Mathematische Kenntnisse sind nicht nur für Mathematiker und Naturwissenschaftler nützlich und notwendig. Auch für Wirtschaftswissenschaftler ist die Mathematik die Sprache in der sie viele ihrer Modelle und Phänomene beschreiben und erklären. Essentielle Bestandteile der Mathematik sind Sätze und Beweise. Erst ein widerspruchsfreier Beweis macht einen Satz zum Satz und verleiht ihm Allgemeingültigkeit. In der Mathematik gibt es drei grundlegende Beweisverfahren:
– der direkte Beweis
– der indirekte Beweis
– und der Beweis durch vollständige Induktion.
Letzterer findet für verschiedene Problemstellungen der Form „für alle natürlichen Zahlen gilt“ Anwendung. Er besteht aus einem Induktionsanfang und einem Induktionsschritt, indem der eigentliche Beweis folgt. Er hat strengen formalen Kriterien zu folgen, um allgemeine Anerkennung zu erhalten.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Aufgabenstellung und Zielsetzung
1.2 Aufbau der Arbeit
2 Mathematik: Wissenschaft, Sprache und Schlüsselfähigkeit
2.1 Mathematik: Eine Wissenschaft
2.2 Mathematik: Eine Sprache
2.3 Mathematik: Eine Schlüsselkompetenz
3 Einführung in die mathematische Beweisführung
3.1 Warum sind mathematische Beweise notwendig
3.2 Wie ist ein mathematischer Beweis aufgebaut
3.3 Was ist das Ziel eines mathematischen Beweises
4 Mathematische Beweisverfahren
4.1 Der direkte Beweis
4.2 Der indirekte Beweis
4.3 Beweis durch vollständige Induktion
5 Anwendungsmöglichkeiten der vollständigen Induktion
5.1 Anwendungsgebiet 1: Summen- und Produktwerte
5.2 Anwendungsgebiet 2: Teilbarkeit von natürlichen Zahlen
5.3 Anwendungsgebiet 3: Sonstiges
6 Vollständigen Induktion, Für und Wider
7 Fazit und Ausblick
A Peano Axiome
B Beweis Bernoulli-Ungleichung
Zielsetzung & Themen
Die Hausarbeit hat zum Ziel, die Relevanz mathematischer Beweisverfahren, insbesondere der vollständigen Induktion, für Studierende der Wirtschaftswissenschaften aufzuzeigen und ein grundlegendes Verständnis für die logische Argumentationsstruktur in der Mathematik zu vermitteln.
- Bedeutung der Mathematik als Sprache und Wissenschaft
- Struktur und Notwendigkeit mathematischer Beweise
- Definition und Anwendung direkter und indirekter Beweisverfahren
- Detaillierte Analyse des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion
- Kritische Reflexion über die Anwendbarkeit und Grenzen der Induktion
Auszug aus dem Buch
3.1 Warum sind mathematische Beweise notwendig
Zu Beginn dieses Abschnitts soll kurz erläutert werden welchen Stellenwert das Beweisen in der Mathematik hat und was ein mathematischer Beweis überhaupt ist. Daran wird deutlich, warum Beweise in dieser Wissenschaft überaus wichtig oder sogar essentiell sind, wie zahlreiche Autoren mathematischer Fachliteratur anführen.
Ein mathematischer Beweis ist die auf bereits bewiesenen Sätzen oder Axiomen basierende, widerspruchsfreie und formalen Anforderungen folgende Herleitung und Argumentation einer wahren Aussage, die als solche anerkannt wird.
Mathematische Beweise sind absolut notwendig und zentraler Bestandteil der Mathematik, da sie nach Arens et al. (2010, S. 22) „Kern und Wesen“ der Wissenschaft darstellen und zugleich deren wichtigste und anspruchsvollste Tätigkeit sind, wie es Brunner (2015, V) ausführt. Daneben sind Beweise nach Brunner (2014, S. 12) auch Träger von Wissen, Strategien und Methoden und besitzen durch ihr universell gültiges axiomatisches Regelwerk einen kulturumspannenden Charakter, durch den diese Wissenschaft ihre Erkenntnisse allen Menschen unabhängig ihrer kulturellen Herkunft zugänglich macht.
Sätze und Beweise sind, wie Arens et al. (2010, S. 14) schreiben, die zentralen Bestandteile der Mathematik. Der Satz ist dabei die Komponente, die als Werkzeug und zentraler Inhalt fungiert, während der Beweis die Komponente darstellt, die den Satz zum Satz macht, wie Brunner (2014, S. 17) schreibt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Einleitung in die Aufgabenstellung, Zielsetzung sowie den formalen Aufbau der Arbeit.
2 Mathematik: Wissenschaft, Sprache und Schlüsselfähigkeit: Darstellung der Mathematik als eigenständige Wissenschaft, universelle Sprache und essenzielle Kompetenz für verschiedene Disziplinen.
3 Einführung in die mathematische Beweisführung: Erläuterung der Notwendigkeit von Beweisen, ihres formalen Aufbaus und der mit ihnen verfolgten Ziele.
4 Mathematische Beweisverfahren: Definition und beispielhafte Anwendung der drei grundlegenden Verfahren: direkter Beweis, indirekter Beweis und vollständige Induktion.
5 Anwendungsmöglichkeiten der vollständigen Induktion: Vorstellung praktischer Anwendungsgebiete wie Summen-, Produktwerte und Teilbarkeitsregeln für natürliche Zahlen.
6 Vollständigen Induktion, Für und Wider: Kritische Auseinandersetzung mit der methodischen Stärke und den Limitationen der vollständigen Induktion in der mathematischen Literatur.
7 Fazit und Ausblick: Zusammenfassende Betrachtung der erarbeiteten Ergebnisse zur Bedeutung mathematischer Beweisverfahren im wirtschaftswissenschaftlichen Kontext.
Schlüsselwörter
Mathematik, Beweisverfahren, Vollständige Induktion, Direkter Beweis, Indirekter Beweis, Logik, Axiome, Wirtschaftswissenschaften, Abstraktion, Mathematische Sprache, Beweisführung, Mathematische Sätze, Algorithmisches Denken, Beweismethode, Analytik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit primär?
Die Arbeit behandelt die grundlegende Bedeutung mathematischer Beweise als essenziellen Bestandteil wissenschaftlichen Arbeitens, besonders im Kontext wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Die Arbeit deckt die Rolle der Mathematik als Wissenschaft und Sprache, die Struktur mathematischer Beweise sowie spezifische Verfahren wie den direkten und indirekten Beweis und die vollständige Induktion ab.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, den Nutzen mathematischen Beweisens aufzuzeigen und das Verständnis für logische Argumentationsketten zu fördern, um Mathematik als bereicherndes Werkzeug im Studium zu etablieren.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Die Arbeit basiert auf einer Literaturanalyse und der strukturierten Darstellung sowie beispielhaften Anwendung grundlegender mathematischer Beweisverfahren.
Was bildet den inhaltlichen Schwerpunkt im Hauptteil?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung der Beweisführung und die detaillierte Vorstellung und Anwendung verschiedener Beweistechniken, mit einem Fokus auf die vollständige Induktion.
Welche Schlagworte charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Beweisverfahren, logische Argumentation, vollständige Induktion, mathematische Sprache und wissenschaftliche Kompetenz charakterisiert.
Wie unterscheidet sich die vollständige Induktion von anderen Verfahren?
Im Gegensatz zu direkten oder indirekten Beweisen basiert die vollständige Induktion auf dem Prinzip der Rekursion und ist speziell für Aussagen konzipiert, die für alle natürlichen Zahlen gelten.
Welche Kritikpunkte werden an der vollständigen Induktion geäußert?
Kritiker führen an, dass das Verfahren primär zum Beweisen bekannter Formeln dient, aber kaum hilft, neue Zusammenhänge oder Formeln selbstständig herzuleiten.
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- Thomas Wessinger (Author), 2016, Eine Einführung in das mathematische Beweisen anhand der vollständigen Induktion, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/337879
