Extracto
1
I)
Präzisierung des Themas
Als
ich
mein
Thema
für
die
Seminararbeit
auswählte,
lautete
es
"Wahrscheinlichkeitsverteilungen". Dieser Begriff ist sehr allgemein und weitreichend. Nun
kann ich diesen Titel präzisieren und genauer auf den Inhalt dieser Seiten eingehen. Im
Folgenden werde ich vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen (WK-Verteilungen) näher
betrachten, die zu den wichtigsten in der Stochastik zählen. Am Anfang jeder Einführung
einer neuen WK-Verteilung werden zunächst dessen Eigenschaften theoretisch untersucht.
Danach werden wir uns auf die Anwendung solcher Funktionen fokussieren. Dabei werden
wir feststellen, dass all diese Verteilungen miteinander verknüpft sind. Somit sind die
Beziehungen zwischen den einzelnen Verteilungen besonders zu beachten und werden
deswegen genauer unter die Lupe genommen. Bevor wir aber uns der ersten WK-Verteilung
widmen, muss zunächst einmal geklärt werden, was dies überhaupt genau ist.
II) Die Kolmogorow-Axiome
Die Kolmogorow-Axiome stellen den Grundstein dieser Arbeit dar, da eine WK-Verteilung
erst durch diese definiert wird. Interessanterweise existierten solche Verteilungen schon im
19. Jahrhundert wie die Binomial- oder Normalverteilung. Die Schwierigkeit lag aber darin,
diese eindeutig, allgemein und möglichst knapp zu definieren. Das gelang erst dem russischen
Mathematiker Andrei Kolmogorow circa 200 Jahre später.
1 Definition (Axiome von Kolmogorow)
"Eine Funktion P: A P(A) mit A
heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie die folgenden Axiome, auch Axiome von
Kolmogorow genannt, erfüllt:
Axiom I:
P(A) 0
Axiom II:
Axiom III:
Wenn
, dann muss gelten:
P(A) heißt Wahrscheinlichkeit von A."
1
1
Lambacher Schweizer 11, S.174
2
III) Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Der Unterschied zwischen einer diskreten und stetigen WK-Verteilung ist ganz einfach zu
verstehen. Diskrete Verteilungen sind meist auf den Natürlichen oder Ganzen Zahlen definiert
und haben deswegen Sprungstellen. Ein Beispiel, wo es nur einen solchen Definitionsbereich
gibt, ist das Würfeln, da man nur eine "3", aber keine "3,5" erzielen kann. Stetige WK-
Verteilungen sind dagegen auf den Reellen Zahlen definiert, beispielsweise bei der Verteilung
der Körpergröße des Mannes. Der Unterschied ist in der untenstehenden Abbildung
2
nochmal
zu erkennen.
3
1.
Die Binomialverteilung
Die
Binomialverteilung
ist
eine
der
wichtigsten
Verteilungen
in
der
Wahrscheinlichkeitstheorie und zudem noch Ausgangspunkt weiterer Verteilungen, die im
Folgenden noch besprochen werden. Somit muss diese hier aufgeführt werden. Jedoch
werden wir auf die Herleitung verzichten, da diese schon im Seminar und im Unterricht
thematisiert wurde bzw. wird.
3.1.1 Definition (Binomialverteilung)
"Eine Zufallsgröße X heißt binomial nach B(n;p) verteilt, wenn
1. die Wertemenge von X die Menge {0,1,2,...,n} ist, und
2. für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X gilt:
Dabei steht n für die Anzahl der Versuche, p für die Treffer-Wahrscheinlichkeit und k für die
jeweiligen Erfolge.
2
selbst erstellte Abbildung auf GeoGebra
3
vgl. https://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Studium/ChristianKredler/Stoch1.pdf, Seite 18-21 und 23-27
4
Stochastik Leistungskurs, S.231
1 Vergleich zwischen einer diskreten (links) und stetigen (rechts) WK-Verteilung
3
Nun definieren wir noch eine Maßzahl für eine WK-Verteilung, die im Seminar auch schon
eingeführt wurde.
3.1.2 Definition (Erwartungswert)
"Die Zufallsgröße X habe die Wertemenge
. Die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten seien
. Dann heißt die Zahl
Erwartungswert der Zufallsgröße X."
5
Desweiteren gilt eine Merkregel für den Erwartungswert:
"Erwartungswert einer Summe = Summe der Erwartungswerte"
6
Rechnerisch bedeutet das:
Diese Eigenschaft hilft uns sehr für die Berechnung des Erwartungswertes einer
binomialverteilten Zufallsgröße. Beim Urnenmodell mit Zurücklegen ist der Erwartungswert
bei einem Zug, einen Treffer zu erzielen, logischerweise gleich der Trefferwahrscheinlichkeit
p. Wenn man nun n-mal zieht, ist der Erwartungswert gleich dem Produkt aus der Anzahl der
Versuche und der Trefferwahrscheinlichkeit.
3.1.3 Satz (Erwartungswert der Binomialverteilung)
Es ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X gegeben. So gilt für ihren Erwartungswert
:
7
Neben dem Erwartungswert gibt es eine zweite charakteristische Kenngröße, die eine WK-
Verteilung beschreibt: die Varianz. Sie gibt an, wie weit die einzelnen Werte vom
Erwartungswert gestreut sind.
3.1.4 Definition (Varianz)
Es sind eine diskrete Zufallsvariable X mit deren Werten und den zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten und dessen Erwartungswert
gegeben. So gilt für ihre Varianz:
Für die Standardabweichung gilt:
8
5
Stochastik Leistungskurs, S.172
6
Stochastik Leistungskurs, S.205
7
vgl. "Stochastik Leistungskurs", Seite 240
4
Dabei bedeutet "
", dass man den Wert der Zufallsvariable quadriert und dann mit der
zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert. Aus dieser Definition wollen wir nun die
Varianz einer binomialverteilte Zufallsgröße X bestimmen.
Da für
das gesamte Produkt gleich Null ist, kann man auch schreiben:
|
Nun multiplizieren wir den ersten Faktor aus.
=
3.1.5 Satz (Varianz der Binomialverteilung)
Es ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X gegeben, so gilt für ihre Varianz:
Und so gilt auch für die Standardabweichung:
Zuletzt werden wir noch die Rekursionsformel für die Binomialverteilung aufstellen, da wir
diese später noch gebrauchen werden.
=
3.1.6 Satz (Rekursion der Binomialverteilung
)
10
Da im Seminar und in der 12. Klasse die Binomialverteilung schon sehr genau besprochen
wird, soll das Augenmerk in dieser Arbeit eher auf die noch unbekannten Verteilungen fallen.
8
vgl. "Stochastik Leistungskurs", Seite 180f und 207
9
vgl. http://www.gbraemik.de/mathe/BinomialverteilungErwartungswertVarianz.pdf, Seite 2
10
eigene Herleitung
5
Deshalb wird ihre Anwendung, die nichtsdestotrotz sehr weitrechend und bedeutend ist, nur
kurz erläutert. Mittels ihrer Formel kann man die Wahrscheinlichkeit für ganz banale Dinge,
wie z.B. die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen mindestens k Sechser zu würfeln,
berechnen. Aber auch komplexere Vorgänge wie der Gesamtschadensverlauf bei einer
Versicherung und dessen Risiko kann durch diese WK-Verteilung kalkuliert werden. Ein
dazugehöriges Beispiel ist, dass von n Kunden k Versicherte einen Schaden haben, welcher
mit einer Wahrscheinlichkeit von p jeweils eintritt. Dabei muss ein ungefährer Wert für p
empirisch ermittelt werden.
11
2.
Die Hypergeometrische-Verteilung
a.
Eigenschaften und Anwendungsbeispiel
Die Hypergeometrische Verteilung ist sehr stark verwandt mit der zuvor besprochenen
Binomialverteilung. Bei dieser waren jedoch die Ereignisse voneinander unabhängig. Diese
Bedingung ändern wir nun und setzen abhängige Ereignisse voraus. Der Grundgedanke bleibt
aber der gleiche.
Im Urnenmodell wird diese Verteilung mit dem Ziehen ohne Zurücklegen gleichgestellt.
Sie ist so logisch durch einfache kombinatorische Mittel herzuleiten.
3.2.1 Definition (Hypergeometrische Verteilung)
Es ist eine diskrete Zufallsvariable X gegeben. Dann ist sie hypergeometrisch verteilt, wenn
gilt:
Dabei stellt N die Grundgesamtheit der Urne dar, n die Anzahl der zuziehenden Kugeln, K die
Anzahl aller Kugeln erster Sorte und k die zu ziehenden Kugeln erster Sorte.
12
Falls man mehrere Sorten an Kugeln hat, kann man diese Verteilung verallgemeinern zur sog.
multivariaten Hypergeometrischen Verteilung. Diese Erweiterung ist ganz einfach zu
verstehen, wenn man die zugehörige Formel sieht.
Dabei stellt K die Menge aller j verschiedenen Sorten dar.
13
11
vgl. www.klaus-gach.de/dateien/vers/binom01.doc
12
vgl. "Stochastik Leistungskurs" Seite 233
6
Um jetzt den Erwartungswert der einfachen Hypergeometrischen Verteilung zu berechnen,
verwenden wir folgenden Ansatz. Wir gehen wieder auf unsere Urne zurück mit N Kugeln,
davon sind K weiß und N-K schwarz. Dabei betrachten wir aber nur eine markierte weiße
Kugel und berechnen die Wahrscheinlichkeit, diese bei n Zügen ohne Zurücklegen zu ziehen.
Diese Berechnung geht nach der Einführung der Hypergeometrischen Verteilung einfach.
Nun führen wir K sog. Indikatorvariablen ein, das bedeutet, dass diese je nach Ausgang des
Ereignisses immer den Wert Eins oder Null hat. Für unsere Indikatorvariable
für
gilt:
So gilt nach Definition für den Erwartungswert:
Bei K weißen Kugeln und somit K Indikatorvariablen gilt dann für deren Erwartungswert:
Somit haben wir den Erwartungswert für K weiße Kugeln berechnet.
3.2.2 Satz (Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung)
Es ist eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsgröße X gegeben. Dann gilt für ihren
Erwartungswert
:
14
Die Herleitung des Erwartungswerts war sehr elegant. Jedoch ist der Beweis der Varianz
genau das Gegenteil und es bedarf viel Rechenaufwand. Deswegen wird auf diesen verzichtet.
3.2.3 Satz (Varianz der Hypergeometrischen Verteilung)
Es ist eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsgröße X gegeben. Dann gilt für ihren Varianz:
Ein Anwendungsbeispiel für diese Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Verteilung der
Trümpfe beim Schafkopfen. Wenn man das Sau-Spiel als Beispiel nimmt, stellt das gesamte
13
vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_hypergeometrische_Verteilung
14
vgl. http://mathe.wikidot.com/hypergeometrische-verteilung, (23)-(28)
7
Kartendeck den Parameter N dar. Jeder bekommt acht Karten, also
. Desweiteren gibt
es beim Sau-Spiel 14 Trümpfe (
). So kann man nun ganz einfach den
Erwartungswert der Trümpfe ausrechnen:
Also muss man deutlich mehr als 3,5 Trümpfe haben, um gute Chancen für einen Sieg zu
haben. Deshalb gibt es beim Schafkopfen die Faustformel, dass 5 Trümpfe für ein Sau-Spiel
ausreichen. Dabei helfen einem aber beispielsweise eine Herz-Sieben, -Acht, -Neun und eine
Herz-Sau auch nicht weiter. Deswegen führen wir eine zusätzliche Voraussetzung ein, noch
einen Ober auf der Hand zu haben. Wir berechnen jetzt die Summe der Wahrscheinlichkeiten
A und B. Dabei ist A das Ereignis für 4 Trümpfe (außer Ober) und einen Ober und B das
Ereignis für 3 Trümpfe (außer Ober) und zwei Ober.
Mehr Trümpfe oder mehr Ober machen keinen Sinn, in die Rechnung einfließen zu lassen, da
man sonst ggf. ein Herz-Solo anstatt einem Sau-Spiel spielen könnte. So hat man bei knapp
jedem achtem Spiel eine sehr gute Chance, mit einem Sau-Spiel zu gewinnen.
Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist das Lotto-Spiel.
15
b.
Approximation durch die Binomialverteilung
Bei der Einführung der Hypergeometrischen Verteilung wurde schon erwähnt, dass diese sehr
verwandt mit der Binomialverteilung ist. Der einzige Unterschied ist die Abhängigkeit bzw.
Unabhängigkeit. Das Beispiel der Urne veranschaulicht dies immer sehr gut. Bei dem Ziehen
aus der Urne mit Zurücklegen sind die einzelnen Züge eben unabhängig voneinander und
somit braucht man die Binomialverteilung. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die
Hypergeometrische Verteilung die passende Verteilung. Die Überlegung ist jetzt aber, ob es
nicht "irgendwann egal" ist, mit welcher Verteilung man rechnet, falls man eine sehr große
Anzahl an Kugeln in der Urne hat und dabei eben eine vergleichsweise sehr kleine Anzahl nur
von diesen nimmt. Als Beispiel ist eine Urne gegeben mit 1000 Kugeln (500 gelbe, 500
schwarze Kugeln). Dabei ziehen wir zweimal aus dieser und berechnen die
Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer gelben Kugel durch beide WK-Verteilungen.
Unsere Vermutung ist, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten kaum unterscheidbar sind, da es
praktisch egal ist, ob man beim 2.Zug aus einer Grundgesamtheit von 1000 Kugeln( Ziehen
mit Zurücklegen) oder von 999 Kugeln( Ziehen ohne Zurücklegen) zieht.
15
selbst gewählte Beispiele
Final del extracto de 27 páginas
- Citar trabajo
- Alexander Baumann (Autor), 2016, Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/374209
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