Eine Einführung in das mathematische Beweisen anhand der vollständigen Induktion

Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung

Vorwort

Danksagung

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1Einführung

1.1Aufgabenstellung und Zielsetzung
1.2Aufbau der Arbeit

2Mathematik: Wissenschaft, Sprache und Schlüsselfähigkeit.
2.1Mathematik: Eine Wissenschaft
2.2Mathematik: Eine Sprache
2.3Mathematik: Eine Schlüsselkompetenz

3Einführung in die mathematische Beweisführung
3.1Warum sind mathematische Beweise notwendig
3.2Wie ist ein mathematischer Beweis aufgebaut
3.3Was ist das Ziel eines mathematischen Beweises

4Mathematische Beweisverfahren
4.1Der direkte Beweis
4.2Der indirekte Beweis
4.3Beweis durch vollständige Induktion

5Anwendungsmöglichkeiten der vollständigen Induktion
5.1Anwendungsgebiet 1: Summen- und Produktwerte
5.2Anwendungsgebiet 2: Teilbarkeit von natürlichen Zahlen
5.3Anwendungsgebiet 3: Sonstiges

6Vollständigen Induktion, Für und Wider.

7Fazit und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang

APeano Axiome

BBeweis Bernoulli-Ungleichung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kurzfassung

Mathematische Kenntnisse sind nicht nur für Mathematiker und Naturwissenschaftler nützlich und notwendig.Auch für Wirtschaftswissenschaftler ist die Mathematik die Sprache in der sie viele ihrer Modelle und Phänomene beschreiben und erklären.Essentielle Bestandteile der Mathematik sind Sätze und Beweise. Erstein widerspruchsfreier Beweismacht einen Satz zum Satz und verleiht ihm Allgemeingültigkeit. In der Mathematik gibt es drei grundlegende Beweisverfahren,

- der direkte Beweis
- der indirekte Beweis
- und der Beweis durch vollständige Induktion.

Letzterer findet für verschiedene Problemstellungen der Form „für alle natürlichen Zahlen gilt“ Anwendung. Er besteht aus einem Induktionsanfang und einem Induktionsschritt, indem der eigentliche Beweis folgt. Erhat strengenformalen Kriterien zu folgen, um allgemeine Anerkennung zu erhalten.

Schlüsselwörter: mathematische Beweisverfahren, vollständige Induktion, Mathematik als Sprache

Abstract

Mathematical knowledge is not only for mathematicians and scientists useful and necessary. Since mathematics areunderstood as a language as wellthey are beneficial for economists too. Additionally, it isthe language in which they describe and explain their models and phenomena. An essential part of mathematics are theorems and proofs, as only a proof turns a theorem into a theorem and makes it appreciated and accepted by the mathematical community. There are three kinds of proof methods,

- the direct proof,
- the indirect proof
- and the proof by mathematical induction.

The latter method is being applied for issues containing numbers in the form of „for all natural numbers is“. This method of proof consists out of an induction basis and an induction step in which the actual proof is made. This is subjected to strictly defined criteria that haveto be followed in order to reiceive general appreciation.

Keywords: mathematical proof methods, mathematical induction, mathematic as language

Vorwort

Mathematik ist eine Wissenschaft, die deutlich mehr als das Umherschieben von Zahlen und Formeln beinhaltet. Sie fungiert als Sprache über verschiedene wissenschaftliche Disziplinen hinweg und ermöglicht es Modelle und Phänomene in einer allgemein verständlichenund eindeutig definierten Weise zu beschreiben, Zusammenhänge aufzuzeigen und schlussendlich zu beweisen. Ein integraler Bestandteil dieser Wissenschaft ist das Beweisen. Verschiedene Autoren wie beispielsweise Arens et al. (2010, S. 22) beschreiben dies auch als Kern und Wesen der Mathematik. Leider wird diese Disziplin der Mathematik in verschiedenen Studiengängen vernachlässigt. Dabei kann das mathematische Beweisen seinen Anwendern mehr Lehren als lediglich Mathematik. Beispielsweise wird man beim Führen eines Beweises gezwungen einwandfrei und stringent logisch zu argumentieren, was nicht nur in der Mathematik eine wichtige Qualifikation darstellt. Natürlich erwartet niemand von einem Wirtschaftswissenschaftler ein vergleichbartiefes Wissen über mathematische Zusammenhänge wie von einem ausgebildeten Mathematiker. Grundlegendes Wissen, auch in einer abstrakten Disziplin wie dem Führen von Beweisen,hilft jedoch dabei Konzepte nicht nur stur anwenden zu können, sondern diese auch kritisch zu hinterfragen und auf andere Situationen adaptieren zu können.

Darum soll diese Hausarbeit grundlegende Prinzipien des Beweisens aufzeigen. Es ist nicht das Ziel dieser Ausarbeitung nach der Lektüre die Verfahren auf komplexe Probleme anwenden zu können.Dies bedarf ohnehin tiefergehende mathematische Kenntnisse, als dass was in Schulen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen vermittelt wird. Diese Hausarbeit soll einen Beitrag dazu leisten, dass die Mathematikvorlesung nicht mehr nur als Hürde, sondern als wichtiger Bestandteil eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiumswahrgenommen wird.

Danksagung

An dieser Stelle sollen auch einige Worte des Dankes gesprochen werden. Zunächst geht mein Dank natürlich an meinen Professor, der mir die Möglichkeit gab diese Hausarbeit zu schreiben. Außerdem möchte ich mich bei meinem guten Freund Manuel bedanken, der mir zahlreiche Lehrbücher zur Verfügung gestellt hat und mit dem ich über die vollständige Induktion fachsimpeln konnte. Zuletzt geht ein großer Dank an meinen guten Freund Tobias, der die Ausarbeitung ins Lektorat nahm.

Thomas Wessinger

Straubenhardt, den 23.05.2016

1 Einführung

Zu Beginn der Ausarbeitung soll die Aufgabenstellung und das Ziel der Arbeit beschrieben werden. Daneben soll auch auf denAufbau der Arbeit kurz eingegangen werden.

1.1 Aufgabenstellung und Zielsetzung

Ein solides mathematisches Grundverständnis ist eine absolute Notwendigkeit, auch für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. Die Mathematik repräsentiert eine interdisziplinäre Sprache, in der Modelle formuliert und definiert werden können. Auch die Wirtschaftswissenschaften sind zu diesen Disziplinen zu zählen. Dabei stellen Sätze und Beweise zwei Grundlegende Aspekte der Mathematik dar, deren Kenntnis enormere Vorteile hinsichtlich dem Verständnis von Konzepten bietet.

im Bachelor-Studiengang International Management an der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft stehen diese elementaren Bestandteile der Mathematik nicht im Lehrplan. Allerdings ist die Kenntnis über die Vorgehensweisen des mathematischen Beweisens, speziell über das Verfahren der vollständigen Induktion, eineQualifikation, die nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch darüber hinaus von Vorteil ist.

Dies macht es nötig dieses Grundwissen zu vermitteln und die mit diesem Wissen verbundenen Vorteile aufzuzeigen. Die Vermittlung dieses Grundwissens als Einstieg in das mathematische Beweisen, insbesondere am Beispiel der vollständigen Induktion ist das Ziel dieser Ausarbeitung sein.

1.2 Aufbau der Arbeit

Zunächst soll auf die Mathematik selbsteingegangen und ihr Verständnis als beweisende Wissenschaft dargestellt werden. Essoll erläutert werden, warum die Mathematik eine Sprache darstellt, die von verschiedenen Wissenschaften genutzt wird. Außerdem wird dargestellt warum Mathematik eine wichtige Kompetenz darstellt. Im Anschluss folgt eine Einführung in die mathematische Beweisführung, wobei darauf eingegangen werden soll, warum Beweise notwendig sind, wie diese aufgebaut sind und welche Ziele sie verfolgen. In einem weiteren Schritt sollen die einzelnen Beweismethoden definiert und kurz erläutert werden. Dabei handelt es sich um die direkte und die indirekte Beweismethode und um den Beweis durch vollständige Induktion.Zu jedem Verfahren wird ein kurzes Beispiel gegeben, wobei die Methode der vollständigen Induktion näher betrachtet wird. Danach folgt ein weiteres Kapitel über die Anwendungsbereiche dieser Beweismethode. Zum Abschlussfolgt eine kritische Betrachtung des Induktionsbeweises.

2 Mathematik: Wissenschaft, Sprache und Schlüsselfähigkeit.

Zu Beginn der Ausarbeitung wirdauf Mathematik im Allgemeinen eingegangen. Dabei wird das Verständnis der Mathematik als beweisende Wissenschaft herausgestellt. Es wird herausgestellt, dass die Mathematik einen kulturübergreifenden Sprachrahmen darstellt, in der die Naturwissenschaft und Teile der Geisteswissenschaften Modelle und Erkenntnisse definieren und erläutern. Abschließend wird in diesem Kapitel darauf eingegangen, warum ein fundiertes mathematisches Verständniseine Schlüsselqualifikation darstellt, die nicht nur im Rahmen der Mathematik notwendig ist.

2.1 Mathematik: Eine Wissenschaft

Die Mathematik ist eine eigene Wissenschaftsdisziplin wie beispielsweise Arens et al. (2010, S. 5) darstellen.Sie ist keine Naturwissenschaft wie beispielsweise die Physik oder Chemie, da sich diese mit Gegenständen der menschlichen Anschauung beschäftigen.Die Mathematik hingegen fokussiert sich auf Gegenständen des menschlichen Denkens selbst und versucht darin Zusammenhänge herzustellen. Anders als die Naturwissenschaften muss sich die Mathematik nicht um die Realität sorgen, da es sich bei ihren Aussagen um Gewissheiten handelt, die es in den Naturwissenschaften nicht gibt undauch nicht geben kann, wie Langemann et al. (2016, S. 23) feststellen.

Allerdings gehen Naturwissenschaften und Mathematik oft Hand in Hand. Wesentliche mathematische Erkenntnisse wurden dadurch gewonnen, dass Forscher naturwissenschaftliche Phänomene beobachteten und durch mathematische Relationen beschrieben. Dieser Fakt wird durch die Geschichte belegt, da über viele Jahrhunderte bedeutende Mathematiker auch bedeutende Naturwissenschaftler waren und umgekehrt,wie Arens et al. (2010, S. 4) treffend ausführen.Als Beispiele können hier Archimedes von Syrakus und Galileo Galilei genannt werden.

Die Mathematik wurde nicht immer als eigene Wissenschaft wahrgenommen und sah sich auch selbst nicht als solche. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts trat ein Veränderungsprozess in diesem Denken ein und die Mathematik begann sich als eigenständige Wissenschaft zu begreifen. Erste Forscher wie beispielsweise Cauchy und auch Weierstraß beobachteten keine naturwissenschaftlichen Phänomene mehr, sondern arbeiteten rein mathematisch, wie es beispielsweise bei Arens et al. (2010, S. 4) steht.

Heute verstehen sich, wie Arens et al. (2010, S. 4) ebenfalls herausstellen, Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure als eigenständige wissenschaftlichen Disziplinen.Allerdings verbindet siedie Mathematik, da sie als die Sprache fungiert in der sie ihre Ergebnisse formulieren und begründen können.Dieser Umstand weist darauf hin, dass Mathematik eine Sprache darstellt, die von verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen verstanden und verwendet wird, wie bei Brunner (2014, S. 22) zu lesen ist. Im folgenden Abschnitt soll darauf etwas näher eingegangen werden.

2.2 Mathematik: Eine Sprache

Mathematik ist die Sprache, die von verschiedenen Natur- und Geisteswissenschaften wie beispielsweise den Wirtschaftswissenschaften, zur Beschreibung und Begründung von Modellen und Phänomenen verwendet wird, wie beispielsweise Arens et al. (2010, S. 5) schreiben.Mathematik kann dabei verwendet werden um Resultate wissenschaftlich zu beschreiben und zu plausibilisieren. Darum stellt die Mathematik eine kulturübergreifende Sprache dar und erhältnach Brunner (2014, S. 22) eine kulturumspannende und kommunikative Bedeutung.Die formal-symbolische Sprachweise in der Mathematik verfasst wird und die einheitliche Verwendung des ihr zugrundeliegenden axiomatischen Regelwerkes sind von dersie verwendenden Kultur unabhängig.Damit ist sie kulturübergreifend zur Beschreibung und Erklärung von Modellen und Phänomenen, aus unterschiedlichen wissenschaftlichen Disziplinen universell verständlich, wie ebenfalls bei Brunner (2014, S. 22) zu lesen ist.

Da Mathematik und somit auch ihre Sprache strengen Regeln folgt und sie auf beweisbaren, logischen und unwiderlegbaren Sätzen und Axiomen aufgebaut und argumentiert ist, ist es möglich durch sie über die reine Mathematik an sich hinausgehende Kompetenzen zu erwerben und zu trainieren. Darauf soll im nächsten Abschnitt eingegangen werden.

2.3 Mathematik: Eine Schlüsselkompetenz

Die Mathematik ist nicht nur für Mathematiker wichtig. Diese Wissenschaft betrifft alle Menschen, da sie alle Lebensbereiche durchdringt und nahezu überall angekommen ist, sodass sie jeden direkt oder zumindest indirekt betrifft. Sowohl in der Telekommunikation, der Navigation, der Industrie, der Medizin, der Raumfahrt und auch bei Meinungsbefragungen kommt sie zum Einsatz, da sie eine die wissenschaftlichen Disziplinen übergreifende Sprache darstellt, wie Arens et al. (2010, S. 4 f.) angeben.

Ein solides mathematisches Verständnis ist auch für einen Wirtschaftswissenschaftler unverzichtbar.Viele Rechenoperationen werden beispielsweisevon Software-Lösungen durchgeführt, da sie wesentliche Vorteile in Geschwindigkeit und Präzision im Vergleich zum Menschen aufweisen. Allerdings sollte man, wie Arens et al. (2010, S. 5) schreiben einer Software nie blind vertrauen und Ergebnisse immer kritisch hinterfragen und auf Plausibilität prüfen. Hierzu ist es nötig die Rechnungen im Hintergrund zu verstehen um sie nachvollziehen zu können.

Als Beispiel können hier Web Analytics-Tools angeführt werden, die viele Rechnungen durchführen können und eine große Hilfe im beruflichen Alltag, beispielsweise in einer Marketing-Abteilung, darstellen. Dennoch ist es unabdingbar,Ergebnisse zu hinterfragen und Nachjustierungen vorzunehmen, was ohne ein generelles Verständnis der zugrundeliegenden mathematischen Logik nur schwer möglich ist. Es gibtzahlreiche weitere Beispiele und Situationen in denen Mathematik auch in den Wirtschaftswissenschaften Anwendung findet.Zahllose Modelle aus Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sind in der Sprache „Mathematik“ aufgebaut und beschrieben.

Mathematik ist mehr als bloßes Denken in abstrakten Formeln. Die Mathematik ist eine sehr kommunikationsintensive Disziplin, wie Langemann et al. (2016, S. 12 f.) ausführen,da hinter ihr streng logische Argumentationen stehen, die primär in menschlicher Sprache erdacht werden. Weiter führen sie aus, dass Argumentation einer der wichtigsten Bereiche der Mathematik ist.Die Fähigkeit des logischen Argumentierens ist eine Schlüsselfähigkeit, die im Berufsleben absolut notwendig ist.Dort wird es oft darum gehen stichhaltig argumentieren und überzeugen zu können.In dieser Hinsicht ist die Mathematik eine sehr gute Lehrmeisterin, da sie ihren Anwender zwingt logisch argumentativ vorzugehen. Dies gilt insbesondere auch bei Beweisen, wie Langemann et al. (2016, S. 25 ff.) ausführen.

Die Fähigkeit, das Wesentliche eines Problems zu erkennen und gelerntes darauf anwenden zu können indem man Gemeinsamkeiten erkennt die für dieLösung von Bedeutung sind nennt man Abstraktion. Diese Fähigkeit besitzt im wissenschaftlichen Arbeiten und auch darüber hinaus eine große Bedeutung. Die Mathematik ist auch für diese Fähigkeit eine gute Lehrmeisterin, denn sie ist unabdingbarer Bestandteil mathematischen Denkens und Arbeitens, wie Arens et al. (2010, S. 5) schreiben.Weiter wird dort ausgeführt, dass es ist nicht Sinn und Zweck ist lediglich Lösungsschemata auswendig zu lernen und anzuwenden, da sie, wie Langemann et al. (2016, S. 186) ergänzt,in den meisten Situationen nicht weiterhelfen können und es dann nötig ist ein Problem auf Basis von grundlegendem Verständnis zu betrachten um eine Lösung zu finden.

Dies war nur ein kleiner Auszug an Kompetenzen die durch die Beschäftigung mit Mathematik erworben und auf andere Bereiche abseits der Mathematik transferiert werden können. Gewiss gibt es weitere Beispiele, auf die im Rahmen dieser Ausarbeitung nicht weiter eingegangen werden soll und kann, da dies den Rahmen einer Hausarbeit sprengen würde. Es ging vielmehr darum zu zeigen, dass die Mathematik keine lästige Pflicht eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums ist, sondern ein wichtiger Teil davon der im Verlauf eines Studiums und auch danach von großem Nutzen ist.

3 Einführung in die mathematische Beweisführung

Im vorangegangenen Kapitel wurde erläutert, dass es sich bei der Mathematik um eine eigenständige Wissenschaft handelt. In diesem Kapitel wird dieses Verständnis dahingehend erweitert, dass es sich bei der Mathematik um eine beweisende Wissenschaft handelt, wie beispielsweise bei Arens et al. (2010, S. 14) und bei Langemann et al. (2016, S. 25) ausgeführt wird.Als solcheversteht sie sich auch, da siesich durch Beweise konstituiert, wie Brunner (2014, S. 12) schreibt. Dies wird auch daran ersichtlich, dass ein wesentliches Element der Mathematik Sätze darstellen, die erst durch einen Beweis zum Satz werden, wie bei Arens et al. (2010, S. 14 ff.) zu lesen ist.

Bevor im Folgenden auf die verschiedenen Beweisverfahren der Mathematik und dabei auf das Verfahren der vollständigen Induktion im Besonderen eingegangen wird, soll zunächst eine allgemeine Einführung in die mathematische Beweisführung erfolgen. Dabei soll erläutert werden, warum mathematische Beweise notwendig sind, wie ein mathematischer Beweis allgemein funktioniert und aufgebaut sein sollte und was das Ziel eines mathematischen Beweises ist.

3.1 Warum sind mathematische Beweise notwendig

Zu Beginn dieses Abschnitts soll kurz erläutert werden welchen Stellenwert das Beweisen in der Mathematik hat und was ein mathematischer Beweis überhaupt ist.Daran wird deutlich, warum Beweise in dieser Wissenschaft überaus wichtig oder sogar essentiell sind, wie zahlreiche Autoren mathematischer Fachliteratur anführen.

Ein mathematischer Beweis ist die auf bereits bewiesenen Sätzen oder Axiomen basierende, widerspruchsfreie und formalen Anforderungen folgende Herleitung und Argumentation einer wahren Aussage, die als solche anerkannt wird.

Mathematische Beweise sind absolut notwendig und zentraler Bestandteil der Mathematik, da sie nach Arens et al. (2010, S. 22) „Kern und Wesen“ der Wissenschaft darstellen undzugleich deren wichtigste und anspruchsvollste Tätigkeit sind, wie es Brunner (2015, V) ausführt. Daneben sind Beweise nach Brunner (2014, S. 12) auch Träger von Wissen, Strategien und Methoden und besitzen durch ihr universell gültiges axiomatisches Regelwerk einen kulturumspannenden Charakter, durch den diese Wissenschaft ihre Erkenntnisse allen Menschen unabhängig ihrer kulturellen Herkunft zugänglich macht.

Sätze und Beweise sind, wie Arens et al. (2010, S. 14) schreiben, die zentralen Bestandteile der Mathematik. Der Satz ist dabei die Komponente, die als Werkzeug und zentraler Inhalt fungiert, während der Beweis die Komponente darstellt, die den Satz zum Satz macht, wie Brunner (2014, S. 17) schreibt.^[1]

Unter einem Satz ist in der Mathematik eine wahre Aussage zu verstehen, die aus wahren Aussagen hergeleitet oder auf Axiome zurückgeführt werden kann, wie beispielsweise Dieser et al. (2016, S. 13) schreiben^[2].Neben dem Fakt der Wahrheit und Beweisbarkeit muss ein Satz auch weitreichende Auswirkungen auf die Mathematik und deren Anwendung haben, wie Arens et al. (2010, S. 22) ausführen.

Zur Verdeutlichung kann hierbei der Satz des Pythagoras angeführt werden.Seine Aussage gilt nicht nur für ein spezielles Problem, sondern stellt eine wahre Aussage für alle rechtwinkligen Dreiecke dar und findet in vielen wissenschaftlichen Disziplinen Anwendung. Demgegenüber stellt die wahre Aussage „3 < 4“ keinen Satz dar. Sie ist zwar wahr und beweisbar, verfügt jedoch nicht über die Tragweite um als Satz zu gelten, wie bei Arens et al. (2010, S. 22) argumentiert wird.

Besonders aus Perspektive des Anwenders, auch aus anderen wissenschaftlichen Disziplinen, sind es oft Sätze, die in Problemstellungen und Modellen Anwendung finden. Hierbei ist es wichtig, dass nicht nur der Satz an sich angewendet werden kann.Es sollte auch grundlegendes Verständnis darüber vorhanden sein, warum ein Satz Anwendung finden darf, also wie er hergeleitet wurde, wie beispielsweise Langemann et al. (2016, S. 186) ausführen. In diesem „Verstehen“ besteht nämlich ebenfalls nach Langemann et al. (2016, S. 25) der Unterschied zwischen Mathematik und einfachem Rechnen. Darum ist es wichtig grundlegendes Verständnis von Beweisen zu haben, auch wenn man sich nicht mit reiner Mathematik, sondern lediglich ihrer Anwendung im Spezialfall befasst.

3.2 Wie ist ein mathematischer Beweis aufgebaut

Nach diesem kurzen Überblick über den Stellenwert von Beweisen in der Mathematik und der Herausstellung ihrer Wichtigkeit soll in diesem Abschnitt eineallgemeine Einführung dahingehend erfolgen, wie ein Beweis funktioniert und aufgebaut sein sollte.Hier wird jedoch noch nicht auf die eigentliche Beweisführung eingegangen, vielmehr soll auf formale Kriterien hingewiesen werden.

Zunächst soll kurz erwähnt werden, dass ein Beweis generell auf zwei Arten erfolgen kann,

- deduktiv(vom Allgemeinen zum Speziellen) oder
- induktiv (vom Speziellen zum Allgemeinen),

wie es auch Brunner (2014, S. 7 ff.) abgrenzt,woraufspäter noch näher eingegangen wird.

Ein mathematischer Beweis ist nach Theobald et al. (2016, S. 7) eine Folge von zwingend mathematisch korrekten Schlussfolgerungen, aus denen letztlich Allgemeingültigkeithergeleitet werden kann. Neben Theobald et al. weisen auch andere Autoren daraufhin, dass es sich bei einem Beweis um eine argumentative, auf wahren Aussagen gestützte Kette von Schlussfolgerungen handelt.

Zunächst ist zu erwähnen, dass es sich bei einem Beweis nach Brunner (2014, S. 17 f.) um einen Prozess handelt, der streng logischen Regeln zu folgen hat um allgemeine Anerkennung zu erfahren. Die formalen Kriterien sehen vor, dass ein mathematischer Beweis lückenlos dokumentiert und verschriftlicht sein muss. Die Verschriftlichung muss die verwendete argumentative Kette, die eine Rückführung der wahren Aussage auf bereits bewiesene Sätze oder Axiome beinhaltet, so darstellen, dass sie von der mathematischen Fachgemeinschaft nachvollzogen und überprüft werden kann, um allgemeine Anerkennung und Gültigkeit zu erhalten, wie Brunner (2014, S. 17 f.) ausführt.

Auch Arens et al. (2010, S. 23 f.) weisen auf die Wichtigkeit der formalen Ausgestaltung eines mathematischen Beweises hin und geben zugleich einen formalen Rahmen an, an dem man sich im Idealfall auch halten sollte um die formalen Anforderungen zu erfüllen. Demnach sollte ein Beweis folgende strukturellen Elemente enthalten,

- die Voraussetzungen unter denen die Aussage wahr ist,
- die Behauptung die bewiesen werden soll,
- den eigentlichen Beweis und
- eine Kennzeichnung, dass der Beweis beendet ist.

Unter den Voraussetzungen ist ein Rahmen zu verstehen, indem die zu beweisende Behauptung Gültigkeit besitzen soll. Die Behauptung ist die Aussage die letztlich bewiesen werden soll, wobei Voraussetzung und Behauptung oftmals in aggregierter Form zusammen vorliegen. Der eigentliche Beweis ist die Folge von Argumenten, die die Rückführung der Behauptung auf Sätze oder Axiome darstellt, die von anderen Personen nachvollzogen werden kann. Die Kennzeichnung dessen, dass ein Beweis abgeschlossen ist, da dies nicht immer direkt ersichtlich ist, sollte in Form einer dafür anerkannten Abkürzung erfolgen. Erwähnt werden sollen hier „w. z. b. w.“ und „q. e. d.“. Dabei steht erstgenanntes für „was zu beweisen war“ und letzteres für „quod erat demonstrandum“. Das Ende kann auch durch ein Kästchen „■“ dargestellt werden, wie bei Arens et al. (2010, S. 23 f.) zu lesen ist.

Auch andere Autoren wie beispielsweise Theobald et al. (2016, S. 7 f.) weisen auf diese Struktur hin und empfehlen sie zu verwenden. Zur Veranschaulichung soll nun ein einfacher Beweis erfolgen.

Voraussetzung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Behauptung: 6x + 3 > 3x + 6

Beweis:

x > 1

⇒ 3x > 3

⇒ 3x + 3 > 6

⇒ 6x + 3 > 3x + 6

Nach diesem kurzen Beispiel^[3] sollten die Begrifflichkeiten klar sein und es können nun durch mathematische Beweise verfolgte Ziele betrachtet werden, wovon der folgende Abschnitt handeln soll.

3.3 Was ist das Ziel eines mathematischen Beweises

Nachdem die Grundstruktur eines mathematischen Beweises dargestellt und erläutert wurde, soll es in diesem Abschnitt darum gehen, welche Ziele mit mathematischen Beweisen verfolgt werden. Darauf wurde bereits in vorangegangenen Teilen der Ausarbeitung eingegangen wie beispielsweise die widerspruchsfreie Argumentation von Sätzen, die erst durch Beweis den Status eines Satzes erhalten. Im Folgenden sollen die Zielekonzentriert dargestellt und einige Ergänzungen vorgenommen werden.

Das Ziel eines Beweises ist nach Grieser (2013, S. 142) die logische und vollständige Begründung einer Aussage um dieser Allgemeingültigkeit zu verleihen, denn solange eine Aussage nicht bewiesen ist, könnte sie falsch sein, selbst wenn sie durch zahllose Beispiele gestützt ist. In dieser Aussage steckt ein weiteres Ziel, welches durch mathematische Beweisen verfolgt wird,nämlich die Widerspruchsfreiheit.Sollte nur ein einziges Gegenbeispiel zu einem Satz gefunden werden, so ist dieser nach Forster (2016, S. 6) falsch. Brunner (2014, S. 17) beschreibt das Ziel des mathematischen Beweisens ebenfalls so, dass eine aufgestellte Behauptung aus bereits bewiesenen Aussagen logisch hergeleitet werden muss und benennt die Widerspruchsfreiheit dabei als ein zentrales Kriterium.

Daneben besitzt ein Beweis sowohleine überzeugende als auch eine erklärende Funktion, wie Brunner (2014, S. 23) ausführt. Hierbei ist unter der überzeugenden Funktion, wie bereits zuvor erwähnt, die argumentative Leistung des Beweises gemeint, die zwingend logisch und widerspruchsfrei die Allgemeingültigkeit einer Aussage darlegt. Daneben wird unter der erklärenden Funktion die Darstellung der Nachvollziehbarkeit der Zusammenhänge gemeint. Somit verfolgen Beweise, wie bereits erwähnt, das Ziel, Wissen zu tragen und zu verbreiten, wie ebenfalls bei Brunner (2014, S. 14) zu lesen ist.

Außerdem kann in diesem Teil der Ausarbeitung nochmals Arens et al. (2010, S. 22) angeführt werden, die ein weiteres Ziel des mathematischen Beweisens darin sehen, dass durch die erbrachten Beweise vielseitig anwendbare Gesetzmäßigkeiten von großer Tragweite hergeleitet werden, die in verschiedenen Wissenschaften wie beispielsweise der Physik angewendet werden können.

4 Mathematische Beweisverfahren

Nachdem in den ersten Kapiteln auf die Mathematik als Wissenschaft und das mathematische Beweisen im Allgemeinen eingegangen wurde und somit grundlegende Aspekte wie formale Strenge und allgemeiner Aufbau eines Beweises dargelegt wurden, sowie auch die verfolgten Ziele angeführt wurden, soll in diesem Kapitel auf die einzelnen Verfahren des Beweisens eingegangen werden.

Hierbei soll kurz auf das direkte und indirekte Beweisen eingegangen werden, was aber nur sehr kurz geschehen soll, da dies nicht das Thema dieser Ausarbeitung ist. Es dient mehr dem allgemeinen Verständnis der Materie. Danach soll in einem umfangreicheren Rahmen das Beweisverfahren der vollständigen Induktion erläutert werden.

4.1 Der direkte Beweis

Eine der grundlegenden Beweismethoden der Mathematik ist der direkte Beweis. Dabei wird versucht eine Implikation der Form „aus A folgt B“ auf Basis bereits bewiesener Sätze oder Rückführung auf Axiome zu beweisen, wie Meyer (2007, S. 21) ausführt. Auch Brunner (2014, S. 25) beschreibt diese Vorgehensweise in dieser Form und auch Arens et al. (2010, S. 23) erläutern dieses Verfahren in Form des argumentativen Schließens. Auch andere Autoren einschlägiger Fachliteratur beschreiben das Vorgehen in der hier beschriebenen Weise. Insbesondere, wenn es darum geht eine Formel in der Weise umzuformen, dass man eine wahre Aussage erhält, ist nach Arens et al. (2010, S. 23) der direkte Beweis möglich und anwendbar, auch andere Autoren weisen auf dieses Anwendungsfeld hin.

Zur Veranschaulichung des direkten Beweises soll ein kurzes Beispiel folgen.^[4] Zu beweisen ist die Aussage, dassdas Quadrat einer beliebigengeraden ganzen Zahl ebenfalls eine gerade Zahl ist.

Voraussetzung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gerade (gerade bedeutet durch zwei teilbar)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist der Beweis direkt erbracht, da eine beliebige ganze Zahl multipliziert mit zwei immer durch zwei teilbar und somit gerade ist.

Was zu erkennen ist, ist das eine Aussage der Form „aus A folgt B“ hier allgemein und unter Verwendung einer logischen Argumentationskette die auf die Axiome und bereits bewiesene Sätze der Mathematik zurückzuführen ist widerspruchsfrei hergeleitet und somit bewiesen wurde.Daneben wurden auch die formalen Anforderungen befolgt und somit ist die Aussage unter den angeführten Voraussetzungen wahr und die Argumentation zu ihr hin gültig.

Natürlich handelt es sich beim gewählten Beispiel um ein sehr Einfaches, allerdings genügt es im Rahmen dieser Ausarbeitung zur Verdeutlichung der Vorgehensweise bei einem direkten Beweis.

An dieser Stelle muss erwähnt werden, dass der direkte Weg oftmals nicht möglich oder nur unter erheblichem Aufwand möglich ist. In einer solchen Situation kann es hilfreich sein eine Aussage indirekt zu beweisen, wie beispielsweise Arens et al. (2010, S. 23) anführen. Dieser Weg ist auch in anderen Teilbereichen der Mathematik anzutreffen. Als Beispiel für einen solchen Wechsel von direkter zu indirekter Methode kann ein lineares Optimierungsproblem angeführt werden, bei dem es stets zwei Wege zur Lösung gibt. Es kann jeweils das primale oder dualeProblem gelöst werden, je nachdem wobei der benötigte Aufwand geringer ist, wie beispielsweise Ellinger et al. (2003, S. 59 ff.) anführen.

4.2 Der indirekte Beweis

Nachdem der direkte Beweis in vorangegangenen Abschnitt dieses Kapitels beschrieben und auch erwähnt wurde, dass der direkte Weg nicht immer der komfortabelste Weg ist, soll an dieser Stelle der indirekte Beweis eingeführt und erläutert werden.

Wie der direkte Beweis ist auch der indirekte Beweis eine zentrale mathematische Beweistechnik. Arens et al. (2010, S. 23) beschreiben sie sogar als nahezu universell einsetzbare Beweistechnik.

Der indirekte Beweis ist aufgrund seines Ansatzes geradezu gegenteilig, wie beispielsweise Brunner (2014, S. 25) oder Christiaans (2016, S. 297 f.) schreiben. Der Ansatz des indirekten Beweises machtnicht die Implikation „aus A folgt B“, sondern „wenn B nicht gilt, dann kann auch A nicht gelten“. Dieser Ansatz ist der direkten Implikation gleichwertig, was sich aus dem Kontrapositionsgesetz über Aussagen ergibt. Dieses sieht folgendermaßen aus,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und besagt, dass wenn aus A B folgt, ist dies gleichbedeutend damit, dass wenn B nicht gilt daraus folgt, dass auch A nicht gilt.

[...]

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^[1] vgl. auch Arens et al. 2010, S. 22

^[2] vgl. auch Cristiaans et al. 2016

^[3] entnommen aus Posingies 2012, S. 1

^[4] entnommen aus Christiaans et al. 2016, S. 298