Einführung in die Exponentialfunktionen (Unterrichtsentwurf Mathematik)

Eine kompetenzorientierte Stunde zur Verdeutlichung der Wachstumsdynamik von exponentiellen Zusammenhängen und zur Einführung der Begriffe "Wachstumsfaktor" und "exponentielles Wachstum"


Unterweisung / Unterweisungsentwurf, 2013
16 Seiten, Note: 14 Punkte

Leseprobe

Inhalt

1 Analyse der pädagogischen Situation und der fachliche Voraussetzungen
1.1 Äußere Bedingungen
1.2 Lerngruppenanalyse
1.3 Lernstandsanalyse

2 Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe

3 Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsstunde

4 Didaktisches Zentrum

5 Literatur

6 Anhang

1 Analyse der pädagogischen Situation und der fachliche Voraussetzungen

1.1 Äußere Bedingungen

Die vorliegende Unterrichtsstunde wird in der Klasse 10 der XY Schule in XY durchgeführt, welche ich seit Beginn des vergangenen Schuljahres eigenverantwortlich unterrichte. Der Unterricht findet mittwochs (5. Stunde), donnerstags (2. Stunde) sowie freitags (3. und 4. Stunde) im Klassenraum C108 statt.

Die räumlichen Bedingungen können, durch den neben der Tafel zur Verfügung stehenden Overheadprojektor, als gut bezeichnet werden.

1.2 Lerngruppenanalyse

Die eigentliche Schülerzahl dieser Klasse beträgt 28 Schülerinnen und Schüler[1]. Eine enorm unruhige Unterrichtsatmosphäre in allen 9. Klassen hat im vergangenen Schuljahr zur Einführung eines zusätzlichen Mathematikkurses und damit verbunden zu einer reduzierten Schülerzahl in allen Kursen geführt. Bedingt durch die Reduzierung der Kursstärke war eine deutlich erkennbare Verbesserung der Lernatmosphäre zu beobachten. Die Lerngruppe besteht seitdem aus 18 Lernenden, davon 9 Schülerinnen und 9 Schüler.

Auffällig ist eine gesteigerte Lebhaftigkeit der Schüler im Vergleich zu den Schülerinnen, die überwiegend konzentrierter und motivierter als ihre männlichen Klassenkameraden arbeiten, welche sich vermehrt durch außerschulische Gedanken ablenken lassen.

Eine Ursache für die geringere Konzentrationsfähigkeit der männlichen Jugendlichen ist darin begründet, dass sich diese verstärkt in der Phase der Pubertät befinden. Durch kurze Ermahnungen lassen sich solche Unterrichtsstörungen in den meisten Fällen schnell beseitigen.

Trotz dieses Phänomens und unter Berücksichtigung der individuellen Lernvoraussetzungen

(vgl. Kapitel 1.3) arbeiten die SuS überwiegend gut im Unterricht mit und sind grundsätzlich an ihrem Lernerfolg interessiert.

Davon ausgenommen sind allerdings F., B. und L., die sich häufig aus Arbeitsprozessen zurückziehen und durch störendes Verhalten auf sich aufmerksam machen. Um eine Besserung herbeizuführen, genügt auch hier in der Regel eine direkte Ansprache durch die Lehrkraft.

Trotz erkennbarer Gruppenbildungen einzelner SuS, herrscht ein freundlicher und wertschätzender Umgang untereinander, der die Grundlage für eine Zusammenarbeit in Gruppenarbeitsphasen darstellt. In Verbindung mit den unterschiedlichen Leistungsniveaus führen insbesondere heterogene Gruppenzusammenstellungen zu produktiven und vielfältigen Ergebnissen und Lösungsmöglichkeiten.

Obwohl seit Schuljahresbeginn eine Verbesserung der Mitarbeit erkennbar ist, bedürfen die Lernenden N., L. und E. einer kurzen Erwähnung. Diese drohen häufig aufgrund ihrer zurückhaltenden Art in der Klasse unterzugehen. Nach Rücksprache mit der Klassenlehrerin entspricht dieses Verhalten auch dem in anderen Unterrichtsfächern und ist nicht auf den Mathematikunterricht zurückzuführen. Diese SuS müssen gezielt zur Mitarbeit angeregt werden, was insbesondere in Kleingruppen möglich ist, da dort ihre Unsicherheit weniger zum Tragen kommt und sie dadurch deutlich offener mit Problemen umgehen.

Abschließend ist zu erwähnen, dass ich mich in der Lerngruppe wohlfühle und als Lehrperson vollständig akzeptiert werde. Die SuS sind grundsätzlich bereit, meine Hilfe einzufordern und bei Problemen nachzufragen. Persönlich sehe ich mich als Lernbegleiter, der den Lernenden Denkanstöße und keine fertigen Lösungen vermittelt.

1.3 Lernstandsanalyse

Um den Lernstand meiner SuS feststellen und folglich einen schülerorientierten Unterricht zu gewährleisten, setze ich regelmäßig Methoden der aktiven Beobachtung sowie Feedbackmethoden und Selbsteinschätzungsbögen (formative Lernkontrollen) ein.

Die Selbsteinschätzungen der SuS weichen nur in Ausnahmen von meinen Beobachtungen ab. So ergibt sich, dass V., C. und A. am leistungsstärksten sind. Sie tragen durch ihre konstruktiven Beiträge entscheidend zur Weiterführung des Unterrichts bei und schätzen sich selbst als gut ein. Aber auch B., welcher sich durch seine Wissbegierde und einen enormen Ehrgeiz auszeichnet, kann als leistungsstark bezeichnet werden.

B., L., Lars, E. und T. haben einen erhöhten Förderbedarf. Sie benötigen vermehrt Anschauungsmaterial sowie verstärkte Unterstützung durch Mitschüler oder die Lehrkraft. Ich versuche diese SuS u.a. durch geeignete Gruppenzusammensetzungen zu fördern sowie deren Motivation durch gelegentliche Erfolgserlebnisse aufrecht zu erhalten. Auch E. und L. fällt es nach eigenen Angaben häufig schwer, dem Unterricht zu folgen. Sie demonstrieren aber, dass ihnen der Austausch mit anderen hilft und dass sie mathematische Inhalte schnell begreifen, wenn sie sich intensiv damit beschäftigen.

Da die Problemstellung der vorliegenden Stunde sowohl durch Modellierung einer geeigneten Funktion, als auch auf der Darstellungsebene von den SuS gelöst werden kann, möchte ich meine Einschätzungen zur Lerngruppe bezüglich der drei Kompetenzen „Problemlösen“, „Modellieren“ und “Darstellen“[2] im Folgenden näher erläutern.

Im Rahmen meiner bisherigen Unterrichtstätigkeit in der Klasse 10a hat sich herausgestellt, dass die SuS C., V., A., B. und M., wie im Kerncurriculum gefordert, in Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen erfassen, diese in eigenen Worten formulieren und eigene Lösungsideen entwickeln können (Problemlösen). Sie können Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln und Strategien erfordert sowie Ergebnisse auf ihre Plausibilität überprüfen (Anf. II[3] ).

Darüber hinaus haben C. und V. bereits mehrfach im Rahmen von Stationenarbeit demonstriert, dass sie auch anspruchsvolle Probleme bearbeiten können (Anf. III). Hingegen weisen B., L., Lars, L. und T. hier verstärkt Probleme auf. Meine Beobachtungen im Unterricht, aber auch die Ergebnisse mehrerer formativer Lernkontrollen haben gezeigt, dass es diesen SuS oftmals schwer fällt, einfache Probleme zu benennen und mit bereits erprobten Verfahren zu lösen (Anf. I). Die SuS J., S., M., L. und N. können zwar einfache Probleme selbstständig bearbeiten, es fällt ihnen jedoch schwer ohne zusätzliche Hilfen Problemstellungen aus dem Anforderungsbereich II der Kompetenzmatrix vollständig zu erschließen.

Auch bei einer näheren Betrachtung der „Modellierungskompetenz“ wird die bereits aufgezeigte Heterogenität der Lerngruppe deutlich. Während C., V. und A. gerade erst zum Thema „Oberflächenberechnung eines Kreiszylinders“ gezeigt haben, dass sie unvertraute Situationen eigenständig modellieren können (Anf. III), ist es den Lernenden B., L., L. und L. lediglich möglich, vertraute und direkt erkennbare Modelle zu nutzen (Anf. I). Bei den übrigen SuS hat sich gezeigt, dass diese zwar mehrheitlich fähig sind im Rahmen eines mathematischen Modells zu arbeiten, aber häufig nicht in der Lage sind, aufgetretene Problemsituationen selbständig in ein mathematisches Modell zu überführen (Anf. I – II). Hier sehe ich aufgrund der zentralen Stellung im Modellierungskreislaufs wesentliches Entwicklungspotenzial.

Hinsichtlich der Kompetenz „Darstellen“ ist anzumerken, dass der überwiegende Teil der Lerngruppe vertraute und geübte Darstellungen von mathematischen Situationen anfertigen und Beziehungen zwischen einzelnen Darstellungsformen erkennen kann (Anf. I - II). C., V., A., B., N., M. und S. sind darüber hinaus fähig zwischen einzelnen Darstellungsebenen zu wechseln (Anf. II).

Abschließend ist bezüglich der überfachlichen Kompetenzen folgendes anzumerken. Die „Personale Kompetenz“ innerhalb der Lerngruppe lässt sich als durchschnittlich bezeichnen. So ist sich die Mehrheit der Lernenden zwar über ihre eigenen Fähigkeiten bewusst und in der Lage diese zu reflektieren, jedoch haben einige SuS, darunter B., E., L., T., L. und L. Probleme, mehrschrittige Arbeitsprozesse selbstbestimmt und eigenverantwortlich zu steuern (s. a. Anf. II d. Modellierungskompetenz).

Die „Sozialkompetenz“ innerhalb der Klasse befindet sich auf einem guten Niveau. Dies ist in der Bereitschaft der SuS zu erkennen, sich unter Einsatz ihrer individuellen Fähigkeiten, gegenseitig zu unterstützen. Besonders hervorzuheben sind in diesem Kontext A., V. und C., welche durch ihre kognitiven Fähigkeiten maßgeblich den Unterricht bereichern, indem sie ihren Mitschülern und Mittschülerinnen beratend und unterstützend zur Seite stehen (vgl. Kapitel 1.2). Als förderlich bei der Erarbeitung neuer Themeninhalte hat sich daher erwiesen, dass die stärkeren SuS nach Möglichkeit die schwächeren Kursmitglieder unterstützen. Es hat sich gezeigt, dass dem heterogenen Leistungsstand (s. oben) der Lernenden am ehesten in Form von Gruppenarbeitsphasen, welche durch das Prinzip des "Lernens durch Lehren"[4] geprägt sind, entsprochen werden kann. Hierbei ist darauf zu achten, dass das Gruppenergebnis nicht ausschließlich von den besseren Schülern ausgeht, sondern alle Mitglieder involviert werden.

Schließlich lassen sich bei einigen SuS Unsicherheiten bei der Präsentation ihrer Lern- und Arbeitsergebnisse an der Tafel bzw. mit dem Overheadprojektor (OHP) erkennen („Medienkompetenz“). Hier sind insbesondre die SuS L., F., L., M. und S. zu benennen.

2 Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe

Maßgebend für die Unterrichtsgestaltung in der zehnten Klasse ist der Hessische Lehrplan für das neunjährige Gymnasium[5]. In Verbindung mit dem neuen Kerncurriculum für Hessen[6] beinhaltet dieser als zentralen Themenbereich die Exponentialfunktion unter der Leitidee „Funktionaler Zusammenhang (L4)“. Darüber hinaus stellt der Umgang mit eben diesen Funktionen einen wesentlichen Teilbereich der Oberstufenmathematik dar.

Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, beispielsweise bei mathematischen Beschreibungen von Wachstumsvorgängen, eine zentrale Bedeutung.

Die hier beschriebene Stunde dient der Einführung in die Exponentialfunktionen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, welche in der vorangegangen Unterrichtsreihe thematisiert wurden und bei denen die Basis die unabhängige Variable ist, ist bei Exponentialfunktionen die Variable der Exponent des Potenzausdrucks.

In Bezug auf die Planung der Unterrichtsreihe wirkt sich dieser Sachverhalt folgendermaßen aus. Um eine inhaltliche Entlastung für die vorliegende Unterrichtsstunde herbei zu führen, wurde in der vorrangegangenen Stunde bereits das lineare Wachstum thematisiert.

Aufgrund meiner Feststellungen (vgl. Kapitel 1.3), dass einige Lernende Schwierigkeiten bei der zweckmäßigen Anwendung von mathematischem Wissen auf Alltagssituationen aufweisen, habe ich mich im Rahmen dieser Unterrichtsreihe, entsprechend der Forderung des Lehrplans[7], für eine Verbindung der mathematischen Inhalte mit realitätsbezogenen Problemstellungen entschieden. Die SuS können dadurch im Rahmen von offenen Modellierungsaufgaben ihre Problemlösekompetenz erweitern, Strategien entwickeln und somit „eine Schlüsselkompetenz im Sinne einer Grundlage für lebenslanges Lernen“[8] erlangen.

Zudem eignet sich die Thematisierung der Exponentialfunktion an Beispielen aus der Lebenswelt der Lernenden, um die „mathematischen Konstrukte mit Sinn zu füllen, die Motivationslage zu verbessern und nachhaltiges Lernen wahrscheinlicher zu machen.“[9]

3 Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsstunde

Ziel der vorliegenden Stunde ist es, dass die Lernenden im Zuge einer schülerorientierten Problemlöseaufgabe die wesentlichen Merkmale des exponentiellen Wachstums (Wachstumsdynamik) erkennen sowie Unterschiede zum linearen Wachstum benennen können.

Diesbezüglich findet man in Schulbüchern, Fachzeitschriften und im Internet mehr als genügend Einstiegsaufgaben. Allerdings stellt ein Großteil der Aufgaben Situationen dar, die nur bedingt mit der Lebenswelt der Schüler zu tun haben. Entsprechend gestaltet sich der Transfer „das Problem der Aufgabe zu einem wirklichen Problem der Schüler zu machen“, als schwierig. Beispielsweise interessieren sich die Schüler einer zehnten Klasse nach eigenen Erfahrungen nur bedingt für das Wachstumsverhalten von Algenpflanzen[10]. Des Weiteren sollte eine gelungene Aufgabe „einen Mindestgrad an Offenheit“[11] aufweisen, „Anlass zu divergentem Arbeiten, […] individuellen Erkundungen [und] vor allem unterschiedliche Ansätze – auch auf unterschiedlichem Niveau – erlauben“[12].

Aus diesem Grund erscheint mir die Konfrontation der Lernenden mit der Geschichte eines Jungen ihren Alters, der durch sein nachlässiges Verhalten eine „Facebook-Party“ auslöst, als passend. Die Aufgabe ist zugleich motiviert und regt zu eigenständigem Arbeiten an (s. Anhang). Durch ihren offenen Charakter bietet die Aufgabe ausreichend Freiraum für kreative Überlegungen und individuelle Annahmen und somit ein lebendiges Bild von Mathematik. Die Lernenden erhalten die Möglichkeit, ihre heuristischen Strategien implizit zu erweitern und somit ihre „geistige Beweglichkeit“[13] zu erhöhen. Demnach stellen die Problemlösekompetenzen nicht nur einen „Weg beim Arbeiten, sondern bereits ein erklärtes Ziel“[14] dar.

Die SuS werden bereits zu Beginn der Stunde durch mich in heterogene Kleingruppen eingeteilt (vgl. Kapitel 1.3). Ziel der Gruppenarbeit ist es, ganz nach dem Prinzip des "Lernens durch Lehren", sowohl den leistungsschwächeren als auch den leistungsstärkeren SuS im Sinne einer inneren Differenzierung gerecht zu werden. Zugleich fördert diese Sozialform die Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit und bietet die Möglichkeit, alle SuS unabhängig ihres Vorwissens zu aktivieren.

Unmittelbar[15] nach der Begrüßung und Formulierung meiner Erwartungen erhalten die Lernenden den Auftrag, sich die Geschichte von Tim genau durchzulesen und Verständnisfragen zu notieren, um diese anschließend im Plenum zu klären. Danach werden die SuS durch mich aufgefordert, mit ihren eignen Worten zu beschreiben, warum Tim unter Schock steht (Arbeitsblatt Nr. 1). Ziel dieser Phase ist es, sowohl die Ursache als auch das Problem selbst zum Gegenstand des Unterrichts zu machen sowie die Lernenden zum Nachdenken anzuregen und für die anschließende Erarbeitungsphase zu motivieren.

Während der anschließenden Arbeitsphase werde ich die Klasse beobachten und mich weitestgehend aus den Gruppenprozessen heraushalten. Aufgrund der offenen Gestaltung der Aufgabenkonzeption, haben die Lernenden die Möglichkeit, auf mehreren Niveaustufen gleichzeitig eine Lösung für das Problem zu erarbeiten (zusätzliche Differenzierung). Zum einen können die SuS durch die Fortsetzung der Wertetabelle und Zeichnung eines Funktionsgraphen einen ungefähren Wert für die Lösung des Problems ablesen, zum anderen besteht die Möglichkeit, eine Funktionsgleichung aufzustellen und folglich eine rechnerische (exakte) Lösung des Problems zu ermitteln. Auf diese Weise existiert sowohl für die leistungsstärkeren, als auch die leistungsschwächeren SuS die Möglichkeit einen Zugang zur Problemstellung zu erlangen und sich am Gruppenprozess zu beteiligen. Aufgrund der Lernstandsanalyse (vgl. Kapitel 1.3) ist zu erwarten, dass alle Gruppen mindestens eine graphische Lösung erarbeiten werden.

Mögliche Probleme sehe ich bei der Übersetzung der Promblemsituation durch die Lernenden in ein mathematisches Modell. In diesem Zusammenhang ist möglich, dass die Lernenden zunächst längere Zeit ohne große Fortschritte lediglich die Problematik diskutieren und aufgrund der leistungsheterogenen Gruppen einige Schüler verstärkt Unterstützung durch ihre Mitschüler benötigen. Daher habe ich mich gegen leistungshomogene und für heterogene Kleingruppen entschieden, da sich in der Vergangenheit gezeigt hat, dass trotz zusätzlicher Hilfen, die schwächeren Schüler überfordert und sehr schnell demotiviert waren. Für den Fall, dass sich einzelne Gruppen über eine graphische Lösung hinaus an die Modellierung einer Funktionsgleichung begeben, habe ich eine Hilfekarte vorbereitet. Durch deren optionale Nutzung bleibt der problematisierte Ansatz bestehen. Zudem habe ich für sehr schnelle Gruppen einen erweiterten Arbeitsauftrag formuliert, der sich an die Bearbeitung der eigentlichen Aufgabe anschließt.

[...]


[1] Im Folgenden verwende ich aufgrund der besseren Lesbarkeit die Abkürzung SuS für Schülerinnen und Schüler

[2] Vgl. HKM (2013): S. 12ff.

[3] Vgl. Blum, W. et al. (2006): S. 33-80

[4] Vgl. Krüge R. (1975): S.17

[5] Vgl. HKM (G9): S.31

[6] Vgl. HKM (2013): S.18 ff.

[7] Vgl. HKM (G9): S.38

[8] Vgl. Leuders, T. (2003): S. 122

[9] Vgl. ebd.: S. 122

[10] Typische Einstiegsaufgabe in Schulbüchern

[11] Vgl. Leuders, T. (2003): S. 125

[12] Vgl. ebd.: S.128

[13] Vgl. Bruder, R. (2011): S.81

[14] Vgl. Leuders, T. (2003): S.132

[15] Auf diese Weise möchte ich gewährleisten, dass die Lernenden möglichst unvorbelastet in die Erarbeitungsphase übergehen.

Ende der Leseprobe aus 16 Seiten

Details

Titel
Einführung in die Exponentialfunktionen (Unterrichtsentwurf Mathematik)
Untertitel
Eine kompetenzorientierte Stunde zur Verdeutlichung der Wachstumsdynamik von exponentiellen Zusammenhängen und zur Einführung der Begriffe "Wachstumsfaktor" und "exponentielles Wachstum"
Hochschule
Studienseminar für Gymnasien in Gießen
Note
14 Punkte
Autor
Jahr
2013
Seiten
16
Katalognummer
V382940
ISBN (eBook)
9783668583283
ISBN (Buch)
9783668583290
Dateigröße
708 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Exponentialfunktion, Wachstumsprozess, Wachstumsfaktor, Wachstumsdynamik, Facebook, Modell, Modellierung, Modellbildung, Kompetenzen, Problemlösen, Alltagsaufgabe, Problemsituation, Examen, Examensentwurf
Arbeit zitieren
Steffen Weber (Autor), 2013, Einführung in die Exponentialfunktionen (Unterrichtsentwurf Mathematik), München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/382940

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