Die Kombination von Sprungprozessen und stochastischer Volatilität in der Optionsbewertung am Beispiel des Bakshi, Cao & Chen (1997) Modells für nicht-stochastische Zinsen

ABSTRACT

Das Optionspreismodell von Black und Scholes aus dem Jahr 1973 wurde in den Jahren nach der Veröffentlichung u.a. aufgrund der Annahme der Volatilität als konstant sowie des Fehlens der Modellierung von Sprüngen im Underlying kritisiert. Daher soll in dieser Arbeit die Implementation, Kalibrierung und Diskussion des Modells von Bakshi, Cao und Chen aus dem Jahr 1997 erfolgen, welches bestrebt ist, die Schwächen des Black-Scholes-Modells zu korrigieren.

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis..II

Tabellenverzeichnis..III

Abbildungsverzeichnis..IV

Abkürzungsverzeichnis..V

Symbolverzeichnis..VI

1. Einleitung..1

2. Vorstellung ausgewählter Modelle zur Optionsbewertung..2

2.1. Das Modell von Merton (1976)..2

2.2. Das Modell von Heston (1993)..2

2.3. Das Modell von Bakshi, Cao & Chen (1997) als Generalisierung der Modelle von Merton (1976) und Heston (1993) für den Fall nicht-stochastischer Zinsen..2

3. Implementation des Modells..5

3.1. Plausibilisierung anhand ausgewählter Optionen auf die Volkswagen-Aktie..5

3.2. Modellierbare Eigenschaften der impliziten Volatilitätsoberfläche..7

4. Kalibrierung des Modells..11

4.1. Kalibrierung anhand ausgewählter Optionen auf die Volkswagen-Aktie..11

4.2. Kalibrierung anhand ausgewählter Optionen auf den DAX..15

5. Fazit und Ausblick..17

Quellenverzeichnis..VII

1. Einleitung

Im Jahr 1973 gelang Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton ein entscheidender Durchbruch bei der Bewertung von europäischen Aktienoptionen, indem sie eine später als Black-Scholes-Merton-Modell bzw. auch Black-Scholes-Modell bekannt gewordene Bewertungsmethodik entwickelten.[1] Das Modell verwendet allerdings einige restriktive Annahmen, wie etwa die Annahme einer konstanten Volatilität. Auch wird der Zinssatz im Gegensatz zur Realität als konstant angenommen. Ein weiterer Schwachpunkt dieses Modells ist, dass es keine Sprünge im Underlying abbilden kann. Dies führte in den folgenden Jahrzehnten zu zahlreichen Modellen, die bestrebt waren das Modell von Black, Scholes und Merton zu verbessern. [2]

Die Zielsetzung dieser Seminararbeit ist daher, ein Modell aus dem Jahr 1997 von Gurdip Bakshi, Charles Cao und Zhiwu Chen zu untersuchen, das sowohl Sprünge des Underlyings als auch stochastische Volatilität und Zinssätze beinhaltet.[3]

Dafür werden in Kapitel 2 zunächst ausgewählte Optionspreismodelle von Robert Merton (1976) und Stephen Heston (1993) vorgestellt. Darauf aufbauend wird das Modell von Bakshi, Cao und Chen beschrieben, welches die Modelle von Merton (1976) und Heston (1993) generalisiert. Anschließend erfolgt in Kapitel 3 die Erläuterung der Implementation des Modells, welche mit der Software „Mathematica“ [4] durchgeführt wurde. Hier wird die Implementation zunächst anhand ausgewählter Optionsdaten der Volkswagen-Aktie plausibilisiert, ehe die modellierbaren Eigenschaften der impliziten Volatilitätsoberfläche herausgestellt werden. Danach folgt in Kapitel 4 die Beschreibung der Kalibrierung des Modells. Es werden geeignete Verfahren zur Kalibrierung ausgewählt und die Kalibrierung anhand der bereits in Kapitel 3 behandelten Optionsdaten zur Volkswagen-Aktie durchgeführt. Weiterhin werden die mit Hilfe des kalibrierten Modells erzeugten impliziten Volatilitätsoberflächen sowie die Abweichungen zwischen modellerzeugten und beobachteten Optionspreisen anhand geeigneter Fehlermaße dargestellt. Anschließend wird das Modell anhand von ausgewählten Optionen auf den DAX kalibriert. Darauf basierend wird zum
Abschluss ein Out-of-Sample-Test durchgeführt. In Kapitel 5 werden die Ergebnisse der Seminararbeit zusammengefasst und ein kurzer Ausblick gegeben.

2. Vorstellung ausgewählter Modelle zur Optionsbewertung

2.1. Das Modell von Merton (1976)

Das Modell von Robert Merton aus dem Jahr 1976 ist eines zahlreicher Modelle, die im Nachgang zum Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung entwickelt wurden. Es versucht die Schwäche des Black-Scholes-Modells, dass keine Sprünge des Underlyings modelliert werden, zu beseitigen. Hierfür wird das Black-Scholes-Modell um Sprünge erweitert. Die geometrisch Brownsche Bewegung wird mit Sprüngen kombiniert, welche von einem Poisson-Prozess generiert werden. Der Nachteil des Modells ist jedoch, dass die restriktive Annahme einer konstanten Volatilität bestehen bleibt. [5]

2.2. Das Modell von Heston (1993)

Bei eben dieser Annahme einer konstanten Volatilität des Black-Scholes-Modells setzt das Modell von Stephen Heston aus dem Jahr 1993 an. Heston gelingt in seinem Werk eine marktnahe Modellierung des Volatilitätssmiles. Für die Modellierung der Varianz wird ein Cox-Ingersoll-Ross-Prozess verwendet. Im Gegensatz zum Merton-Modell, kann das Heston-Modell jedoch keine Sprünge modellieren. [6]

2.3. Das Modell von Bakshi, Cao & Chen (1997) als Generalisierung der Modelle von Merton (1976) und Heston (1993) für den Fall nicht-stochastischer Zinsen

Wie in den vorherigen beiden Kapiteln beschrieben, versuchen die Modelle von Merton und Heston die Schwächen des Black-Scholes-Modells zu mindern. Merton nimmt hierzu Sprünge in das Modell auf, während Heston die Volatilität als Zustandsvariable modelliert. Das Modell von Bakshi, Cao und Chen vereint beide Ansätze, indem zum einen Sprünge aufgenommen werden und zum anderen die Volatilität als Zustandsvariable definiert wird.

Darüber hinaus wird auch der Zinssatz als stochastisch angenommen. [7] Diese Seminararbeit setzt sich mit dem Modell für nicht stochastische Zinsen auseinander.

[...]

[1] Vgl. Black, F./Scholes, M. (1973), S. 637.

[2] Vgl. Hull, J.C. (2015), S. 404.

[3] Vgl. Bakshi, G./Cao, C./ Chen, Z. (1997), S. 2003.

[4] Das Programm Mathematica der Firma Wolfram.

[5] Vgl. Merton, R.C. (1976), S. 125.

[6] Vgl. Heston, S.L. (1993), S. 327.

[7] Vgl. Bakshi, G./Cao, C./ Chen, Z. (1997), S. 2003.