Langplanung zur Berechnung des Kreisdurchmessers. Unterrichtsentwurf an einer Förderschule mit dem Förderschwerpunkt Lernen

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1. Sachanalyse
1.1 Der Kreis
1.2 Die Kreiszahl
1.3 Der Kreisumfang

2. Bedingungsanalyse
2.1 Schule und Situation der Anwärterin
2.2 Klasseninterne Bedingungen
2.3 Individuelle Lernvoraussetzungen der Einzelschüler in Bezug auf die geplante Unterrichtsstunde

3. Didaktische Analyse
3.1 Fachdidaktische Überlegungen
3.2 Begründung der Themenauswahl
3.2.1 Begründung in Bezug auf die Lebensbedeutsamkeit der Schüler
3.2.2 Begründung am Lehrplan
3.3 Didaktische Reduktion

4. Kompetenzen
4.1 Überblick über die Unterrichtseinheit „Übungseinheit zur Formel des Kreisumfangs“
4.2 Zentrales Anliegen
4.3 Teilkompetenzen

5. Methodische Analyse

6. Verlauf

7. Literatur

8. Anhang

Vorwort

In der Lehrprobenstunde vom 16.03.2012 im Unterrichtsfach Mathematik erhalten die Schüler die Möglichkeit, ihr Wissen zur Berechnung des Kreisumfangs unter Anwendung der Kreisumfangsformel in Einzelarbeit zu wiederholen und zu festigen.

In der Einführungsstunde der Unterrichtseinheit wurden mit den Schülern die Bestandteile des Kreises sowie die Relation zwischen Durchmesser und Radius ebenso wie die Messung des Kreisumfangs mit Hilfe realer Gegenstände wiederholt. Die den Schülern bereits bekannte Zahl ebenfalls wiederholend thematisiert. Danach wurde die Formel für die Kreisberechnung eingeführt. Abschließend wurde ein ausgewähltes Beispiel mit den Schülern im Plenum besprochen, um die Berechnung des Kreisumfangs mit Hilfe der Formel zu demonstrieren. Hierbei wurde der Begriff der Skizze rekonstruiert.

In der darauffolgenden Unterrichtsstunde wurden nochmals die Formeln zum Kreisumfang, zum Durchmesser und zum Radius sowie die damit verbundenen Begrifflichkeiten thematisiert. Anschließend wurden im Plenum Aufgaben zur Berechnung des Kreisumfangs mit Hilfe der Formel gelöst. Die Schüler erhielten danach die Möglichkeit, ihre Fragen zu stellen.

Die dritte Stunde dient als Übungsstunde, in der die Schüler anhand differenzierter Aufgabenstellungen den Kreisumfang unter Anwendung der Kreisumfangsformel selbstständig in Einzelarbeit berechnen.

Bei Bedarf wird die Einzelarbeit in der daran anschließenden Unterrichtsstunde weitergeführt und beendet.

In den darauffolgenden Stunden wird die Anwendung der Kreisumfangsformel auf Sachaufgaben erweitert. Die Sachaufgaben werden ebenfalls im Plenum erarbeitet und in differenzierter Einzelarbeit vertieft.

Die Unterrichtseinheit wird mit umfassend wiederholenden Aufgabenstellungen abgeschlossen. Die Schüler erhalten somit Gelegenheit, ihr Wissen zu wiederholen und zu vertiefen. Daran anschließend erfolgt mit der gesamten Klasse eine Reflexionsrunde über die gesamte Unterrichtseinheit.^[1]

1. Sachanalyse

1.1 Der Kreis

Ist ein Punkt der Ebene ε und eine Streckenlänge gegeben, dann heißt die Punktmenge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Kreis um den Mittelpunkt mit dem Radius . Die Punktmenge[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißt Inneres des Kreises ; die Punktmenge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißt Äußeres des Kreises.² Die Gerade durch zwei verschiedene Punkte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißt Sekante, die Strecke auf der Sekanten heißt Sehne des Kreises. Eine Sekante, die durch den Kreismittelpunkt verläuft, heißt Zentrale, die dazugehörige Sehne beschreibt den Durchmesser.³ Eine Gerade durch die Punkte für die gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]heißt Tangente. Der Punkt mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißt Berührpunkt.^[4]

1.2 Die Kreiszahl

Die Kreiszahl wird mit dem griechischen Kleinbuchstaben des Wortes „periferia“, welches übersetzt „Randbereich“ bedeutet, abgekürzt. ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs zu seinem Durchmesser beschreibt:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Dieses Verhältnis ist unabhängig vom Radius .^[5] Aus der Darstellung lässt sich ableiten, dass die in Metern gemessene Länge des Umfangs eines Kreises ist, der über einen Durchmesser von einem Meter verfügt.^[6] Die Kreiszahl ist transzendent-irrational und besitzt unendlich viele nicht periodische Nachkommastellen. So stellt sich eine rationale Näherung für wie folgt dar: .^[7]

1.3 Der Kreisumfang

Der Kreisumfang entspricht der Länge der Peripherie.^[8] Seine Berechnung wird durch die ihm eingeschriebenen regelmäßigen Vielecken angenähert. Der Umfang eines eingeschrieben Vielecks ist stets kleiner als der Kreisumfang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].^[9] Je größer die Anzahl der Eckpunkte des regelmäßigen - Ecks ist, umso mehr nähert sich das - Eck einem Kreis, sein Umkreis und der Umfang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des regelmäßigen Vielecks nähert sich dem Umfang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Kreises.^[10] Bei unbegrenzt wachsendem nähert sich der bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stehende Faktor der Konstante . Für ergibt sich daher für den Kreisumfang: .^[11]

2. Bedingungsanalyse

2.1 Schule und Situation der Anwärterin

Die A-Schule ist eine von drei Förderschulen mit dem Förderschwerpunkt Lernen im Landkreis. Die Schulleitung liegt bei Frau X, deren Vertretung bei Frau Y. Derzeit wird die Schule von rund 100 Schülern in acht teils jahrgangsübergreifenden Klassen besucht. Das Einzugsgebiet der A-Schule B-Stadt erstreckt sich auf die Gemeinden B-Stadt, C-Dorf und D-Heim. Die übrigen Gemeinden sind der B-Schule in S-Dorf sowie der S-Schule in M-Dorf zugeteilt. Die A-Schule liegt im Stadtteil E-Hausen. Die Anwärterin ist seit Februar 2011 mit ihrer ersten Fachrichtung montags und freitags an der A-Schule eingesetzt. Sie unterrichtet seit dem neuen Schuljahr in der jetzigen Klasse neun die Fächer Erdkunde, Sozialkunde, Geschichte, Mathematik und Deutsch im eigenverantwortlichen Unterricht. Die Klassenleitung liegt bei Herrn G. Betreut wird die Anwärterin in der Fachrichtung Lernen von Herrn V. In der zweiten Fachrichtung, „emotionale und soziale Entwicklung“ unterrichtet die Anwärterin dienstags und donnerstags an der W-Schule in W-Stadt in der neunten Klasse die Fächer Arbeitslehre, Ethik und Deutsch. Die Fachleitung dieser Fachrichtung liegt bei Frau T.

2.2 Klasseninterne Bedingungen

Die Zusammensetzung der Klasse neun hat sich im Vergleich zum letzten Schuljahr dadurch verändert, dass J.F. zum laufenden Schulhalbjahr neu in die Klasse kam. Zurzeit besteht die Klasse neun aus sieben Schülerinnen und acht Schülern. Die Klassenleitung liegt, wie im letzten Schuljahr auch, bei Herrn X. Das Klassenklima ist allgemein als positiv zu bewerten. Die Schüler pflegen einen kameradschaftlichen Umgang und verstehen sich als eine Klassengemeinschaft. Viele der Schüler helfen sich im Unterricht gegenseitig. Die Klassenregeln wurden von der Anwärterin im letzten Schuljahr gemeinsam mit den Schülern erarbeitet und in der Klasse veröffentlicht. Ebenso wurde gemeinsam mit der Klasse das Konsequenzsystem eingeführt. Nach einmaligem Hinweis auf das Fehlverhalten erhält der Schüler die gelbe Karte. Sollte danach erneut ein Fehlverhalten auftreten, erhält der Schüler die gelb-rote Karte. Als Konsequenz reflektiert der Schüler sein Verhalten anhand des Verhaltensbogens. Sollte auch nach Erhalt der gelb-roten Karte wiederholt ein Fehlverhalten gezeigt werden, erhält der Schüler die rote Karte und wird vom Klassenunterricht ausgeschlossen. Als positive Verstärkung können die Schüler im Unterricht der Anwärterin alle drei Stunden einen Smiley erwerben (drei Wochen lang). Dieser wird bei überdurchschnittlicher Einhaltung der Klassenregeln vergeben. Nach fünf erhaltenen Smileys erhält der Schüler die Möglichkeit, sich an der Belohnungsbox zu bedienen, in welcher sich Hausaufgabengutscheine, Zeitschriften oder Süßigkeiten befinden. Die Sitzordnung wurde von den Schülern im neuen Schuljahr selbst gewählt (vgl. Anhang A1, S. 21). Lediglich S wurde der Sitzplatz vom Klassenlehrer vorgegeben, da sie schnell auf äußere Reize reagiert. J.N. und R. zeigen derzeit phasenweise Verweigerungsverhalten. Im Gegensatz zu R. lässt sich J.N. meist durch positive Unterstützung zum Arbeiten motivieren. Das Leistungsniveau der Klasse ist stark tagesformabhängig.

2.3 Individuelle Lernvoraussetzungen der Einzelschüler in Bezug auf die geplante Unterrichtsstunde

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Didaktische Analyse

3.1 Fachdidaktische Überlegungen

Oberstes Ziel im Mathematikunterricht ist die Vermittlung von Qualifikationen, die es den Schülern ermöglichen, ihr zukünftiges Leben zu bestreiten. Die Erschließung der Lebenswelt stellt einen der wichtigsten Zielaspekte des Geometrieunterrichts dar.^[12] Die Schüler sollen für geometrische Formen und den Umgang mit diesen sensibilisiert werden und somit ihre Umwelt bewusst wahrnehmen. Auch die Entwicklung von wissenschaftlichen Denk- und Arbeitsweisen, das Verbalisieren und Hinterfragen von Begrifflichkeiten^[13]sowie das Kennenlernen der mathematischen Sprache^[14] sind im Geometrieunterricht bedeutsam. Wichtige Tätigkeiten in der Geometrie sind das Konstruieren und das Messen. Die Grundlage zur Konstruktion eines Kreises bilden die klassischen Konstruktionswerkzeuge Zirkel und Lineal.^[15] Die Kreiskonstruktion sollte mit den Schülern ausgiebig geübt werden^[16]. Das Messen stellt die Grundlage für die Berechnung des Kreisumfangs dar, da hier die Begrifflichkeiten sowie die Längenrelationen zwischen Radius und Durchmesser herausgestellt werden. Vor dem Einführen der Formel sollten die Schüler Messungen zum Kreisumfang anhand lebensbedeutsamer Gegenstände selbstständig durchführen.^[17] Um das Messen von gekrümmten Formen in eine direkt-gerade Kreislinie zu überführen, sind drei Durchführungen möglich: 1.das Aufbiegen des Kreises, 2. das Abrollen des Kreises und 3. das Ersetzen des Streckenzugs.^[18] Hierbei ist zu beachten, dass die zu messenden Gegenstände aus der Lebenswelt der Schüler stammen. Der Zusammenhang zwischen Umfang und Durchmesser kann mit den Schülern tabellarisch erarbeitet werden. Dieser Zusammenhang beschreibt die Kreiszahl , die als Grundlage für die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs dient. Bei der Darbietung von Skizzen sollte den Schülern der Unterschied zu den realen Gegenständen bekannt sein. Skizzen sollten den Schülern visuelle Anreize bieten. Berechnungen des Kreisumfangs unter Anwendung der Formel können mit Taschenrechner oder ohne diesen durchgeführt werden. Der Einsatz des Taschenrechners im Mathematikunterricht ist umstritten und sollte wenn nur als Hilfsmittel eingesetzt werden.^[19] Nach Wember^[20] stellt die Orientierung an der Lebenswelt der Schüler das Prinzip des praktischen Problembezugs im Unterricht der Förderschule mit dem Förderschwerpunkt Lernen dar. Den Schülern werden in der Stunde differenzierte Arbeitsblätter angeboten, welche sich am Entwicklungsstand des jeweiligen Schülers orientieren. Dementsprechend werden auch unterschiedliche fachliche Kompetenzen formuliert. Dies entspricht dem Prinzip der entwicklungsgemäßen Sequenzierung von Unterrichtsinhalten und Lehrzielen. Außerdem wird das Prinzip des operativen Übens berücksichtigt, in dem die Schüler wiederholende und vertiefende Angebote zu den bereits erarbeitenden Inhalten erhalten. Durch die selbstständige Arbeitsphase erhalten die Schüler die Möglichkeit, sich aktiv mit den Aufgabenstellungen auseinanderzusetzen. Das Prinzip der schrittweisen Verinnerlichung findet sowohl in der Hinführung zur Arbeitsphase (Arbeitsauftrag im Einstieg lesen und wiederholen lassen) (vgl. Anhang A4, S. 24) als auch in der Arbeitsphase selbst (bildliche Vorstellungen, abstrakt-symbolische Vorstellungen) Berücksichtigung. Die Unterrichtsinhalte werden den Schülern in vereinfachter Sprache dargeboten. Dieses Vorgehen entspricht dem Prinzip der Sprache der Schüler.^[21]

3.2 Begründung der Themenauswahl

3.2.1 Begründung in Bezug auf die Lebensbedeutsamkeit der Schüler

Kreisförmige Gegenstände begegnen den Schülern täglich in ihrem Alltag. Diese werden jedoch von den meisten nicht unmittelbar wahrgenommen. Die Kreiskonstruktion sowie die Berechnung des Umfangs unter Anwendung der Formel fördert die Wahrnehmung der Schüler und somit die Erschließung ihrer Lebenswelt. Die mathematischen Rechnungen sollen in Situationen des Alltags übertragen werden, um so die Schüler zu einem selbstständigen Leben zu befähigen. Ein weiterer Schwerpunkt innerhalb der Begründung der Themenauswahl liegt auf der Entwicklung mathematischer Denk- und Arbeitsweisen, insbesondere auf dem Umgang mit mathematischen Formeln. Der qualifizierte und sachgemäße Umgang mit Formeln wird für die Schüler innerhalb ihres schulischen bzw. beruflichen Werdegangs, auch im Hinblick auf den Hauptschulabschluss im kommenden Schuljahr, weiterhin von Bedeutung sein. Sowohl das eigenständige Messen von Längen als auch das Rechnen ohne Taschenrechner soll die Schüler dahingehend qualifizieren unabhängig zu agieren. Sie sollen in der Lage sein, Probleme des Alltags eigenständig zu bewältigen.

3.2.2 Begründung am Lehrplan

In Anlehnung an die Umfangsberechnungen von Rechtecken im letzten Schuljahr wird jetzt der Kreisumfang im Unterricht thematisiert. Das Thema der Stunde findet sich im Lehrplan Mathematik für die Förderschule Lernen unter dem Punkt 8.4 „Geometrie“ Baustein 8.4.1 „Kreisförmige Flächen, Kreisumfang“ wieder.^[22]Hierzu zählt, dass die Schüler die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs kennen und diese anwenden.

3.3 Didaktische Reduktion

In Anlehnung an das Unterrichtsprinzip der schrittweisen Verinnerlichung und der entwicklungsgemäßen Sequenzierung von Unterrichtsinhalten und Lehrzielen^[23] wurde nur die Notierung der Formel eingeführt. Außerdem wird bei den Berechnungen des Kreisumfangs für der rationale Zahlenwert 3,14 gebraucht und in den Skizzen der Mittelpunkt jeweils vorgegeben. In den Aufgabenstellungen findet stets die Längeneinheit „cm“ Berücksichtigung. Auf den Einsatz des Taschenrechners wird verzichtet, da die Schüler so Gelegenheit erhalten, die schriftliche Multiplikation und Division zu wiederholen und zu festigen. Für den Mittelpunkt , den Radius und den Durchmesser werden stets die Farben rot, blau und grün verwendet. In Anlehnung an das Prinzip der Sprache des Schülers^[24] wird auf die Fachtermini w. z. B. Peripherie verzichtet. Das Anwenden der Kreisumfangsformel stellt den Schwerpunkt der heutigen Unterrichtsstunde dar. Die eigenständige Erstellung der Formeln zur Berechnung des Kreisumfangs sowie des Radius finden nur in der Differenzierungsstufe rot Berücksichtigung. Auf das Runden der Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen wird derzeit verzichtet.

4. Kompetenzen

4.1 Überblick über die Unterrichtseinheit „Übungseinheit zur Formel des Kreisumfangs“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2 Zentrales Anliegen

Die Schüler wiederholen und festigen ihr Wissen zur Berechnung des Kreisumfangs unter Anwendung der Formel in Einzelarbeit.

4.3 Teilkompetenzen

Sachlich-fachliche Kompetenzen: Die Schüler

- lesen sinnentnehmend den Arbeitsauftrag an der Tafel.
- verbalisieren den Arbeitsauftrag in eigenen Worten.
- lösen die Einstiegsaufgabe:
- nennen die Abkürzungen für Mittelpunkt, Radius oder Durchmesser bzw. schließen von der Abkürzung M, r, d auf den gesuchten Begriff.
- geben die gesuchte Formel zur Berechnung von Radius, Durchmesser bzw. Kreisumfang an.
- geben den Zahlenwert von bzw. dessen Sprechweise an.
- geben das Verhältnis der Länge zwischen Durchmesser und Radius an.
- berechnen auf der Grundlage von Radius/Durchmesser den Durchmesser/Radius.

- bearbeiten die Pflichtaufgabe grün:

- markieren in der Skizze den Mittelpunkt, den Radius sowie den Durchmesser farbig.
- messen den Durchmesser (natürliche Zahl) und notieren ihr Ergebnis.
- konstruieren einen Kreis unter Vorgabe des Radius.
- zählen die konstruierten Kreise.
- vermuten den größten Kreisumfang und kennzeichnen diesen Kreis durch die Markierung des Mittelpunkts, des Radius und des Durchmessers.

- berechnen den Kreisumfang:

- vervollständigen die vorgegebene Formel und setzen für d korrekt ein.
- multiplizieren eine rationale und eine natürliche Zahl schriftlich.

- bearbeiten die Pflichtaufgabe gelb:

- markieren in der Skizze den Mittelpunkt, den Radius sowie den Durchmesser farbig.
- messen den Durchmesser (natürliche bzw. rationale Zahl) und notieren ihr Ergebnis.
- berechnen den Radius auf der Grundlage des Durchmessers anhand der vorgegebenen Formel und konstruieren die Kreise:

- dividieren zwei natürliche nicht teilerfremde Zahlen.
- zählen die konstruierten Kreise und benennen die entstandene Form.
- vermuten den größten Kreisumfang und kennzeichnen diesen Kreis durch die Markierung des Mittelpunkts, des Radius und des Durchmessers.

- berechnen den Kreisumfang:

- notieren die Kreisumfangsformel anhand der vorgegebenen Rechenschritte korrekt und setzen für d korrekt ein.
- multiplizieren eine rationale und eine natürliche Zahl bzw. zwei rationale Zahlen.

- bearbeiten die Pflichtaufgabe rot:

- markieren in der Skizze den Mittelpunkt, den Radius sowie den Durchmesser farbig.
- messen den Durchmesser (rationale Zahl) und notieren ihr Ergebnis.
- zählen die konstruierten Kreise und benennen die entstandene Form.

- berechnen auf der Grundlage des Durchmessers den Radius unter Auswahl der korrekten Formel:

- dividieren zwei natürliche teilerfremde Zahlen bzw. eine rationale durch eine natürliche Zahl.
- konstruieren Kreise mit vorgegebenen Durchmesser durch Berechnung des Radius.

- berechnen den Kreisumfang:

- notieren die Formel und setzen ihre berechneten Werte in diese ein.
- multiplizieren zwei rationale Zahlen.

- bearbeiten die Knobelaufgabe grün/gelb/rot:

- zählen die Kreise der Skizze.
- vermuten den größten Kreisumfang und kennzeichnen diesen Kreis durch die Markierung des Mittelpunkts, des Radius und des Durchmessers.
- messen den Durchmesser (natürliche/ rationale/ rationale Zahl)

- berechnen den Kreisumfang:

- setzen korrekt in die Formel ein/ notieren die Formel unter Vorgabe der Rechenschritte korrekt/ notieren die Formel.
- multiplizieren eine rationale und eine natürliche/ zwei rationale/ zwei rationale Zahlen miteinander schriftlich.

Methodische Kompetenzen: Die Schüler

- befolgen die Anweisungen des Arbeitsauftrages.
- melden sich, wenn sie etwas sagen bzw. fragen möchten (permanent angestrebte Kompetenz).
- lassen einander ausreden (permanent angestrebte Kompetenz).
- entscheiden sich für ein Arbeitsblatt.
- Arbeiten und kontrollieren ihre Ergebnisse selbstständig.
- reflektieren ihre Arbeit.

Soziale Kompetenzen: Die Schüler

- hören einander zu (permanent angestrebte Kompetenz).
- halten sich an die Klassenregeln (permanent angestrebte Kompetenz).

5. Methodische Analyse

In der dargestellten Stunde liegt der methodische Schwerpunkt auf der Einzelarbeit. Nach Mattes^[25]beschreibt die Einzelarbeit eine Phase im Unterricht, in der die Schüler selbstständig eine Aufgabenstellung bearbeiten. Sie ist u. a. für Übungseinheiten geeignet^[26]und fördert die Konzentrationsfähigkeit sowie die Selbstständigkeit. Diese stellen Schlüsselqualifikationen für das Berufsleben dar und sind deshalb für die Schüler der neunten Klasse von enormer Bedeutsamkeit. Zusätzlich bietet Einzelarbeit die Möglichkeit, dass jeder Schüler seinem Lerntempo entsprechend arbeiten kann.^[27]Berücksichtigt werden muss jedoch auch der Fall, dass manche Schüler mit der Bearbeitung ihrer Arbeitsaufträge frühzeitig fertig werden. Hierzu ist es notwendig, dass Zusatzangebote (Knobelaufgaben) bereitgestellt werden.^[28]In der dargestellten Stunde wird die Methode der Einzelarbeit sowohl im Unterrichtseinstieg als auch in der Übungsphase eingesetzt. Ausschlaggebend hierfür ist die Orientierung am jeweiligen individuellen Leistungsstand des Schülers.^[29]

[...]

---

^[1] Zugunsten besserer Lesbarkeit wird in den Ausführungen bei allgemeinen Aussagen über die Schülerinnen und Schüler auf die männliche Form zurückgegriffen. Die weibliche Form ist gedanklich ausdrücklich miteinbezogen.

^[2] vgl. Roth 2009, S. 283

^[3] vgl. Roth 2009, S. 283

^[4] vgl. Stöcker 2007, S. 80

^[5] vgl. Engel 2006, S. 169

^[6] vgl. Delahaye 1999, S. 18

^[7] vgl. Endner 2007, S. 74

^[8] vgl. Wendeler 2007, S. 317

^[9] vgl. Grillmayer 2009, S. 46

^[10] vgl. Wendeler 2007, S. 317

^[11] vgl. Wendeler 2007, S. 317

^[12] vgl. Weigand 2009, S. 17

^[13] vgl. Vollrath 2001, S. 22

^[14] vgl. Vollrath 2001, S. 16

^[15] vgl. Vollrath 2001, S. 55

^[16] vgl. Franke 2001, S. 188

^[17] vgl. Groß 2008, S. 4

^[18] vgl. Groß 2008, S. 4

^[19] vgl. Woolfolk 2008, S. 368

^[20] vgl. Wember 2007, S. 84

^[21] vgl. Wember 2007, S. 84

^[22] vgl. Fachdidaktische Kommission Rheinland-Pfalz zur Überarbeitung des Lehrplans Mathematik der Förderschule Lernen 2008, S. 210

^[23] vgl. Wember 2007, S. 84

^[24] vgl. Wember 2007, S. 84

^[25] vgl. Mattes 2010, S. 28

^[26] vgl. Drumm 2007, S. 19

^[27] vgl. Mattes 2010, S. 28

^[28] vgl. Drumm 2007, S. 21

^[29] vgl. Steindorf 2000, S. 160