Förderung des Zahlbegriffsverständnisses bei Vorschulkindern durch Verknüpfung der Zahlaspekte

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Stand der Forschung zur mentalen Zahlrepräsentation
2.1 Erste Ideen zur mentalen Zahlrepräsentation
2.2 Effekte zur räumlichen Repräsentation von Zahlen
2.2.1 Der Distanzeffekt
2.2.2 Der Größeneffekt
2.2.3 Der Size-Congruency Effect (SiCE)
2.2.4 Der SNARC-Effect
2.3 Modelle mentaler Zahlverarbeitung
2.3.1 Das Dual-Route-Modell als Vorgänger des Triple-Code-Modells
2.3.2 Dehaenes Triple-Code-Modell
2.4 Die mentale Zahlrepräsentation
2.4.1 Messung dermentalenZahlrepräsentation
2.4.2 Kulturelle Unterschiede der mentalen Zahlrepräsentation
2.4.3 Fazit zur mentalen Zahlrepräsentation

3. Die Entwicklung des Zahlbegriffes
3.1 Kulturhistorische Entwicklung des Zahlbegriffs
3.2 Zahlaspekte
3.3 Entwicklung des Zählens und des Mengenverständnisses
3.3.1 Die Entwicklung des Mengenverständnisses
3.3.2 Die Entwicklung des Zählens
3.4 Kombinierte Sicht auf die Entwicklung des Zähl- und Mengenverständnisses
3.5 Die Entwicklung der mentalen Zahlrepräsentation
3.6 Modell der mathematischen Kompetenzentwicklung nach von Aster (2000)
3.7 Gerlachs Modell dermathematischen Kompetenzentwicklung
3.8 Modell der mathematischen Kompetenzentwicklung nach Fritz, Ricken & Gerlach (2007)
3.9 Eigenes Modell der mathematischen Kompetenzentwicklung
3.10 Fazit zur Entwicklung des Zahlbegriffs

4. Möglichkeiten derVorhersage und Förderung mathematischer Leistungen
4.1 Vorhersage von späteren Leistungen im mathematischen Bereich
4.2 Differenzen in der Schwerpunktsetzung bei mathematischen Förderprogrammen
4.2.1 Das Programm „Spielend Mathe“ als Beispiel für ein Förderkonzept mit weitem, mathematischen Förderspektrum
4.2.2 Das Programm „Mengen, Zählen, Zahlen“ als Beispiel für ein Förderkonzept vorwiegend zum kardinalen Zahlaspekt
4.2.3 Das Programm „linear number games“ als Beispiel für ein Förderkonzept vorwiegend zum ordinalen und relationalen Zahlaspekt
4.2.4 Das Programm „MenZa“ als Beispiel für ein Förderkonzept zur mentalen Zahlrepräsentation in einem anderen Altersbereich
4.3 Theoretische Überlegungen zu didaktischen Entscheidungen bei der elementaren mathematischen Förderung
4.3.1 Förderung der Verknüpfung von Zahlaspekten
4.3.2 Das Verwenden von Zahlsymbolen
4.3.3 Alltagsnähe des Förderangebotes
4.3.4 Vorteile erklärender und trainierender Förderansätze im Elementarbereich
4.3.5 Die Gefahr zählenden Rechnens
4.3.6 Welche Mittel sind bei der Förderung des Zahlkonzepts erfolgversprechend?
4.4 Fazit zu Möglichkeiten der Vorhersage mathematischer Leistungen und der Förderung

5. Beschreibung und Hintergrund des Förderkonzepts „Zahl­Beziehungen“ („ZaBe“)
5.1 Zahlrepräsentation im Förderprogramm „ZaBe“
5.2 Aufbau des Förderkonzeptes „ZaBe“
5.2.1 Die relationalen Einheiten
5.2.2 Die linearen Einheiten
5.2.3 Die Auswahl des Zahlenraums im Förderprogramm „ZaBe“
5.3 Zeitliche Strukturierung des Förderkonzeptes
5.3.1 Äußere zeitliche Strukturierung des Förderkonzeptes „ZaBe“
5.3.2 Zeitliche Strukturierung der einzelnen Einheiten
5.4 Organisatorische und praktische Überlegungen zum Förderungsablauf.

6. Formulierung der Hypothesen

7. Methode
7.1Zu konfirmatorischen Zwecken eingesetzte Testverfahren
7.1.1 Beschreibung des Testverfahrens Zareki-K
7.1.2 Beschreibung des Testverfahrens OTZ
7.1.3 Beschreibung des Testverfahrens CPM
7.2 Zu explorativen Zwecken eingesetzte Verfahren
7.2.1 Beschreibung des Testverfahrens FEW-2
7.2.2 Beschreibung der Konstruktion des Testverfahrens TRS-K
7.3 Stichprobenkonstruktion
7.4 Untersuchungsdurchführung
7.4.1 Vortestdurchführung
7.4.2 Trainingsdurchführung
7.4.3 Nachtestdurchführung
7.5 Datenanalyse
7.5.1 Einteilung der Gruppenhälften per Mediansplit
7.5.2 Berechnung der Effektstärke nach Cohen

8 Ergebnisse
8.1 Konfirmatorische Befunde
8.2 Explorative Befunde
8.2.1 Zu explorativen Zwecken eingesetztes Testverfahren Figur-Grund­Diskriminierung (FEW-2)
8.2.2 Exploration des Testverfahrens TRS-K

9 Diskussion der Hauptstudie
9.1 Beschreibung der Ziele der Hauptstudie und der Vorgehensweise in Kürze
9.2 Das Studiendesign
9.3 Einordnung der Effektstärke zu Vergleichsstudien
9.4 Die explorativen Befunde
9.4.1 Die explorativen Befunde im Test Figur-Grund-Diskriminierung (FEW-2)
9.4.2 Das Testverfahren TRS-K
9.5 Das eigene mathematische Entwicklungsmodell
9.6 Bezug zu den theoretischen Basismodellen
9.7 Die Länge von Intervention und Testung
9.8 Die quantitative Forschungsmethode
9.9 Die Interventionsmethode
9.10 Das Förderprogramm „ZaBe“

10 Studie zur Ermittlung eines angemessenen Testverfahrens zur Messung des mentalen Zahlenstrahls im Vorschulalter
10.1 Studie zur Modifikation 1 des Measurement Tools (MT)
10.1.1 Untersuchungsdesign, Instrumente und Stichprobe
10.1.2 Untersuchungsaufbau und -ablauf.
10.1.3 Ergebnisse
10.1.4 Zusammenfassende Diskussion
10.2 Studie zur Modifikation 2 des Testverfahrens TRS-K
10.2.1 Untersuchungsdesign, Instrumente und Stichprobe
10.2.2 Untersuchungsaufbau und -ablauf.
10.2.3 Untersuchungsdurchführung
10.2.4 Ergebnisse
10.2.5 Ergebnisse der Modalitäten des Testverfahrens 'TRS-K Mod.2'
10.2.6 Zusammenfassende Interpretation und Diskussion
10.3 Diskussion der Modifikationen des Testverfahrens TRS-K

11 Ausblick
11.1 Mögliche Konsequenzen für zukünftige Forschung
11.2 Mögliche Konsequenzen für die zukünftige Praxis

12 Literatur

Anhang

Syntax für die Verteilung der Probanden per Mediansplit I

Trainingsmanual

Spielplan Affenschaf 10+ Affenschaf

Spielplan Frosch-Fisch

Spielkarten Mengenmemory

Spielkarten Mengenmemory

Spielkarten Mengenmemory

ArbeitsblattLinear AB1 +AB2

Arbeitsblatt Linear AB2b + AB

Arbeitsblatt Linear AB3b + AB3c

Arbeitsblatt Linear AB4 + AB

Arbeitsblatt Linear AB

Arbeitsblatt Relation AB1 + AB

Arbeitsblatt Relation AB2b +AB

Arbeitsblatt Relation AB

Danksagung

Diese Arbeit ist im Rahmen des Forschungsverbundes „Frühkindliche Bildung und Entwicklung Niedersachsen“ entstanden.

An erster Stelle möchte ich mich bei meiner Betreuerin, Frau Prof. Dr. Eva Neidhardt, für die langjährige, wertvolle Unterstützung bedanken. Sie war jederzeit zu intensiven und anregenden Diskussionen bereit und hat in Treue und Geduld den Entstehungsprozess begleitet.

Bedanken möchte ich mich auch bei Frau Prof. Dr. Silke Ruwisch für anregende Tagungen und Impulse. Mein Dank gilt zudem Prof. Dr. Claudia Quaiser-Pohl für die Bereitschaft zur Begutachtung. Außerdem möchte ich mich sehr bei meinen Kollegen Linnart Ebel und Dr. Dietmar Gölitz für viele anregende Diskussionen und Impulse bedanken. Für zusätzliche Beratung danke ich Katja Mayer, Katharina Röse und Prof. Dr. Georg-Bruno Herrmann.

Ganz besonderer Dank gilt auch den teilnehmenden Kindern, Eltern und Kindertagesstätten, die uns durch ihre Teilnahme am Projekt das Vertrauen aussprachen und uns wertvolles Feedback gaben.

Eine Reihe von studentischen Mitarbeiterinnen haben wertvolle Arbeit vor Ort zu diesem Projekt geleistet. Ich möchte mich dafür bedanken bei:

Carolin Abraham, Björn Albers, Dörte Behrendt, Elisabeth Brügmann, Bianka Dubois, Anja Dix,Marianne Ebeling, Janina Eichhorst, Tina Fleckenstein, Pia Grimsel, Anneli Grunwald, Dorothee Havekost, Inga Herbst, Mareike Hoffmann, Nadine Homann, Linda Jordan, Janina Klos, Johanna Langner, Stefan Leugers, Caroline Linke, Sabrina Matthies, Nele Meißner, Madeleine Obieglo, Gesche Oehlert, Sabine Reiher, Mandy Richter, Juliane Rönnau, Lena Rokahr, Lisa Sandrock, Sebastian Schwarz, Julia Steinhau, Marita Strickmann, Stefanie Thielecke, Melanie Usison, Annika van der Klugt und Francie Wüsthoff.

Schließlich möchte ich mich persönlich bei meiner Frau Johanna bedanken, die mich immer ermuntert und unterstützt hat.

Hannover, im Sommer 2016

Zusammenfassung

Theoretischer Hintergrund und Fragestellung: Die Art, wie Zahlen mental repräsentiert werden, lässt sich nicht direkt nachweisen. Effekte wie der Distanzeffekt, der Größeneffekt, der Size-Congruency-Effect und der SNARC-Effect legen jedoch nahe, dass Zahlen mental auch räumlich und gerichtet repräsentiert werden. In Dehaenes Triple-Code-Modell ist dies als „Analog Magnitude Representation“ eingearbeitet. In der Mathematikdidaktik wird dies über Zahlaspekte bearbeitet. Der von Elsbeth Stern vorgeschlagene „Relationalzahlaspekt“ greift diesen Forschungsstand aus der Psychologie am ehesten auf. Auf dieser Grundlage und aus Erkenntnissen zur Entwicklung des Zählens und des Mengenverständnisses bei Kindern, wird ein eigenes Modell der mathematischen Kompetenzentwicklung vorgestellt. Dieses Modell dient als Grundlage für die Entwicklung eines Förderprogramms, welches durch ein räumlich-lineares Training denjenigen Kindern im Vorschulalter helfen soll, die weniger Vorerfahrungen mit Zahlen gemacht haben als ihre Altersgenossen und daher besonderer Förderung bedürfen. In diesem Förderprogramm sollen die Inhalte der ersten Grundschuljahre im Bereich Mathematik jedoch nicht vorweg genommen werden, daher wird auf die Nutzung von arabischen Zahlsymbolen verzichtet.

Methode: Das Förderprogramm wurde in einer empirisch-quantitativ angelegten Studie als Längsschnitt im experimentellen Design evaluiert. Insgesamt nahmen 88 Kinder im Alter von fünf Jahren plus/minus zwei Monaten an der Studie teil. Diese wurden randomisiert pro Kindergarten in eine Versuchsinterventionsgruppe und zwei Kontrollinterventionsgruppen aufgeteilt. Nach den Prätests wurden die Kinder in Kleingruppen zeitlich identisch von derselben Person mit dem jeweiligen Förderprogramm gefördert. Im Anschluss fanden die Posttests mit den gleichen Maßen statt. Zusätzlich wurde ein Maß zur nonverbalen Intelligenz genutzt, um auszuschließen, dass sich mögliche Veränderungen allein auf Unterschiede in der Intelligenzleistung zurückführen lassen.

Ergebnisse: Zum Vergleich der drei Interventionsgruppen wurden t-Tests für ungepaarte Stichproben durchgeführt, sowie die Effektstärken nach Cohen angegeben. Für die gesamte Stichprobe ergaben sich tendenzielle Vorteile für das vorgestellte Förderprogramm mit kleinen Effekten nach Cohen, welche jedoch nicht signifikant wurden.

Werden die im Vortest stärkeren Kindern in der Auswertung von den im Vortest schwächeren Kindern separat betrachtet, ergibt sich ein anderes Bild. Die im Vortest stärkeren Kinder haben keine Vorteile aus dem hier vorgestellten Programm gegenüber den anderen Programmen gezogen. Bei den im Prätest schwächeren Kindern zeigen sich jedoch durchweg mittlere bis große Effekte zugunsten der Kinder, welche das hier vorgestellte Programm durchlaufen haben. Diese Effekte wurden auf Grund der Stichprobengröße nur teilweise signifikant.

Diskussion: Das hier vorgestellte Förderprogramm ist gerade für diejenigen Kinder gewinnbringend, welche nur wenig Vorerfahrungen im Bereich von Mengen und Zahlen mitbringen. Diese Kinder konnten durch das Förderprogramm gegenüber den im Vortest stärkeren Kindern aufholen. Dies scheint demnach auch durch eine Förderung ohne die Verwendung arabischer Zahlsymbole möglich zu sein.

1. Einleitung

Erste Erfahrungen im Umgang mit Mengen und Zahlen machen Kinder schon sehr früh. Implizit wird dies für den Anfangsunterricht auch vorausgesetzt. Die Gruppe von Kindern, die gemeinsam in der ersten Klasse startet, ist jedoch eine überaus heterogene Gruppe (Rinkens & Hönisch, 1997; Roßbach, 2001). Der mathematische Anfangsunterricht in der ersten Klasse der Grundschule ist für die Kinder nicht die Stunde Null ihrer mathematischen Erfahrungen. Einige Kinder sind ihren Altersgenossen durch viele Vorerfahrungen im Bereich der Zahlen weit voraus. Andere haben noch so gut wie gar keine Vorkenntnisse auf diesem Gebiet. Die Lehrkraft hat nun die Aufgabe, allen Kindern gerecht zu werden. Doch gerade die Kinder, die über wenige Vorerfahrungen verfügen, laufen Gefahr schnell abgehängt zu werden (Krajewski & Schneider, 2006; Stern, 1998).

Für das Gebiet der Schriftsprachleistungen sind die Vorläuferfertigkeiten mit der phonologischen Bewusstheit schon weitgehend abgeklärt und evaluierte Förderprogramme vorhanden (z.B. das Programm „Hören, lauschen, lernen“ von Küspert & Schneider, 2006). Im mathematischen Bereich ist dies noch weitaus weniger der Fall. Gerade die Arbeiten von Krajewski und Schneider (2006) zeigen, dass für Kinder mit wenig Vorwissen im Bereich des Mengen- und Zahlverständnisses, das erhöhte Risiko besteht, eine Rechenschwäche zu entwickeln. Es scheint daher, dass ein vermehrter Umgang mit Zahlen und ein stärkerer Fokus auf die Bereiche Zahlen und Anzahlunterschiede förderlich für ein mathematisches Verständnis sind. Offen bleibt, ob sich diese Vorläuferfertigkeiten, so sie denn extrahiert werden können, auch gezielt fördern lassen. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist daher die Evaluation des eigens entwickelten Förderprogramms zur mentalen Zahlrepräsentation bei Kindern im Alter von fünf Jahren ohne die Verwendung von Zahlsymbolen. Als weiteres Ziel soll die Güte eines Messinstruments zum Schätzen auf einem Zahlenstrahl evaluiert werden. Beides geschieht auf Grundlage eines Modells zur mathematischen Kompetenzentwicklung, welches aus dem Modell von Gerlach (2006) weiterentwickelt wurde.

Die Frage, was eine Zahl eigentlich ausmacht und wie eine Zahl erfasst wird, ist keineswegs trivial. Zahlzeichen lassen sich visuell erfassen. Zahlworte werden visuell oder auditiv wahrgenommen. Die bloße Verknüpfung von Zahlzeichen und Zahlwort selbst hat jedoch noch keinen mathematischen Inhalt. Erst die mentale Repräsentation dieser Zahl bringt in die äußere Form den mathematischen Inhalt der Relation Für eine theoretische Fundierung ist es daher wichtig, die mentalen Prozesse der Zahlrepräsentation zu kennen. In Kapitel zwei wird erläutert, was mental geschieht, wenn numerische Informationen im Gehirn eintreffen. Es wird dargestellt, in welcher Art von Beziehung Zahlen mental repräsentiert werden. Das Triple-Code-Modell von Dehaene bildet dabei den Ausgangspunkt. Die auf diesem Modell beruhenden Erkenntnisse werden mit weiteren Forschungsergebnissen verknüpft und münden in ein Modell der mentalen Zahlrepräsentation.

Die Menschheit hat im Laufe der Jahrtausende die kulturelle Leistung der Mathe­matik entwickelt. In der Gegenwart lebende Menschen brauchen daher viele mathematische Errungenschaften nicht mehr mühsam zu erforschen, sondern können deren Ergebnisse nutzen und damit arbeiten. Trotzdem benötigt jeder einzelne Mensch wieder Anstrengung und Zeit, um mathematische Kompetenzen auszubilden. Wie in anderen Lernfeldern verlaufen dabei einige Stränge der Entwicklung parallel. Ein integriertes Wissensnetz der einzelnen Stränge baut sich mit zunehmender Komplexität auf. In Kapitel drei wird dieser Entwicklungsprozess dargestellt und gezeigt, wie Mengen- und Zählkompetenzen dabei in einer Interaktion mit der mentalen Zahlrepräsentation stehen und daraus ein elaboriertes Verständnis des Zahlbegriffes erwachsen kann.

Ein Verständnis dafür, wie Zahlen im Gehirn organisiert werden, kann für das Verstehen von Schwierigkeiten und für die basale Förderung wertvolle Hinweise liefern. So werden auf der Grundlage der natürlichen Entwicklung mathematischer Vorläuferfertigkeiten, Überlegungen angestellt, an welchen Punkten eine Förderung nützlich und hilfreich für die Kinder sein kann. Dafür werden in Kapitel vier evaluierte Förderkonzepte exemplarisch vorgestellt und anhand der Überlegungen der vorherigen Kapitel die eigene Förderkonzeption dargelegt. Für diese Konzeption werden Erkenntnisse aus Bereichen betrachtet, die bis jetzt vor allem im deutsch­sprachigen Raum weniger im Fokus standen. Gerade im Bereich der mentalen Zahlrepräsentation gab es in letzter Zeit vorwiegend im englischsprachigen Raum vermehrt Forschungsaktivitäten und daraus resultierend einige neue Erkenntnisse.

Nach der Vorstellung der eigenen Forschungshypothese in Kapitel sechs werden die eingesetzten Testverfahren in Kapitel sieben, dem Methodenkapitel, beschrieben. Unterschieden wird dabei zwischen konfirmatorischen Verfahren, welche hypo­thesenprüfend sind, und explorativen Verfahren, welche neue Zusammenhänge bzw. mögliche neue Testverfahren evaluieren. Des Weiteren werden die Überlegungen zur Konstruktion der Stichprobe dargelegt. In diesem Kapitel befindet sich auch die Beschreibung des Ablaufes der Untersuchung und es werden die Methoden zur Analyse der Daten dargestellt.

In Kapitel acht werden die Ergebnisse der konfirmatorischen Untersuchungen dargestellt. Es wird dabei festgestellt, welche Hypothese zurückgewiesen werden muss, bzw. beibehalten werden kann. In diesem Kapitel werden zudem die Ergebnisse der explorativen Analysen präsentiert.

In der Diskussion der Hauptstudie in Kapitel neun werden die Vorgehensweise und die Ziele der Hauptstudie noch einmal in Kürze dargelegt. Es wird außerdem das Studiendesign, die Forschungs- und Interventionsmethode und die zeitliche Dauer der Testungen und Förderungen kritisch beleuchtet. Im weiteren Verlauf werden die vorgefundenen Effektstärken der konfirmatorischen Testverfahren diskutiert, interpretiert und die Ergebnisse der explorativen Testungen analysiert. Das eigene mathematische Entwicklungsmodell und das eigens entwickelte Förderprogramm werden auf einen möglichen Mehrwert gegenüber den bereits vorhandenen Programmen und Modellen hin beleuchtet.

In Kapitel zehn werden zwei mögliche Verbesserungen zu einem explorativ eingesetzten Testverfahren vorgestellt und die Ergebnisse der Evaluation dargestellt.

In Kapitel elf geht es um einen Ausblick zu möglichen Konsequenzen dieser Arbeit für die zukünftige Forschung und Praxis.

2. Stand der Forschung zur mentalen Zahlrepräsentation

Dieses Kapitel beleuchtet den aktuellen Stand der Forschung zur mentalen Zahlrepräsentation. Um einen kurzen Einblick in die Anfänge der Forschung in diesem Bereich zu erlangen, beginnt es mit einer historischen Annäherung an das Thema. Erste empirische Annäherungsversuche an die mentale Zahlrepräsentation gab es bereits Ende des 19. Jahrhunderts durch Galton (1880). Da dieser Weg inzwischen vor allem historische Bedeutung besitzt und sich für den weiteren Erkenntnisgewinn als wenig fruchtbar erwies, soll er hier nur kurz dargestellt werden.

Im weiteren Verlauf werden unter dem historischen Blickwinkel Dantzigs (1930) grundlegende Annahmen aufgezeigt, wie Zahlen entstanden sein könnten und welches die dafür notwendigen Grundkompetenzen des Menschen sein müssten. Die Überlegungen Dantzigs sind weiterhin aktuell und bilden die Grundlage der Forschung in diesem Themengebiet.

Anschließend wird der grundsätzliche Disput über die Enge der Verknüpfung von Sprache mit der Repräsentation von Zahlen dargelegt. Dass zwischen Zahlen und Sprache eine Verknüpfung besteht, steht außer Frage. Ob jedoch eine Zahlrepräsentation außerhalb der Sprache existiert, darüber gab es lange Uneinigkeit. Daher wird erläutert, wie dieser Streit durch die Ergebnisse von Dehaene und Cohen (1991) teilweise geklärt wurde. Weitere Studien, welche die Ergebnisse von Dehaene und Cohen untermauern, sollen hier dargelegt werden, speziell die Ergebnisse zum Größen-, Distanz-, Size-Congruency- und SNARC- Effect. Auch das aus diesen Versuchen hervorgegangene Triple-Code-Modell von Dehaene (1992) wird beleuchtet. Abschließend werden weiterführende Experimente und Hinweise zur Existenz einer mentalen Zahlrepräsentation aufgezeigt.

2.1 Erste Ideen zur mentalen Zahlrepräsentation

Die ersten Ideen der Neuzeit zur Frage der mentalen Repräsentation von Zahlen wurden gegen Ende des 19. Jahrhunderts in der Zeitschrift 'Nature' beschrieben. Dort zeigte Sir Francis Galton (1880a), welche unterschiedlichen Formen Menschen aufzeichnen, wenn sie gebeten werden, ihren mentalen „Zahlenstrahl“ introspektiv (in sich selbst hineinsehend) zu Papier zu bringen. Ihm fiel auf, dass Menschen Zahlen als räumliche Reihung an einem Strich aufzeichnen. Da sich der Verlauf des Striches jedoch sehr uneinheitlich zeigte, plante Galton, eine einheitliche Systematik anzulegen. Er versuchte Gemeinsamkeiten zwischen Personen zu finden, die mathematisch besonders begabt waren und zeigte in seiner Arbeit beispielhaft verschiedene Formen der Zahlanordnung (zwei davon siehe Abb. 1). Außerdem vermutete er Unterschiede zwischen Familien und „Rassen“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Zwei Beispiele aus der Sammlung introspektiver Zahlenstrahlen von Galton (1880a, S. 253).

In weiteren Ausgaben der 'Nature' des gleichen Jahres berichtet Galton immer wieder von ihm zugesandten Aufzeichnungen der Introspektive des Zahlenstrahls. Es ergaben sich immer neue Formen. Galton hielt als Ergebnis fest, dass einige Menschen introspektiv keinen Zahlenstrahl erkennen können, während andere verschiedene Varianten ihres introspektiv gefundenen Zahlenstrahls für ihn aufzeichneten. Dies führte wie erwartet zu unterschiedlichen, explizierten Darstellungen (siehe Abb. 1). Die anfangs vermuteten Gemeinsamkeiten bei Menschen derselben Familie, desselben Geschlechts oder derselben „Rasse“ konnte Galton letztendlich jedoch nicht feststellen. Auch Gründe für die Verschiedenheit der jeweiligen Kurven konnten nicht gefunden werden. Ähnlichkeiten schienen zufällig (Galton, 1880b). Daraus konnte gefolgert werden, dass der naheliegende Weg der Introspektive zur Erforschung der mentalen Zahlrepräsentation keine relevanten Ergebnisse lieferte. In der Folgezeit gab es daher keine weiteren Veröffentlichungen, die dem Ansatz der Introspektion folgten.

Die Frage, was Zahlen sind, versuchte daraufhin Tobias Dantzig historisch zu klären. Er ging der Frage nach, woher Zahlen überhaupt kommen und wie Menschen wohl anfingen, Zahlen zu nutzen. In seinem erstmals 1930 erschienen Buch „NUMBER The Language of Science“ (4. hier zit. Aufl. 1954) beschreibt Tobias Dantzig die Entwicklung der Zahlen und der Mathematik: Menschen sind vermutlich ontogenetisch und phylogenetisch früh sensibel für Veränderungen einer Anzahl von Objekten. Dantzig benennt den wohl ersten und intuitiven Umgang mit Anzahländerungen als „number sense“ („Zahlensinn“). Dies sei aber nicht zu verwechseln mit dem Zählen, welches seiner Meinung nach erst sehr viel später kam und exklusiv dem Menschen möglich sei. Das Gespür für die Änderung von Anzahlen sei jedoch auch bei zahlreichen Tierarten zu finden (Dantzig, 1954, S. 1). Diese Wahrnehmung der Anzahländerung hat in der Literatur unterschiedliche Bezeichnungen erfahren. Dantzig meinte, dieser „direct visual number sense“ reiche nur bis zu einer Menge von vier (ebd., S. 4). Damit ist klar, dass er mit „number sense“ das meinte, was wir heute als „subitizing“ oder „simultane Anzahlerfassung“ bezeichnen. Der Schlüssel dazu war laut Dantzig die Entwicklung des Zählens über die Finger (ebd., S. 5; 10). Als Menschen dann ihren Besitz bestimmen und schriftlich festhalten wollten, sind wahrscheinlich die geschriebenen Zahlen entstanden. Diese Nummerierungen entwickelten sich vermutlich gemeinsam mit der ersten Verschriftlichung von Sprache (vgl. ebd., S. 21).

Die Überlegungen Dantzigs blieben eine Grundlage der Forschung, während sich Forschungsschwerpunkte und -methoden mit der Zeit verschoben. Mit zunehmenden Erkenntnissen über kognitive Prozesse kam die Frage nach der mentalen Repräsentation von Zahlen in der Mitte des 20. Jahrhunderts erneut auf. Im Fokus stand nun derVersuch einer Modellbildung kognitiver Prozesse.

Kaufman, Lord, Reese und Volkmann (1949) gingen als erste Forschergruppe davon aus, dass zur Erfassung von bis zu sechs Objekten noch eine simultane (Erfassung) Aufnahme möglich sei. Dass es aber bei mehr als sechs Objekten einen Bruch in der menschlichen Rezeptionsmethode gebe. Sie schlossen dies aus Selbstaussagen von Probanden, welche Punktanzahlen zwischen zwei und 180 Punkten für eine Fünftel Sekunde präsentiert bekamen und angeben sollten, wie sicher sie sich über die Anzahl seien. Kaufman, Lord, Reese und Volkmann schlugen für die simultane

Zahlerfassung den Begriff „subitizing“ vor, um diesen Mechanismus klar von anderen Mechanismen abzugrenzen (Kaufman et al., 1949, S. 520). Aus diesem Kern der simultanen Anzahlerfassung seien nach Kaufman et al. (ebd.) langsam alle weiteren Schritte in Richtung eines Zahlkonzepts entstanden. Bis heute gelten sowohl die simultane Anzahlerfassung als auch das Zählen über die Finger als der Ursprung mathematischen Denkens des Menschen.

Ungeklärt blieb jedoch der Einfluss von Sprache auf die Zahlverarbeitung. In der Forschung standen sich zwei widersprechende Paradigmen gegenüber. Während manche Forschergruppen eine nicht-sprachliche Zahlverarbeitung für möglich hielten (z.B. Landauer & Moyer, 1967; Restle, 1970), gingen andere Gruppen von einer Zahlverarbeitung aus, die - wie das Denken allgemein - der Sprache zugeordnet sei (z.B. Chomsky, 1980). Diese zweite Gruppe nahm an, dass Prozesse wie das Erkennen von Zahlen und Anzahlen, verbal verarbeitet würden. Auch symbolische Zahldarstellungen würden erst in Sprache umgewandelt, dort verarbeitet und gegebenenfalls zurückgewandelt. Zahlverarbeitung und Denken galten für sie als untrennbar mit der Sprache verbunden. Es gibt jedoch einige Hinweise, dass die Zahlverarbeitung in Teilen auch nonverbal geschehen kann. Diese Hinweise werden nun beleuchtet.

2.2 Effekte zur räumlichen Repräsentation von Zahlen

In Kapitel 2.1 wurde gezeigt, dass die Introspektion kein geeignetes Mittel ist, um Aussagen über eine mögliche mental-räumliche Anordnung von Zahlen zu treffen. Im Folgenden wird dargelegt, wie auf einem indirekten Weg doch versucht wurde, diese Anordnung aufzuzeigen. Die Darstellung folgt dabei der historischen Entwicklung, d.h es wird zunächst von der chronologisch ersten Studie zum jeweiligen Effekt ausgegangen, um dann auf die wichtigsten aufbauenden Studien einzugehen. Diese Effekte sind die Grundlage für die darauf folgenden Überlegungen und Untersuchungen zur mentalen Zahlrepräsentation.

2.2.1 Der Distanzeffekt

Hier geht es um die Geschwindigkeit von Entscheidungen der Probanden bei Zahlvergleichen. Die Grundannahme ist, dass Menschen eine Entscheidung schneller treffen, wenn sie sich sicher sind. Bei Unsicherheit brauchen sie hingegen länger.

In einem Experiment untersuchte Johnson (1939) die Entscheidungsgeschwindigkeit bei Längenentscheidungen. Die Probanden sollten entscheiden, welcher von zwei vorgegebenen Gegenständen der längere sei. Das einleuchtende Ergebnis lautete: Menschen brauchen bei ähnlich langen Gegenständen länger für eine Entscheidung, als bei zwei sehr unterschiedlich langen Objekten. Damit konnte die oben beschriebene Grundannahme bestätigt werden - je sicherer sich Menschen bei einer Entscheidung sind, desto schneller fällen sie diese.

Diese Ergebnisse übertrugen Moyer und Landauer (1967, S. 1519-1520) auf den Vergleich von Zahlen. In einem Experiment sollten die Probanden entscheiden, welche von zwei dargebotenen Zahlen die numerisch größere sei. Entsprechend den allgemeinen Annahmen zur Entscheidungsgeschwindigkeit galt das Interesse von Moyer et al. (ebd.) bei diesen einfachen Aufgaben den Reaktionszeiten. Die Probanden sollten so schnell wie möglich auf den linken Knopf drücken, wenn die linke Zahl die numerische größere war, bzw. auf den rechten, wenn diese Zahl numerisch größer war. Es zeigte sich, dass die Reaktionszeiten bei Zahlen-paaren mit numerisch kleinem Abstand systematisch länger waren als bei Zahlenpaaren mit numerisch großem Abstand. Moyer und Landauers Fazit lautete daher: Je größer der numerische Unterschied zwischen zwei Zahlen ist, desto schneller kann diese Entscheidung getroffen werden. Die Differenzen in der Entscheidungsgeschwindigkeit stellten Moyer et al. (ebd.) als Graphen über den numerischen Abstand dar (siehe Abb. 2). Durch welche Funktion sich die Abnahme der Reaktionszeiten allerdings am besten beschreiben ließe, war noch nicht klar. Es wurden eine lineare sowie eine logarithmische Funktion in Betracht gezogen. Moyer et al. (ebd.) schlossen aus den gewonnenen Daten dieses Experimentes, dass arabische Zahlsymbole in eine analoge Repräsentation (wie physikalische Größen) umgewandelt und auf diese Weise miteinander verglichen würden. Dies war ein erster Hinweis auf eine Repräsentation von Zahlen außerhalb der Sprache. Jedoch gaben diese Experimente noch keine Hinweise darauf, wie diese non-verbale Repräsentation aussehen könnte.

Im Folgenden werden wichtige Studien vorgestellt, die durch Abwandlungen der Versuche von Moyer et al. (ebd.) deren Ergebnisse teilweise replizierten und kleine Erweiterungen ergaben. So wiederholten Duncan und McFarland (1980) Moyers Experiment mit einer etwas veränderten Fragestellung. Die Probanden bestanden aus getrennten Gruppen von Kindergartenkindern, Erstklässlern, Drittklässlern, Fünftklässlern und Erwachsenen. Bei dieser Aufgabe sollten die Probanden lediglich dichotom angeben, ob es sich um Zahlen mit gleichen Ziffern (z.B. 11, 22, 33) handelte oder nicht. Der Fokus in der Auswertung lag dabei auf den Zahlen mit ungleichen Ziffern. Je größer die numerische Distanz der Ziffern einer Zahl war, desto schneller antworteten die Probanden, selbst wenn dies mit der eigentlichen Fragestellung nichts zu tun hatte. So wurden z.B. die Zahlen 17; 92 und 19 schneller als Zahl mit ungleichen Ziffern erkannt als z.B. 12; 31 und 78. Auch in diesem Experiment trat ein Phänomen auf, welches sie „Distanzeffekt“ nannten. Es zeigte sich außerdem, dass dieser Distanzeffekt bei allen Altersklassen auftrat und bei Kindern genauso stark ausgeprägt war wie bei Erwachsenen.

Hinrichs, Yurko und Hu (1981) untersuchten daraufhin, ob der Distanz-Effekt auch bei einem Vergleich zweistelliger Zahlen auftritt. Die Probanden sollten (dabei) angeben, ob eine Zahl größer sei als der vorgegebener Ankerwert „55“. Für Replikationen dieses Effektes verwendeten sie die Ankerwerte „65“ und „66“. Auch in diesen Experimenten zeigte sich wiederum der Distanzeffekt. Eine abermalige Erweiterung stellten die Studien von Poltrock und Schwartz (1984) dar. Sie zeigten, dass der Distanzeffekt nicht nur bei zwei-, sondern auch bei dreistelligen Zahlen zu finden ist. Der Distanzeffekt ist also unabhängig von der Größe der Zahlen.

Noch ungelöst indes war die Frage der Generalisierbarkeit der Ergebnisse (auch) auf andere Sprachräume außerhalb der englischen Sprache. Dehaene, Dupoux und Mehler (1990, siehe Abb. 3) untersuchten auf Grundlage des Designs von Hinrichs, Yurko & Hu (1981), ob die dort gefundenen Ergebnisse auch bei französischsprachigen Probanden repliziert werden konnten. Denn im Unterschied zur englischen Sprache sind französische Zahlworte weit komplexer aufgebaut (z.B. 90 = quatre vingt dix = 4 x 20 + 10). Es zeigte sich, dass dort der Distanzeffekt in gleicher Weise auftrat, dieser Effekt also unabhängig von Sprache ist.

Ob der Distanzeffekt auch für verbale Zahlworte gilt, ist noch nicht abschließend geklärt. Es gibt sowohl Studien, die dafür sprechen (Dehaene & Akhavein, 1995; Foltz, Poltrock, & Potts, 1984; Nuerk, Wood & Willmes, 2005), als auch solche, die Hinweise dagegen liefern (Fias, 2001).

Zusammenfassend ergibt sich, dass Menschen Zahlvergleiche schneller treffen können, wenn die Zahlen numerisch weiter auseinander liegen. Dieses Phänomen tritt mit verschiedensprachigen Probanden und in unterschiedlichen Konfigurationen auf. Bei der Präsentation von Zahlworten anstelle von Zahlsymbolen jedoch lässt sich noch kein abschließendes Ergebnis feststellen. Die Abbildung drei zeigt, wie Abstände von mehreren Zahlen zueinander von Menschen empfunden werden.

2.2.2 Der Größeneffekt

Die Fragestellung bei der Untersuchung des Größeneffektes zielt in eine ähnliche Richtung wie die des Distanzeffektes. Über den Distanzeffekt hinausgehend interessierte jedoch nicht der gefühlte Abstand von Zahlen, sondern wie Zahlen in ihrem numerischen Umfeld wahrgenommen werden. Der Physiologe Weber untersuchte, ab wann physikalische Reizunterschiede von Menschen wahrgenommen werden. 1834 veröffentlichte er das Weber-Gesetz, welches besagt, dass Reizunterschiede von Menschen erst ab einem Mindestabstand wahrgenommen werden können und dieser proportional zum Ausgangsreiz ist (Weber, 1834). Dieses Weber-Gesetz erweiterte Fechner I860, indem er allgemein die Zunahme von Reizempfindungen bei Menschen als eine logarithmische Funktion beschrieb. Der sogenannte „Größeneffekt“ bezeichnet hierbei die Empfindung des Menschen, dass die „gefühlte“ Differenz von Zahlen mit zunehmender Größe der Ausgangszahl systematisch abnimmt (z.B. wird der Unterschied von zwei und vier als größer empfunden, als der Unterschied von 202 und 204). In einem ersten Experiment dieser Art von Banks und Hill (1974, vgl. auch Shepard, Kilpatric & Cunningham, 1975) sollten Probanden zufällige Zahlen in einem vorgegebenen Intervall produzieren. Es wurden jedoch systematisch mehr relativ kleinere Zahlen angegeben.

In einem weiteren Experiment sollten die Probanden aus einer scheinbar zufälligen Auswahl dasjenige Intervall heraussuchen, bei dem die Zahlen gleichmäßig verteilt sind. Als am besten passende Beschreibung der gewählten Zahlen wurde meist eine Exponentialfunktion mit dem Exponenten 0,35 empfunden. Dies galt vor allem, wenn kein oberes Limit genannt wurde. Sobald ein oberes Limit angesetzt war, wurde als gefühlt lineare Anordnung auch eine recht lineare Verteilung gewählt (Banks & Hill, 1974, S. 95-105).

Der Distanz- und der Größeneffekt sind jedoch nicht nur auf den Menschen beschränkt. Mechner (1958) zeigte etwa, dass es möglich ist, Ratten so zu trainieren, dass sie die Anzahl von Hebelbewegungen numerisch genauer ausführten. Auch Platt und Johnson (1971) trainierten Ratten, eine bestimmte Anzahl von Hebelbewegungen (4;8;16;24) durchzuführen. Die Anzahl der von den Ratten ausgeführten Hebelbewegungen wurde jedoch mit zunehmender Quantität immer ungenauer. Die Ratten konnten also nicht präzise mitzählen, sondern die Anzahl nur schätzen. Dehaene (2003) demonstrierte zudem auf Neuronen-Basis, dass bei Primaten-Affen die neuronale Aktivität bei Zahlenstimuli logarithmisch mit der Größe der Zahl steigt. Auch bei anderen Tieren, z.B. Salamandern, Delphinen und anderen Affenarten, wurden diese Effekte wiederholt beobachtet (siehe Brannon & Terrace, 1998, sowie Dehaene, Molko, Cohen, & Wilson, 2004). Studien von Gallistel und Gelman (2000) sowie Piazza und Dehaene (2004) zeigen zudem, dass die Abschätzungen von Anzahlen bei Menschen etwas genauer sind als bei Affen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Abstände zwischen relativ größeren Zahlen geringer erscheinen als die gleichen Abstände zwischen relativ kleineren Zahlen. Dieser Effekt wird als Größeneffekt bezeichnet. Menschen scheinen demnach Zahlen mental räumlich anzuordnen und ihnen eine räumliche Nähe und Distanz zuzuordnen. Diese gefühlte Nähe von Zahlen scheint dem Weber-Fechner- Gesetz für physikalische Größen (z.B. Helligkeit und Lautstärke) recht nahe zu kommen. Möglicherweise werden Zahlen also mental genauso behandelt wie physikalische Größen.

2.2.3 Der Size-Congruency Effect (SiCE)

Der Size-Congruency Effect besagt über den Distanz- und Größeneffekt hinaus, dass sich die mentale Repräsentation von Zahlen nicht unterdrücken lässt. Sie tritt spontan auf, auch wenn dies zur Lösung der Aufgabe irrelevant oder gar hinderlich ist.

Bei einem erstmals von Henik und Tzelgov (1982) durchgeführten Experiment sollten die Probanden lediglich angeben, ob eine symbolisch präsentierte Zahl physikalisch größer sei als eine andere. Dabei wurde variiert zwischen kongruenten Fällen, in denen die numerische Größe mit der physikalischen Größe auch größer wurde (3-6) und nicht kongruenten Fällen, in denen die physikalische Größe größer, die numerische jedoch kleiner wurde (3-6). Es handelt sich also um einen Interferenzeffekt. Der Size-Congruency-Effekt besteht darin, dass die numerische Größe einer Zahl immer einen Einfluss auf den Größenvergleich hat, selbst wenn ausdrücklich nur ein Vergleich der physikalischen Größe einer symbolisch präsentierten Zahl gefragt ist (Vergleich zwischen der arabischen und zweier japanischer Schreibweisen: Ito & Hatta, 2003; weiterführende Studien: Schwarz & Ischebeck, 2003; Santens & Verguts, 2010; Pinhas, Tzelgov & Guata-Yaakobi, 2010). Die bis hierhin gezeigten Befunde zum Distanz-, Größen- und Size-Congruency- Effekt zeigen, dass Zahlen mental räumlich repräsentiert werden. Sie geben jedoch noch keinen Hinweis darauf, ob und in welcherWeise diese Anordnung gerichtet ist.

2.2.4 Der SNARC-Effect

Durch den SNARC-Effect (Spatial-Numerical Association of Response Codes Effect) gibt es Hinweise darauf, dass die mentale räumliche Ordnung von Zahlen auch eine Richtung aufweist. In der von Dehaene, Dupoux und Mehler (1990) durchgeführten Replikation des Hinrich-Experiments von 1981 fiel der systematische Unterschied zwischen der linken und der rechten Hand in den Reaktionszeiten je nach Zahlgröße auf. Eine genauere Untersuchung wurde angeschlossen: In dem erstmals von Dehaene, Bossini und Giraux (1993) durchgeführten Experiment wurden den Probanden Zahlen auf einem Bildschirm dargeboten. Sie sollten nun entscheiden, ob die dargestellte Zahl gerade oder ungerade sei. Nur bei einer geraden (bei anderen Probanden ungeraden) Zahl sollte eine Taste gedrückt werden. Nach der Hälfte des Experiments wurde die betätigende Hand gewechselt. Dehaene et al. (ebd.) interessierten dabei weniger die Richtigkeit der Paritätsentscheidung, sie verglichen vielmehr die Reaktionszeiten. Unabhängig von der Parität der Zahl wurden relativ größere Zahlen schneller mit der rechten Hand beurteilt, relativ kleinere mit der linken (siehe Abb. 4). Die Gruppe um Dehaene schloss daraus, dass kleinere Zahlen auf der linken und größere Zahlen auf der rechten Seite im Einklang stehen mit der mentalen räumlichen Anordnung der Zahlen. Daraus folgert Dehaene, dass Zahlen mental nicht nur räumlich angeordnet sind, sondern dass sie im geistigen Abbild ebenfalls eine Richtung von links nach rechts aufweisen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Der SNARC-Effect. Unterschiede in der Reaktionsgeschwinigkeit nach rechter und linkerHand, in: Hubbard, Piazza, Pinel & Dehaene (2005) S. 436.

Etwas abgemildert trat dieser Effekt auch bei mehrstelligen arabischen Zahlen sowie verbalen Zahlworten auf. Es ergaben sich keine Unterschiede zwischen Links- und Rechtshändern, selbst dann nicht, wenn die Arme überkreuzt wurden (Dehaene, Bossini & Giraux, 1993).

Im Gegensatz zum westlichen Kulturraum zeigten sich bei zusätzlichen Studien Dehaenes (ebd.) im arabischen Raum allerdings Effekte in die entgegengesetzte Richtung. Dies könnte aus der umgekehrten Schreibrichtung resultieren.

Der SNARC-Effect lässt sich jedoch nicht nur horizontal sondern auch vertikal nachweisen. Bei diesem Versuchsaufbau sind die Tasten für die Entscheidung zur Größe der Zahl nicht links und rechts vor dem Probanden aufgebaut, sondern statt dessen näher und weiter entfernt vor ihm angebracht. Die Reaktionszeiten sind für eine vertikal entferntere Taste kürzer, wenn die Zahl größer ist, und für die näher liegende Taste kürzer, wenn die Zahl kleiner ist (Müller, 2006, S. 56; Ito & Hatta, 2004). Konsistent dazu sind auch die Daten von Schwarz und Keus (2004), die durch Überprüfung der Augenbewegung („eye-tracking“) weitere Hinweise darauf geben, dass es einen vertikalen SNARC-Effect gibt (ebd., S. 659). Der SNARC-Effect scheint damit zumindest teilweise abhängig von Umwelteinflüssen zu sein. Es bleiben also noch ungeklärte Fragen zur genauen Art des Effektes. Möglich ist, dass es sich nicht um einen manifesten mentalen Strahl handelt, sondern um eine Repräsentation, die im Moment des Gebrauchs generiert wird (wie z. B. Seron & Pesenti, 2001 annehmen).

Inzwischen wurden Experimente zum SNARC-Effect sehr häufig repliziert und immer wieder abgewandelt. Einen guten Überblick über die Replikationen gibt die Meta­analyse von Wood, Willmes, Nuerk und Fischer (2008). Ein Ergebnis dieser Metaanalyse ist, dass der SNARC-Effect sich erst im mittleren bis späten Grund­schulalter herausbildet. Einige Studien zeigen den SNARC-Effect schon ab acht Jahren, die meisten jedoch eher ab etwa zehn Jahren. In allen alterssensiblen Studien wurde eine signifikante Zunahme des SNARC-Effekts festgestellt (ebd., S. 504, 510).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Zahlen von Menschen mental sowie nonverbal repräsentiert werden. Numerisch dichtere Zahlen werden auch mental näher beieinander liegend repräsentiert (siehe Distanzeffekt Kap. 2.2.1). Die Repräsentation scheint ähnlich wie bei einigen physikalischen Reizen nicht linear, sondern logarithmisch zu verlaufen. Größere Zahlen erscheinen Menschen bei gleichem numerischen Abstand dichter beieinander zu liegen als kleinere Zahlen (siehe Größeneffekt Kap. 2.2.2). Diese numerische Größe von Zahlen wird beim Menschen automatisch aktiviert, selbst dann, wenn eigentlich nach der physikalischen Größe einer geschriebenen Zahl gefragt ist (siehe SiCE Kap. 2.2.3).

Durch den SNARC-Effect (siehe Kap 2.2.4) wurde nun aufgezeigt, dass relativ größere Zahlen eher mit der rechten Hand und weiter entfernt assoziiert werden, während kleinere Zahlen eher mit der linken Hand und näher assoziiert werden. Daraus wurde geschlossen, dass es sich bei der mentalen Repräsentation von Zahlen um eine Anordnung handelt , die von links unten nach rechts oben gerichtet ist.

2.3 Modelle mentalerZahlverarbeitung

Neben den in Kapitel 2.2 dargelegten Effekten gibt es zudem Einzelfallstudien, die für eine Zahlverarbeitung sprechen, die zu Teilen auch nonverbal geschieht. Anhand eines Beispielpatienten wird dies von Dehaene und Cohen (1991) gezeigt. Neben dem Aufzeigen des Effektes geht es hier auch um eine Modellbildung, wie numerische Informationen überhaupt beim Menschen verarbeitet werden. Die Modellbildungen verliefen historisch parallel zu den Untersuchungen der Effekte aus Kapitel 2.2. Der Übersichtlichkeit halber werden sie nachfolgend in chronologischer Reihenfolge dargestellt. Auch die Modelle zur Zahlverarbeitung haben sich über einen längeren Zeitraum hin verändert: Anfangs unterschieden viele Modelle nicht explizit zwischen einem verbalen und einem analogen Anteil der Zahlverarbeitung (z.B. McCloskey, Caramazza & Basili, 1985 und McCloskey & Macaruso, 1995). Diese explizite Trennung entwickelten erst Dehaene und Cohen in ihrem 1991 vorgestellten Dual-Route-Modell, welches die Grundlage für das später vorgestellte Triple-Code-Modell von Dehaene (1992) bildet. Diese explizite Trennung entwickelten Dehaene und Cohen in ihrem 1991 vorgestellten Dual-Route-Modell. Als Beispiele für eine sprachfreie, intuitive Wahrnehmung der Anzahl nahm Dehaene das simultane Erfassen kleiner Anzahlen (subitizing) sowie das Abschätzen bei größeren Anzahlen an. Dieses Modell bildete zudem die Grundlage für das später vorgestellte Triple-Code-Modell von Dehaene (1992).

2.3.1 Das Dual-Route-Modell als Vorgänger des Triple-Code-Modells

Die Verarbeitung numerischer Informationen siedelten Dehaene und Cohen (1991) nicht mehr im sprachlichen Modul, sondern in einem neu erkannten analogen Modul an. Demnach können numerische Informationen auch vollkommen sprachfrei aufgenommen und verarbeitet werden.

Die Studie von Dehaene und Cohen (1991) stützt die These einer sprachfreien Zahlverarbeitung. Sie handelt von einem Patienten, der in Teilen der mathematischen Fähigkeiten und im sprachlichen Bereich (Lesen und Schreiben), stark beeinträchtigt war. Der beschriebene Patient konnte weder Ergebnisse von Additionen angeben noch bei vorgelegten Ergebnissen richtige von falschen unterscheiden. Interessanterweise konnte er jedoch mit sehr hoherWahrscheinlichkeit benennen, ob ein Ergebnis näherungsweise richtig (2+2=5) oder weit von der richtigen Lösung entfernt war (2+2=9). Dies stützte die These von Cohen und Dehaene, dass es eine analoge Kodierung geben müsse, die über Distanzempfindungen zu funktionieren scheint. Dehaene et al. (ebd.) untersuchten bei diesem Patienten ebenso die Fähigkeit, arabische Zahlsymbole und gesprochene Zahlworte auf einem Zahlenstrahl zu positionieren. Dies gelang dem Patienten recht genau (ebd., S. 1065).

Daraufhin entwickelten Dehaene und Cohen ihr Zwei-Routen-Modell (siehe Abb. 5). Die Besonderheit dieses Modells gegenüber den bereits vorhandenen besteht in der Trennung nach der Repräsentationsform numerischer Informationen. Je nachdem, ob eine bloße Symbolverarbeitung („symbolic representation“) oder eine analoge Einordnung in einen Kontext gefragt ist („magnitude representation“), werden numerische Informationen nach diesem Modell auf unterschiedlichen Routen verarbeitet. Die symbolische Repräsentation stellt für Dehaene et al. (ebd.) dabei die eine Route dar (siehe Abb. 5). Die andere, analoge Route ist für Dehaene et al. (ebd.) jedoch die weitaus wichtigere Route, da sie die bedeutungsgebende ist. Am Beispiel des Patienten wurde gezeigt, dass die beiden Routen dabei unabhängig voneinander funktionieren und der Ausfall einer Route die andere nicht beeinträchtigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Vorgeschlagenes Zwei-Routen Modell von Dehaene & Cohen (1991, S. 1069)

Original-Bildunterschrift: Fig. 6. Schematic diagram of proposed dual-route model of numberprocessing.

Das Dual-Route-Modell wurde als Gegenentwurf zu bereits vorhandenen Modellen der rein sprachlichen Verarbeitung von Zahlen entwickelt (z.B. McCloskey et al. 1985, 1995). Eine komplette Nichtbeachtung der Sprache zeigte sich jedoch als Nachteil bei der Anbindung dieses Modells an Studien, in denen verbale Komponenten eine Rolle spielten. Des Weiteren fehlte im Dual-Route-Modell die Einbeziehung einer Interaktion zwischen den beiden getrennten Routen. Diese Ideen wurden im Multi-Route-Modell aufgenommen.

2.3.2 Dehaenes Triple-Code-Modell

1992 integrierte Dehaene die sprachliche Komponente in das Zwei-Routen-Modell von 1991 (siehe Abb. 5) und erarbeitete daraus ein Multi-Route-Modell und und nannten dieses Modell „Triple-Code-Modell“ (siehe Abb. 6). Zwei wesentliche Änderungen kennzeichneten dieses Modell: Die symbolische Repräsentationsform differenzierte er in eine arabisch-symbolische und eine auditiv-verbale Repräsentationsform. Damit band er auch die Sprache in sein Modell ein. Die im Dual-Route-Modell „magnitude representation“ genannte Route blieb als analoges Modul vorhanden. Der Name „Multi-Route-Modell“ sollte dabei anzeigen, dass es in diesem Entwurf keine festgelegten Routen der Informationen mehr gibt. Statt dessen kommen durch jedes der drei Module (auditiv-sprachlichen Modul, arabisch­symbolischen Modul und analog-semantischen Modul) Informationen herein und werden in Informationen für die anderen Module umgewandelt. Dehaene geht damit von drei Modulen aus, die selbstständig arbeiten, jedoch in enger Interaktion stehen. Obwohl dieses Modell als Multi-Route-Modell bezeichnet wird, trifft diese Benennung nur bedingt zu, da es keine alternativen Routen gibt. Stattdessen wird eine Information grundsätzlich in alle Codes umgewandelt und steht damit in allen Modulen bereit. Jedes Modul kann dabei Informationen aus der Umwelt aufnehmen und abgeben.

Im Triple-Code-Modell (siehe Abb. 6) geht es um die drei Schritte der Informationsentnahme aus der Umwelt, der internen Verarbeitung durch die Zusammenarbeit der drei Module sowie der Informationsabgabe an die Umwelt. Diese werden im Folgenden einzeln dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalte

Abbildung 6: Triple-Code-Modell (Dehaene, 1992, S.31)

Original Bildunterschrift: Schematic representation of the proposed triple-code model. The three cardinal representations are depicted as octagons. Large arrows indicate input- outputprocesses, thin arrows internal translationprocesses, andflashes operations specific to each representation. The diagram only sketches the modes ofconnections between variousprocesses, several ofwhich could befurther analysed into subcomponents (e.g., counting, arabic-to-verbal translation).

Informationsentnahme:

Numerische Informationen werden aus der Umwelt durch eines der drei Module entnommen. Dies kann durch Sehen, Hören oder Fühlen geschehen. Gesprochene und geschriebene Zahlworte werden im auditiv-sprachlichen Modul aufgenommen (z.B. das gelesene und gehörte Zahlwort „sechs“). Zahlen in Ziffernschreibweise werden im arabisch-symbolischen Modul aufgenommen (z.B. die gelesene Zahl „6“). Anordnungen von Mengen werden im analog-semantischen Modul aufgenommen (z.B. die Anordnung „ //////“).

Informationsverarbeitung:

Nach der Aufnahme einer numerischen Information durch eines der drei Module kommt es sofort zu einer Umwandlung und Weitergabe der Information, sodass diese auch in den anderen beiden Modulen verfügbar ist.

Die Verarbeitung der numerischen Information kann in jedem der drei Module geschehen. Im arabisch-symbolischen Modul werden zum Beispiel schriftliche Additionen und Paritätsentscheidungen (gleich/ ungleich) durchgeführt. Dort werden die einzelnen Ziffern repräsentiert (z.B. 46 als >4< >6<). Im auditiv-sprachlichen Modul geschieht ein Faktenabruf, wie der Abruf des Einmaleins und der Zahlwortreihe, aber auch eine syntaktische Verarbeitung (z.B. 46 als vierzig und sechs). Das analoge Modul wird benötigt, um der Information eine Semantik zu geben. In diesem Modul wird nach Dehaene die numerische Information in einen Größenkontext eingefügt und damit in Relation zu anderen Zahlen gesetzt. Erst dadurch erhält die numerische Information laut Dehaene einen Sinn. Die Kernaussage des Triple-Code-Modells ist, dass numerische Informationen parallel in allen drei Codes vorgehalten werden, die Sinngebung (Kontextrelation) einer numerischen Information jedoch nicht im sprachlichen Zentrum, sondern im nicht­sprachlichen analogen Modul geschieht.

Diese Sinngebung innerhalb des analogen Moduls geschieht laut Dehaene durch die Einordnung der numerischen Information auf einem mentalen Zahlenstrahl. Auf diese Weise kann die neue Information mit Vergleichsmengen und -größen in Beziehung gesetzt werden und erhält dadurch eine Bedeutung wie mehr/ weniger oder viel/ wenig (vgl. Dehaene, 1992, S. 20; siehe mentale Zahlrepräsentation Kap. 2.4).

Informationsabgabe:

Informationen können nach Dehaene durch das symbolische (geschriebene Ziffern) und das auditiv-sprachliche Modul (gesprochene Zahlworte) an die Umwelt abgegeben werden. Die Abgabe von Informationen an die Umwelt stand bei der Entwicklung des Modellsjedoch nicht im Fokus Dehaenes.

In diesem Kapitel wurde aufgezeigt, wie sich die Ergebnisse von vielen psychologischen Versuchen (siehe Kapitel 2.2) in einem Modell abbilden lassen, welches alle Möglichkeiten numerischer Informationsverarbeitung abdeckt. Für Dehaene ist dabei besonders der analoge Code der Bedeutungsgebung als Kontextuierung wichtig. Um diesen analogen Teil geht es im folgenden Kapitel.

2.4 Die mentale Zahlrepräsentation

„Betrachtet man das Rechnen im Kopf, dann wird schnell deutlich, dass wir Zahlen räumlich repräsentieren: Wir denken sie uns meist auf einer Zahlengerade, die die Abstände und Beziehungen zwischen Zahlen abzubilden versucht. So können wir einzelne Zahlen nicht denken sondern nur immer in Relation zu anderen; die 16 liegt zwischen 10 und 20 ungefähr in der Mitte, ganz nahe an der 15, etc.“ (Lorenz, 2002, S. 24)

In Kapitel 2.2 wurde durch den Größen-, Distanz und den Size-Congruency-Effekt gezeigt, dass es sehr starke Hinweise dafür gibt, dass Zahlen mental räumlich repräsentiert werden. Außerdem konnte durch den SNARC-Effect belegt werden, dass diese räumliche Repräsentation von unten nach oben bzw. links nach rechts gerichtet ist. Zahlen sind mental sehr wahrscheinlich nicht an einem (schwarzen) Strahl wie dem zeichenbaren Zahlenstrahl aufgereiht. Zahlen scheinen mental eher an einer Geraden ausgerichtet repräsentiert zu sein. Dies lässt sich als mentaler Zahlenstrahl denken. Erste Ideen zum Zahlenstrahl gibt es, wie in Kap. 2.1 dargestellt, schon sehr lange. Der introspektive Weg brachte jedoch keine weiteren Erkenntnisse, sodass die hier vorgestellten Arbeiten vom impliziten mentalen Zahlenstrahl handeln, der also vom Menschen selbst nicht direkt wahrgenommen werden kann.

Im folgenden Kapitel geht es um die Eigenschaften dieses mentalen Zahlenstrahls. Die Forschung in diesem Bereich wurde gerade in letzter Zeit stark von Ergebnissen verschiedener Arbeitsgruppen um Siegler geprägt. Zunächst werden wiederum die anfänglichen Ideen zur impliziten mentalen Zahlrepräsentation aufgegriffen, um daraufhin den heutigen Stand der Forschung darzulegen.

In einigen Versuchen beobachtete Restle (1970), wie viel Zeit Probanden für einfache Größenvergleichsaufgaben brauchten und gab zu bedenken, dass die Daten am besten zu der Idee eines mentalen Zahlenstrahls passen würden (ebd., S.277). Damit war die alte Idee Galtons (siehe Kapitel 2.1) wieder aufgegriffen - aber mit gänzlich anderen Methoden hergeleitet (vgl. Restle, 1970). In einem viel beachteten Aufsatz beschrieb Resnick (1983) konkrete Ideen zur Ausprägung einer impliziten, mentalen Zahlrepräsentation. Sie beschreibt dort eine Entwicklung des mentalen Zahlenstrahls von der Kindheit bis ins Erwachsenenalter. Das Modell zeigt, wie der Zahlenstrahl bei Kindern zum Zeitpunkt des Schuleintritts ausgeprägt sein könnte. Besonders ist, dass es sich bei Resnicks Vorschlag nicht um einen rein räumlichen, sondern um eine Mischung aus räumlichem und assoziativem Strahl handelt. Zur räumlichen Ausprägung nach rechts kommt die assoziative Ausprägung der Mengen als Würfelbilder hinzu (siehe Abb. 7).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Erste Ideen zum mentalen Zahlenstrahl (Resnick, 1983, S. 110), orig. Bildunterschrift: The mental number line

Resnick geht weiter davon aus, dass die kardinale Repräsentation im Bereich der kleinen Zahlen eine wichtige Rolle spiele. Im größeren Zahlbereich hingegen würden Aufgaben auch von den Kindern im Vorschulalter ohne eine direkte kardinale Repräsentation über das Verständnis von Vorgänger- und Nachfolgerbeziehungen gelöst. Schon in der Vorschulzeit erlernten einige Kinder die Kompetenz auch rückwärts zu zählen. Dies gibt ihnen nach Resnick die Möglichkeit, sich mental auf dem Zahlstrahl vorwärts und rückwärts zu bewegen (siehe Abb. 8). Resnick selbst hat zur mentalen Zahlrepräsentation keine empirischen Befunde angeführt.

Die beiden Modelle Resnicks zum impliziten Zahlenstrahl bilden neben den Forschungsergebnissen aus den Kapiteln 2.2 und 2.3 die Ausgangslage für weitere Forschung im Bereich der mentalen Zahlrepräsentation.

2.4.1 Messung der mentalen Zahlrepräsentation

Wie bereits dargelegt, kann die mentale Zahlrepräsentation nicht selbst introspektiv aufgezeichnet werden (siehe Kapitel 2.1). Die Modelle von Resnick (1983) sind Ideen ohne empirische Befunde. Bereits in Kapitel 2.2 und 2.3 wurden Ergebnisse dargelegt, die auf eine mentale räumliche Anordnung von Zahlen hinweisen. Die Frage ist, ob es Ergebnisse gibt, die diese Effekte etwas genauer beschreiben können. In diesem Kapitel geht es deshalb um Möglichkeiten und Grenzen der Messung der mentalen Zahlrepräsentation.

Neben den Formen, die auch zum Nachweis des Größeneffektes angewandt werden (siehe Kap. 2.2.2), kommen hauptsächlich Verfahren zum Einsatz, bei denen die Probanden vorgegebene Zahlen in einen numerischen Kontext einordnen sollen (siehe Abb. 9a, 9c) oder umgekehrt angeben, welche Zahl innerhalb des vorgegebenen Kontextes eine bestimmte Position einnimmt (siehe Abb. 9b). Die Annahme dabei ist, dass jeder Mensch Zahlen mental und räumlich gerichtet repräsentiert, diese Ausrichtung aber unterschiedlich entwickelt und präzise ist. Über mehrere Messungen verschiedener Zahlen bzw. Positionen kann überprüft werden, wie ausgeprägt und genau diese Repräsentation ist. Mit Linearität der mentalen Zahlrepräsentation ist nicht gemeint, dass die Zahlen in einer Reihe nebeneinander im Kopf positioniert sind, sondern die „Gleichabständigkeit“ („Äquidistanz“) von einer Zahl zur nächsten. Der Abstand von eins zu drei ist so groß wie der von 101 zu 103. Dies lässt sich bei Messungen linear aufzeichnen (siehe Abb. 10) - daher kommt der Name linearer Zahlenstrahl. Dasselbe gilt für den „logarithmischen Zahlenstrahl“. Damit ist nicht gemeint, dass Zahlen im Kopf auf einer Kurve „sitzen“, sondern dass sich die Ergebnisse einer Messung zum „gefühlten“ Abstand von Zahlen am besten durch eine logarithmische Kurve aufzeichnen lassen.

Für Aufgaben zur Messung der Genauigkeit der mentalen Zahlrepräsentation wird inzwischen hauptsächlich ein Aufgabentyp mit einem Zahlenstrahl in Variationen genutzt (siehe als Beispiel die Abbildungen 9a-c). Folgende Parameter werden dabei variiert:

- Senkrechter Strich vs. waagerechter Strich: Dies geht auf die Ergebnisse des SNARC-Effects zurück. Der SNARC-Effect wurde in horizontaler wie auch in vertikaler Richtung nachgewiesen (siehe Kap. 2.2.4).
- Unterteilung durch Striche vs. Leerer Zahlenstrahl: Auf dem Strich sind vier bis fünf Querstriche eingezeichnet (siehe Abb. 9c). Die Probanden sollen angeben, welcher der Striche am ehesten dem angegebenen Wert entspricht. Beim „Leeren Zahlenstrahl“ hingegen soll die Position frei eingetragen werden. (siehe Abb. 9a). Diese Form der Abschätzung als Zahl-zu-Positions- Aufgabe stellt für Whyte und Bull (2008, S. 589) eine hilfreiche Methode dar, die mentale Repräsentation zu erfassen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9: Messvarianten zur linearen Zahlrepräsentation

a. ) Beispielfrage bei dieser Art von Aufgabe: An welcher Position befindet sich die „ 2 “?
b. ) Beispielfrage bei dieser Art von Aufgabe: Welche Zahl befindet sich an der markierten Position?
c. )Beispielfrage bei dieser Art von Aufgabe: Welcher Strich entspricht am ehesten der „3“?

Zwei Verfahren finden vornehmlich Anwendung in Literatur und Praxis: zum einen der Aufgabentyp zur Positionsentscheidung (Abbildung 9c, u.a. im Testverfahren Zareki-K, siehe Kap. 6.2.1) sowie der von den Sieglergruppen favorisierte Aufgabentyp mit leerem Strich in waagerechter bzw. senkrechter Position (siehe Abbildung 9a; u.a. Siegler & Opfer, 2003; Siegler & Booth, 2004; Booth & Siegler, 2006; Laski & Siegler, 2007; Opfer & Siegler, 2007; Opfer & Thompson, 2008; Siegler & Ramani, 2009; Landerl & Kaufmann, 2008).

Das Auswertungsverfahren für die Testungen von Siegler und Booth (2004) gestaltet sich anders als bei herkömmlichen Testverfahren. Bei normalen Testverfahren können Lösungs- bzw. Ratewahrscheinlichkeiten angegeben werden, um daraus zu ersehen, ob Probanden signifikant von dieser Ratewahrscheinlichkeit abweichen. Als theoretische Schwierigkeit ergibt sich bei dem von Siegler genutzten Aufgabentyp, dass dies prinzipiell nicht möglich ist (siehe Abb. 10). Die Probanden zeichnen eine

Position ein, die eine bestimmte Abweichung von der korrekten Position aufweist. Wie von Siegler getan, kann eine durchschnittliche Abweichung angegeben werden, doch dies sagt nichts über die Ratewahrscheinlichkeit aus. Es bleibt die Möglichkeit einen Cut-off-Wert zu definieren. Dadurch kann bestimmt werden, bis zu welcher prozentualen Abweichung eine Antwort als richtig gilt. Somit könnte neben dem kontinuierlichen Wert des prozentualen Unterschiedes eine dichotome bzw. bei zwei Cut-off-Werten eine trichotome Angabe generiert werden. Daraus wiederum ließe sich auch die Ratewahrscheinlichkeit ermitteln. In den Arbeitsgruppen um Siegler wird die Leistung der Probanden über die prozentuale Abweichung vom richtigen Wert über folgende Formel gemessen (Siegler & Booth, 2004, S. 432):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der „Schätzwert“ ist dabei der Wert, der von der Probandin/ dem Probanden ge­schätzt wird. Der „zu schätzende Wert“ ist der numerisch richtige Wert und der „Skalenwert der Schätzung“ bezeichnet die Spreizung von der linken zu rechten Begrenzung auf dem dargebotenen Strahl. Sollte es sich zum Beispiel um eine Skala bis 20 handeln, der „zu schätzende Wert“ 15 betragen und die Probandin/ der Proband bei zwölf ihren „Schätzstrich“ eingetragen haben, wird folgendes gerechnet:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Dies entspricht also einer Abweichung von 15 Prozent. Anschließend wird berechnet, ob sich die Schätzungen der Schülerinnen einer Altersklasse eher einer Geraden annähern oder eher logarithmisch verlaufen. Logarithmisch sind Schätzungen, bei denen kleinere Zahlen eher überschätzt werden. Abbildung 10 zeigt eine typische Kurve, bei der die Schätzungen für die Zweitklässler eher einer logarithmischen Kurve folgen, für die Viertklässler eher einer linearen.

Die Methode der Messung der prozentualen Abweichung behält Siegler auch in den aktuelleren Studien bei - mit dem Unterschied, dass in neueren Studien teilweise das Medium geändert wurde. Statt eines Paper-Pencil-Designs werden die Aufgaben computergestützt auf dem Monitor dargeboten. Die Probanden klicken dabei mit der Maus an die Stelle, an der sie die Zahl auf dem leeren Strahl positionieren möchten (z. B. Booth & Siegler, 2008). Die Entwicklung der mentalen Zahlrepräsentation wird in Kap. 3.5 noch einmal genauer dargestellt.

2.4.2 Kulturelle Unterschiede der mentalen Zahlrepräsentation

Dehaene, Izard, Spelke und Pica (2008) sind der Frage nachgegangen, ob die Ausbildung einer äquidistanten Zahlrepräsentation durch bloße Reifung oder durch Ausbildung geschieht. Sie verglichen dafür die Ergebnisse eines indigenen Volkes ohne formale mathematische Bildung mit den Ergebnissen aus westlichen Kulturen. Genutzt wurde dazu der leere Zahlenstrahl, mit einem Punkt auf der linken Seite (als Markierung für 1) und zehn Punkten aufder rechten Seite (als Markierung für 10). Daraufhin wurde den Probanden eine Sequenz von bis zu zehn Tönen vorgespielt. Sie sollten auf dem leeren Zahlenstrahl die korrespondierende Position zeigen. Mit dem selben Versuchsaufbau wurden den Probanden in einem weiteren Versuch Zahlen von eins bis zehn in ihrer Stammessprache gesagt und sie sollten wiederum aufdem Zahlenstrahl die passende Position zeigen. Um den Einfluss der Sprache zu klären wurde dies in einem weiteren Versuch in der Amtssprache portugiesisch wiederholt. Die Anforderungen der Aufgaben wurden problemlos von allen Probanden verstanden. Die Auswertungen ergaben, dass die Antworten des indigenen Volkes durchweg eher einer logarithmischen als einer linearen Kurve glichen. Es zeigten sich keine Unterschiede des Geschlechts. Die Erwachsenen zeigten geringfügig bessere Leistungen als die Kinder; jedoch immer noch weit von der Linearität entfernt. Es fanden sich signifikante Unterschiede innerhalb des Volkes, in Abhängigkeit von ihrer formalen Bildung. Die Probanden aus westlichen Kulturen antworteten dagegen eher einer linearen Repräsentation entsprechend. Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass der Übergang von der logarithmischen zur linearen Zahlrepräsentation auf Bildung und Erfahrung im Umgang mit Zahlen und nicht auf bloße Reifung zurückzuführen ist. Formale Bildung führt anscheinend zu einem Unterschied bei der Repräsentation von Zahlen.

In der Studie von Dehaene, Izard, Spelke und Pica (ebd., S. 1218) zeigte sich jedoch auch, dass bei größeren Zahlbereichen ein Unterschied in der Verarbeitungsform zwischen präsentierten Mengen und gesprochenen Zahlworten besteht. Im Unterschied zur Präsentation von bis zu zehn Tönen bzw. Punkten ergab sich im Bereich von bis zu 100 Tönen bzw. Punkten, dass auch in westlichen Kulturen tendenziell Antworten gegeben werden, die eher einer logarithmischen Kurve folgen. Dies gibt meines Erachtens einen Hinweis darauf, dass Anzahlen in größeren Zahlbereichen nicht als Zahlen, sondern vielleicht eher in der geometrischen Ausdehnung wahrgenommen und gar nicht mehr numerisch kodiert werden. Dies würde eher zu den Ergebnisse einer logarithmischen Kurve passen, die Fechner bereits I860 für die Zunahme von Reizempfindungen bemerkt hat (siehe Kap. 2.2.2). An dieser Stelle zeigt sich die Schwierigkeit, dass mit zwei scheinbar nur minimal unterschiedlichen Verfahren, ganz verschiedene mentale Repräsentationen angesprochen werden.

2.4.3 Fazit zur mentalen Zahlrepräsentation

Bereits im 19. Jahrhundert gab es Überlegungen zu der Ausprägung eines möglichen mentalen Zahlenstrahls. Doch Galtons Versuche 1880, dieses Phänomen auf dem introspektiven Weg zu analysieren, scheiterten. Studien mit Reaktionsgeschwindigkeits-Tests lieferten Hinweise dafür, dass Zahlen bei Menschen mental räumlich angeordnet sein könnten. Diese verdichteten sich durch weitere Variationen der Testverfahren. Schließlich wurden die Ergebnisse zum Distanz-, Größen- und Size-Congruency-Effekt zusammengefasst (siehe Kap. 2.2.1­2.2.3). Der durch eine weitere Variation entdeckte SNARC-Effect gab darüber hinaus Hinweise darauf, dass Zahlen nicht nur beliebig räumlich repräsentiert werden, sondern dass die Repräsentation auch räumlich geordnet ist. Positionen wie 'unten' und 'links' werden mit kleineren Zahlen assoziiert; Positionen wie 'oben' und 'rechts' sind mit größeren Zahlen verbunden (siehe Kapitel 2.2.4).

Aus diesem räumlich-gerichteten Verständnis von Zahlen lässt sich die Existenz einer impliziten, mentalen Zahlrepräsentation ableiten. Die Genauigkeit dieser Repräsentation kann mittels inzwischen häufig erprobter Testverfahren ermittelt werden. Des Weiteren zeigt sich, dass sich die Qualität der Repräsentation durch formale Bildung im Bereich Mathematik verändert und diese präzisiert (siehe Kapitel 2.4).

Auf der Basis vieler Untersuchungsergebnisse haben Dehaene und Cohen (1991) ein Modell der Verarbeitung numerischer Informationen entwickelt. Numerische Informationen werden demnach mental in drei Modulen verarbeitet: der analogen Mengenrepräsentation, der arabischen Zahlzeichenrepräsentation und der Repräsentation des Zahlwortes. In allen drei Modulen können numerische Informationen aufgenommen werden. Unabhängig vom aufnehmenden Modul werden die Informationen in die Codes aller drei Module umgewandelt und können dort verarbeitet werden. Dem analogen Modul kommt bei der Informationsverarbeitung die Aufgabe zu, numerische Informationen in ihren Kontext einzuordnen und mit einer Semantik zu belegen. Erst durch diese Einordnung der Zahlen in einen Kontext ist es möglich, Bedeutungen wie „eine große Zahl“ und „eine kleine Zahl“ zu bestimmen (siehe Kap. 2.2).

Durch Untersuchungen von Dehaene, Izard, Spelke und Pica (2008) ist es gelungen, kulturelle Vergleiche anzustellen und dabei die Wichtigkeit der Vertrautheit mit Zahlen für die Ausprägung der mentalen Zahlrepräsentation zu zeigen. Es zeigte sich aber auch, dass kleine Veränderungen bei der Präsentation des Tests möglicherweise große Unterschiede für die mentale Repräsentation bedeuten.

Insgesamt lässt sich festhalten, dass es klare Hinweise für eine mental räumlich­gerichtete Anordnung von Zahlen - also den mentalen Zahlenstrahl - gibt. Auch seine Gestalt lässt sich, wie gezeigt wurde, recht genau bestimmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Die Entwicklung des Zahlbegriffes

Der in diesem Kapitel behandelte Zahlbegriff kann in zwei Richtungen entfaltet werden. Für die mathematikwissenschaftliche Richtung und den formalen Aufbau des Zahlsystems sei auf Dedekinds Vorlesung zur Differenzial- und Integralrechnung von 1861/62 (vgl. Dedekind, 1985) sowie die Einleitung zur „Principia Mathematica“ von Whitehead und Russell aus dem Jahr 1910 (vgl. Whitehead & Russel, 1994) verwiesen. Für diese Arbeit ist lediglich die mathematikdidaktische Diskussion zur Frage des Zahlbegriffs relevant.

Im Folgenden wird untersucht, wie sich das Zahlbegriffsverständnis in unterschiedlichen Kulturen entwickelt hat und bei Kindern jeweils neu entwickelt. Leitthemen sind hierbei das Erlernen des Mengenverständnisses, ebenso wie das Zählen lernen.

3.1 Kulturhistorische Entwicklung des Zahlbegriffs

Über die ersten Anfänge des Umgangs von Menschen mit Zahlen kann nur spekuliert werden. Dantzigs Vermutungen, dass Zahlen zunächst zum Feststellen von Besitz (z.B. der Anzahl von Tieren) genutzt wurde, erscheint gut möglich (siehe Kap. 2.1). Von alten Kulturen wie den Ägyptern, Chinesen und Maya sind Aufzeichnungen von Zahlzeichen bekannt. Studien über noch heute lebende, sogenannte „primitive“ Völker zeigen, dass dort nur Zahlworte für Zahlen bis „zwei“ oder „drei“ existieren und alles darüber hinaus mit „mehr“ und „viel mehr“ bezeichnet wird. (vgl. Rautenberg, 1993, S.2). Auch die Schreibweise von Zahlen der verschiedenen antiken Kulturen ist recht ähnlich. Es wurde eine Anzahl von Zeichen (meist Striche oder Punkte) in Übereinstimmung mit der gemeinten Anzahl aufgezeichnet. Ab einer bestimmten Anzahl wurde ein neues Symbol als Bündelung eingeführt. Später sind dann Symbole für die Bündelung des Bündelungssymbols eingeführt worden. Rautenberg nennt dieses Prinzip „Kollektionsprinzip“ (ebd.). Für die Addition und Subtraktion hat dieses Prinzip eine große Anschaulichkeit. Schwierigkeiten ergeben sich jedoch bei der Multiplikation und bei der Division. So hat sich das Positionssystem unter Einbeziehung der Ziffer '0' wegen der Möglichkeit einfacher Multiplikations- und Divisionsregeln durchgesetzt.

Doch der Widerstand war in Europa, bis ins Mittelalter hinein, groß: Denn das „Kollektionsprinzip“ ist näher liegend und erscheint daher erst mal einfacher.

Das Dezimalsystem hat sich sehr wahrscheinlich auf Grund der Anzahl unserer Finger durchgesetzt. Ein anderes System ist für uns im täglichen Leben nur schwer denkbar. Faktisch wäre es leichter mit einem Oktalsystem zu arbeiten (vgl. Rautenberg, 1993, S.2). Dabei würden die Ziffern acht und neun wegfallen. Vereinfacht wäre zum Beispiel die Berechnung von 2n. Die Reihe würde 2; 4; 10; 20; 40; 100; 200; 400; 1000 usw. lauten und somit viel klarer sein als im Dezimalsystem mit 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512. Mit diesem Exkurs soll gezeigt werden, dass Menschen das bekannte System meist auch für das beste halten und ihnen Änderungen zunächst enorm schwierig erscheinen.

Das Zahlsystem hat sich also langsam entwickelt und verändert sich möglicherweise noch weiter. Jeder Mensch muss beim Erlernen der Mathematik die Entwicklung ein Stück weit wieder neu vollziehen - jedoch mit dem Vorteil, dass manche Umwege nicht mehr gegangen werden müssen.

3.2 Zahlaspekte

Wir nutzen heute selbstverständlich die selben Zahlworte wenn wir drei Bäume oder drei Tage benennen wollen. Doch die Idee, dass eine Zahl für mehrere Aspekte genutzt werden kann, hat sich in der Kulturgeschichte der Zahlen erst entwickelt.

Ursprünglich gab es wohl für verschiedene Gebräuche von Zahlen auch verschie­dene Benennungen. Sehr konkret wurde der Zahlgebrauch in der „Tsimshian- Sprache“ der Ureinwohner in der kanadischen Provinz „British Columbia“ genutzt. Dort gab es eigene Zahlworte für „flache Objekte und Tiere“, für „runde Objekte und Zeit“, um „Männer“ zu zählen, für „lange Objekte und Bäume“, für „Kanus“, für „Maße“ und wiederum eine eigene Zählweise, wenn kein konkretes Objekt gemeint war. Der letztgenannte Gebrauch ist wohl auch zeitlich zuletzt entstanden (vgl. Dantzig, 1930, S. 6). Erst einige Jahrhunderte später wurden die selben Zahlworte für verschiedene Gegenstände und späterwiederum für unterschiedliche Zahlaspekte genutzt.

Diese verschiedenen Nutzungsmöglichkeiten und die Komplexität von Zahlen müssen von Kindern neu durchdrungen werden. Eine relevante Fragestellung der Mathematikdidaktik ist daher, wie Kinder die unterschiedlichen Aspekte von Zahlen verstehen lernen. Denn die Zahlaspekte werden nicht formal hergeleitet und bilden keine in sich abgeschlossenen Systeme. Stattdessen sollen die aufgeführten Zahlaspekte Mathematikdidaktikern sowie Lehrern dabei helfen, die Anwendungsbereiche von Zahlen benennen zu können.

Es gibt einige Beschreibungen von Zahlaspekten, die je nach Fokus des Autors in Schwerpunkt und Umfang variieren. Viel beachtet wurde die Beschreibung der Zahlaspekte von Radatz und Schipper (1983, S. 49, vgl. Tab. 1). Ergänzend wurde in der Tabelle 1 der von Stern (1998) vorgeschlagene Relationalzahlaspekt angefügt. Dieserwird sowohl im Entwicklungsmodell von Gerlach (2006, S.65f., siehe Kap. 3.7) als auch in dem in dieser Arbeit vorgestellten Modell zur mathematischen Kompetenzentwicklung (siehe Kap. 3.9) wieder aufgegriffen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Aspekte des Zahlbegriffs in Anlehnung an Radatz und Schipper (1983, S.49), Hinzunahme des Relationalzahlaspekts nach Stern (1998)

Als wichtigste Zahlaspekte werden der Kardinalzahlaspekt und der Ordinalzahlaspekt angenommen. Als Kardinalzahl bestimmt eine Zahl die Mächtigkeit einer Menge.

[...]