schüler einen Überblick über die Facetten des Rangers, der nach und nach erweitert wird. So se­hen die Schüler, was sie alles bereits herausgefunden haben.

Die zweite Aufgabe steht im Gegensatz zu der vorherigen Aufgabe, da die Blickrichtung geändert wird. Dies geschieht, um den Graphen multiperspektivisch zu erfassen. Die Schüler müssen in ihren Teams überlegen, welche Handlungen erfolgten, um einen Graphen entstehen zu lassen. Nach der Diskussion und dem Notieren ihrer Vermutung folgt die Überprüfung am Ranger.

Ziel der zweiten Phase ist es, das Basisverständnis der Schüler zu festigen, indem sie erkennen, wie ihre Handlung und der Graph zusammen wirken, um typische Fehler einer bildlichen Orientie­rung (siehe Kap. 2.2.) zu vermeiden. Auch diese Aufgabe ist keine typische Forscheraufgabe, da sie relativ geschlossen ist. Sie regt jedoch den kommunikativen Austausch innerhalb des Teams an und erfordert Flexibilität im Denken durch die multiperspektive Herangehensweise.

Durch das darauffolgende Erfinden weiterer Aufgaben desselben Typs, welche die Teams sich danach gegenseitig stellen, und dem Überprüfen durch das Gespräch in der Gruppe sowie durch das Erproben am Ranger wird besonders der Kompetenzbereich Problemlosen angesprochen. Die Schüler betrachten den Graphen bereits in Ansätzen dynamisch (Änderungsaspekt, siehe Kap.2.3. ), indem Handlungen mit dem Erscheinungsbild des Graphen verknüpft werden.

Zum Ende findet ein Reflexionsgespräch statt, bei dem gemeinsam über eventuelle Probleme etc. gesprochen wird.

3. Einheit: Graphen zeichnen und nachlaufen

Die dritte Einheit behandelt das Zeichnen und Nachlaufen von Graphen. Diese Aufgabenart ist übernommen von einem Video der Marke Vernier^[4].

[...]

---

^[1] Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird in der Arbeit die männliche Form „Schüler" gewählt. Die weibliche Form wird dabei stets mit bedacht.

^[2] Dies ist kostenlos unter folgendem Link möglich: http://education.ti.com/calculators/products/DEUTSCHLAND/loan/

^[3] Unter dem Begriff „Einheit“ wird eine eingegrenzte Sinneinheit (Thema und Ziel) verstanden und ist daher nicht gleichzusetzen mit einer Unterrichtsstunde. Je nach dem Leistungsvermögen und Einfällen der Schüler kann diese flexibel verlängert oder verkürzt werden.

^[4] Vgl. www.vernier.com/experiments/ewv/21/e-motion/ (letzter Zugriff am 22.04.2012)